Устойчивость ортотропной оболочки вращения, находящейся под действием сжимающих контурных усилий и постоянной температуры Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Х. С. Гумерова

УСТОЙЧИВОСТЬ ОРТОТРОПНОЙ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ, НАХОДЯЩЕЙСЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СЖИМАЮЩИХ КОНТУРНЫХ УСИЛИЙ И ПОСТОЯННОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ

Ключевые слова: устойчивость, термочувствительность, оболочка вращения.

Рассматривается задача устойчивости тонкой ортотропной усеченной оболочки вращения, замкнутой в окружном направлении, с двумя симметричными полюсными отверстиями, находящейся под действием контурных сжимающих усилий и постоянной температуры, при шарнирном закреплении. Уравнения нейтрального равновесия, записанные в компонентах перемещения, решаются методом конечных разностей в сочетании с методом матричной прогонки. Исследовано влияние температуры на значения критических нагрузок.

Key words: stability, temperature sensitivity, the shell of revolution, orthotropism, temperature, compressive forces.

The problem of stability of thin orthotropic truncated shell of revolution, closed in the circumferential direction, with two symmetrical pole holes under the action of compressive peripheral forces and constant temperature, with pinning are being considered. Equations of neutral equilibrium, recorded in the components of displacement, are solved by the method of finite differences in conjunction with the method of matrix sweep. The influence of temperature on the critical loads has been in investigated.

Вопросы исследования устойчивости тонкостенных ортотропных оболочек из композиционных материалов, механические характеристики которых зависят от температуры, являются весьма актуальными, в связи с широким использованием их в современных строительных конструкциях, самолетостроении, ракетостроении и судостроении.

Рассматривается осесимметричная форма потери устойчивости усеченной ортотропной оболочки вращения, находящейся под действием контурных сжимающих усилий Р1 и постоянной температуры Т.

Материал оболочки имеет постоянные коэффициенты Пуассона и коэффициенты линейного температурного расширения, а модули упругости и сдвига линейно зависят от температуры [1]:

Б-, = Б- (1-Х,Т), ву = в- (1-^Т) I = 12 ; у = 1,2, I Ф у .

Основные соотношения соответствуют принятым в работе [2], [3].

Тангенциальные мембранные усилия в направлении меридиана и параллели оболочки можно получить из уравнений безмоментного состояния:

(втБ1 )А - в,т22 = о (1)

71,^11 + 722^21 = Р1, где Р\ - контурные сжимающие усилия, отсюда

T о _ p 122 '11 _ P1

R2 sin2 9,

о

R2 sin2 9

то _ D R1 Sin 90

'22 _ -PV

R1 sin2 9

Здесь Я, - значения главных радиусов кривизны у полюсных отверстий. Исходное состояние предполагается безмоментным.

На основе результатов работы [4] можно утверждать, что потеря устойчивости будет

происходить по осесимметричной форме и начнется у полюсных отверстий.

Уравнения нейтрального равновесия в этом случае приводятся к одному уравнению:

1 d 2M1

R? d92

1 - T22K2 - 711X11 _ 0 ,

(2)

где

Мц = 2Л3ВцУ1,1 + 2Л3В^В-1^2,2 ,

Т22 = 2ЛВ12(и,1 + Я-1щ) + 2ЬВ22 (В-1у,2 + Я2 V), %11 = -^ц и учтено, что бэ = Я^В. Для заданных контурных усилий Р| из первого уравнения системы (1) следует, что Т11 = о , тогда

12

е? _ -v0e

22

11

T22 _ 2hE2e2 _ 2hE2 — R2

и уравнение (2) перепишется в виде:

d4w ~ d2w ~

• + b—г- + aw _ 0.

d94 где

~ _ 3R14V2(1-V1V2) Rfh2v1

d92

b _-P1

(3)

3R2R2 sin2 90 2R2h3B11 sin2 9

¿.ГЛ211 Оц

Если прогиб дополнительного состояния искать в виде

w = A sin m(9-90) (4)

( ™ _ A

m _

m1n

n-29

m1

- целое

число,

то

удовлетворяются условия шарнирного закрепления: щ = 0, М11 = 0 при 9 = 90 и 9 = л-90. Подстановка (4) в уравнение (3) позволяет найти связь между сжимающим усилием Р1 и числом волн по меридиану в виде:

m4 - b/m2+a _ 0.

отсюда

я* = -

~ ~2 a b = m2 +—-

db = 1__a_

em2 m4

m2

так как m > 0, то bmin = 2л/a или

m2 = +V~

P =

4h2^

sin2 0

R2 4(1-v1v2) sin2 60 Сжимающее усилие достигает минимума при 6 = 6о , поэтому

(Pi)min

4h2E1

R2 Y 3v1 (1 -v1v 2)

Для изотропной оболочки E1 = E2 = E ,

(P1)min

v1 = v2 = v

4h 2E

R2>/3(1

-v2)

что совпадает с решением работы [4].

Для решения задачи осесимметричной формы потери устойчивости сферической оболочки применен один из численных методов [5] - конечно-разностный алгоритм, приведенный в [6].

С этой целью рассматривается устойчивость изотропной сферической оболочки, находящейся под действием контурных сжимающих усилий Р1. Введя новые функции 9 ,

у = _ = 1 d 2w = d — ^ — •

1 =

w

2Л 2Л de2 de2' Г

уравнение (2) можно представить в виде

9,ее + а§ + ~9 = 0.

Используя для производных представления в виде центральных разностей уравнение (2) можно представить в матричной форме:

А,У, + 1 + В,У, + С,У;_1 = 0 , здесь у = 9} - вектор функция от Е,, 9,

А =

1 о 0 1

В, =

- 2

c 2 Л -С2

v c2 a c 2b - 2 ,

C, =

1 0 0 1

где С - шаг деления меридиана.

Граничные условия шарнирного закрепления

ю = 0, М11 = 0 или = 0 , 9; = 0 при е = е0 и е = л-ео в матричной форме имеют вид: УI+1 + к0 УI - УI-1 = 0,

F0 =

здесь

'о '1 0>

Для нетривиальности решения системы уравнений необходимо равенство нулю определителя этой системы, т.е.

А = |01,02-..0т-1 Вт-1 = 0 . Здесь О, = В1 - В(-+11, для I = т - 2,

О, = В, -О-+1, для I = т - 3,...1.

Критическое значение р находится как минимальный корень определителя А из условия смены его знака. При проведении конкретного счета учтено, что потеря устойчивости происходит вблизи края и поэтому решение ищется в узкой области, определимой углом е : О0 < е < е1, причем угол е1 незначительно отличается от значения е0.

Численные результаты, полученные для сферической оболочки, показали значительное понижение критической нагрузки с уменьшением относительной толщины оболочки и учета термочувствительности материала оболочки.

Литература

1. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. М: Наука, 1974. - 446 с.

2. Гумерова Х.С. Устойчивость ортотропных оболочек вращения с учетом зависимости механических характеристик материала от температуры / Х.С.Гумерова // Расчет пластин и оболочек в химическом машиностроении. Межвуз. темат. сб. научных трудов. КХТИ, Казань. 1990. С. 32 - 38.

3. Гумерова Х.С. Численное исследование устойчивости термочувствительной эллипсоидальной оболочки / Х.С.Гумерова // Вестник Казанского технологического университета. 2013, Т.16, № 20. С. 74 - 76.

4. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. - Казань: Таткнигоиздат, 1951, 431 с.

5. Серазутдинов М.Н. Вариационные соотношения теории тонкостенных стержней открытого профиля. / М.Н. Серазутдинов // Вестник Казанского технологического университета. 2013, Т.16, № 5, С.216-223.

6. Ганиев Н.С. Применение конечно-разностного метода к решению задач устойчивости ортотропных оболочек вращения / Н.С.Ганиев // Казан. хим.-технол. ин-т, Казань, 1980. 11 с. Деп. В ВИНИТИ 14.10.1980, №440080 Деп.

V

2

v

2

© Х. С. Гумерова - канд. физ.- мат. наук, доцент каф. теоретической механики и сопротивления материалов КНИТУ, tmsm@kstu.ru.

© Kh. S. Gumerova, candidate of physico-mathematical sciences, associate professor, Kazan National Research Technological University, department of theoretical mechanics and strength of materials, tmsm@kstu.ru.