РЕШЕНИЕ ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПЯТОГО ПОРЯДКА С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика, физика, техника. 2022, №1

УДК 517.956.6

Б01: 10.52754/16947452_2022_1_136

РЕШЕНИЕ ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПЯТОГО ПОРЯДКА С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

Сопуев Адахимжан, докт. ф.-м. наук, профессор,

sopuev@,mail. т Ошский государственный университет,

Ош, Кыргызстан

Апаков Юсупжон Пулатович, докт. ф.-м. наук, профессор,

yusupjonapakov@,gmail. com. Академия наук Республики Узбекистан В.И. Романовский институт математики Мирзаев Отабек Мирзарахматович, [email protected] Наманганский инженерно- строительний институт,

Наманган, Узбекистан

Аннотация: В данной статье изучено решение второй краевой задачи для уравнения пятого порядка с кратными характеристиками в прямоугольной области. Найдены условия единственности и существования решения. При у=0 и у=1 заданы значения производных по у, при х=0 заданы значения самой функции и её производных первого и второго порядка по х, а при х=1 значения самой функции и её производной по х. Теорема единственности решения задачи доказана методом интегралов энергии. Методом разделения переменных разрешимость задачи сведена к разрешимости краевых задач для уравнения пятого и второго порядков. Решения указанных задач представлены в виде равномерно сходящихся функциональных рядов.

Ключевые слова: уравнение с кратными характеристиками, краевая задача, единственность, существование, метод разделения переменных, собст-венное значение, собственная функция, функциональный ряд, равномерная сходимость.

БЕШИНЧИ ТАРТИПТЕГИ ЭСЕЛУУ ХАРАКТЕРИСТИКАСЫ БАР ТЕНДЕМЕЛЕР Y4YH ЭКИНЧИ ЧЕК АРАЛЫК МАСЕЛЕНИ

ЧЕЧУУ

Сопуев Адахимжан, ф.-м.и. докт., профессор,

sopuev@mail. ru Ош мамлекеттик университети, Ош, Кыргызстан

Апаков Юсупжон Пулатович, ф.-м.и. докт., профессор,

yusupjonapakov@,gmail. com, Озбекстан Республикасынын илимдер Академиясынын В.И. Романовский атындагы математика институту, Мирзаев Отабек Мирзарахматович, [email protected] Наманган инженер-курулуш институту, Наманган, Озбекстан

Аннотация: Бул макалада тик бурчтуу областта эселYY характеристикалары бар бешинчи тартиптеги тецдеме YЧYн экинчи чек аралык маселенин чечилиши изилденген. Чечимдин жалгыздыгынын жана жашашынын шарттары табылган. y=0 жана у=1 де у боюнча туундулардын маанилери берилет, х=0 болгондо функциянын вЗYHYн жана анын х ке карата биринчи жана экинчи тартиптеги туундуларынын маанилери берилген, x=l болгондо функциянын вЗYHYн жана анын х ке карата биринчи тартиптеги туундусунун маанилери берилген. Энергиялык интегралдар методу менен маселенин чечиминин жалгыздыгы теоремасы далилденген. ОзгврмвлврдY ажыратуу методу менен маселенин чечилиши бешинчи жана экинчи тартиптеги тецдемелер YЧYн чек аралык маселелердин чечилYYчYЛYгYнв алып келинген. Бул маселелердин чечимдери бир калыпта жыйналуучу функционалдык катарлардын суммалары тYPYндв табылган.

Ачкыч свздвр: характеристикасы эселYY болгон тецдеме, чек аралык маселе, жалгыздыгы, жашашы, взгврмвлврдY ажыратуу методу, вздYк маани, вздYк функция, функционалдык катар, бир калыпта жыйналуучулук.

SOLUTION OF THE SECOND BOUNDARY PROBLEM FOR A FIFTH ORDER EQUATION WITH MULTIPLE CHARACTERISTICS

Sopuev Adakhimzhan, Doctor of Physical and Mathematical sciences

[email protected]

Osh State University, 137

Osh, Kyrgyzstan

Apakov Yusupjon Pulatovich, Doctor of Physical and Mathematical sciences

yusupjonapakov@,gmail. com, the Academy of Sciences of the Republic Uzbekistan Institute of Mathematics named after V. I. Romanovsky Mirzaev Otabek Mirzarakhmatovich, [email protected] Namangan Civil Engineering Institute, Namangan, Uzbekistan

Abstract: In this article, we study the solution of the second boundary value problem for a fifth-order equation with multiple characteristics in a rectangular domain. Conditions for the uniqueness and existence of a solution are found. At y=0 and y=1, the values of the derivatives with respect to y are given, with x=0, the values of the function itself and its derivatives of the first and second order with respect to x are given, and with x=l, the valuesof the function itself and its derivative with respect to x. The uniqueness theorem for the solution of the problem is proved by the method of energy integrals. By the method of separation of variables, the solvability of the problem is reduced to the solvability of boundary value problems for equations of the fifth and second orders. The solutions of these problems are presented in the form of uniformly convergent functional series.

Keywords: Equations with multiple characteristics, boundary value problem, uniqueness, existence, separated variables method, eigenvalue, Eigen function, functional series, uniform convergence.

I. Введение и постановка задачи

Теория уравнений с частными производными пятого порядка возникла сравнительно недавно. В совокупности, из всех уравнений пятого порядка особое место по специфическому характеру занимают, так называемые, уравнения с кратными характеристиками. Уравнения пятого порядка с кратными характеристиками

возникают в математических моделях волновых процессов в плазме, слабых ударных волн в диспергирующих диссипативных средах, путем добавления к одномерному уравнению Кортевега-де Фриза

диссипативного члена [1,2]. Работы по исследованию уравнений пятого порядка сравнительно мало [3-11].

В области Б = {(х, у): 0 < х < 1,0 < у < 1} , рассмотрим уравнение

г -, 2 д5и д2и 2 А Ь[и\ + ]ии = — - — + м и = 0, (1)

ох ду

где ¡л е Я.

Задача А. Найти регулярное решение уравнения (1) в области Б из класса С5/у (Л))Р|С ^ ! , удовлетворяющее краевым условиям

иуУ х,0) = 0,иуУ х,1) = 0, (2) (2)

и (0, у ) = 91 ( у ), их (0 у ) = (Р2 ( у ), ихх (0, у ) = Рз ( у ),

(3)

и(1,у) = Р4(у), их(Ъу) = Р5 (у). где р (у)(/ = 1,5)- заданные достаточно гладкие функции.

д5и д2и

Отметим, что аналогичная задача для уравнения —г + т~г = 0

дх ду

исследована в работе [8].

II. Единственность решения

Теорема 1. Если задача А имеет решение, то оно единственно. Доказательство. Предположим обратное пусть задача А имеет два

решения щ (х, у) и и2 ( х, у ) , тогда и (х, у) = щ (х, у)- и2 (х, у) удовлетворяет уравнения (1) с однородными краевыми условиями. Докажем, что и (х, у) = 0 в Б. В области D справедливо тождество

и (иххххх - иуу +М2 • и ) = 0 ,

или

д

г

1 2

иихххх - ихиххх и2х

-—(ии ) + и2 • и2 = 0. (4)

ду у'

дх

Интегрируя тождество (4) по области D, имеем:

f f ~ Hxx - Ußxxx + 1 ulx ]dxdy - f f ^ (uuy )dxdy +

0 0 2 0 0 Oy

+JJ u2dxdy + j JJ u 2dxdy — 0.

D D

i

J[u(1, y)uxxxx (1, y) - u(0, y>xxxx (0, yM -0

1

J[ux(1, y)uxxx (1, y)dy -ux(0, y)uxxx(0, y)]dy ■

0

1 1 1

+1 J_uy(1, y) - uXx(0, y)]dy - J[u( x,1)uy(x,1) - u( x,0)uy(x,0)]dx+

2 0 0

+JJ u2ydxdy + U JJ u 2dxdy — 0.

D D

Учитывая однородные краевые условия задачи A, получим 11

—J u y(1, y)dy + JJ u 2ydxdy + jU JJ u 2dxdy — 0.

D D

Отсюда следует, что если u ^ 0 то u (x, y) = 0. Если u = 0, тогда u^ (x, y) — 0, отсюда u (x, y) — f (x).

Тогда из уравнения (1) имеем f(V) (x) = 0, отсюда решение этого уравнения имеет вид

f (x) — Cx + ^C^x ^h C3x + ^C^x ^b CC^.

Учитывая краевые условия, получим C1 — Cy — C3 — C4 — C5 — 0, то есть

f (x) = 0. Тогда u(x, y) = 0. Теорема 1 доказана.

III. Существование решения

Решение задачи будем искать в виде

u( x, y) — X(x)Y(y). (5)

Поставляя (5) в (1) и разделяя по переменные, получим

X(5) + (Л£ + ¡0 X = 0,

(6)

(8)

У" + ЛЛУ = 0. (7)

Из (7) и (2) будем иметь

У + Л2У = 0, У(0) = 0, у'(1) = 0.

Нетривиальные решения задачи (8) существуют при Л > 0, и ее собственные значения равны Л = (лп )2 , п = 0,1,2,3,... . [12], а собственными функциями являются

1, п = 0,

л/2 соб лпу, п е #. Характеристическое уравнение, уравнения (6) имеет вид

к5 + г,5 = 0,

У (у)

где тп = ^((лп)2 +М2), п = 0,1,2,3,

Оно имеет один вещественный

к1 =

и четыре комплексных корня

к = г

к2,3 ' п

С -гг -ггЛ

л . л

СОБ— ± I Б1П—

5 5

V

, к4,5 = *"„

У

' 3л , . . 3лЛ

СОБ-± IБ1П—

55

V

У

Тогда общее решение уравнения (6) имеет вид

x (х) = с^ + ^х {С2п сов (гд х ) + с3„ В1П (гд х )) + +(С4п СОВ (гдх) + с5„ В1П (гдх)),

(9)

л

где в = —, ах= соб О, Д = бшО, а2 = соб30, Д = Бт3О,

Сги (/ = 1,5) - произвольные постоянные, п = 0,1,2,....

Учитывая линейность и однородность уравнения (1), а также (5) решение задачи А ищем в виде

и (х,у) = ]ТX (X)Уп (у).

(10)

п=0

Так как все члены ряда (10) удовлетворяют условиям (2), определяемой рядом (10) также удовлетворяет условиям (2). Предполагая,

где

и (

и

что ряд (9) и ряды из производных и^^, и сходятся равномерно в Б, а

также требуя от функции и (х, у), определяемой рядом (10), выполнения краевых условий (3) получим

то

;( ° у ) = 0\(у ) = V2 X Ап совя"nУ,

п=0

то

: ( 0, у ) = Р>2 (у ) = V2X А2п С08 Я'nУ,

п=0

то

: ( ° у ) = Р>з ( у ) = V2 X А3п сое л■nу,

п=0 то

^ у ) = %(у ) = V2 X А4п СоВЯ"nУ,

п=0

то

(1, у ) = Р5 (у) = >/2 X А5п c0вл-nУ,

п=0

^ Сп, ^ = Ал ,

1п 2п 4п 1п '

А

и.

и (

и.

-С + сов3вС2 + вшЗвС + сов0С4 + вшвС =

1п 2 п Зп 4п 5п

т,„

С + С совбв + С вш 6в + +С4 сов2в + С вш 2в =

1п 2п Зп 4п 5п

А

-Зп

Г„

Сще-Гп + С2пе™ сов^Д + Сзпе^2 вт^Д +

+С4п е™ сов^Д + С5пег»а' вт^Д = А4п,

-С1 п^"Гп + С2яе™ сов(тпр2 + 3в) + СЪяе™ вт (^Д + 3в) +

+С<пе™ сов (^Д + в) + С^е^ вт (^Д + в)

А

5п

г..

1

Ап = \р(уК(у)Ф, / = 1,5.

Решив систему (11), получим

С = -А_ ;=Г5

(11)

(12)

V

0

л=

1 -1 1

e г

1

cos 36 cos 66

eTn"2 cos г„Д

e-n eJna2 ■

nH 2

cos (гД2 + 36) efn"2 sin (гД2 + 3d) eV1cos (гД+6) eV1sin (гД+6) Следует заметить, что Л(ги) Ф 0. Действительно, предположим обратное,

пусть Зг*, Л(г*) = 0, тогда однородная система (11) будет иметь

нетривиальное решение с (г*), i = 1,..., 5. Отсюда функция вида

и* (x, y) = >/2 cos (Xy) X* (x),

где

(Г)2 =(т)5

X * (x) = C (г*) е~т'х + ег<чх ( С2 (г*) cos (г Д2 x) + С3 (г*) sin (г*Д x )) + + ez'ayX (С (г*) cos (г*Д x ) + С (г*) sin (г*Д x )),

будет нетривиальным решением однородной задачи A, что противоречит

теореме 1.

Детерминант системы запишем в виде:

0

sin36 sin66

e1""2 Sin г,Д ьД2

1

cos6 cos26

eV1 cos г Д

0 sin6 sin 26 e"" sin гиД

Л =

A fí

A3x3 B3x2

С D

C2x3 D2x2

где

1 1 0 1 0

A3x3 = — 1 cos36 sin36 , B3x2 = cos 6 sin 6

1 co s66 sin 66 cos 26 sin26

С =

2x3

e

cos A

sin гД

-e"rn e'^"2 cos (гД + 3d) en sin (гД + 3d)

Т."

— г

n

e

D.

eT"ai cos eTrfa sin

2x2 enicos(тД+0) esin(тД+0) Найдем самую большую степень экспоненты в значении А . Так как

в матрице D2x2 у всех экспонент степени положительны, то, очевидно,

самая большая степень экспонентов имеется в произведении следующих определителей:

det Азхз • det . Вычислим каждый определитель в отдельности:

det A3x3 =

1 1

0

-1 cos 30 sin 30 1 co s60 sin 60

2 30

= 4 sin 30 cos — 2

det Ax2 =

Отсюда

eT"ai cos eTnCa sin тДх

ecos(тД + 0) esin(тД + 0)

А = e2^1 K + f {тп ),

= e sin0.

где

2 30

K = 4sin0sin30cos —

2

f(^) = O (етп(a +C2)), тn = 5((vn)2 + ¡u2 ), n = 0,1,2,... при n ^^

Оценим А:

так как

|А| = e2fna11K + e"2vy (т),

lim e~2lnay f (т) = 0,

то

V^e (0, K), Щ |Vn > N

-2тм

f (т )|

Отсюда при n > N1 выполняется неравенство

K + e~2mif (ф K - \e~-v" f (ф K-s.

Обозначим

K = min

n=1, Nj

K + e"2^1 f (тп ).

отсюда

f <—Me,

|A| Me2TnaJ 1 1 '

где

M = min {K; K -s}. Интегрируя по частям и принимая во внимание условие, ср[ (0) = ср[ ( 1 ) = 0, (■ = 1,5) из (12) получим

V2 1

An = 7—7э J < ( У ) sin Kiaydy.

Отсюда

Kl <

42

(ж" )3

(жп )

1

У ) sinwydy

< M,i=ü

n

Теперь получим оценки для Сш, г = 1,5, п е N . Вычисления показывают, что справедливы следующие оценки для определителей Д |,

i = 1,5:

¿=1

А|< M11 XlAnl, |Д2|< M2e2^ XlAnl, |Д3|< M3e2*na1 Ж ¿■=1 ¿=1

5 5

|Д 4| < M 4 e"" ]T|An|, |Д5|< M/" ]T|An|,

i=1

i=1

Отсюда для коэффициентов Cin получим следующие оценки:

w=g ^Ы и=J|Af < m2 ^bi Aij.

0

0

5

5

5

|Д| 5 |Д| М4 ВЫ

|С3„| = !Д < М,Ж\, ^-1Д1 < М-В-

N М5 и а

|Д|

где М = сотг > 0, г = 1,5.

Теперь докажем равномерную сходимость ряда (11) в области О.

, К1, К1, К1, КР

5=1

и ( х,у )|< Мо + М а

а5и да

+

+

+

+

3 3 3 3 3

ч 5 5 5 5 5 у

< да,

Из (11) имеем ^ = ВХп(хК(У).

п=0

Для

а и аХ5

имеем оценки:

а5и

ах5

да 1

< Мо + М а - (| 4,1+1 4,1+1 а я\+1 Ап|+1 4,1).

:г п

5=1

используя неравенство Коши-Буняковского и Бесселя получим

а5м

ах5

< М0 + М

< М0 + М

( % "(У) + У) + % (У) + У)

+

%5

да

ада

т\ т

где ,а1гЯ \\т1п\

5=1

1 п2

К(0,1)

Е1 п

~ = Т"

5=1 5 6

Для и^ (х, у) имеем

<

<да,

а2 и

= -В(пп )2 Х,( х)^п( У),

ау2 п=1

а2 и

ау2

В (пп)2 X, (х )Уп (у)

5=1

да дал

= В (пп)2 \и (х, у )|<В (пп)2 4 =

п=1 п=1 п

= ^В4 < Мп\ В4я| , ВЛ < пп%I < |%5||.

5=1 5 V 5=1 V 5=1 5

46

Мы доказали следующую теорему:

Теорема 2. Если %(у) е С3[0,1] и %' (0) = %' (1) = 0, (г = 1,5) , то решение задачи А существует и представляется рядом (10).

Литература

1. Булаф, Р. Солитоны [Текст] / Р. Булаф, Ф. Кодри -М.: Мир,1983. 408 с.

2. Додд, Р. Солитоны и нелинейные волновые уравнения [Текст] / Р. Додд, Дж. Эйлбек, Дж. Гиббон, Х. Морисс -М.: Мир, 1988.-694 с

3. Вахрушев, В.А. Краевая задача для уравнения пятого порядка [Текст] / В.А. Вахрушев // Труды СКГМИ (ГТУ), 2008, № 15, - С.28-31.

4. Дерендяев, Н.В. К задаче о колебаниях упругих систем с малым внутренним трением [Текст] / Н.В. Дерендяев, В.В. Новиков // В сб. «Теория колебания, прикладная математика и кибернетика». Горький, 1974. -С.29.

5. Засорин, Ю.В. Асимптотические и полугрупповые свойства решения задачи коши для одного уравнения математической физики [Текст] / Ю.В. Засорин // Вестник ВГУ, Сер. Физика. Математика. - Воронеж, 2005. -№ 1. - С. 171-173.

6. Уринов, А.К. Канонические виды дифференциальных уравнений с частными производными пятого порядка [Текст] / А.К. Уринов, А.Т. Абдукодиров // Материалы второй Международный Российско-Узбекский Симпозиум «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» -Нальчик: Издательство КБНЦ РАН, 2012. -С. 151-154.

7. Апаков, Ю.П. О разрешимости краевой задачи для уравнения пятого порядка с кратными характеристиками в конечной области [Текст] / Ю.П. Апаков, А.Х. Жураев // Узбекский математический журнал. 2011. №2.- С. 40-47.

8. Апаков, Ю.П. Вторая краевая задача для уравнения пятого порядка с кратными характеристиками [Текст] / Ю.П. Апаков, А.Х. Жураев // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2012. Т. 14. № 1. - С. 22-27.

9. Апаков, Ю.П. О единственности решения одной краевой задачи для уравнения пятого порядка с кратными характеристиками [Текст] / Ю.П. Апаков, О.М. Мирзаев // Материалы научной-практической конференции «Применение математики в

экономических и технических задач и проблемы обучение» 9 апрель 2021. АндМИ.-Андижан.-С.26-29

10. Апаков, Ю.П. О единственности решения первой краевой задачи для уравнения пятого порядка с кратными характеристиками [Текст] / Ю.П. Апаков, О.М. Мирзаев // Материалы научно-практической конференции «Наука и образование в современном мире: вызовы XXI века» 15 март 2022. Нурсултан. -С.42-44

11. Мирзаев, О.М. О единственности решения второй краевой задачи для уравнения пятого порядка с кратными характеристками [Текст] / О.М. Мирзаев // Материалы научной-практической конференции «Теоретические основы и прикладные задачи современной математики» 28 март 2022. АГУ.-Андижан. -С.245-247

12. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики [Текст] / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский -М.: «Наука», - C.1966.-724.