ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С ТРЕХКРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика, физика, техника. 2022, №1

УДК 517.958

Б01: 10.52754/16947452_2022_1_126

тэртунчу тартиптеги уч муиездеечусу бар

ГИПЕРБОЛИКАЛЫК ТЕНДЕМЕ УЧУН ЧЕК АРАЛЫК МАСЕЛЕЛЕРДИН САНДЫК ЧЕЧИМИ

Садалов ТвлвнбайЫсманович,ф.-м.и.к., доцент,

[email protected] Ош технологиялык университети, Пирматов Абдыманап Зияйдинович, ф.-м.и.к., доцент

[email protected] Ош мамлекеттик университети Ильичбек кызы Айчолпон,магистрант, [email protected] Ош мамлекеттик университети, Ош, Кыргызстан Сатимкулов Азизбек Ядигарович, магистрант, azizbek. satimrulov@ibox. т Жалал-Абад мамлекеттик университети, Жалал-абад, Кыргызстан

Аннотация: Бул макалада твртYнчY тартиптеги у4 мYнвздввЧYCY бар гиперболикалык тецдеме YчYн Гурстун маселеси торчо усулунун жардамы чечYY каралган. Берилген тецдемедеги катышкан туундулар аппроксимацияланган. Аппроксимацияланган туундунун маанилерин тецдемедеги туундуну алмаштырып торчо тецдеси алынган. Аппроксимациялоо мегилинде аппросимациялоо кадамдарын тандоого да чоц квщл бурулган. Макаланын негизги максаты торчо усулунун жардамында берилген маселени аппроксимациялоо жолу менен торчо тецдесине алып келYY жана чектYY айрымалардын схемасына башкача айканда сызыктуу алгебралык тецдемелер системасына алып келYY менен коюлган маселенин кррективдYYЛYгYн же чечиминин жашашы жана жалгыздыгын далилдввнY демонстрациялоо болуп саналат.

Ачкыч свздвр: гиперболикалык тецдеме, торчо усулу, аппроксимация, алгебралык тецдемелер системасы.

ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С ТРЕХКРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

Садалов ТолонбайЫсманович,к.ф.-м.н., доцент,

[email protected] Ошский технологический университет, Пирматов Абдыманап Зияйдинович, к.ф.-м.н., доцент

[email protected] Ошский государственный университет Ильичбек кызы Айчолпон, магистрант, [email protected] Ошский государственный университет,

Ош, Кыргызстан Сатимкулов Азизбек Ядигарович, магистрант, [email protected] Жалал-Абадский государственный университет,

Жалал-Абад, Кыргызстан

Аннотация: В статье рассматриваются решение задача Гурса методом сеток для гиперболического уравнения четвертого порядка с трехкратными характеристи-ками. С начало с помощью аппроксимации получены конечные разности производных и сеточное уравнение. Используя сеточное уравнение и налагаемых условий получено линейную систему алгебраических уравнений относительно неизвестных значений функции в сетке. Использовано метода конечных разностей. Сущность этого наиболее универсального численного метода состоит в том, что за искомый набор чисел принимается таблица значений решения в точках некоторого множества, называемого обычно сеткой. Для вычисления искомой таблицы используются алгебраические уравнения, приближенно заменяющие дифференциальное. Основной целью статьи является продемонстрировать аппроксимуруя и используя методом сеток сведение к разностные схемы, т.е. системе алгебраических уравненией задачу Гурса. Доказаны существование и единственность решений поставленных задач.

Ключевые слова: гиперболическое уравнение, аппроксимация, метод сеток, система алгебраических уравнений.

NUMERICAL SOLUTION OF BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR A HYPERBOLIC EQUATION OF FOURTH ORDER

Sadalov Tolonbai Ysmanovich, Ph.D., associate professor

[email protected] Osh Technological University, Osh, Kyrgyzstan Pirmatov Abdymanap Ziyaydinovich, Ph.D., associate professor

[email protected] Ilyichbek kyzy Aicholpon, master, [email protected] Osh State University, Osh, Kyrgyzstan Satimkulov Azizbek Yadigarovich, master, [email protected] Jalal-AbadState University, Jalal-Abad, Kyrgyzstan Abstract: The article considers the solution of the Gursa problem by the grid method for a fourth-order hyperbolic equation with three-fold characteristics. From the beginning, with the help of approximation, finite differences of derivatives and a grid equation are obtained. Using a grid equation and imposed conditions, a linear system of algebraic equations is obtained with respect to unknown values of the function in the grid. The finite difference method is used. The essence of this most universal numerical method is that the desired set of numbers is taken as a table of solution values at the points of a certain set, usually called a grid. To calculate the required table, algebraic equations are used, which approximately replace the differential equation. The main purpose of the article is to demonstrate, by approximating and using the grid method, the reduction to difference schemes, i.e., a system of algebraic equations, the Goursat problem. The existence and uniqueness of solutions to the tasks are proved.

Keywords: hyperbolic equation, approximation, grid method, system of algebraic equations.

Введение. Математическое моделирование многих процессов, приводит к изучению краевых задач для уравнений в частных производных. Задачи локальными и нелокальными условиями для гиперболических уравнений четвертого порядка с трехкратными и двукратными характеристиками четвертого порядка рассмотрены в статьях [1, 2, 4, 5, 6]. Локальным и нелокальным краевым задачам для гиперболических уравнений четвертого порядка посвящено большое

количество работ. Отметим здесь работы А. С. Сопуева [1] и их учеников.

128

Исследованию разрешимости задачи Гурса методом сеток для гиперболического уравнения четвертого порядка с трехкратными характеристиками и посвящена данная статья.

Постановка задачи. В области D = \[x,y):0<x<(i, 0<у<Щ для гиперболического уравнения

(^ У) + (^ У) + cu (^ У ) = f (^ У ) , (1)

где c = const, f (x, y) e C (D),

m = iu,u ,u eC(D),u ,u ,u ,u ,u eC(d)1 , рассмотрим задачу

I' xx у У' y~xy~ xxy 5 xx^' xxxy \ / I 5 A A J

Гурса[3].

Задача 1. Найти в области D решение уравнения(1) из класса M, удовлетворяющее краевым условиям:

u (0, y)=ft (y) u (0 y)=ft (y) ,uxx (0 y)=ft (y), (2)

и начальным условиям:

u(x,0) = iy(x),0<x<e, (3)

условиями согласования:

ft (0) = ^(0), ft (0) = ^'(0), ft (0) = ^"(0). (4)

Разрешимость задачи доказана методом сеток. Аппроксимируя краевые, начальные условия и уравнение (1), задача сведена к системе линейных алгебраических уравнений. Искомая функция получена в табличном виде.

Аппроксимация. Значения функции в узлах (xt,yt) обозначим

соответственно u (xt, y) = u, ,f (xt, y) = f, ,i,j = 1,..., 21.

Аппроксимации граничных условий получим в виде[7,8]:

u0, j = ftj ,ux (0, yj ) , ux (^ у ) * ui, j " u0, j = hlft2j ,

uxx ( 0 yj ) , u2, j - 2ui, j + u0, ft ft j ,u ( 0, xt , (5)

где hlt h2 шаг аппроксимации.

Аппроксимируем производную иххху в виде:

( X,

( X ,У

К

г 1

V К У

и„.„ ( X,

( X ,У );

' 1 ^

V К у

И (X.

ххху 1 *

( X )

[иг+1,у - иг,у ] + 0 (К ) ,ихх (Хг , У, )

[+2,, - 3и,+1,у + 3и,,,~иг-1,у ] + 0 (К ) , [г+2,у +1 -3и, +1,у+1 + 3иу -и,- 1,у +1 ]-

[и,+1,у - 2и,,у + и,-1,у ] + 0 (К ) ,

' 1 ^

' 1 ^

V у

V К К у

[и,+2,у -3и,+1,у + 3и,,у -и,-1,у ] + 0 (К + К2 ),

где точность аппроксимации равна 0(К13 + К2).

Учитывая аппроксимации производных и шаги аппроксимации,

получим сеточное уравнение в виде:

и+2,у+1 - 3иг+Ху+1 + 3иг,у+1 - Щ-1,у +1 - [и,+2,у - 3и, +1,у - иг-1,у ] + ^1^2 [иг+1,у +иг-1,у ] + + (- 3 - 2К1^2 ) иг, у = у,

(6)

Разрешимость задачи. Из формул (5), (6) при ] = 0 получим разностную схему в виде:

(7)

иг+2,1 3иг+1,1 + 3иг,1 иг-1,1 = Рг,0,

Рг,0 = иг+

0 - 3иг+1,0 - иг-1,0 - КК2 [иг+1,0 + иг-1,0 ] + (" 3 " 2КА ) иг,0 + К3К2 (^ + 01,0 ) ,

где и0,у = ^у , и1,у = и0,у + Ыу , и2,у = 2и1,у - и0,у + у , и (0 хг ) ~ ,

из (7) при г = 1,2,3,..., 21 получим систему линейных алгебраических

уравнений в виде:

г — 1, и3 ^ 3и 2 + 3и — ^р 0,

г — 1,и3 ^ 3и 2 ^ + 3и — ^р 0,

г — 2, и4 3и3 + 3и2 ии — Р^. (

(8)

г = 19,и211 3и02,1 + 3и19,1 и18,1 = р19

0

Система алгебраических уравнение (8) совместима и имеет единственное решение. Из (8) однозначно определяются неизвестные

значения и31, и41, и51,..., и211.

Используя значения функции в нижних слоях и формулу

4+2, ;+1 - 34+1,}+1 + 34,}+1 - 4-1,/+1 = Р, ■, (9)

где

Ри] = 4+2,] - 34+1,] - 4-1,] - КК [4+1,] + 4-1,] ] + ^ V - 3 - 2КА К, + , (10)

при ] = 1,2,3,... последовательно определим значения функции второго,

третьего, и т. д. слоев. Итак, доказана

Теорема 1. Если матрица системы линейных алгебраических уравнений (8) невырожденная матрица, то решение задачи 1 существует и единственно.

Для удобства рассмотрим пример для модельного уравнения четвертого порядка гиперболического типа задачу Гурса.

Пример. Рассмотрим задачу Гурса для модельного уравнения четвертого порядка с конкретными данными:

4— (- у) + си(х,у) = х + У (11)

найти в области Б = {(х, у): 0 < - < 1, 0 < у < 1] решение уравнения( 11) из класса М, удовлетворяющее краевым условиям:

и(0,у) = у,4- (0,у) = 1 + у, и- (0,у) = у2, (12)

и начальным условиям:

и(х, 0) = х. (13)

Методом сеток численное решение построим в квадрате Б = {(х,у) :0 < х < 1,0 < у < 1]. Покроем область Б прямоугольной сеткой

х. = ¡К, у. = ]к2,1 = 1,п,] = 1,т,К = 1 / п,к2 = 1 / т, (п,ш-целые).

Используя аппроксимации на сетке xi,yj приближенно заменим

уравнение (7) следующим соответствующим сеточным уравнением [7, 8]

3U+1, j+1 + 3U j+1 " Ui-1, j+1 " [+2, j - 3ui+1,j~ U-1, j ] + (h V " 3) Ui, j = (X + Уу ) > (14)

i+2,j+1

Из (14) при j = 0 получим разностную схему:

Ui+2,1 3Ui+1,1 + 3Ui,1 U-1,1 — Pi

i,0'

где

Pi,0 = Ui+2,0 - 3Ui+1,0 - Ui-1,0 - (^ V - 3) ui,0 + ^h (X + Уо ) >

U0,j = Уу ,U1j — U0,j + h (l + У; ) ,U2,j = 2U1,j -U0,j + tf У2 ,U (0 X )= X >

из (16) при i = 1,21 получим систему

i — ^ 3u2 ^ + 3U ^ Щ \ — P\ o, i — 2, u^ ^ 3u3 x + 3u2 ^ — -P2 0,

1 — 19,U21,1 3U20,1 + 3U19,1 U18,1 — P19,0 ,

(15)

(16)

(17)

из (17) однозначно определяются неизвестные значения изд,и4д,и5д,...,и21Д. Используя значения функции в нижних слоях и формулу

Ui+2, j+1 -3Ui+1, j+1 + 3Ui, j+1 -Ui-1, j+1 — Pi,j>

где

Pi,, — Ui

j i+2,j

3ui+1, j - U-1, j - ( h V - 3) U j + h h ( X + y j ) •

(18)

(19)

Для численных значений переменных х, у области D, используя программу, созданную на языке VBA и приведенную в приложении. Соответствующие значения функции и её производной приведены в таблице № 1.

Выводы. В статье рассмотрены задача Гурса для гиперболических уравнений четвертого порядка с трехкратными характеристиками. Методом сеток доказаны существование и единственность решение задачи. Составлена программа в среде VBA и искомая функция получена в виде таблицы. Оценены погрешности аппроксимации и метода.

Таблица № 1

c x y u uxxxy uxxxy+cu x+y

2 0,1 0,05 0,155012 -0,16002 0,15 0,15

0,2 0,1 0,320186 -0,34037 0,3 0,3

0,3 0,15 0,495904 -0,54181 0,45 0,45

0,4 0,2 0,68273 -0,76546 0,6 0,6

0,5 0,25 0,881345 -1,01269 0,75 0,75

0,6 0,3 1,092464 -1,28493 0,9 0,9

0,7 0,35 1,316749 -1,5835 1,05 1,05

0,8 0,4 1,554716 -1,90943 1,2 1,2

0,9 0,45 1,806622 -2,26324 1,35 1,35

1 0,5 2,072347 -2,64469 1,5 1,5

1,1 0,55 2,351263 -3,05253 1,65 1,65

1,2 0,6 2,642091 -3,48418 1,8 1,8

Таблица № 2

c x y u uxxxy uxxxy+cu x+y

5 1 3 61,875 -57,875 4 4

0,50 2,5 25,51432 -22,5143 3 3

0 2 10 -8 2 2

-0,50 1,5 2,558594 -1,55859 1 1

-1 1 -2,70833 2,708333 0 0

-1,50 0,5 -7,16797 6,167969 -1 -1

-2 0 -10 8 -2 -2

-2,50 -0,5 -10,5404 7,540365 -3 -3

-3 -1 -10,625 6,625 -4 -4

-3,50 -1,5 -16,9336 11,93359 -5 -5

-4 -2 -43,3333 37,33333 -6 -6

-4,50 -2,5 -113,223 106,2227 -7 -7

-5 -3 -261,875 253,875 -8 -8

-5,50 -3,5 -538,783 529,7826 -9 -9

-6 -4 -1010 1000 -10 -10

-6,50 -4,5 -1760,49 1749,488 -11 -11

-7 -5 -2896,46 2884,458 -12 -12

-7,50 -5,5 -4547,71 4534,715 -13 -13

-8 -6 -6870 6856 -14 -14

График №1

Литература

1. Сопуев, А. Краевые задачи для уравнений четвертого порядка и уравнений смешанного типа: [Текст] / А. Сопуев // Дис. ...докт. физ.-мат. наук: 01.01.02.-Бишкек, 1996.-249 с.

2. Асылбеков, Т.Д. Начально-краевые задачи для гиперболических уравнений четвертого порядка: [Текст] / Т.Д. Асылбеков // Дис. .канд. физ. -мат. наук: 01.01.02.-Бишкек, 2003.-130 с.

3. Асылбеков, Т. Д. Задача Гурса для гиперболических уравнений четвертого порядка [Текст] / Т.Д. Асылбеков // Тезисы докл. I региональной науч. конф. «Проблемы алгебры, геометрии и их приложений». -Ош: ОшГУ, 1996.-С.47-49.

4. Асылбеков, Т.Д. Нелокальные краевые задачи типа Бицадзе-Самарского для гиперболического уравнения четвертого порядка с разрывными коэффициентами [Текст] / Т.Д. Асылбеков, Б.Ш. Нуранов, Н.Т. Таалайбеков // Республиканский научно-теоретический журнал "Наука, новые техгологии и инновации Кыргызстана", № 3 - Бишкек, 2019. №3. с. 11-17.

5. Асылбеков, Т.Д. Нелокальные краевые задачи с интегральными условиями для модельного гиперболического уравнения четвертого с трехкратными характеристиками [Текст] / Т.Д. Асылбеков, Б.Ш. Нуранов, Н.Т. Таалайбеков // Республиканский научно-теоретический журнал "Наука, новые техгологии и инновации Кыргызстана", № 3 - Бишкек, 2019. №3. с. 22-29.

6. Асылбеков, Т.Д. "Нелокальные краевые задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения четвертого с разрывными коэффициентами" [Текст] /

Т.Д. Асылбеков, Б.Ш. Нуранов, Н.Т. Таалайбеков // Наука. Образование. Техника.-Ош: КУУ, 2019.-№2.-С. 106-115.

7. Самарский, А.А. Введение в теорию разностных схем [Текст] / А.А. Самарский - М.,1971.

8. Самарский, А.А. Введение в численные методы[Текст] / А.А. Самарский -М.,1982.