CC BY
3ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика, физика, техника. 2022, №1
УДК 517.958
DOI: 10.52754/16947452_2022_1_93 ТЭРТУНЧУ ТАРТИПТЕГИ ПСЕВДО ПАРАБОЛАЛЫК ТЕНДЕМЕ
учун гурсанын маселесинин сандык чечими
Асылбеков Таалайбек Дуквнбаевич, ф.-м.и.к, доцент,
[email protected] Ош мамлекеттик университети, Садалов Твлвнбай Ысманович, ф.-м.и.к., доцент,
[email protected], Ош технологиялыкуниверситети, Сыдыкова Бегимай Бактияровна, магистрант,
Ош мамлекеттик университети, Ош, Кыргызстан Мухамаджан кызы Чолпон, магистрант, muhamadzankyzycolpon@,gmail. com Жалал-Абад мамлекеттик университети, Жалал-Абад, Кыргызстан
Аннотация: Бул макалада твртYнчY тартиптеги псевдо параболалык тецдеме YЧYн Гурстун маселесинин сандык чечимин торчо усулунун жардамы менен чечYY каралган. Берилген тецдемедеги катышкан туундулар аппроксимацияланган. Аппроксимацияланган туундунун маанилерин тецдемедеги туундуну алмаштырып торчо тецдеси алынган. Аппроксимациялоо мегилинде аппросимациялоо кадамдарын тандоого да чоц квщл бурулган. Макаланын негизги максаты торчо усулунун жардамында берилген маселени аппроксимациялоо жолу менен торчо тецдесине алып келYY жана чектYY айрымалардын схемасына башкача айканда сызыктуу алгебралык тецдемелер системасына алып келYY менен коюлган маселенин кррективдYYЛYгYн же чечиминин жашашы жана жалгыздыгын далилдввнY демонстрациялоо болуп саналат.
Ачкыч свздвр: псевдо параболалык тецдеме, торчо усулу, аппроксимация, алгебралык тецдемелер системасы.
ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧА ГУРСА ДЛЯ ПСЕВДО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
Асылбеков Таалайбек Дуконбаевич, к.ф.-м.и.н., доцент,
[email protected] Ошский государственный университет, Садалов Толонбай Ысманович, к.ф.-м.н., доцент,
[email protected] Ошский технологический университет, Сыдыкова Бегимай Бактияровна, магистрант,
[email protected] Ошский государственный университет,
Ош, Кыргызстан Мухамаджан кызы Чолпон, магистрант, muhamadzankyzycolpon@,gmail.com Жалал-Абадский государственный университет,
Жалал-Абад, Кыргызстан
Аннотация: В статье рассматриваются численного решения задачи Гурса для псевдо параболических уравнений четвертого порядка с двукратными характеристиками. С начало с помощью аппроксимации получены конечные разности производных и сеточное уравнение. Используя сеточное уравнение и налагаемых условий получено линейную систему алгебраических уравнений относительно неизвестных значений функции в сетке. Использовано метода конечных разностей. Сущность этого наиболее универсального численного метода состоит в том, что за искомый набор чисел принимается таблица значений решения в точках некоторого множества, называемого обычно сеткой. Для вычисления искомой таблицы используются алгебраические уравнения, приближенно заменяющие дифференциальное.
Ключевые слова: гиперболическое уравнение, аппроксимация, метод сеток, система алгебраических уравнений.
NUMERICAL SOLUTION OF THE GOURSAT PROBLEM FOR A PSEUDOPARABOLIC EQUATION OF THE FOURTH ORDER
Asylbekov Taalaybek Dukonbaevich, Ph.D., Associate Professor
atd5929@,mail.ru, Osh State University,
Sadalov Tolonbai Ysmanovich, Ph.D., Associate Professor
94
[email protected], Osh Technological University, Sydykova Begimai Bakhtiyarovna, master, Bsydykovf748@gmail. com, Osh State University, Osh, Kyrgyzstan Mukhamajon kyzy Cholpon, master, muhamadzankyzycolpon@,gmail.com, Jalal-Abad State University, Jalal-Abad, Kyrgyzstan
Abstract: The article considers numerical solutions of the Goursat problem for pseudo-parabolic equations of the fourth order with twofold characteristics. From the beginning, with the help of approximation, finite differences of derivatives and a grid equation are obtained. Using a grid equation and imposed conditions, a linear system of algebraic equations is obtained with respect to unknown values of the function in the grid. The finite difference method is used. The essence of this most universal numerical method is that the desired set of numbers is taken as a table of solution values at the points of a certain set, usually called a grid. To calculate the required table, algebraic equations are used, which approximately replace the differential equation.
Keywords: Pseudo-parabolic equations, approximation, grid method, system of algebraic equations.
Введение. В связи с проблемами геофизики, океанологии, атмосферы, биофизики, изучением летательных систем, использованием криогенных жидкостей в технике и ряда других проблем значительно возрос интерес к изучению динамики различных неоднородных и в частности стратифицированных систем, которое приводят к различным начально-краевым и краевым задачам для уравнений с частными производными четвертого порядка [1-7]. Локальным и нелокальным краевым задачам для псевдо параболических уравнений четвертого порядка посвящено большое количество работ. Отметим здесь работы А. С. Сопуева [1] и их учеников.
Постановка задачи. В области D = {(х,у): 0 < х < 0 < у < h+ рассмотрим уравнение
L(u) = иххуу + иуу + си = f(x,y), с = const. (1)
Уравнение (1) по классификации в работе [1] принадлежит псевдо параболическому типу. Прямые х = const, y = const являются
действительны-ми двукратными характеристиками. Уравнение (1) будем изучать в классе функций
Мг {и.и £ С ( D),иху,ихх,ихху,ихуу £ С (D),и хху у £ С (D)} .
Задача 1.(Дирихле). Требуется найти в области D функцию и(х,у) £ М ъ удовлетворяющую уравнению (1) и краевым условиям
и(0 ,у) = р1(у),щ(0 ,у) = р2(у),0 <y<h, (2)
и(х, 0 ) = ф±(х) , иу(х, 0 ) = ф2(х), 0 < у < (3)
где рi(y),pi(x), (i = 1,2 ) - заданные гладкие функции, причем
рг(0) = ^^0)^(0) = р 2 (0),(2(0) = р[(0). (4)
Разрешимость задачи доказана методом сеток[8,9]. Аппроксимируя краевые, начальные условия и уравнение (1), задача сведена к системе линейных алгебраических уравнений. Искомая функция получена в табличном виде.
Аппроксимация. Покроем область Б прямоугольной сеткой XI — Ыъ^}
у г = I к 2 , ( I = 1 , 2 ,. . .,п,] = 1 , 2 ,. . .т) где
к 1 = 1/п>к2 = 1/т>(п,т- целые).
Используя равенства У-хх(х,у) =-Ц-+ 0( Щ) ,
иуу(Х,У) =-72-+ 0 ( к 2 ) ,
П2
иххуу(х>у) = (щ+1, ] -1 — 2 щ, ]+1 + щ -1, ]+1 — 2 и г+1, ] + 4 щ+1, ] + 4 щ, ] — - 2 Щ -1 ^ + иг+1 ^ -1 + иг -1 ^ -1) / к2 к 2 + 0( к2 + Щ) ,
на сетке приближенно заменим уравнение (1) следующим
соответствующим конечно-разностными схемами [8] и г+1, ]+1 + ( ^ — 2 )щ ^+1 + и г -11]-+1 — 2 щ+1 ^ + (4 — 2 )щ ^ — 2 щ -1 ^ +
+щ+1,] -1 + (^ — 2 )ии -1 + щ -1,] -1 + к^сщ^ = 0. (5)
96
Для граничных условий имеем
и(0 ,у) = и0^ = р± рих{0 ,у) = щ^ - и0^ = к±(р2
и(х, 0 ) = щ,0 = р± , ¿,иу(0,у ¡) « щ, ± - и 1 , 0 = ^^ 2 , ¿-
Из аппроксимации граничных условий видно, что значения искомой
функции и(х,у) в первых двух слоях по обоим направлениям известны.
С другой стороны при I = 1,] = 1 из (5) имеем
щ,2 = (2- Н)и1:2 - и022 + 2щ,! + ( 2 К\ - 4)и1:± + 2 щ,± - щ,о +
+( 2 - К\)щ о - Що0 - Цси^ 1, при I = 1,] = 2 , Щ,з = ( 2- )щз - и о ,з + 2 щ, 2 + (2 - 4)щ2 + 2 щ, 2 - Щ, 1 +
+( 2 - К\^ 1 - щ, 1 - Цси^2, (6)
Щ+1,1+1 = ( 2- Н ^+1 - щ _ 1+1 + 2 Щ+1_] + ( 2 К\ - 40Щ+ 2 Щ _ ^ --Щ+11 _ 1 + (2-_ 1 - Щ_ 11 _ 1 - Ь-г^-^Щ,
Система алгебраических уравнение (6) совместима и имеет единственное решение. Из (6) однозначно определяются неизвестные значения соответствующих узлов.
Известно что, если матрица СЛАУ (6) невырожденная, то СЛАУ имеет единственное решение. Из СЛАУ однозначна определяются значения функции соответствующих слоев.
Итак, доказана
Теорема 1. Если матрица системы линейных алгебраических уравнений (6) невырожденная матрица, то решение задачи 1 существует и единственно.
Для удобства рассмотрим пример для модельного уравнения четвертого порядка псевдо параболического типа задачу Гурса.
Пример. Рассмотрим задачу Гурса для модельного уравнения четвертого порядка с конкретными данными:
В области Б = {(х,у) \ 0<х<1 ,0 < у < 1 + рассмотрим уравнение
Ь (и) иххуу иу у 0 ■ (7)
Задача 2. (Гурса). Найти в области Б решение уравнения (7) удовлетворяющее условиям
и( 0 ,у) = р 1(у) = у 2,их( 0 ,у) = р 2(у) = у3,0<у<1, (8)
и(х, 0 ) = гр -±(х) = 1 - с о бх , иу(х, 0 ) = гр 2(х) = хб тх , 0 < у < 1 ■ (9)
Методом сеток численное решение построим в квадрате
Б = {(х,у)\0<х<1,0 < у < 1+ Покроем область Б прямоугольной сеткой х¿ = I к 1, у¿ = ] к2,
(I = 1 ,п,] = 1,т, к= 1 /п,к2 = 1 /т, (п,т-целые).
Используя аппроксимации на сетке приближенно заменим
уравнение (7) следующим соответствующим конечно-разностным уравнением [8, 9]
и¿+1,]+1 + (к\ - 2)щ 1+1 + и¿_ 11+1 - 2щ+11 + (4- 2к\)щ^ - 2щ_ 1 ^ +
+Щ+и_ 1 + (к2 - 2)иц_ 1 + щ_и_ 1 = 0■ (10)
Для граничных условий имеем
( ) ( ) 3
( )
иу( 0 ,у ]) ~ и ¿11 - и ¿о 0 = 1 - с о бх1 + к 2 х ¿б тх^
Из аппроксимации граничных условий видно, что значения искомой функции ( ) в первых двух слоях по обоим направлениям известны. С другой стороны при 1 = 1,] = 1 из (10) имеем
Щ, 2 = ( 2- к2 )щг2 - и о , 2 + 2 щ, 1 + (2 к\ - 4)щ: 1 + 2 щ, 1 - щ, о + ( )
при I = 1,] = 2 ,
Щ,з = ( 2- к2 )щз - и о ,з + 2 щ, 2 + (2 к\ - 4)щ2 + 2 щ, 2 - Щ, 1 +
+( 2-к I , 1-щ , 1, (11)
Щ+11+1 = ( 2- к\^¿1+1 - щ _ 1,1+1 + 2 Щ+11 + ( 2 к\ - 40Щ^ + 2 Щ _ ^ -- Щ +1,1 _ 1 + ( 2 - к 2 )Щ,1 _ 1 -Щ _ 1,1 _ 1
Легко можно показать, что погрешность аппроксимации при этом не превышает O(hj + Щ ).
Составлена программа в среде VBA и получена график, таблица искомой функции в виде таблица 1.
Вывод. В статье рассмотрены задача Гурса для псевдо параболических уравнений четвертого порядка. Методом сеток доказаны существование и единственность решение задачи. Составлена программа в среде VBA и с помощью Maple 7 искомая функция получена в виде таблицы. Оценены погрешности аппроксимации и метода.
Таблица №1
x = y = 0 0,125 0,25 0,375 0,5 0,625 0,75 0,875 1
0 0 0 0,0625 0,140625 0,25 0,390625 0,5625 0,765625 1
0,083333 0,00347 0,004337 0,063802 0,14502 0,260417 0,41097 0,597656 0,821452 1,083333
0,166667 0,013857 0,017313 0,075058 0,160532 0,282878 0,444042 0,645971 0,890611 1,179909
0,25 0,031088 0,038819 0,096153 0,187 0,317155 0,489521 0,707001 0,972497 1,288911
0,333333 0,055043 0,068676 0,126881 0,22415 0,362891 0,546943 0,780143 1,066331 1,409346
0,416667 0,085557 0,106636 0,166946 0,271601 0,419603 0,6157 0,86464 1,171172 1,540043
0,5 0,122417 0,152382 0,215965 0,328864 0,486685 0,695052 0,959589 1,285921 1,679673
0,583333 0,165369 0,205532 0,273468 0,39535 0,563416 0,784127 1,063946 1,409335 1,826755
0,666667 0,214113 0,265644 0,338908 0,470374 0,648965 0,881936 1,176541 1,540035 1,979673
0,75 0,268311 0,332215 0,411663 0,553162 0,742401 0,987377 1,296085 1,676523 2,136688
0,833333 0,327588 0,40469 0,491038 0,642857 0,8427 1,099247 1,421184 1,817194 2,295959
0,916667 0,391531 0,482462 0,576277 0,738529 0,948753 1,216258 1,550354 1,960351 2,455558
1 0,459698 0,564882 0,666568 0,839181 1,059382 1,337042 1,682032 2,104225 2,613491
Таблица №2
x = y = 0 0,125 0,25 0,375 0,5 0,625 0,75 0,875 1
0 0 0,015625 0,0625 0,140625 0,25 0,390625 0,5625 0,765625 1
0,083333 0,00347 0,020071 0,068788 0,150598 0,266475 0,417396 0,604336 0,82827 1,090173
0,166667 0,013857 0,033045 0,084995 0,17165 0,294954 0,456852 0,659287 0,904203 1,193545
0,25 0,031088 0,054441 0,110973 0,203582 0,335167 0,508627 0,726863 0,992772 1,309255
0,333333 0,055043 0,08408 0,146482 0,246081 0,386714 0,572214 0,806415 1,093152 1,43626
0,416667 0,085557 0,121714 0,191191 0,29873 0,449073 0,646963 0,897143 1,204357 1,573346
0,5 0,122417 0,16703 0,244686 0,361002 0,521598 0,732091 0,9981 1,325243 1,719138
0,583333 0,165369 0,219649 0,306466 0,432275 0,60353 0,826687 1,1082 1,454525 1,872114
0,666667 0,214113 0,279131 0,375954 0,51183 0,694004 0,929723 1,226234 1,590783 2,030616
0,75 0,268311 0,344979 0,4525 0,598862 0,792053 1,040061 1,350874 1,732481 2,192868
0,833333 0,327588 0,416642 0,535382 0,692484 0,89662 1,156465 1,480692 1,877976 2,356991
0,916667 0,391531 0,493519 0,623822 0,791738 1,006569 1,277613 1,61417 2,025541 2,521024
1 0,459698 0,574967 0,716982 0,895604 1,120693 1,40211 1,749717 2,173374 2,682942
Графики численного и аналитического решений задачи Гурса
го
Рисунок 3. График численного решения (MS Excel 7.0)
Рисунок 4. График аналитического решения (Maple 7) Литература
1. Сопуев, А. Краевые задачи для уравнений четвертого порядка и уравнений смешанного типа: [Текст] / А. Сопуев // Дис. ...докт. физ.-мат. наук: 01.01.02.-Бишкек, 1996.-249 с.
2. Асылбеков, Т.Д. Начально-краевые задачи для гиперболических уравнений четвертого порядка: [Текст] / Т.Д. Асылбеков // Дис. .канд. физ. -мат. наук: 01.01.02.-Бишкек, 2003.-130 с.
3. Сопуев, А.С. Задача Дирихле для уравнения Буссинеска-Лява [Текст] / А. Сопуев, А.Б. Осмоналиев // Научные труды ОшГУ. Физико-математические науки.-Ош:ОшГУ,. № 5 . 2002.- С.105-110
4. Асылбеков, Т. Д. Задача Гурса для гиперболических уравнений четвертого порядка [Текст] / Т.Д. Асылбеков // Тезисы докл. I региональной науч. конф. «Проблемы алгебры, геометрии и их приложений». -Ош: ОшГУ, 1996.-С.47-49.
5. Асылбеков, Т.Д. Нелокальные краевые задачи типа Бицадзе-Самарского для гиперболического уравнения четвертого порядка с разрывными коэффициентами [Текст] / Т.Д. Асылбеков, Б.Ш. Нуранов, Н.Т. Таалайбеков // Республиканский научно-теоретический журнал "Наука, новые техгологии и инновации Кыргызстана", № 3 - Бишкек, 2019. №3. с. 11-17.
6. Асылбеков, Т.Д. Нелокальные краевые задачи с интегральными условиями
для модельного гиперболического уравнения четвертого с трехкратными
101
характеристиками [Текст] / Т.Д. Асылбеков, Б.Ш. Нуранов, Н.Т. Таалайбеков // Республиканский научно-теоретический журнал "Наука, новые техгологии и инновации Кыргызстана", № 3 - Бишкек, 2019. №3. С. 22-29.
7. Асылбеков, Т.Д. "Нелокальные краевые задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения четвертого с разрывными коэффициентами" [Текст] / Т.Д. Асылбеков, Б.Ш. Нуранов, Н.Т. Таалайбеков // Наука. Образование. Техника.-Ош: КУУ, 2019.-№2.-С. 106-115.
8. Самарский, А.А. Введение в теорию разностных схем [Текст] / А.А. Самарский. - 'М.: Наука, 1971. - 553 с.
9. Самарский, А.А. Введение в численные методы[Текст] / А.А. Самарский. -М.: Наука, 1982. - 269 с.
