КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СМЕШАННОГО ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С РАЗРЫВНЫМИ УСЛОВИЯМИ СКЛЕИВАНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 8. №11. 2022

https ://www.bulletennauki.ru https://doi.org/10.33619/2414-2948/84

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ/PHYSICAL & MATHEMATICAL SCIENCES

УДК 517.956.6 https://doi.org/10.33619/2414-2948/84/01

MSC 2020: 31A10; 58J32

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СМЕШАННОГО ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО

УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С РАЗРЫВНЫМИ УСЛОВИЯМИ СКЛЕИВАНИЯ

©Абдумиталип уулу К., SPIN-код 4476-7149, Ошский государственный университет,

г. Ош, Кыргызстан, [email protected]

BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR A MIXED FOURTH-ORDER PARABOLIC-

HYPERBOLIC EQUATION WITH DISCONTINUOUS GLUING CONDITIONS

©Abdumitalip uulu K., SPIN-code 8377-0954, Osh State University, Osh, Kyrgyzstan, [email protected]

Аннотация. Доказана теорема существования и единственности решения краевой задачи для уравнения в частных производных четвертого порядка с переменными коэффициентами, содержащее произведение смешанного параболо-гиперболического оператора и дифференциального оператора колебания струны с разрывными условиями склеивания в пятиугольнике на плоскости. Методом понижения порядка уравнений разрешимость краевой задачи сводится к решению задачи Трикоми для смешанного параболо-гиперболического уравнения с переменными коэффициентами и с разрывными условиями склеивания. Разрешимость этой задачи сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода относительно следа производной функции по y на линии изменения типа уравнения. В гиперболической части области методом функции Римана получено представление решения задачи для гиперболического уравнения с младшими членами. В параболической части области методом последовательных приближений и функции Грина получено решение первой краевой задачи для параболического уравнения с младшими членами. В результате решение задачи реализуется методом решения задачи Гурса и первой краевой задачи для уравнения колебания струны.

Abstract. The theorem of the existence and uniqueness of the solution of the boundary value problem for the equation in partial derivatives of the fourth order with variable coefficients containing the product of the mixed parabolic-hyperbolic operator and the differential operator of the oscillation string with discontinuous conditions of gluing in the pentagon to the plane is proved. By the method of reducing the order of equations, the solvability of the boundary value problem is reduced to the solution of the Tricomi problem for the mixed parabola-hyperbolic equation with variable coefficients and discontinuous gluing conditions. Solving this problem is reduced to the solution of Fredholm's integral equation of the second order relative to the trace of the derivative function on y along the line of variation of the equation type. In the hyperbolic part of the domain, the representation of the solution of the problem for the hyperbolic equation with the smallest terms was obtained by using the Riemann function method. In the parabolic part of the domain, the solution of the first boundary value problem for the parabolic equation with the smallest terms is obtained by the method of successive approximations and the Green's

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 8. №11. 2022

https ://www.bulletennauki.ru https://doi.org/10.33619/2414-2948/84

function. As a result, the solution of the problem is realized by the method of solving the Gursa problem and the first boundary value problem for the equation of string oscillation.

Ключевые слова: краевые задачи, параболо-гиперболический оператор, интегральные уравнения, функция Римана и Грина.

Keywords: boundary value problems, parabolic-hyperbolic operator, integral equations, Riemann and Green's function.

1. Постановка задачи. В области D , ограниченная отрезками линий АС:х + у = 0,СВ:х — у = 1(1 > 0),ВВ0:х = 1,В0А0:у = h(h > 0),А0А:х = 0, рассмотрим уравнение

L1L2U = 0 (1)

. (11=£2 — ^ + *1(х,у)ух + С1(х,Пу>0, L ^-,

L1 — { д д

I 1— W + а2(х, у)^ + Ь2(х, С2(х, у), у<0,

где а^(х,у), с^(х,у)(1 = 1,2),Ъ2(х,у) — заданные функции, удовлетворяющие условиям:

а1(х,у),а1Х(х,у),а1У(х,у),С1(х,у) Е C(Di), (2)

а2(х,у), а2Х(х,у), ^(х, у), Ъ2у(х, у), С2(х, у)Сф2).

Пусть D1 = D П (у > 0), D2 = D П (у < 0) . Класс Сп+т означает существование и

gr+s

непрерывность всех производных dxrdyS (г = 0,1,...,n;s = 0,1,..., т) [1]. Уравнение (1) в области D1 представимо в виде

(д2 д д \(д2 д2\ (3)

kL2 — (дх-2 — ду+а1(х,у)д-х+с1 (х,у))(дх2—ду2) =0,(х, у) Е Di

и имеет двукратную характеристику у = const и две различные характеристики х + у = const, х — у = const, а в области D2 примет вид

(д2 д2 д д \(д2и д2и\ (4)

1 2L2 — (дх2-ду2+а2(х,у)-х + Ъ2(х, у)^ + С2(х, у))(дх2 — ду~2)

= 0,(^)ED2

причем имеет две различные двукратные характеристики: х + у = const, х — у = const

[2].

В области D для уравнения (1) рассматривается

Задача 1. Требуется найти функцию и(х,у) со следующими свойствами:

1) и(х,у) является решением уравнения (1) в области D\(у = 0);

2) и(х,у) и ее частные производные первого порядка непрерывны в области D ;

® I

3) функция U U-x Uyy непрерывна в области D\(y = 0);

4) функции

<ЭП и дГ и д х д y

и ~ ^ непрерывна в области D\(y = 0);

д\~и

5) для функции □и и ^у на линии у = 0 выполняются следующие разрывные условия склеивания:

□и(х, -0) = а(х)^и(х, +0) + у(х),0 < х <1,

д^и(х, -0) д^и(х, +0)

v = р(х)-±-- + 8(х),0 <х<1,

ду

ду

(5)

где а(х), Р(х), 8(х), у(х) — заданные функции, удовлетворяющие условиям:

Ух Е [0,1]: а(х),@(х),у(х), 8(х) Е С[0,£],а(х)0(х) Ф 0;

(6)

6) и(х,у) удовлетворяет следующим условиям:

uU=Vi(y)' u\be„=v2(y)' 0^y^h

u

хх \AAo

Фз(У)' иЛв0 = ^4(У)' 0 ^ У ^ h>

I I

u\ac = Фг(х),0 <х<- и\вс = $2(х),-<х<1,

д и дп

вс

I

= ^г(х),— < х < I

(7)

(8) (9)

(10)

где п — внутренняя нормаль, Pi(y)(i = 1,4,'ф](х)(] = 1,3) — заданные функции, причем:

щ(у) е c2[0,h](i = 1,2),щ(у) е C[0,h](j = 3,4),

(11)

Мх) е С2

I 0'2

,Ых)ЕС2

I

,фз(х) Е С3

I

vrl.

Ы0) = <Р1(0),Ы1) = <Р2(0),гР1 (1) = ф2 (1) а(1)[рА(0) - р"(0)] + у(1) = -V2iP3(l).

(12)

Краевые задачи для уравнений ^и ~ 0, ^2~ 0 рассмотрены в работах [3, 4]. Краевая задача для уравнения (1) с постоянными коэффициентами и с непрерывными условиями склеивания, изучена в работе [5].

Краевые задачи для уравнения Ь1Ь2и = 0, в случае, когда оператор представляет собой эллиптико-гиперболический оператор, изучены в работах [6, 7].

Краевые задачи для уравнения типа (1), когда Ll — эллиптико-гиперболический, а L2 —

® I

дифференциальный оператор и-порядка, исследована в работе [8].

Краевые задачи для уравнений смешанного типа с разрывными условиями склеивания впервые изучены в работах [9, 10].

При у > 0 уравнение (1) запишем в виде системы:

д2и д2и L2u — — = У1(х,у),(х,у) Е Di.

д х2 д у2

д2 1 д 1

liVi — Их2 — ~ду + а1(х,у)у1х + С1(х,у)У1 = 0,(х,у) Е Di,

(13)

(14)

а при у < 0 в виде следующей системы:

д2и д2и L2u — ^ГУ — = у^ (ху) Е D2.

д х2 д у2

(15)

д2 2 д2 2 д 2 д V2

12V2^~дX7^~дУ2+а2(X,У)~дX7 + Ъ2(X,У)~д^+C2(X,У)V2 = 0, (х,У)

Е D .

(16)

Из граничных условий (7), (8) получим:

vi\x=o = Ф1(у)^1\х={ = ф2(у),0 <у <h,

(17)

где (р1(у) = (3(у) — Ф'1(у),ф2(у) = Щ(у) — ф'Ку). Условие (10) запишем в виде

v2(х,х — I) = —^2-ф'3(х),- < х < I.

2

(18)

Таким образом, для определения функций у\(х,у) и У2(х,у) придем к следующей задаче.

Задача 2. Найти функции ь1(х,у) и У2(х,у), удовлетворяющие следующим условиям:

1) ух(х,у) Е Сфл П С2+1(01), У2(х,у) Е С(Й2) П С2ф2);

2) V 1(х,у) является решением уравнения (14) в области , а У2(х,у) является решением уравнения (16) в области Б2;

3) для функций V¿(х,у),дТУ) (I = 1,2) на линии у = 0 выполняются разрывные

ду

условия склеивания:

v2(х, —0) = а(х^^х, +0) + у(х),0 <х<1,

дv2(х,—0) дv1(х,+0)

2V ^р(х)—^-- + 5(х),0 <х <1;

(19)

д у

д у

4) функция V 1(х, у) удовлетворяет условиям (17), а и2(х, у) удовлетворяет условию (18). Для решения задачи 2 введем новые неизвестные функции следующим образом: уг(х,+0) = ^(х),у2(х,-0) = ^2(х),у1у(х,+0) = вг(х), у2у(х,-0) = = в2(х),0 <х <1. Тогда условия склеивания (19) запишется в виде:

® I

И2(х) = а(х)и1(х) + у(х),0 < х < I,

(20)

в2(х) = р(х)в1(х) + 8(х),0 <х <1

(21)

2. Соотношение между д1(х) и в1(х), полученное из области й1.

Сначала рассмотрим задачу 2. Переходя к пределу при у ^ +0, из уравнения (14), получим соотношение между функциями д1 (х) и в1 (х):

И'"(х) + а1(х,0)и'1(х) + с1(х,0)и1(х) = 91(х),0 <х <1.

(22)

Из условия согласования имеем:

И1(0) = Р1(0),И1(1) = Р2(0).

(23)

Полагая

х

И1(х) = Р1(0) +- [р2(0) - Р1(0)] + г(х),

(24)

где ( х) — новая неизвестная функция, задача (22), (23) сводится к следующей задаче

г"(х) + а1(х,0)г'(х) + с1(х,0)г(х) = д(х),

(25)

z(0) = 0,z(l) = 0,

(26)

1

где д(х) = в1(х)-С1(х,0)ф1(0)--[ф2(0)-р>1(0Жа1(х,0)+хс1(х,0)] Теорема 1. Если а1(х, 0), а1х(х, 0), с1(х, 0) Е С[0,1] и

Ух Е [0,1]: с^х,0) --а1х(х,0) < 0,

(27)

тогда задача (25), (26) имеет единственное решение.

Доказательство. Рассмотрим однородное уравнение (25). Умножая это уравнение на г(х) и интегрируя полученное равенство по х от 0 до I, имеем тождество:

$1{[г'(х)]2 - [сЛх,0) -±а1Х(х,0)]г2(х)}йх = 0.

Отсюда при выполнении условия (27) заключаем, что Ух Е [0,1]: г(х) = 0. Теорема 1 доказана.

Решение задачи (25), (26) представим в виде [11]

г(х) = [ С1(х,Од(0^, Jo

(28)

где С1(х,^) — функция Грина. Тогда из (24) и (28) имеем соотношение между д1(х) и в1(х), полученное из области Б1 в виде:

® I

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 8. №11. 2022

https ://www.bulletennauki.ru https://doi.org/10.33619/2414-2948/84

^1(х) = д1(х) + I С1(х,0 6i(0dZ,

Jn

(29)

Ь1(х,$)01($№,

о

где 91(х) = ф1(0)+-{[ф2(0) - ф1(0)] - ¡^С1(х,о{ф1(0)с1(1;,0)+-1[ф2(0) -

Ф1(0)] X

ХШ $,0) + $ С1( $,0)]} й

3. Соотношение между д2(х) и д2(х), полученное из области й2. Решение задачи Коши для уравнения (16), удовлетворяющее условиям у2(х,-0) = д2(х), и2у(х,-0) = в2(х),0 < х < I, имеет вид [12, 13]:

1 (30)

V2(х,у) = -[Кх,у,х + у,0)Д2(х + у) + Я(х,у-,х - у,0)Д2(х - у)] +

1 Гл-У

+ 1 I [^(х,у;(,0) + Ъ2((,0)^х,у;(,0)]М2((Ж —

2 Jx+y

1 rx-y

— ~ I К(х,у;(,0)в2((Ж,

2 x+ У

где Я(х,у; — функция Римана, которая определяется как решение следующей задачи Гурса:

ЩИ - - (а2Юц - (ЬЮг, + С2И = 0, ($, ц) Е И1, (31)

(32)

Я(х, у; ф\л=х+у= ехр {-1 | [а2(г, х + у - 0 +

+Ъ2(г,х + у - 0]й1},х + у <х,

(1 г* (33)

К(х,у;^,^)\11=^-х+у = ехр {— | - х + у) -

- Ъ2(Ь, t - х + у)]й^,х < % < х - у,

Я(х,у;х,у) = 1. (34)

где Б2 = {( < ц < 0,х + у - ц < % < х - у + ц}.

Используя условия (18), из (30) имеем

Я(х, х- I; 2х - 1,0)д2(2х - I) - Я(х,х - I; 1,0)^2хр'3(1) - (35)

[Я1(х, х- £;%,0) + Ъ2(£, 0)И(х,х - I; 0)]ц2($)й% +

I

[2х-{ г- I

'■е 2

2+1 I

Пусть 2х - I = 2. Тогда х = —. Так как - < х < I, то 0 < 2х - I < 1,х - I =—, 0 < 2 < 1,--<—— < 0. Следовательно, равенство (35) можно записать в виде:

® I

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice https://www.bulletennauki.ru

Т. 8. №11. 2022 https://doi.org/10.33619/2414-2948/84

/Z + l Z-l \ fz\ (Z + l Z-l \

r(——;z,0)»2(z) = 1

0) +

+b?

(z +1 z -1 w fz (z + l z-l \

(f,0)R(—, — ;f,0) Ii2(0df-j R(—, — ;f,0)02(Odf-

v\ 2 ' 2 z + l - l

r- (z + l\ (z + l z-l \

-2^2ipf3 + J2R 0) №(l),0 <z<l.

z+l z-l

Отсюда, заменяя z на х, имеем

(х + l х-1 \ Гх г (х + l х-1 \

R(-г,-г;х,0)И2(х) = l ь(——;*,0)

22

х + l х - l

х + l х - l

.0) +

22

\1 [х (х + l х-l \

;{,0) И2({М-1 R(—, — ;f,0)02(Odf

J l

-2^2гр'3 (х+-) + ^2R

/х+l х-l

22

;l, 0)^3(l),0 <х <l.

(36)

Имеет место следующая Теорема 2. Ух Е [0, l]:

х + l х - l R{——;X,°)>0

(37)

Доказательство. Условие (32) представим в виде

Rty^;^^ + у - ¿¡) = ехр

1 Гх

"4

[а2(Ь,х + у - t) +

+b2(t, х + у - t)]]dt, х + у <х. Полагая ^ = х + у,из (38) имеем

(38)

I 1 fX

R(х,у;х + у,0) = ехр]-— I [а2^,х + у - t) + Ь2^,х + у - t)]]dt.

2 J х+у

(39)

Для удобства рассуждения запишем уравнение прямой СВ :х — у = I

(х=—,0<5<1, в параметрическом виде: { \

\у = 3-±>0 КБ <1.

Заметим, что х + у = 5. Тогда из (39) имеем: (Б + 1 8 — 1

R

22

s+l \

;s, 0) = ехр {ij [а2(t,s - t) + b2(t,s - t)]dt

,0 < s < l.

Отсюда, заменяя на х, убеждаемся в справедливости неравенства (37). Учитывая неравенство (37), уравнение (36) представим в виде

® I

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 8. №11. 2022

https ://www.bulletennauki.ru https://doi.org/10.33619/2414-2948/84

Д2(х)= \ Я1(х,0Р2(?№+ \ Х2(х,ое2(№ + Ф1(х),

J у J у

(40)

NUOu^rnz + I N2( — - —

x x

где

^(х,0 = — 7,(2 2 \>2- \\ 2 2 * ), N2^,0 = )x2+ixVn), Ф1(х) =

-2^2ip'3 (х)+^(^,^;{,п)1р'3 (I) „(x+tx-t .

Обращение интегрального уравнения Вольтерра 2-го рода (40) относительно Д2(х) имеем

1 (41)

Д2(х) = Ф2(х)+ I Т1(х,()02(()й(,

х

где Т1(х,0 = М2(х,0 + ¡X Ъ(х,0 N2(^0^, Ф2(х)=Ф1(х) + !*Я1(х,0Ф1(0й$, а ^ (х, О — резольвента ядра N (х, £).

Соотношение (41), представляет собой связь между д2(х) и в2(х), полученное из области Б2.

4. Сведение задачи 2 к интегральному уравнению. Исключая 91(х) из (21) и (29), имеем Д\.(х) = ¡1 С1рХх*) @2(Ой( + д1(х) - й%. Подставляя найденное выражение для

Д1(х) в (20), получим:

Г1С1(х,^) Г

Д2(х) = а(х) \ 02(Odf + а(х) д1(х) — \

+ У(х).

'5(0

С1(х,0 d$

т

Исключая Д2(х) из (41) и (42), получаем интегральное уравнение

I П(х, О в2($Щ = \ Тг(х, О B2(Odi; + Фз(х),

(42)

(43)

где Т2(х,1) = щС1(х,0, Фз(х) = а(х) [д^х) - ЦШс^О ц] + у(х) - Ф2(х).

Продифференцирую (43) и учитывая при этом равенство Т^х,х) = N2(х,х) = -1, имеем

02(х) = I т3(х, О 02(f)df + I т4(х, О 02(f)df + Ф3(х),

где Т3(х,() = Т1х(х, О, Т4(х,() = —Т2х(х, О. Обращая Вольтерровскую часть уравнения (44), получим

(44)

£) ® I

ь^НЗН Тип лицензии СС: Attribution 4.0 International (СС BY 4.0)

в2(х)= J Пх,Ов2(.№ + Ф4(х), J n

(45)

I

где Т(х, 0 = Т4(х, О + И2(х, 0 Т4(г, ОМ, Ф4(х) = -Ф'3(х) -

¡х И2 (х,%)Ф'3($)й%, И2(х, О — резольвента ядра Т3(х, Пусть \\Т\\ = тах^Т^х,^.

о<

Теорема 3. Если выполняется условие

1-\\Т\\<1,

(46)

тогда интегральное уравнение (45) имеет единственное решение, представимое в виде

в2(х)=Ф5(х)+ J Я3(х,ОФ5(.0^,

Jo

(47)

где Я3(х, О — резольвента ядра Т(х, 0.

После определения 02(х) по формуле (47), из формул (21), (29), (20) последовательно определяем 01(х),у1(х),у2(х) соответственно. Таким образом, существование и единственность решения задачи 2 доказана.

5. Решение задачи 2 в области . Из постановки задачи 2 в области Ог для их(х, у) получим следующую первую краевую задачу для параболического уравнения:

hvi = vixx - viy + а.1(х, y)vix + С1(х,у)и1 = 0, (х,у) е Di,

(48)

vi\x=0 = <Pi(y),Vi\x={ = Ф2(у),0 <у< к,У1(х,0) = у1(х),0 <х <1,

(49)

где ф1(у) = рз(у) - Ф'((у),ф2(.у) = <р4(у) - <p'i(y).

Теорема 3. Если У(х,у) е D1: а1, а1х, с1 е C(D) и выполняются условия

с 1(х,у) --а1х(х,у) < 0,

(50)

тогда задача (48), (49) имеет единственное решение.

Доказательство. Рассмотрим однородные краевые условия (48). Умножая уравнение (48) на V^ (х, у) и интегрируя полученное тождество по области Б1, имеем тождество:

-И01у111У\йхйу = йх ^¡х - [с\(х,у) -^^(х^^^йу + = 0.

Отсюда, при выполнении условия (50), заключаем, что У(х,у) Е Б^^^х^) = 0. Теорема 3 доказана.

Доказательство существования решения задачи (48), (49) устанавливается следующим образом. Введем новую функцию ]^(х,у):

v 1(х,у) = w(х,у) ехр

' 1 Гх

~2J0

ai((, у) dt,

(51)

® I

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice https://www.bulletennauki.ru

Т. 8. №11. 2022 https://doi.org/10.33619/2414-2948/84

Тогда уравнение (48) сводится к уравнению

Wxx—Wy + С^х^^ = 0,

(52)

где С1(х,у) = с^х,у) —±а1х(х,у) —±а2(х,у) а1у($,у^.

Краевые условия (49) преобразуется к виду:

w\x=n = (1(у),™\х={ = (2(у),0 <у< к]^(х,0) = р1(х),0 <х <1,

(53)

где ф*2(у) = ф2(у) ехр (J¡Xаl($,у)й¿;), д1(х) = Д1(х) ехр а1($,0)й$). Используя для решения задачи (52), (53) функцию Грина первой краевой задачи для уравнения теплопроводности, имеем

w(х,у) = f(х,у) + \ d] \ К(х,у; w(^,])d^, nn

(54)

где К(х,у; ]) = с1(^,])С(х,у;^,]), = fy в*(х, у;0,]) (i(t])dr]

— \УС;(х,у;1,г])ф2Ш]+ \ С(х,у;(,0)Р1((№,

nn

n

(x-*+2nl)2

с(х,у; = т]щу-щ2+=+«> [ехР (—iJx-+nr-) — ехр (—

[14].

Заметим, что для ядра уравнения (54) имеет место оценка У(х,у) Е Й1ЛЧ(%,11) Е Й1:\К(х,у^,11)\ <■

(x+*+2nl)2 4(y-V)

С

')] —функция Грина

(у - ц)2

где С — положительная константа. Поэтому уравнение (54) является интегральным уравнением типа Фредгольма со слабой особенностью, она разрешима и имеет единственное решение, которое строится методом последовательных приближений [15].

6. Решение задачи 1 в области . Решение задачи 1 в области определим как решение задачи Гурса для уравнения (15), которое представимо в виде:

и

гх — у\ (х + у + 1\ (1\

1 x+ У x- У + r — r 1 п 1 ъ 1

+

(55)

1 x+ У x- У

+ 4 «I V2(-

2

2

) d r.

Отсюда при у = 0 имеем

т(х) = щ1

2 Ь2

X + / 2

—

¥i

jMfcb

2

2

Щ.

Аналогичным образом, из (55) находим и у(х) = иу(х, 0).

7. Решение задачи 1 в области . Решение задачи 1 в области й1 определяется как решение первой краевой задачи для уравнения (13) с условиями

1

0

® I

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 8. №11. 2022

https ://www.bulletennauki.ru https://doi.org/10.33619/2414-2948/84

u(0,y) = (рх(у\ и(£,у) = (р2(у\ О<y<h, и(х,0) = r(jc), uv(х,0) = v(x),0 <x<¿

Решение этой задачи определяется методом разделения переменных [13].

Таким образом, имеет место

Теорема 4. Если выполняются условия (2), (6), (11), (12), (46) и (50), тогда решение задачи 1 существует и единственно.

Список литературы:

1. Жегалов В. И., Уткина Е. А. Об одном псевдопараболическом уравнении третьего порядка // Известия вузов. Математика. 1999. №10. С. 73-76.

2. Джураев Т. Д., Сопуев А. К теории дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка. Ташкент: Фан, 2000. 144 с.

3. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: Фан, 1979. 240 с.

4. Джураев Т. Д., Сопуев А., Мамажанов М. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа. Ташкент: Фан, 1986. 220 с.

5. Абдумиталип уулу Кубатбек. Краевая задача для смешанного параболо-гиперболического уравнения четвертого порядка с оператором колебания струны // Вестник ОшГУ Математика, физика, техника. 2021. №2. C. 11-20.

6. Бобылева Л. А., Смирнов М. М. Об одной краевой задаче для уравнения смешанно-составного типа 4-го порядка // Известия вузов. Математика. 1972. №5. C. 15-21.

7. Смирнов М. М. Краевая задача со смещением для уравнения смешанно-составного типа 4-го порядка // Дифференциальные уравнения. 1975. Т. 11. №9. С. 1678-1686.

8. Жегалов В. И. Некоторые задачи для уравнения смешанного-составного типа в бесконечной области // Труды семинара по краевым задачам. 1972. Вып. 9. С. 75-85.

9. Жегалов В. И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии // Ученые записки Казанского университета. 1962. Т. 122. Кн. 3. С. 3-16.

10. Каратопраклиев Г. Об одном обобщении задачи Трикоми // Доклады АН СССР. 1964. Т. 158. №2. С. 271-274.

11. Денисов А. М., Разгулин А. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: МГУ, 2009. 114 с.

12. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. 296 с.

13. Тихонов А. Н., Самарский А. А. У равнения математической физики. М.: Наука, 1977. 736 с.

14. Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001. 576 с.

15. Краснов М. Л. Интегральные уравнения. Введение в теорию. М.: Наука, 1975. 304 с.

References:

1. Zhegalov, V. I., & Utkina, E. A. (1999). Ob odnom psevdoparabolicheskom uravnenii tret'ego poryadka. Izvestiya vuzov. Matematika, (10), 73-76. (in Russian).

2. Dzhuraev, T. D., & Sopuev, A. (2000). K teorii differentsial'nykh uravnenii v chastnykh proizvodnykh chetvertogo poryadka. Tashkent. (in Uzbek).

3. Dzhuraev, T. D. (1979). Kraevye zadachi dlya uravnenii smeshannogo i smeshanno-sostavnogo tipov. Tashkent. (in Russian).

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 8. №11. 2022

https ://www.bulletennauki.ru https://doi.org/10.33619/2414-2948/84

4. Dzhuraev, T. D., Sopuev, A., & Mamazhanov, M. (1986). Kraevye zadachi dlya uravnenii parabolo-giperbolicheskogo tipa. Tashkent. (in Russian).

5. Abdumitalip, uulu Kubatbek (2021). Kraevaya zadacha dlya smeshannogo parabolo-giperbolicheskogo uravneniya chetvertogo poryadka s operatorom kolebaniya struny. Vestnik OshGU. Matematika, fizika, tekhnika, (2), 11-20. (in Uzbek).

6. Bobyleva, L. A., & Smirnov, M. M. (1972). Ob odnoi kraevoi zadache dlya uravneniya smeshanno-sostavnogo tipa 4-go poryadka. Izvestiya vuzov. Matematika, (5), 15-21. (in Russian).

7. Smirnov, M. M. (1975). Kraevaya zadacha so smeshcheniem dlya uravneniya smeshanno-sostavnogo tipa 4-go poryadka. Differentsial'nye uravneniya, 11(9), 1678-1686. (in Russian).

8. Zhegalov, V. I. (1972). Nekotorye zadachi dlya uravneniya smeshannogo-sostavnogo tipa v beskonechnoi oblasti. Trudy seminarapo kraevym zadacham, 9, 75-85. (in Russian).

9. Zhegalov, V. I. (1962). Kraevaya zadacha dlya uravneniya smeshannogo tipa s granichnymi usloviyami na obeikh kharakteristikakh i s razryvami na perekhodnoi linii. Uchenye zapiski Kazanskogo universiteta, 122, 3-16. (in Russian).

10. Karatoprakliev, G. (1964). Ob odnom obobshchenii zadachi Trikomi. Doklady AN SSSR, 158(2), 271-274. (in Russian).

11. Denisov, A. M., & Razgulin, A. V. (2009). Obyknovennye differentsial'nye uravneniya. Moscow. (in Russian).

12. Bitsadze, A. V. (1976). Uravneniya matematicheskoi fiziki. Moscow. (in Russian).

13. Tikhonov, A. N., & Samarskii, A. A. (1977). U ravneniya matematicheskoi fiziki. Moscow. (in Russian).

14. Polyanin, A. D. (2001). Spravochnik po lineinym uravneniyam matematicheskoi fiziki. Moscow. (in Russian).

15. Krasnov, M. L. (1975). Integral'nye uravneniya. Vvedenie v teoriyu. Moscow. (in Russian).

Работа поступила Принята к публикации

в редакцию 26.09.2022 г. 09.10.2022 г.

Ссылка для цитирования:

Абдумиталип уулу К. Краевые задачи для смешанного параболо-гиперболического уравнения четвертого порядка с разрывными условиями склеивания // Бюллетень науки и практики. 2022. Т. 8. №11. С. 12-23. https://doi.org/10.33619/2414-2948/84/01

Cite as (APA):

Abdumitalip uulu, K. (2022). Boundary Value Problems for a Mixed Fourth-order Parabolic-Hyperbolic Equation With Discontinuous Gluing Conditions. Bulletin of Science and Practice, 5(11), 12-23. (in Russian). https://doi.org/10.33619/2414-2948/84/01

® I