CC BY
19
ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ
УДК 539.3 Х. С. Гумерова
ВЛИЯНИЕ ДЕФОРМАЦИИ ПОПЕРЕЧНОГО СДВИГА НА УСТОЙЧИВОСТЬ ОРТОТРОПНОЙ ТЕРМОЧУВСТВИТЕЛЬНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
Ключевые слова: устойчивость, термочувствительность, поперечный сдвиг, цилиндрическая оболочка.
Рассматривается модель потери устойчивости ортотропной термочувствительной цилиндрической оболочки при совместном действии постоянного внешнего давления, осевого сжатия и переменного температурного поля. Исследовано влияние деформации поперечного сдвига и температурного градиента на величину критических нагрузок.
Key words: stability, thermosensitivity, transverse shift, cylindrical shell.
The model of the orthotropic thermosensitive cylindrical shell stability hss in the condition of mutual affection of the constant external pressure, axial compression and temperature field variable is considered. Influence of the transverse shift deformation and temperature gradient оп the value of the critical loads have bееn researched.
Исследование устойчивости ортотропных оболочек вращения представляет практический интерес, так как оболочки такой формы широко применяются в судостроительных конструкциях, самолетостроении, ракетостроении. Оценка устойчивости для тонкостенных конструкций с
малым отношением — является обязательной, так Е
как обеспечение устойчивости для большого числа ортотропных оболочек является определяющим.
В работе приведена модель потери устойчивости ортотропной термочувствительной цилиндрической оболочки при совместном действии постоянного внешнего давления, осевого сжатия и переменного температурного поля. Исследуется влияние деформации поперечного сдвига, температурного градиента на величину критических нагрузок. Первоначальное напряженное состояние оболочки считается безмоментным.
Упругие характеристики материала
определяются соотношением [1]
Ei = Ef(1-XtT);
GiJ = Gi0 (1 -Х(Г), / = 1,2; у = 1,2,3; / * у,
а коэффициенты Пуассона и коэффициенты линейного температурного расширения являются постоянными.
Основные соотношения работы соответствуют принятым в работах [2].
Температура линейно зависит от толщины оболочки:
Т = То + Т1 • 1.
Предполагается, что усилия, возникающие в оболочке до потери устойчивости, изменяются пропорционально друг другу:
Т 02 =УТ01, где у - коэффициент пропорциональности.
Решение задачи устойчивости проводится одним из вариационных методов [3], широко
используемых при исследовании тонкостенных конструкций на устойчивость, методом конечных разностей.
Уравнения нейтрального равновесия цилиндрической ортотропной оболочки с учетом представления производных неизвестных функций в виде конечных разностей имеют вид:
А1у1+1 + Б1у1 + С1у1 -1 = 0; / = 0,..., т . Здесь у = г|, д, у1, у2 } - искомая вектор-функция;
| = и (2Л)-1, | = V (2Л)-1, д = м (2Л )-1 -составляющие вектора перемещения;
=-w,x + °,8ф1,
V 2 =-WSx + 0,8ф2
составляющие поперечного сдвига.
Aj = {aiy} , 1 j = 1,...,5 ; а11 = а22 = а44 = а55 = 1 ;
A а = .h.
13 2m B11 '
nL1 ( B.
2m
'12
_+ B66
B11 B11 )
а21 =
nL 2m
(
B
\
'22 V B66
+1
а31 = -
0,6L1 B12
, 0,6710
= 1 + ——11
азз = 1 +
B55h nL1 ( B.
а34 =
m B55
5B
2m
2mL2
A
а43 =
55
mL2 B11
12
_+ B66
B11 B11 ) Bj = {by}, 1, j = 1,...,5 ;
nL1 ( B. 2m
л
22
+1
V B66 /
b11 =-
1j
( n2/2 B A 2 + n L1 B66
m B11
b22 = -
2+
n2/2 b22 a
m2 B,
66
b = nL1 B22 b = 12 nL2 B22
b23 =--, b32 =-1,2"
b33 =-
1 +
m2 B66 0,67101
m2 B,
66
B55 h
+1,2
n2l2 B,
44
m2 B,
L2 B22 m2 B,
55
1+
0,67,1 A
V B44h ,
55
а45 =
2
+
b - П/
b35 - _
B,
44
m 2l2 a
b44 --
2 +
2
n2L2 B66
55
io a
'55
m Bii L2 Bi
b55 -
b - 10nLi B44
b53 - 2, D m2L2 Вбб
^ n2/2 B A 2 + n Li B22
+
i0 B
44
m2L22 B
66
m Вбб
Здесь 2h - толщина оболочки; n - число волн окружности; m - число деления оболочки;
Li= L-, l2= 2h
1 R 2 L оболочки, В11,..., В66 материала оболочки.
Ei
L - длина оболочки; R - радиус упругие характеристики
Bii -
i - viv 2
Bi2 -
v2E.
2i
viE
i2
i viv2 i viv
B22 -
E2
i
i2
Bi3 -
Ei vi3 + v2v
2 23
E
3 i- viv 2
2i
B23 -
2
v2 -vi2 . E2 v23 +vivi3
E3 i viv
2
a33 -
В44 - G23 ^
В55 - Gi3 '
В66 - Gi2 ^
где Е^Е 2, Е3 - модули упругости главных направлений анизатропии, G1з,G2з,G12 - модули сдвига, у,у (/, у = 1,2,3) - коэффициенты Пуассона, при этом необходимо учесть, что Ву = Ву (Т), Т = Т(а1, а2, z), Ву = Ву (а1, а2, z).
Граничные условия в матричной форме представляются в виде
-р,У- 1 + Ко у о + р у+1 = 0 , -Р0Ут-1 + К0Ут + Р0Ут+1 = 0 , где р = {/у-}, К0 = {ку}, 1,у = 1,...,5 .
Элементы /у, ку, зависят от вида закрепления
краев оболочки.
Таким образом, задача о нахождении критических нагрузок приведена к решению системы матричных уравнений.
Проведенные расчеты показали незначительное влияние температурного градиента на значения
Е 0
критических нагрузок. Рост
E0
параметра ^о-
^з
характеризующего деформацию поперечного сдвига величина внешнего равномерного давления
Е0
уменьшается до 17% для —^ = 70 по сравнению с
^з
- 2,
что следует учитывать при расчете на
i E3' ai3 - vi3 E3 -vai 1 E2 '
a23 - v23 E3 v32 E2 , 2.
E0
Ei Gi3
устойчивость тонкостенных ортотропных оболочек вращения.
Литература
устойчивость и колебания в условиях высоких температур. М: Машиностроение, 1965. - 567 с.
Гумерова Х.С. Численное исследование устойчивости термочувствительной эллипсоидальной оболочки. / Гумерова Х.С. // Вестник Казанского технологического университета. 2013, Т.16, № 20, С.74-75.
3. Бережной Д.В. Универсальный конечный элемент для расчета комбинированных конструкций. /Бережной Д.В., Сагдатуллин М.К., Саченков А.А. // Вестник Казанского технологического университета. 2012, Т.15, № 17, С.150-157.
© Х. С. Гумерова, канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теоретической механики и сопротивления материалов КНИТУ, tmsm@kstu.ru.
© Kh. S. Gumerova, candidate of physico-mathematical sciences, associate professor, Kazan National Research Technological University, department of theoretical mechanics and strength of materials, tmsm@kstu.ru.
