АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ TГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ НА ОДНОСВЯЗНОЙ ДВУХМЕРНОЙ ОБЛАСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Давлатов Ш. О.

Каршинский инженерно-экономический институт

Узбекистан, г.Карши

АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ Ъ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ НА ОДНОСВЯЗНОЙ ДВУХМЕРНОЙ

ОБЛАСТИ

Аннотация. В этой статье исследована смешанная задача для симметрических игиперболических систем с постоянными коэффициентами. В ней обоснована схема конечных элементов в случае равномерной сетки. Разработана программа расчета численного решения.

Ключевые слова: метод конечных элементов, алгоритм, смешанная задача, гиперболическая система, базисные функции, неявно-разностная схема.

Davlatov Sh. O. Karshi Engineering and Economic Institute

Uzbekistan, Karshi

ALGORITHM FOR NUMERICAL SOLUTION OF SYMMETRICAL T-HYPERBOLIC SYSTEMS WITH CONSTANT COEFFICIENTS ON A SIMPLY CONNECTED TWO-DIMENSIONAL DOMAIN

Abstract. In this paper we consider the mixed problem for symmetric t-hyperbolic systems with constant coefficients. For the mixed problem we study the question justification scheme offinite elements in the case of a uniform grid. The results of numerical calculation of the model problem are given.

Keywords: finite element method, algorithm, mixed problem, hyperbolic system, basic functions, implicit difference scheme.

Постановка смешанной задачи ([1]):

Постановка смешанной задачи для двумерных симметрических t-гиперболических систем с постоянными коэффициентами.

Пусть П <= Ш2. В области G = х, y) '.te (О, Г), (х, у) е Q} найти вектор-функцию u , удовлетворяющую системе

A дф^ + b Эф^ + C Эф^ + Du( x, y, t) = F (^ y, t )(1)

dt dx dy

с граничными

(;, х, у) 5П+ (t, x,у), (t, хУ) сп =g2 (;,x,У),

R3u (1, x, у) 5о =gз (1, x, У ), R4u (1, x, У ) Ю = g4 (1, x, У ),

и начальным

и (0, х, у ) = и0 (х, у), (х; у) еП; (3) условиями. Здесь А, В,С - действительные постоянные симметричные матрицы размерности N х N, причем А - положительно определенная; Б - произвольная действительная постоянная матрица размера N х N; Щ, Щ, Щ, ^ - постоянные матрицы, количество столбцов которых равно N, а количества строк матриц Щ, Щ равны количеству

положительных и отрицателных собственных значений матрицы А~1В соответственно, а количества строк матриц Щ, Щ равны количеству

положительных и отрицателных собственных значений матрицы А~ХС соответственно; g1, g2, gз, g4 - заданные вектор-функции, согласованные с размерностью матриц Щ,Щ, Я3, Щ соответственно; дПх+, дПх_ - части границы СП, где ставятся условия, соответствующиеположительным и отрицательным собственным значениям матрицы А~1В соответственно, а дП^+ , сП - части границы СП, где ставятся условия,

соответствующиеположительным и отрицательным собственным значениям матрицы А_1С соответственно; и0(х, у) - заданная вектор-

функция; и(1,х,у) = (и,щ,...,им )Т - неизвестная, а

¥(1,х,у) = (/,/2,...,/^ )Т - заданная вектор-функция.

П - Аппроксимация области.

Двумерная ограниченная область аппроксимирована следующим образом. При описании границы области в качестве составляющих ее частей могут использоваться отрезки прямых и дуги окружностей.Началом некоторой части границы £ считается та ее концевая точка, при движении из которой по £ область остается слева. Отрезки прямых определяются двумя точками - концами, а для дуг окружностей дополнительно задается точка центра окружности.

Область П заключим в наименьший п

рямоугольник со сторонами,

паралельными осям Ох и Оу: Пс[а;й х[с;^]. Проведем прямые

х = х= а + V ( = а-.Nx,К = ^X у = у = с + V и = 0,...,Ny,ку = ^)

пересекающие отрезки, соответсвенно, [ а; Ь], [с; й ]. В результате область П покроется равномерной сеткой (рис.1).

ч 1

\

--- \

1

1

...

/

*

— _

Рис.1.

£

--- 5

-я» >

*

Рис.2.

Точку пересечения прямых х = х = а + кх1 и у = у = с + к ], называемую узлом сетки, обозначим через = М(х; у) •

1-определение. Узел, находящийся на расстояние к < или к <

от дО, или лежающий на дО называется граничным узлом. На рисунке 2 граничные узлы соединены линией зеленого цвета.

2-определение. Узел, лежащий внутри области О и являющийся соседным узлом граничного узла, называется околограничным узлом.

На рисунке 2 околограничные узлы соединены линией коричневого

цвета.

3-определение. Узел, лежащий внутри области О и не являющийся соседным узлом граничного узла, называется внутренным узлом.

4-определение. Узел, не лежащий внутри области О и не являющийся граничным узлом, называется внешным узлом.

Сетка разбивает область Ок на части (элементы). Каждый элемент является прямоугольником (на рис.2. желтого цвета) или треугольником (на рис.2. серого цвета). Элемент обозначим через К. Элементы, одной из вершин которых является узел Мг7, называются элементами этого узла.

Объединение этих узлов обозначим через О{.. Тогда справедливо равенство

и Цг

Построение неявной разностной схемы для задачи (1)-(3)

Построим неявную разностную схему для системы (1). Отрезок [0,Т ] разобъем на N частей:

Т

гп = т - п,(п = 0,...,= — •

^ г

Будем искать приближенное решение смешанный задачи (1)-(3) на каждом слое гп по времени в виде м* = щ (^,х,у)= ^ иО (х,у). Здесь

(х; у} к

О (х, у) базисные функции, в узле М(хг, у ) значение О (х, у) равно 1, а в остальных узлах - 0,

щ

= и(х , уу , ;п ) = (^ (;п ), и2гу (;й Х... ищ (;п ) )Т = (иП , ,..., и"щ )Т .

и

Аппроксимируем систему (19) в узле М- т.е. в системе (1)

ди

производную по времени — аппроксимируем отношением

д;

(; + т,х,у) - и (;,х,у) ( ч ( ч ------вместо и(1,х,у) подставим щ (^,х,у), каждое

уравнение полученной системы умножим на О (х, у) и проинтегрируем по П.- .Здесь П.. - объединение всех элементов узла М. . В итоге

ЧУ у

получимнеявную разностную схему:

[ау (А + тБ) + ДтВ + у тС) иП+1 +

а+1 у (А + тБ) + Д+1 тВ + ^+1 уТС) + а+1 у+1(А + тБ) + Д+1 у+тВ + у+ у+тС) иЦ+1 + у( А + тБ) + Д+тВ + ) ип++; +

а-1.+1(А+тБ)+Д-1.+тВ + у-7+тС) и-у+1 +

а-1 у (А + тБ) + Д-1 ттВ + У- уТС) и^ +

4( А + тБ) + Д-1 -хтВ + у- у-тС) и^-1 +

а

' -1у-

а-1( А + тБ) + Ду-ттВ + Уу-тС) иП+ +

а+17-1(А+тБ)+Д+17-1тВ + у+17 -1тС)и

щ¥"+1+тА(а,и"+а+1 дЙ+1 у + а+1,+1щ+1 ,+1 +

п+1

■г+1у -1

п п п п

а+1щ+1+а-1 у+Щ-1 у+1+а-1 и-х у+а-1 у-и- у -1 + а-и" + а+1,-1иГ+1,-1) (х,у,) еПк .

(4)

Здесь

г 2 Г дО„ (х, у) а = ] О,(x, y)dxdy, Д = ] —--Q1,(x, y)dxdy,

дх

г дО (х, у) с Уу = ] —-О(х У)dxdУ, Чу = ] О,(х У)йхйу.

Граничных и начальных условий аппроксимируем следующим образом:

1 гп+1, х\, у /) дОй ~ ё1 (гп+1, х, у}), М (хг, у}) е дОкх+;

К2и (гп+1, хг, у] ) | дОкх_ = §2 (гп+1, хг, у7 ),М(хг, у] ) е дОкх-;

Кзи (гn+l, х, у]) дОку+ = §з (гп+, х, у]), М(х, у7) едОку+;

( гп+1, X,у/' ) дПь _ = §4 1 гп+1, х, у/), М (х, у/) е дОку-;

при г = 0:

и(0,х,у.) = щ(х,уу), М(х,уу) еОк• (6)

В качестве базисной функции возьмем функции О (х, у) = щ( х(у),

где

( х

7-1

к '

х+1 х

х е (х,.

( х-1, хг);

х е( х, х+1); 1 = и. -1 (7)

х хм, хг+1);

% (х И

х х

, х е(х0,х1); кх ^ ( х)

0, х г( х0, х1);

у - у7 -1

'К-1

х е( хкх-1, х«х); х ^Ч, хкх);

^(у):

к

у е

(у/-1, у/);

у'+1 у, у е(у/, у/+1); / = 1,..., Ыу-1 (8) у г( у/-l, у/+1);

к

0

^0 (у ) =

V-, у е(Уo,у1); / ч

ку ( у ) =

0 у Уo, у1);

у - у«у -1

к

у

0,

у е( у«у-1, у«у); у *( у«у-1, у«у);

Считая, что найдено приближенное решение смешанный задачи до ги (п = 0,1,2,...) слоя включительно, для нахождения приближенного

решения смешанной задачи на слое г объединим систему разностных

уравнений (4) каждого узла М- = М(х; уу) едОк и граничные условия (5)

каждого граничного узла М(х, у) едОй. В итоге получим систему

к

х

0

к

х

0

<

линейных уравнений относительно компонентов векторов мг"+1. Для того чтобы эта система линейных уравнений была замкнута, на граничнах узлах = М(X;;у.), для компонентов решения и(х,у,г), для которых не

поставлены граничные условия, возмем соответсвующие разностные уравнения из системы (4). В итоге получим замкнутую систему линейных уравнений. Решив эту систему методом главных элементов, получим численное решение задачи (1)-(3).

Следующая теорема, показывающая условную устойчивость разностной схемы, полученной методом конечных элементов для смешанной задачи (1)-(3).

Теорема. При выполнении условий

18и-иЖ>0, ((^ + Пт)и,и)> 0 (9)

ЗЬ

разностная задача (4)-(6) имеет единственное решение щ, причём

Т

при любых кх, ку и при всех п < — выполняется неравенство

г

!(„, < еЪ\1т +(Т + 1)(еТ"1)

'2 (

2

Здесь \\и\\=[йииМу,Г = тах ,8 = пВ + пС,

11 'ад уЬ п ь1(а) х У '

п = (nx, пу)-

внешняя нормаль к ЗЬ.

На основе этих схем создана программа, решающая численно задачу (1)-(3) и рисующая график решения. При этом в случае не выполнения условий устойчивости (9) программа информирует об этом. Созданная программа проверена на основе вычислительных экспериментов в модельных задачах.

Пример:

Дано система

Ь = {(х, у) : 0 < х < 2,0 < у < 2} да

Зщ Зщ Зщ

—1---L +—1 + щ = ху - уг + хг + хуг

дг дх ду

ди ди ди

2 + —2--2 + и2 = (х + у)(1 + г)

дг дх ду граничными условиями

х = 0 да и2 = уи1 + уг; х = 2 да щ = -уи2 + (у2 + 4 у)г; у = 0 да щ = и2 - хг; у = 2 да и2 = -2хщ + (4х2 + х + 2)г; и начальными данными

г = 0:

щ = 0 и2 = 0

Найти численное решение

V =

V У

системе удовлетворяющей

граничных и начальных условий методом конечных элементов. Точные решения системе следующие:

щ = ху и2 = (х + у)г

Если количество разбиений по времени щ = 5, количества разбиений по х и у соответственно равны ях = 20, = 20 ,то тогда разность между точным и приближенным решением во время г = 10 равно ||и - у|| = 0,0823485

.Где и(х, у, г) =

Ги1 Л

Vи2 У

точное решение, V =

V У

приближенное решение.

Рис. 3. График ^.

Рис. 4. График

^2*

Использованные источники:

1. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука,1979,372с.

2.С.К.Годунов, А.В.Забродин и др.Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука,1976. 75с.

3.Марчук Р.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. -М.: Наука,1981.416 с.

4. Applied Finite Element Analysis. Larry J. Segerlind. John Wiley & Sons, Inc. 1976. 289-308 с.