О КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С МЛАДШИМИ ЧЛЕНАМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика, физика, техника. 2022, №1

УДК 517.951.2

Б01: 10.52754/16947452_2022_1_149

О КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

С МЛАДШИМИ ЧЛЕНАМИ

Сопуев Адахимжан, докт. ф.-м. наук, профессор,

8орие\@та11. ги

Нуранов Бактыбек Шермаматович, ст. преподователь,

пигапо\'2014атаИ. ги Ошский государственный университет,

Ош, Кыргызстан

Аннотоция: Доказана существование и единственность решения краевой задачи для уравнения смешанного парабало-гиперболического типа третьего порядка с переменными коэффициентами при младших членов. Особенностью данной задачи заключается в том, что смешанный параболо-гиперболический оператор применяется к обыкновенному дифференциальному оператору по переменной х. Методом понижения порядка рассматриваемая задача сводится к задаче Гурса для уравнения гиперболического типа в характеристического треугольника и к первой краевой задаче для уравнения параболического типа в прямоугольнике. Разрешимость задачи сводитс к разрешимости интегрального уравнений Фредгольма второго рода. После определения следа функции и её производной по у, решение задачи польностью определяется в рассматриваемых областей.

Ключевые слова: краевые задачи, существование, единственность, функции Грина, интегральные уравнение, резольвента, метод понижения.

YЧYНЧY ТАРТИПТЕГИ КИЧИНЕ МYЧeлeРY БАР АРАЛАШ ПАРАБОЛА-ГИПЕРБОЛАЛЫК ТИПТЕГИ ТЕНДЕМЕ YЧYН ЧЕК АРАЛЫК МАСЕЛЕЛЕР Же^НДе

Сопуев Адахимжан, ф.-м.и. докт., профессор,

8орие\@та11. ги

Нуранов Бактыбек Шермаматович, улук окутуучу,

[email protected] Ош мамлекеттик университети, Ош, Кыргызстан

Аннотация: Yhyhhy тартиптеги взгврмвлYY кичине мYЧвлврY бар аралаш парабола-гиперболалык тецдеме Y4YH чек аралык маселенин чечиминин жашашы жана жалгыздыгы дадилденген. Бул маселенин взгвчвлYгY болуп аралаш парабола-гиперболалык оператордун х взгврмвCY боюнча алынган кадимки дифференциалдык опреаторго колдонулушу болуп эсептелет. Тартибин твмвндвтYY методу менен маселени чечYY характеристикалык y4 бурчтукта гиперболалык типтеги тецдеме yhYh Гурстун маселесини жана тик бурчтукта параболалык типтеги тецдеме y^yh биринчи чек аралык меселеге келтирилет. Маселенин чечилиши Фредгольмдун экинчи тYрдвгY интегралдык тецдемесинин чечилYYчYЛYгYнв алып келинет. ИзделYYчY функциянын изи жана анын у боюнча туундусу табылгандан кийин маселенин каралып жаткан областтардагы чечимдери толугу менен аныкталат.

Ачкыч свздвр: чек аралык маселелер, чечимдин жашашы, чечимдин жалгыздыгы, Гриндин функциясы, интегралдык тецдеме, тартибин твмвндвтYY методу, резольвента.

ON BOUNDARY TASKS FOR THE EQUATION MIXED PARABOLIC-HYPERBOLIC TYPE OF THE THIRD ORDER WITH

MINOR TERMS

Sopuev Adakhimzhan, Doctor of Physical andMatheatical sciences

[email protected] Nuranov Baktybek, senior teacher [email protected] Osh State University, Osh, Kyrgyzstan

Abstract: The existence and uniqueness of a solution to a boundary value problem for an equation of a mixed parabalo-hyperbolic type of the third order with variable coefficients at lower terms is proved. A feature of this problem is that the mixed parabolic-hyperbolic operator is applied to an ordinary differential operator with respect to the variable x. By the order reduction method, the problem under consideration is reduced to the Goursat problem for a hyperbolic type equation in a characteristic triangle and to the first boundary value problem for a parabolic type equation in a rectangle. The solvability of the problem is reduced to the solvability of the Fredholm integral equations of the second kind. After

determining the trace of the function and its derivative with respect to y, the solution of the problem is completely determined in the areas under consideration.

Keywords: boundary value problems, existence, uniqueness, functions of Green, integral equation, resolvent reduction method.

1. Постановка задачи. Пусть Dl=^<x,y)\0<x<l,0<y<h},

D2 = {(x,y)\0<x<£,-J\ <;/<o}, a B = BluB2. Через Cn+m обозначим класс функций, имеющих все производные

dr+s / dxrdys (r = 0,1,..., n,, s = 0,1,..., m).

В области D рассмотрим уравнение

L1L2u = 0, (1)

где

А -

-г д2 д

ьи = -^т + с1(х У\ У > °

дх ду _ д

д2 д д 2 ду'

Ь12 - а2 (Х У)Т" + Ь2 (Х У)Т7 + С2 (Х У)> У < ° дхду дх ду

а2, Ь2, с1, с2 - заданные функции.

Отметим, что оператор Ь1 представляет собой смешанный параболо-гиперболический оператор [1]. Нетрудно заметить, что прямая у = соляг - является двукратной, а прямая х = сотг - однократный характеристикой уравнения (1) [2].

Задача 1. Требуется определить функцию и(Х, у), обладающую условиям:

1) и(х,у) Е С(В)п С2 (В)п С3+2 (В);

2) является решением уравнение (1) в области В;

3) удовлетворяет краевым условиям

и(0,у) = ф)Х1у) = ФгШ <у<К (2)

и(0, у) — ф (у), - \< у < 0, (3)

и(Х; -¡\) = у/(х\ 0 < х < I

(4)

где ф(у)(1 —1,3), у(х) — заданные функции, причем

Щ(уШУС*2[0,/)],<% (у)е С^О,/)],^^ С'[0,']. (5)

Ф1(0)—тут—у штуош—ю=т (6)

Коэффициенты уравнение (1) удовлетворяют следующим условиям

cl(x,у) е С(В), а2(ху\ а2х(ху\ Ь2(х,у\

b2y (x, y), c2 (x, y) e С (D2).

(7)

Задача 1 при cx(x,y) = 0, a2(x,y) = b2(x,y) = 0, c2(x,y) = 0, где

c - const, изучена в работе [3].

Из постановки задачи 1 вытекает следующие условия склеивания

(8)

и{х,-0) = и{х,+ 0) = т(х), и (х,-0) = иу(х,+0) = v(x), 0 < х < £,

и (х,-0) = = //(х), 0 < х<£,

где т(х), у(х), /л(х) — пока неизвестные функции. Пусть

Мх^ = Э х, у),(х, у) е В, (9)

ду

где Э(х, у) - новая неизвестная функция. Тогда, из уравнения (1) имеем

д2Э дЭ

АЭ = -ТТ — + с1( х, у)Э( х, у) е В, (10)

дх ду

112Э = ^ — а2( х у) ~Т + Ь2( х у) дЭ + с2( х у)Э( х у) е В • (11)

дхду дх ду

Из условия склеивания (8) получим

3(х,-0) = ¿(Х+О) = у(х\ 0<х<£, (12)

Зу(х-0) = &у(х,+ 0) = /и(х\ 0<х<£. (13)

Тогда для определения 3(Х, у) в области В придем к следующим задачам.

Задача 2. Найти в области В2 решение уравнение (11), удовлетворяя условиям

Щу) = о < у < к,3(х,-0) = и»,0 < х<£, (14)

причем

^з(°) = К0). (15)

Задача 3. Найти в области В1 решение уравнения (10),

удовлетворяю-щая условиям

3(0,у) = (р[(у\ Щ9у) = (р'2(у\ 0<у<К «9(л:,0) = у(у), 0<х<£,

причем

40)=^(0), у(0=ф). (17)

2. Соотношения, полученные из областей В2 и В1. Из уравнения

(11) переходя к пределу при у °, имеем

/Л (Х) + а2 (Х, 0)к'( х) + Ь ( х, °) /( х) + с ( х, °М х) = °. (18) Интеграция уравнение (18) от 0 до х и учитывая при этом условия согласования /(0) = ^(0), у(°) = ^(°) имеем

х

/( х ) + | Ь (4,°)/(4) ¿4 + а (х,°)у(х) + а(£М£) с1% = к, (19)

°

где а(4) = а^(£°)- с1(#,°), к = а2(°,°)^[(°) + #(°). Представим уравнение (19) в виде

х

/( х ) = \ Кх(4)/(4) +/ (х), (20)

где

х

К£ — —Ь2(£,0), /(х) — —а2( х,0)у( х) + \ а(£)у(£)Я£ + к.

о

Считая, что /(х) - известная функция решение интегрального уравнение (20) запишем в виде [4].

х

М( х) — /(х) + \ ^(х,£)/(£) с1£, (21)

0

где

х

ТО л

Я1 (х, £) = К1) + X Кп (х, £), К2(х £) = ] К1 (() К1 (£) я,

п—1 £

х х

Кз(х,£) — |К^)К2(и£)&, ... , Кп(х,£) — |Кх(г)Кп_х(х£)Я£, ...

Далее, подставляя значение /(х) в (21), имеем

х

х) — —а2 (х,0)у(х) +1N (х,£У(£) &£+/ (х)

(22)

где

N1 ( х,£) — а(£)

х

1 — Я( х,£) + (х, ^^

, /(х) — к

х

1 + х£)

Устремляя у ^ +0 из уравнения (10) имеем соотношение,

полученное из области В1:

у"(х) + с^С^ИХ) = /и(х), 0 <х<1

(23)

3. Сведение задачи к интегральному уравнению. Исключая ¡л(х)

из (22) и (23), придем к следующему интегро-дифференциальному уравнению:

V' (х) + с(х)у(х) — | М1(х,£)у(£) &£+/1(х),

(24)

где

£

£

0

х

c( х) = a2 ( х,0) + c ( х,0).

Считая, что правая часть уравнения (24) известной и учитывая краевых условия (17) имеем Пусть

у(х) = tf(0) + х [^(0) - tf(0)] + v¿ х), (25)

где v;(x) - новая неизвестная функция. Тогда для определения v;(x) придем к следующей задачу:

у['( х) + c( х) v; (х) = F (х), (26)

П(0) = 0, v¿í) = 0 (27)

где

х

F;( х) =J N;( х,£М(£) d{+ f;( х),

/2(х) = Л(х) - ^х)(°) + Х[&2(°) - &(°)]} +

+1^1 (х,4) |&(°) +1[&2(°) - &(°) ]}. Рассмотрим однородное уравнение

у['( х) + ФУ1( х) = °. (28)

Теорема 1. Если

\/хе[0,^]:с(х)<0, (29)

то задача (28), (27) имеет единственное решение.

Доказательство умножая уравнение на ^(х) и интеграция по Х от О до I, имеем

е I I

+ с(х)у1(х)\у1(х)(1х = |[ц(х)у"(х)]х + ||_[^1(х)]2 + с(х)у21(х)^ск = 0.

° ° °

Отсюда, учетные условия (27) получаем

0

J{[vi<>)]2 +c(x)v\(x^dx = 0. (30)

0

В силу условия (29) из (30) заключаем, что

Из последнего тождества имеем, что vVXx) — const. С учетом

условия (27), заключаем, что vV(x) = 0. Теорема доказана.

Исходя из теоремы 1 заключаем, что единственное решение задача (26), (27) представимо в виде

vx{x) = \G{x^)Fx{£)d^ (31)

0

где G(x,£) - функция Грина [5], обладающая следующими свойствами:

1) определена и непрерывна в области при 0<х<£,0<£<£',

2) является решением уравнения

GJx,£) + c(x)G(x,£) = 0, 0<х<£, £<х<1,

3) GxX£ + 0,£) - GxXt-0,£) - V,

4) удовлетворяет условиям

G(0,0 = 0, 0(Ц) = 0.

Подставляя значение F(x) в (31) имеем интегральное уравнение Фредгольма второго рода

vx{x) = ¡K(x^)vx(£)d£ + Fx(x\ (32)

0

где

К{х,£) = \G(xJ)Nx(t^)dt, F{x) = \G(x,£)fx(£)d£.

£ 0

Пусть ||К|| - max|K(x,£)\. Имеет место следующая теореме.

0<£<£

Теорема 2. Если

И < 1, (33)

тогда уравнение (32) имеет единственное решение, представимое через резольвенту Я(х,%) в виде [5]:

0

Функция ф) определяется по формуле (25). После определения

ф), перейдем к решению задача 2 и 3.

Задача 2 является задачей Гурса для уравнения (11). Решение этой задачи строится методом последовательных приближений [6]. Решение задачи 3 строится методом функции Грина [7].

Теперь перейдем к решению задачи 1. Интегрируя уравнение (9) от 0

до у имеем

у

и(х,у) = т(х) + х,?)& . (34)

0

Учитывая условия (4) из (34) найдем Т(х):

о

т(х) = \у(х) + | 3(х, ^

-к

Тогда из (34) получим предствление решение задачи 1 в виде

у

и(х, у) = \у(х) + | 3(х, ^)&,(х, у) е О.

-к

Литература

1. Джураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнение смешанно-составного типа [Текст] / Т.Д. Джураев - Ташкент: Фан, 1973. - 240 с.

2. Джураев, Т.Д. Классификация и приведение к каноническому виду уравнение с частными производными третьего порядка [Текст] / Т.Д. Джураев, Я.О. Попёлок // Дифференциальное уравнение. -1991. - Т .27. - №10. - С. 1734-1745.

3. Сопуев, А. Краевые задачи для уравнение смешанного параболо-гиперболического типа третьего порядка [Текст] / А. Сопуев, Б.Ш. Нуранов // Вестник Ошского государственного университета. - 2021. №2. - С. 93-101.

4. Краснов, М.Л. Интегральные уравнения. Задачи и примеры с подробными решениями [Текст] / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - М: Комкнига, 2007. - 192 с.

5. Наймарк, М.А. Линейные дифференциальные операторы [Текст] / М.А Наймарк. - М.: Наука, 1969. - 528 с.

6. Соболев, С.Л. Уравнение математической физики [Текст] / С.Л. Соболев - М.: Наука, 1966. - 444 с.

7. Ильин А.М., Калашников А.С., Олейник О.А. Линейные уравнение второго порядка параболического типа [Текст] / А.М. Ильин, А.С. Калашников, О.А. Олейник -УМН, 1962. - Т. 17. - Вып. 3 - С. 3-141.