CC BY
11
Key words: cork stopper, glass bottles capping, wine bottling, automatic feeding.
Boltunov Alexander Vladimirovich, master, boltunovsanek@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Kuznetsov Viktor Sergeevich, master, viktor. kuznetsov95@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Pantyukhina Elena Viktorov^, candidate of technical sciences, docent, elen-davidova@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 539.3
К ЧИСЛЕННОМУ РЕШЕНИЮ СТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ТЕРМОУПРУГИХ ОБОЛОЧЕК
Р.М. Бахшинян
Рассмотрена задача термоупругости ортотропной оболочки вращения, физико-механические характеристики материала которой являются функциями температуры нагрева. В основу выкладок положено предположение о параболическом законе распределения касательных напряжений по толщине оболочки. Решение полученной системы дифференциальных уравнений проводится методом дискретной ортогонали-зации, с помощью которого численное решение задачи сводится к устойчивому вычислительному процессу. Проведён анализ рассмотренных числовых примеров.
Ключевые слова: термочувствительная оболочка; модули упругости; сдвиговая жёсткость; численный метод.
Уравнения оболочки вращения, подверженной температурному и силовому воздействию. Рассматривается ортотропная оболочка вращения, модули упругости E и E2, модуль сдвига G13, коэффициенты Пуассона m2, m21 и линейного температурного расширения Д , Д2, b3 материала которой являются произвольными функциями от температуры нагрева t. Предположено, что температурное поле, условия нагружения и закрепления оболочки симметричны относительно оси вращения z , а касательные напряжения по толщине h оболочки изменяются по параболическому закону [1]
Дифференциальные уравнения равновесия и деформации представив в форме, разрешённой относительно первых производных основных функций, в качестве которых, следуя работе [2], выбрав функции Tr, Tz, M1, Ur, Uz и Q, для численного интегрирования получим систему дифференциальных уравнений осесимметричной задачи несвязанной термоупругости термочувствительной оболочки вращения с конечной сдвиговой жёсткостью, приведённую к нормальной форме
288
сХ
= В ( 5 ) X + / ( 5 )
(1)
где X (5 ) = {ТГ, Т2, Мх,иг ,иг, 0}- вектор - столбец; В (5 ) = |\Ъ]г (5 )|| - квадратная матрица шестого порядка.
Элементы матрицы В (5) имеют вид
Ъ к
(1 - ) эта-12 v 31; И3
эт а Л
—--а36 соэ а
о 36
V Я1 У
, и ^^л , И а о .. _ Ъ„ =-32, Ъ14 =-33, Ъ< = о,
А, '
г А,
Л5
И
12
Ъ12 =А ]аз1соа+из
а.
( • 2 л
соэа эт а
- +-
V Я
+ азб эт а
11 _!-3
Ъ16
= ИЧ4*та, = о,
гА
21
эта , , , , _ , эта
Ъ22 =-, Ъ23 = Ъ24 = Ъ25 = Ъ26 = 0, Ъз1 = СОЭ а +-
12д46 со эа 12д45 А 2 а41 эта- 46 45 2
V
Ъ32 = эт а
д41соэа 12^46эта 12д45 А3
Ъ34 =■
эта
2
г
Г
а43 +
гИ
12д45азз соэа
А
Ъзз =
эта
1 У
1 - а
И3 А
соэа
1 У
л
А
л
А
Ъ35 = 0, Ъзб =
2
эт2 а'
1У
1У
л
12д45 д34соэа
а,, +
Ъ41 = эт а
а11 эт а-
12д16 со эа 12д с А
15 2
И3
А
Ъ42 =- siпа
1У
а11со эа+
А1 У
12а16эта 12д с А.
И3
+-
15 3
А
1У
Ъ43 = - эта
а12 +
12д^^со эа
Л
А
Ъ44 = -
siпа
1
а13 +
12а<а^со эа
л
А
, Ъ45 = о , (2)
1
Ъ46 = соэ а -
2
siп2 а'
а14 +
12д^исо эа
\
V
А
Ъ51 = со эа
1У
-д11 siпа +
12длсо эа + 12д< А.,
И3
А
Ъ52 = со э а
12а16эта 12д15 А3 а11со эа +-^-+ - 15 3
V
И
А
Ъ53 = со э а
^ 12д^^со эаЛ ^ + -
1У
А
1У
Ъ55 = 0
1У
Ъ54 =
соэ а
12д^^со эаЛ
А
Ъ56 = siп а
1У
1 +
соэа
/
г
V
12д15 а34 со эаЛ
а14 + -
А,
12д26 со эа 12д25 А 2 Ъ61 = а21 siп а--26"3---^——, Ъ62 = -а21со э а -
1У 12^26эта 12^, А
Ъ63 = д22
И3
12д25 д32 со эа
А
И3
25 3 Ъбб = о
А
^ Ъ64 =--
12д25 д33со эа
а 23 +
Л
V
А
, Ъбб =-
sinа
А1
Г , 12д25 д34 со эаЛ
а24 +- 25 34
1 У
А
1 У
где А1 = гИ - 12д35соэа, А2 = (1 - д31)siп асоэа---+
г эта 12д,йсо э2 а
Я
И3
(
А 3 =
г
Л
а 31со --
V Я1 У
со э а+
Г 12а36 со эа
И
л
+ siпа
siп а.
У
Здесь а - угол между касательной к меридиану срединной поверхности и осью вращения оболочки г; г - расстояние точки срединной поверхности до оси оболочки г; Я1(5) и Я2(5) - соответственно первый и второй главные радиусы кривизны поверхности вращения.
г
г
1
г
г
2
г
г
г
г
г
г
Компоненты вектора / (5) определяются формулами
* _ й (« гп п * _ п * эта /1 «30 -ГП--^- I Пг , Л _ —Пг , /в _
А
1 V
/ _—эта
«10 +
12^15 А4
й3
\
А
/5 _ соэ а
1 У
« + 12^15 А 4
«10
V
А
' « + 12^45 А 4 ^ «40 А
А1 У
12«« А,
./б _ «20
1 У
А
(3)
где А4 _«30соэа—г(пг соэа+пг эта); пг и п - проекции приведённой к
срединной поверхности оболочки поверхностной нагрузки соответственно на направления г и г.
Входящие в (2) и (3) коэффициенты определяются выражениями
« п —
10 А
«12 _ «21
«16 _ 1 " А
К11К113 П11С113 . К11К123 П11С123
Д
■ +
Д
+ П11 (С111 + С122 )- К11 (К111 + К122 )
>«11 _
А
К
11
___ —« _ К11К12 С12П11 « _ К11П12 К12П11 л _ К11К114 П11С114
, и 13 _ «31 _ ,«14 _ ,«15 _
А А А А
К11К 114 "11С 114 +( П11С124 К11К124 )
эта
г
« _ С11 и _ К11С12 К12 С11
' «22 _ . ' и 23 _
А
А
и _ — « _ К11К12 "12 С11 и _ К11С114 С11К114 А _ С П — К 2 « 24 _ и 42 _ . > и 25 _ 4 ' ^ ^11^11 Л11
А
А
А
26
К11С 114 Сп К 114 + ( С11К124 К11С124 )
эта
(4)
«20 _ А
К С — С К КС — С К
11 113 11 113 11 123 11 123
Д
• +
^2
+ С11 (К111 + К122 )— К11 (С111 + С122 )
«32 «23 :
«33 С22 + С12 «13 + К12 «23 , «34 «43 К22 + С12«14 + К12 «24 , «35 С124 + С12 «15 + К12 «25
«36 С 124 + С12 «16 + К12 «2б С224
эта
С С
« _ С « + К « I 123 + ^ 223 — С — С
30 12 10 12 20 ^то! ^-О'
Д1 Д2
121 222
«41 _ «14 , «44 _ П22 + К12«14 + П12«24 , «45 _ К124 + К12«15 + П12 «25 :
«46 _ К 124 + К12 «16 + П12 «26 К224
sinа
КК
« _ К « + П « ^ 123 + Л 223 — К — К
^40 — 12 10 12 20 "-т
Д1 Д2
Здесь введены следующие обозначения:
й/2 й/2
_ I к]г _ | ^^ _ |
й/2
С
Уг'3
121 222 '
й/2
— й/2 й/2
— й/2
—й/2
— й/2
й/2
й/2
К,-3 _ I в^уёу,Спк _ I вь^г, К]гк _ I вь^г, I _I_-
—й/2 —й/2 —й/2 0 1
В
М2 Е1
й/2
й/2 й/2
-^12^21
й/2
С
1^1 ' ,4 1 — ^12^21
I в,,/0«г,
С
Уг'4
I В,г Кг4 _ I B,/0r«r,
— й/2
—й/2
— й/2
К
Р4-
й/2 ^т Г 1
I В г ^ ус1у, /0 _ ^^
—й/2
0 2^13
( й2 2 ^ V н У
«г; г - нормальная координата, по-
ложительные значения которой отсчитываются от срединной поверхности оболочки к её внешней поверхности.
г
1
г
г
г
Решив систему (1), будем иметь основные функции, посредством которых можно найти остальные факторы напряжённо-деформированного состояния оболочки. Так, например, внутренние усилия T1, T2, N и изгибающий момент M2 можно определить по формулам
T = -Tr sina + Tz cosa , T2 = d31T1 + d32M1 + d33 U- + d34 S*na0 + d35 ^^ + d36Y + d30 ,
r r ds
U sin a d Y
N = Tz sin a + Tr cos a , M2 = d41T1 + d42M1 + d43 — + d44-0 + d45-+ d46 Y + d40 ,
r r ds
где
Y = 13(Trcosa + T2 sina), (5)
d Y = 12
ds ~ h3
f • Л
sinaco sa sina
R y
T +
í • 2 Л
sin a cosa -+-
v r R y
cosa
lz +--T2 -qr cosa-qz sina
Метод решения. Вследствие линейности поставленной краевой задачи для её интегрирования можно использовать метод сведения краевой задачи к ряду задач Коши, каждая из которых решается одним из численных методов (Рунге - Кутта, Адамса - Штермера и др.). Однако в случае оболочек, материал которых обладает существенной неоднородностью и анизотропией упругих свойств, использование такого подхода может привести к сильно различающимся по величине вещественной части собственным значениям матрицы В (5). Тогда в результате изменения аргумента
£ при интегрировании в результате потери значащих цифр система векторов решений задачи Коши становится почти линейно зависимой, и поэтому при удовлетворении граничным условиям на другом конце интервала нельзя с достаточной точностью определить постоянные интегрирования и искомые функции.
Для преодоления указанных трудностей используется метод [3], с помощью которого численное решение краевых задач сводится к устойчивому вычислительному процессу. Проведённые исследования [4] показали эффективность и высокую точность метода дискретной ортогонали-зации, а также его простоту и удобство при численном решении краевых задач. Этот метод даёт возможность получить устойчивый вычислительный процесс за счёт ортогонализации векторов - решений задач Коши в конечном числе точек разбиения интервала изменения аргумента.
Решение поставленной задачи сводится к численному интегрированию системы (1) при граничных условиях, которые в наиболее общем случае запишутся в виде
Д X = d1 (при 5 = 50), £>2 X = d2 (при 5 = 51), (6)
где Ц и В2 - заданные прямоугольные матрицы порядка 6 х 3 ; d1 и d2 -
заданные векторы-столбцы третьего порядка.
291
r
Вычислительный алгоритм решения задачи строится по следующей
схеме:
1) по заданным функциям механических и теплофизических характеристик и геометрических параметров оболочки, внешней поверхностной нагрузки, температурного поля и граничным условиям вычисляются элементы матрицы В (5) и компоненты вектора /, а также элементы матриц Д и В2 граничных условий (6);
2) численно решается краевая задача (1), (6);
3) вычисляются основные расчётные величины, характеризующие напряжённо-деформированное состояние оболочки.
Пример расчёта. В качестве числового примера рассмотрена задача термоупругости для подверженной равномерному внутреннему давлению д тонкостенной конструкции, представляющей цилиндрическую оболочку вращения радиуса Я0 постоянной толщины Н0, сопряжённую со сферическими днищами переменной толщины, имеющими полюсные отверстия разных диаметров. Принято, что контуры полюсных отверстий свободны от внешних нагрузок, а действие крышек, заглушающих полюсные отверстия, заменено равномерным нормальным давлением [5] , а также, что толщина Н днищ изменяется по закону
Н = Но ^ (7 = 1,2),
Г
где г - расстояние точки срединной поверхности сферического днища до оси вращения.
Предполагается что один из торцов ( 5 = 0) конструкции заделан, а
другой свободен от внешних нагрузок.
Пусть проектируемая тонкостенная конструкция изготовлена из конструкционного материала, слабо сопротивляющегося сдвигу, а физико-механические характеристики которого существенно зависят от температуры (такие материалы называют термочувствительными). Принято, что температура г вдоль образующей 5 изменяется по квадратичному закону, а зависимости модулей упругости, модуля сдвига, коэффициентов Пуассона и линейного температурного расширения от температуры аппроксимированы функциями
Е, = Е0(1 ), т = т (1 ) (I, 7 = 1,2; I * 7),
ь = ьо (1+а) (I=1,2,3), о13 = О0з (1 - и).,
где Е° , т 0 , Ь0 - значения Еi , т при начальной температуре; Хг] и а, - постоянные коэффициенты [6].
Результаты расчётов показывают, что значительная часть заднего днища и цилиндрической части конструкции практически находится в безмоментном состоянии. Зоны с моментным состоянием охватывают об-
292
ласти, примыкающие к полюсным отверстиям как переднего, так и заднего днищ, а также в местах сопряжения цилиндрической части конструкции с днищами.
На рисунке приведена эпюра обезразмеренных изгибающих моментов М1 /М/, где М[ - максимальное значение изгибающего момента, найденное в случае неучёта поперечных сдвигов (Ег / 013 = 0) и термочувствительности материала (1,, = 0 ). Этому случаю на рисунке соответствует сплошная линия, а штриховая и штрих - пунктирная линии построены соответственно для случаев
1) Е0/33 = 50 ; 1 = о ; 2) Е0/в°а = 50 ; 1 = 1 = 1 = 1; 1 = 1 = 0.
Переднее днище Заднее днище
1.0 >
-1 = 17
Графики изменения изгибающего момента
Как видно из рисунка, учёт только поперечных сдвигов (случай 1) абсолютное значение минимального изгибающего момента увеличивает на 17 %, в то время как одновременный учёт поперечных сдвигов и изотропной термочувствительности уменьшает на 16 % ( случай 2 ).
Вычисления проводились также для случая 3 Е^/ 303 = 50;111 =1/3; 122 = 13 =1; 12 ф121 ф 0. Из результатов расчётов следует, что в отличие от изотропной термочувствительности (случай 2) учёт анизотропной термочувствительности (случай 3) увеличивает значение минимального изгибающего момента на 9 %.
Аналогичная картина наблюдается и при определении значений остальных расчётных величин. Так, максимальные значения перерезывающей силы Лгтах, возникающей в сечении, близлежащем к полюсному отверстию переднего днища, приведены в таблице.
Максимальные значения перерезывающей силы
Величины Е, /Оа = 0,\ = 0 Случай 1 Случай 2 Случай 3
^тах (Н / м) 215750 231220 177545 197775
Выводы
Из вышеприведённого анализа видно, что поправки от учёта поперечных сдвиговых деформаций, и поправки, обусловленные учётом анизотропной термочувствительности, могут иметь как одинаковые, так и разные знаки. Следовательно, они могут либо в какой-то мере компенсировать друг друга, либо существенно изменить значения расчётных величин.
Проведены также числовые расчёты для температурно-силовой задачи цилиндрической оболочки, решение которой получено методом малого параметра в работе [7]. Сравнение результатов, полученных аналитическим и численным методами, показало как необходимость учёта особенностей материала оболочки, так и эффективность применённого численного метода, дающего при решении аналогичных задач вполне приемлемые результаты.
Список литературы
1. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974. 446 с.
2. Григоренко Я.М. Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения переменной толщины. Киев: Наукова думка, 1973. 228 с.
3. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем Линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // УМН. 1961. Т. 16. Вып. 3. С. 171 - 174.
4. Бидерман В. Л. Механика тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1977. 488 с.
5. Елпатьевский А.Н., Васильев В.В. Прочность цилиндрических оболочек из армированных материалов. М.: Машиностроение, 1972. 168 с.
6. Крицук А.А. Коэффициенты теплового расширения стеклопластиков и их компонент в условиях высоких температур // Проблемы прочности. 1972. №5. С. 98 - 102.
7. Бахшинян Р.М. Температурно - силовая задача податливой на сдвиг неоднородной цилиндрической оболочки // Школа университетской науки: парадигма развития. Поволжский гос. ун-т сервиса. Тольятти: Изд-во ПВГУС, 2011. № 1(2).
Бахшинян Рубен Мушегович, канд. физ.-мат. наук, доцент, brm010@mail.ru, Россия, Тольятти, Повожский государственный университет сервиса
THE NUMERICAL SOL UTION OF STA TIC PROBLEMS OF THERMOELASTIC SHELLS
R.M. Bakhshinyan 294
The problem of rotational shell orthotropic thermoelasticity is discussed, whose material's physical and mechanical characteristics are functions of heating temperature. The basis for the calculations is the parabolic law of tensions tangents distribution to the thickness of the shell. The solution of received systems of differential equations is carried out by the method of discrete ortogonalisation, which brings the task numerical solution to sustainable calculating process. Analysis of considered numerical examples was made.
Key words: heat-sensitive shell; elasticity modulus; shift rigidity; numerical method.
Bakhshinyan Ruben Mushegovich, candidate of physical and mathematical sciences, docent, brmOlOamail. ru, Russia, Togliatti, Volga Region State University of Service
УДК.628.3
ВЛИЯНИЕ МЕДИ ИЗ СТОЧНЫХ ВОД МАШИНОСТРОИТЕЛЬНОГО
ПРЕДПРИЯТИЯ
А.А. Нестер
Рассмотрено современное состояние добычи медных руд и производства меди в Украине. Коротко изложены основные аспекты негативного влияния отходов производства плат и гальваники на окружающую среду. Во избежание накопления шламов на территории машиностроительных предприятий предлагается использовать технологию регенерации отработанных растворов травления, при которой выделенный металл используется в качестве вторичного сырья для производства меди, а регенерируемый раствор повторно используется для травления печатных плат.
Ключевые слова: медь, основной аспект, сточные воды, печатные платы, регенерация, негативный.
Сегодня едва ли не наибольшее негативное влияние на окружающую среду среди всех отраслей промышленности оказывает добыча полезных ископаемых. Деятельность предприятий добывающей отрасли является постоянным источником техногенной опасности возникновения аварий, которые нередко создают чрезвычайные ситуации и загрязняют естественную среду. При этих условиях особенный вес приобретает соблюдение предприятиями требований действующего законодательства и мер экологической безопасности [1]. Для добычи руды открытым способом необходимо выполнить вскрышные работы с перемещением большого количества почв и других пород. Так, например, если 20 - 25 лет назад предельный коэффициент вскрышных работ принимался в размере 2.. .4 м3/т, то в настоящее время при разработке месторождений со скальными горными породами он достигает 5.10 м3/т, а при разработке пологопадающих месторождений с мягкими покрывающими породами - 20.25 м3/т. В настоящее время открытая разработка залежей полезных ископаемых может выполняться на глубинах до 250 м. Эти большие массы, которые нужно переместить, уложить, свидетельствуют о значительных затратах труда и материальных затратах [2].
