УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЯВНОЙ СХЕМЫ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ T-ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Давлатов Ш. О.

Каршинский инженерно-экономический институт

Узбекистан, г.Карши

УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЯВНОЙ СХЕМЫ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ T-ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Аннотация. В этом статье рассмотрен метод конечных элементов для симметрических игиперболических систем. Создан алгоритм численного решения смешанной задачи для симметрических ? -гиперболических систем методом конечных элементов на нерегулярной сетке. На основе этого алгоритма создана программа для численного решения смешанной задачи для симметрических 1-гиперболических систем. Приведен численный расчет модельной задачи.

Ключевые слова: метод конечных элементов, алгоритм, смешанная задача, гиперболическая система, базисные функции, неявно-разностная схема.

STABILITY OF AN IMPLICIT FINITE ELEMENT SCHEME FOR SYMMETRICAL T-HYPERBOLIC SYSTEMS

Abstract. This article discusses the finite element method for symmetric t-hyperbolic systems. Created an algorithm for a numerical solution of a mixed problem for symmetric t-hyperbolic systems by finite elements on an irregular grid. Based on this algorithm, a program has been created for a numerical solution of a mixed problem for symmetric t-hyperbolic systems. The numerical calculation of the model problem is given.

Keywords: finite element method, hyperbolic system, basic functions, implicit difference scheme.

1. Постановка задачи

В области QT = Qx (0,T) рассматривается смешанная задача для

симметрической t-гиперболической системы

Davlatov Sh. O. Karshi Engineering and Economic Institute

Uzbekistan, Karshi

с граничными условиями на T(Q) x [0,T ]:

(D - N)u = 0 (2) И с начальными данными при t = 0

«и = § (*)' х еО .(3)

Здесь х = (х,х2,...,хк) точка в пространстве Ям, О ограниченный

область в Ям, Г(О)- граница области О, А (г, х), I = 1, N симметрические матрицы размерностью т х т, элементы которых функции из С ([0,Т ]) х Сх(О), Б(г, х) матрица т х т, элементы которого функции из С (°г ), и (г, х) = (и1(г, х), и2(г, х),..., ит (г, х))Т

неизвестная вектор функция, ^ (г, х) = (£ (г, х), £ (г, х),..., £ (г, х))Т,

£(г,х) е С(От), I =1,т , §(х) = (§1(х), §2(х),..., §т (х))Т

N

§(х) е С(О), I = 1,т вектор функции. Б = У№_1пА , п = (п\,•••,%) внешний

нормаль на границу области О . N (г, х) матрица т х т, удовлетворяющая

условию N + N * > 0 и элементы которого непрерывные функции.

В Фридрихе[1] показана, что (1)-(3) смешанная задача при достаточных

гладких условиях и следующих дополнительных предположениях

N Р)А

в + Б* -У— >01, 0> 0,

¿=1

кег(Б - N) + кег(Б + Щ = Ят на Г(О) х [0, Т]

имеет единственное решение. Здесь I единичная матрица. 2 Схема конечных элементов и ее устойчивость

Отрезок [0,Т] разобъем на Nt частей

Т

гп=т • п,(п = 0,...,Ntt,т = —.

Проведем прямые х = х1 = кх1 (I = 0,..., Nx, кх = —), у = у = к]

N

и = 0,...^,^ = ^. Пересечение прямых х = х, и у = уу, —е^й

узлом сетки, обозначим через = М(х1; у.) .

Сетка разбивает прямоугольный область О на части (элементы). Каждый элемент прямоугольник. Элементы, один из вершин которых, является узел М называются элементами этого узла. Объединение этих

узлов обозначим через Оу.

Будем искать приближенное решение ик (гп,х,у) на каждом слое гп по времени в виде

< = щ (гп, х, у) = XX иц(гп) • ау (х, у ),(4)

I =0 ]=0

где ^ (х, у) базисные функции,

и.

= и(х-, у}, 1п) = (иЬ] (1п), и21] (1п),..., ищ (1п) )Г =(ипХ1], ип21]ипщ )Г

Аппроксимируем систему (4) в узле М- т.е. в системе (4)

ди

производную по времени — аппроксимируем отношением

дг

и

(г + т, х, у)-и (г, х, у)

т

вместо и(г,х,у) подставим щ (гп,х,у), каждое

уравнение полученной системы умножим на ^ (х, у) и проинтегрируем по . В итоге получимнеявную разностную схему:

д ип+1 ^ ( д ип+1 Л д ^ 1 В~-к— ()

ду

(Q•' )0,+т( ' £дг • Qj 1+т

= т( ^ )ав + (<, ^ (х- у) А . где (и,у)^ = Ци(х,у) • у(х,у.

+ т

/о,,.

(5)

О,,

В качестве примера базисной функции берем следующие функции (x, у) = Фг (х(у), где

( (х ) = <

х х

1 -1

к

х е (х

хг+1 х

к

х +1

0,

( хг-1, х1 );

х е ( х-, хг+1 ); & (хг-1, хг+1 );

1 = 1,..., К-1

х & ( х.

(о (х Н

х х

к

, х е( х.

(хо, х1);

х1

(мх (х ) =

о,

¥ц( у ):

х & (^ х1);

у-у;-1

х-х

К-1

к

■хКг

о,

х е( хк-1, хь х хк-1, хк);

К уц+1- у

куц+1

% уе

(уц-1, уц);

, уе

(уц, у+1); и=l,..., К -1

а у &( у;+1);

V.

<

¥0 (у ) =

у е( Уo, у1 );

у - у

у е(у0'у'); (у) = 0 у е( Уo, у1 );

у - УN, -1

к

'yNy

0,

у е( ущ-1, ущ);

у е( у^-1, УNy);

тогда после некоторых несложных вычислений из (5), получим следующую разностную схему для системы (4) в узле М~ = М (х1; у. ) еОй,

(г= 1,..., Nx-1, ] = 1,..., Жу-1):

N

У

я=1

N

У

я=1

а1к* • ип] + • ип+1 ] + • ип+1 ]+1 + • ип]+1 + а5к$ • «яг-1 ]+1 +

.п+1

+абкя • ип-1 ] + ¿я • ияг-1 ]-1 + ' «я ¿/"—1 + ¿я ' и*г+1 ]-1

= £ п+1 +

¿ку +

т • (4 иЦ + 1(ип+1/ + иГу+х

+ <-1 у + иТу-1) + +1 у +1 +

+и

яг-^./+1

+ -1 у-1 + ип+17-1))

к = 1,..., М.

Здесь ^ =

1 если k = я 0 если k Ф s,

4 / Зьч 1,1 1 ч 1,1 1 ла

а, = — • (с, +—)+ -•(---)а, +-• (---)Ь, ,

ш 9 \ ь ) з к 3 к к

9 т 3 кхг кхг+1 3 ку/ ку/+1

1 , ^ъч 1 аь 1,1 1м.

а = —• (с, + —) +---— + — (---)Ь

9 я т 3 к 12 к к

9 т 3 кхг+1 12 ку ку+1

а = — • (с + ) +1 • + )

а3кs ~ с ^¿я + ) 1 о ( 7 7 ),

36 Т 12 кхг+1 ку/+1

1 г Зьч 1,1 1 л 1 Ьь а 4ks = 77 •(Ckl +—) + 7Т --1-К +

9

Т 12 кхг кхг+1

3к

у/+1

п, - — (г + ^ Ч 1 саь К \

а5ks = ~ г • (Ckl + ) ' ( , , ),

36 Т 12 кхг ку/+1

а = I • (с + ^) -1 • ^+1 • (1___3_)ь

¿я 9 с + т ; 3 к +12 (к к )Ьь,

9 Т 3 кхг 12 ку ку/ +1

(6)

<

а = — • (с + ^) -1• (+ )

ь з6 (с., + ^ 12 (^ + ^л

а =1 • (с + + — • (—-—)а -1 • ^ ^ 9 С + ^ + 12 (НХ1 Н^Л 3 ку '

а* = 1 • С + ^) +1 • - Т^).

36 Т 12 Нх,+1 К

Для того чтобы замкнуть систему линейных алгебраических уравнений (6) воспользуемся аппроксимациями граничных и начальных условий:

(В — )и х, У; )|х=0=0

(В — )и ^ У; )| х=/х =0

(В — )и (*„+ х,, у)

у=0=0

при г = 0:

(В — )и(г„+1,х,,у) у=, =0

и ( 0, Х , У; ) = и0 ( Х , У; )

(7)

М(хг,У;)еОн. (8) В качестве дополнительных граничных условий (неопределенных

дифференциальной постановкой смешанной задачи) используется аппроксимация исходной системы. В итоге получим замкнутую систему линейных алгебраических уравнений. СЛАУ решим методом главных элементов.

Разобьем область О на конечное число элементов(выпуклые многоугольники),не имеющих общих внутренних точек. Обозначим элемент через К. Тогда имеем Г2= К. Отрезок [0,Г] делим на Л/, частей.

Кс.0.

Т

Точки разбиения обозначим через = т • к, (к = 0,..., ), т = .

Предположим, что выполняются следующее условии:

N + N > 0, (9) N Р)Л В + В *-]Г > 0

,=1 Эх- . (10) При таких предположениях справедлива следующая теорема.

t

Теорема. При выполнение условий (9)-(10) решение ик е (р(К))" однозначно определено на К и удовлетворяет неравенство

Ы, х)£ < еТ\\иЛ х)|| 2+ (Т + 1)(Т1) Р

Здесь ||и|| =

|и •и, р = тах||р(1,

Нерегулярная сетка создается следующим образом. Область О разбиваем выше указанным способом на несколько частей. Это является первоначальной "грубой" сеткой. На этой сетке находим численное решение задачи (6)-(8). После нахождения решения, если модул разности значений, хотя бы одной компоненты вектор-функции ий (х, г), в узлах между М{., Мг.+1. или в узлах между М{., Мг7+1 больше заданного число

8> 0, то середину этих узлов ставим новый узел. Создаем первую нерегулярную сетку. На этой сетке повторна находим численное решение задачи (6)-(8). Аналогично выше указанным способом создаем следующую нерегулярную сетку. Этот процесс будем повторять пока не будет

выпольнятся неравенства

и

Ь'+1 у

и

ку

и

ку+1

и

ку

<8 (к = 1,...,М).

<8 и

ку

ЗЧисленные расчеты

Задача. В области О = {(/,х,у): г е(0,Т), (х,у) еО| дано уравнение затухающий волны

Щ + рЩ - Щх - Щуу = ^ Р ^ 0 Щ, щ заданы при г = 0 щ = 0 на .

Вводя обозначении и = Щ ,и2 = Щ ,Щ = Щ получим следующую систему

иг +

г 0 0- Г Г 0 0 01 Г00 0 Л Г 01

00 0 их + 0 0 -1 иу + 000 и = 0

V-10 0 У V 0 -1 0 У V 0 0 Ру ¿Ру

В этом задаче

' 0 0 - п 1 Б = 0 0 - п2

V- П - п2 0 У

Если взять

' 0 0 пл 0 0 п

n

v

-п - «2 2

у

то тогда

о

' 0 0 - nN f 0 0 - пГ f00 0Л

D - N = 2 00 - n2 , D + N = 2 0 0- n2 , N + N * = 000

v 00 - 1 / v-ni - n2 1 / V004 /

Пусть Q = {(х, y) :0 < х < 2^,0 < y < 2п\.

Возмем р = 1 и <p = V2sin х sin y cos St начальные условии при t = 0

U = 0, u2 = 0, щ = л/2 sin х sin y условие на границе

f u ^ f 0 0 - n Y u ^ f-nu ^

(D-N) w2 |5Q= 2 00-n2 u2 |5Q= 2 -п2иъ |5Q= 0,

Vu3 / V00 - 1 -/Vu3 J V - u3 J

Из этого следует, что на всей стороне прямоугольника

щ = 0.

При t > 0 точное решение смешанной задачи будет

u = cos х sin y sin , u2 = sin х cos y sin V2t,

u sin х sin y cos

В таблице ниже приведены значения разницы ||u - v|| ^ на

неравномерной сетке при различных разбиениях по времени t и первоначальном разбиении Nx = 3, N = 3 по х и по y соответственно, при

8 = 0,2 и при t = 15.

Nt Nx Ny u - V 2 II IL2(fi)

10 13 13 0.4603349

20 13 13 0.2622136

40 13 13 0.1154079

80 13 13 0.0228676

160 13 13 0.0220265

Использованные источники:

[1] K. O. Friedrichs, Symmetric positive linear differential equations, Comm. Pure Appl. Math.,11 (1958), pp. 333-418.

[2]. L. J. Segerlind.Applied Finite Element Analysis. John Wiley & Sons, Inc. 1976.pp. 289-308.

[3] R.D. Aloev, Z.K. Eshkuvatov, Sh.O. Davlatov, N.M.A. NikLong. Sufficient condition of stability of finite element method for symmetric T-hyperbolic systems with constant coefficients. Computers and Mathematics with Applications. USA.68(2014) рр. 1194-1204. (Scopus. IF=3.37)