CC BY
26
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2021. № 2
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 2
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES
УДК 517.95
doi 10.18522/1026-2237-2021-2-4-10
НЕЛОКАЛЬНАЯ ВНУТРЕННЯЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СМЕШАННОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
© 2021 г. А.Г. Езаова1, Л.В. Канукоева1, Б.И. Кунижев1, Г.В. Куповых2
1Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, Нальчик, Россия, 2Южный федеральный университет, Таганрог, Россия
NONLOCAL INTERNALLY BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A MIXED THIRD ORDER EQUATION
A.G. Ezaova1, L.V. Kanukoeva1, B.I. Kunizhev1, G.V. Kupovykh2
1Berbekov Kabardino-Balkar State University, Nalchik, Russia, 2 Southern Federal University, Taganrog, Russia
Езаова Алена Георгиевна - кандидат физико-математических наук, доцент, Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, ул. Чернышевского, 173, г. Нальчик, КБР, 360004, Россия, e-mail: alena_ezaova@mail. ru
Alena G. Ezaova - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Berbekov Kabardino-Balkar State University, Chernyshevskogo St., 173, Nalchik, KBR, 360004, Russia, e-mail: alena_ezaova@mail.ru,
Канукоева Ляна Владимировна - кандидат физико-математических наук, доцент, Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, ул. Чернышевского, 173, г. Нальчик, КБР, 360004, Россия
Liana V. Kanukoeva - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Berbekov Kabardino-Balkar State University, Chernyshevskogo St., 173, Nalchik, KBR, 360004, Russia
Кунижев Борис Иналович - доктор физико-математических наук, профессор, Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, ул. Чернышевского, 173, г. Нальчик, КБР, 360004, Россия
Boris I. Kunizhev - Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Berbekov Kabardino-Balkar State University, Chernyshevskogo St., 173, Nalchik, KBR, 360004, Russia
Куповых Геннадий Владимирович - доктор физико-математических наук, профессор, Инженерно-техноло-гиическая академия, Южный федеральный университет, пер. Некрасовский, 44, г. Таганрог, 347922, Россия, е-таИ: kupovykh@sfedu.ru
Gennady V. Kupovykh - Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Academy for Engineering and Technologies, Southern Federal University, Nekrasovsky St., 44, Taganrog, 347922, Russia, e-mail: kupovykh@sfedu.ru
Исследуется внутренняя краевая задача для смешанного уравнения гиперболо -параболического типа с кратными характеристиками. Уравнение рассматривается в конечной односвязной области, состоящей из гиперболической и параболической частей. Краевое условие поставленной задачи в гиперболической части области содержит оператор дробного в смысле Римана - Лиувилля интегро-дифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса. Порядок дробной производной зависит от порядка вырождения уравнения и поточечно связан со
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 2
значением решения и производной от него на линии вырождения. Основным результатом работы является сформулированная и доказанная теорема существования и единственности решения поставленной задачи при различных случаях дискриминанта кубического характеристического уравнения. При доказательстве единственности решения применяется метод интегралов энергии и выводятся ограничения неравенственного типа на заданные функции и порядок производной в краевом условии. Для разрешимости вопроса о существовании решения поставленная задача эквивалентно сводится к системе функциональных соотношений между следом искомого решения и производной от него, принесенных на линию вырождения из гиперболической и параболической частей смешанной области. Вопрос существования решения в каждом из рассмотренных случаев для дискриминанта кубического характеристического уравнения эквивалентно редуцирован к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, со слабой особенностью в ядре и непрерывной правой частью, безусловная разрешимость которого следует из единственности решения поставленной задачи. Также в работе установлены эффект влияния на корректность постановки задачи порядка дробной производной в краевом условии в гиперболической части области и его связь с порядком вырождения уравнения.
Ключевые слова: нелокальная краевая задача, смешанный тип уравнения, уравнения третьего порядка, кратные характеристики, конечная область, единственность, метод интегралов энергии, существование, эквивалентная редукция, дробная производная, регулярное решение.
The paper considers an internal boundary value problem for a mixed equation of hyperbolic-parabolic type with multiple characteristics. The equation is considered in a finite simply connected domain consisting of a hyperbolic and a parabolic part. The boundary condition of the posed problem, in the hyperbolic part of the considered domain, contains the operator of fractional, in the sense of Riemann-Liouville, integro-differentiation with a Gaussian hypergeometric function. The order of the fractional derivative depends on the order of degeneration of the equation and is point wise related to the value of the solution and its derivative on the degeneration line. The main result of the work is the formulated and proved theorem on the existence and uniqueness of the solution to the problem posed for different cases of the discriminant of the cubic characteristic equation. In the proof of the uniqueness of the solution, the method of energy integrals is used and inequality constraints are derived on the given functions and the order of the derivative in the boundary condition. For the solvability of the question of the existence of a solution, the problem posed is equivalently reduced to a system offunctional relations between the trace of the desired solution and its derivative brought to the line of degeneration from the hyperbolic and parabolic parts of the mixed domain. The question of the existence of a solution, in each of the considered cases for the discriminant of the cubic characteristic equation, is equivalently reduced to the Fredholm integral equation of the second kind, with a weak singularity in the kernel and a continuous right-hand side, the unconditional solvability of which follows from the uniqueness of the solution to the problem posed. Also in the work the effect of influence on the correctness of the problem statement of the order of the fractional derivative in the boundary condition in the hyperbolic part of the domain and its connection with the order of degeneration of the equation is established.
Keywords: nonlocal boundary value problem, mixed type of equation, third order equations, multiple characteristics, end area, uniqueness, energy integrals method, existence, equivalent reduction, fractional derivative, regular solution.
Введение
Теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важнейших разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Интерес к исследованию таких уравнений обусловлен тем, что в последние несколько десятилетий модели дробного порядка оказались более эффективными, чем модели целочисленного порядка, для некоторых реальных мировых проблем. Одним из важнейших преимуществ дифференциальных уравнений с дробной производной по сравнению с классическими дифференциальными уравнениями является то, что дробные производные дают более точные результаты при описании памяти и наследственных свойств различных материалов и процессов. Уравнения смешанного типа с дробными
производными возникают при решении прикладных задач околозвуковой газовой динамики, математической физики, биологии. В частности, многие математические модели тепло- и массо-обмена в средах, окруженных пористой средой, сводятся к краевым задачам для уравнений смешанного типа.
Необходимость рассмотрения уравнений гиперболо-параболического типа возникла при рассмотрении задач, связанных с движением газа в канале, окруженном пористой средой. В канале движение описывается волновым уравнением, вне его - уравнением диффузии. Смешанные гиперболо-параболические уравнения лежат в основе математических моделей различных природных явлений. Локальные и нелокальные задачи для уравнений смешанного типа встречаются при математическом моделировании нефтяных пластов, фильтрации
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 2
грунтовых вод, переноса тепла и массы в объекте, имеющем сложное строение, электрических колебаний в проводах, движения жидкости в канале, окруженном пористой средой, и других явлений. В настоящее время исследования нелокальных задач для уравнений смешанного типа ведутся интенсивно. В опубликованных работах краевые условия содержат классические операторы или операторы дробного в смысле Римана - Лиувилля интегро-дифференцирования.
Краевые задачи для уравнений смешанного типа с кратными характеристиками возникают при изучении распространения нелинейных волн в слабодиспергирующих средах. Исследованию задач для различных типов вырождающихся уравнений и уравнений смешанного типа посвящены работы [1-9].
В [2, 3] рассматриваются нелокальные краевые задачи для вырождающихся гиперболических уравнений с дробной производной в краевом условии. В этих работах найдены промежутки изменения порядка дробной производной, при которых поставленная задача однозначно и неоднозначно разрешима. В [4-6, 10-14] исследованы вопросы однозначной разрешимости задач для различных типов смешанных уравнений.
В данной статье рассматривается смешанное гиперболо-параболическое уравнение третьего порядка с обобщенным оператором дробного инте-гро-дифференцирования в смысле Римана - Лиу-вилля в краевом условии. Однозначная разрешимость поставленной задачи доказывается путем её редукции к интегральному уравнению Фредгольма второго рода.
Постановка задачи
В евклидовой плоскости независимых переменных х и у рассмотрим уравнение
\Рххх - иу + а1 (х, УРх + а0 (*> Ур , У > 0>
0 = \(- у)тРх - и У, У < 0, (1)
в конечной односвязной области О, ограниченной отрезками АА0, А0В0, В0В прямых х = 0 , у = 1, х = 1 при у > 0 , характеристиками
2 2т+1
АС:х--^(-у= 0,
BC : х +
2m +1 2
2m +1
2m+1
(- У )— = 1
уравнения (1) при у < 0 и отрезком I = АВ = (0,1) прямой у = 0, где т - натуральное число.
Обозначим через О полуплоскость у > 0 и
О- полуплоскость у < 0 области О; ©(х) - точка пересечения характеристики уравнения (1), выходящей из точки (х, 0), с характеристикой AC.
Задача. Найти функцию V (х, у), принадлежащую классу
V (х, у)е С (О) п С1 (О) п С3;у (О+) п С^ (О-),
являющуюся регулярным в О+ ^ О- решением уравнения (1) и удовлетворяющую краевым условиям
Р(0,у) = р(у), Р(1,у) = <Р2(у), Рх(0,у) = рз(у), (2)
0 < у < 1,
а(х) DXAxU [®(х)]+ у(хр( х,0) + + c(x)Uy (х,0) = f (х), Vx е I,
i (y) е C[0,l]o C2 ]0,1[, i = 1,3 ;
(3)
где cpi
a(x), y{x), c(x), f (x) e C1 (7) n, C3 (l),
2 2 2 причем a (x) + у (x) + c (x) Ф 0, a - вещественное число; ö'ox - оператор дробного в смысле Римана - Лиувилля интегро-дифференцирования.
Сформулированная задача относится к классу нелокальных задач со смещением А.М. Нахушева [1].
Основные результаты
Пусть U (x,0) = r(x) - след искомого решения, а Uy (x,0) = v(x) - след производной искомого решения на линии вырождения y = 0 . Тогда решение задачи Коши в области Q" имеет вид [15]
U (x, y)^S)
2
1
xjr
0
x + -
m + 2
(- y)m+2 (2t -1)
[t (1 -1 )]e-1 dt
+
Г(2 - 2e) 1
+1F2(M) y i'
2 ,m+2, x + (- уУ^ (2t -1)
m + 2
[t (1 -1)]-edt ,
где e = m/(2m + 4) ; Г(г) - гамма-функция Эйлера [16].
m + 2
С учетом выражения ©(x) = — - i
в последнем равенстве получим
U [©о (x)] = r(2e) x1-2eDoxexe-Mx)-Г(е)
4
2 m+2
Г(2 - 2e) f m + 2
1-2e
De-lx~ev(x).
x
x
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 2
Теорема. В области О существует единственное решение задачи (1)-(3) при выполнении следующих условий:
а1х (x, y)- 2а0 (x, y ) > 0, at (x, y )e C (q+ ), и либо
a = e, S(x) = x2e-1,
a(x) = x1~ea*(x), a* (x) e C1 (/),
A1 (x) = a* ( x) + a* ( x)
Ai( x) либо
a = 1 -e
< 0,
r(ei
Г(2е)
c( x)
Ai( x)
/(x) Ф 0 , V x e I,
<0, Vxel ;
S(x) = 1, 1
A2 (x) = (1 - x)e a(x) — xe (1 - x)e c(x) Ф 0
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
где к = , ч ,
Г(1 -е) ^ 4
Доказательство единственности. Продемонстрируем выполнение условий (5)-(7) сформулированной выше теоремы существования и единственности решения поставленной задачи. Рассмотрим уравнение (1) при у < 0. Пусть выполняются условия (5). Тогда, подставляя значение и[©(х)] в краевое условие (3), учитывая тожде-
V x e I, (1 - x)ea( x)
A2 ( x)
< 0,
/(x)
Г(2 - 2e) ( m + 2
A2( x)
1-2e
> 0, V x e I
ство dBxD-B= d°
тор, получим [17]
где D - единичный опера-
r(2e)a( x) xe 1 +/( x) Г(е)
t(x) -
(11)
1-2e
"ll-^ (^J ^^xx)+
+ c( x)v( x) = f ( x).
Рассмотрим двойной интеграл в выражении (11) [1, 4, 15]:
I1 = D^xx 1
e „ 2e-1 ne-1 „-e
De- x~ev(x) =
d
lrev(№l-
>2e-1
dt
функции [16] приходим к выражению для двойного интеграла в виде
1 - 25 Н^Ч^ - —Г^ =
I1 =
Г(2 - 2e) 0 V x xe-1 x
x2 V x
e-17->2e-1
2e = x D0 x
v(x).
(12)
Г(1 - 2е) 0 (х -£)2 С учётом условия (6) и полученного выражения (12) уравнение (11) перепишется в виде
т(х) = «1 (х)£>02хмх) + п (х)у(х) + /1 (х) , (13)
к« (х) Г(е) с(х)
где а1(х) = 1 , г1(х) = --
/1( x) =
A1( x) r(e) /(x) r(2e) A1(x) '
r(2e) A1(x)'
k =
Г(2 - 2e) r(e) ( m + 2
1-2e
Г(1 -е) Г(2еД 4 Выражение (13) является основным функциональным соотношением между функциями т(х) и у(х),
принесенным на линию у = 0 из области О-.
Рассмотрим однородное уравнение (13) при /(х) = 0 . Умножим его на у(х) и проинтегрируем
от 0 до 1 . Получим
1 1 I = ja1(х)v( х)О^х~1у( х)ёх (х)у2(х)ёх =
1
-|a1( x)v( x)dx |
v(t )dt
0(x -1 )2e 0
|/1( x)v2( x)dx.
Г(1 - 2s) 0
Воспользовавшись формулой для функции
Г(щ) [16] | tM-1costkdt =
Гщ) Щ cos—
кщ 2
к > 0,
0 < л < 1, и применяя формулу интегрирования по частям, с учетом о (1) = 0 получим
* _/* =_J12s-1dx (14)
sin Tb
:|a1 ( x)
(x Л2 (x Л
|v(^)cost£d£ + |v(^)sm t&Ç
V 0 J V 0
dx +
2
1
+— sin tb|/1(x)v (x)dx. T 0
Г2(1 -е) ¿х 0.....£ (х-г)е(г-£)е
Произведя замену переменной интегрирования ? = (х - £)г + £ и проделав несложные преобразования, с учетом свойств гипергеометрической
Отсюда видно, что I > 0 .
Рассмотрим уравнение (1) при у>0. Переходя в уравнении (1) к пределу при у ^ +0 , будем иметь
т" (х)+а1(х,0)т'(х)+а0 (х,0)т(х) = у(х). (15)
0
0
да
0
0
2
0
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 2
При условии рассмотрения однородных граничных условий р1 (у) = 0 , г = 1,3 , умножим последнее равенство на г(х) и проинтегрируем от 0 до 1. Применяя формулу интегрирования по частям и проделав несложные преобразования, получим 1
I * =\т(ху(х ^х = (16)
0
111
-г'2 (1)+-Ца1х (х,0)-2«0 (х,0))г2 (х}к
2
2;
"(x)+ siz'(x)+ s0 z(x) = f2 (x), z(0) = 0, z(l) = 0, z'(0)= 0 ,
где /2 (х) = У(х) - ^'(х) - ^0ё(х) .
Правую часть равенства (19) пока будем считать известной. Решение полученной задачи (19), (20) относительно г (х) существенно зависит от корней характеристического уравнения [18, 19]
к3 + ^к + я0 = 0, (21)
которое соответствует однородному уравнению г (х) + я1г ' (х) + я0 г( х) = 0. (22)
Обозначим [20]
С учетом выполнения условий (4) можно сде-
*
лать вывод, что I > 0 . Так как, с одной стороны,
I > 0, с другой - I < 0, получаем, что I = 0. Следовательно, левая часть выражения (14) равна нулю. Учитывая, что слагаемые справа неотрицательны, получаем, что они также равны нулю.
х
p =
4 27
(23)
Пусть р > 0 . Тогда общее решение уравнения (22) принимает вид
z(x) = c1e2ax + c2e
cos
bV3.
x +
+ c,e ax sin
in W3x,
(24)
Так как te > 0, то Jv(^)cos= 0, где a =
hi + h2 b = h - h
2
2
h = 3 - ^
+
4P
Jv(<^)sin = 0 для всех t e (0,да), в частности,
о
при t = 2як , к = 0,1,2,... При этих значениях t функции cosи sin образуют полную ортогональную систему функций в L2.
Следовательно, v(g) = 0 почти всюду, а с учетом непрерывности функции v( x) получаем v(£) = 0 всюду. Отсюда видно, что v( x) = 0. Учитывая это, заключаем, что т(x) = 0 .
Таким образом, U(x, y) = 0 в Q" как решение
задачи Коши с нулевыми данными, а в Q+ - как решение задачи (1), т(x) = 0 , U (0, y) = 0,
U(1, y) = 0, Ux (0, y) = 0 [6]. Отсюда заключаем, что решение задачи (1)-(3) единственно.
Доказательство существования. Рассмотрим
уравнение (1) в области Q+. Получаем задачу (15)
т(0) = ^(0), т(1) = %(0), т'(0) = %(0). (17) Пусть a1 (x,0) = s1, a0 (x,0) = s0, s1, s0 = const ф 0 . Будем искать неизвестную функцию т(x) в виде суммы
т(x) = z(x) + g(x), (18)
где g(x) = (1 -x2]^(0) + x2%(0) + (x-x2)^(0) . С учетом граничных условий (17) приходим к задаче относительно новой неизвестной функции z(x) вида
(19)
(20)
h2 = З3 - ^-4P
Считая, что n
Л = h1cos| n-b43 I-h2sinl n-bS |-be^a Ф 0,
решение задачи (19), (20) можно записать в виде
Kx) = J G(x, t )f2 (t )dt:
где G( x, t) =
iw2(x)w1(t), 0 < x < t,
w
( x) w1 (t) + w2 (x -1 ) /(Ws ), t
(25)
< x < 1,
w
1(t) = mbea(3-2t) -
1W Л
-e
h1 cos| n + byi3(t -1)1- h2sin|- + ьЩ -1)1
w2(x) = -be2ax +
f
+e
h cosí — - йл/3х I - h sin( —- Ьл/3х
v 1 13 J 2 ^ 6 ^
G (x, t) - функция Грина задачи (17), (18).
Учитывая (25) в выражении (19), получим решение задачи (15), (17) в виде
Л
i
о
т( x) = J G(x, t )v(t d + f (x ), г
J <
0
(26)
где f (x) = g ( x) - si J G( x, t) g ' (t)dt - ¿о J G (x, t) g (t)dt.
2
3
s
s
2
о
0
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 2
Исключая из системы (13) и (26) функцию т(x), с учетом условия (6) получим
'( x)+1 SixV*=ч< x),
(27)
x -t
где
K1( x, t) =
-ÇL_ ^IoM +Г(2В) M G(x, t )( x - t)2e,
Г(1 - 2b) г(в) c(x) г(в) c(x)
Г(2В)A7(x)G(x,t)(t - x)2e, x< t < 1, l Г(в) c(x) V Л )
0 < t < x,
^1(x) = -
Г(2е)
Г(в)
AÇj g (x)-*^ | G(x^g'(t d -
- s г
Ш ! ** (t d-ГГ2В) f)
Г(2е) c(x)
При ^(х) Ф 0 (с(х) ф 0) уравнение (27) есть интегральное уравнение Фредгольма второго рода со слабой особенностью в ядре и непрерывной правой частью. Его безусловная разрешимость следует из единственности решения задачи.
По найденному у(х) из (13) определяется т(х),
решение задачи (1)-(3) в области О- - как решение задачи Коши, а в области О+ решение задачи определяется по формуле [1]
и (х, у) =
у у
= | % (х, % (х, уХц)ф2(г№ц-
0 0
у 1 -{ Ой( х, у;0,^(^ + { 0(х, у;£,0)т(£)й£,
0 0
где G(х,у;£,ц) - функция Грина задачи (1), (2), и(х,0) = т(х).
Аналогично предыдущему случаю рассматриваются случаи р = 0, р < 0. Поставленная задача также сводится к интегральному уравнению Фред-гольма второго рода относительно функции к(х), со слабой особенностью в ядре и непрерывной правой частью.
Доказательство единственности и существования решения задачи при выполнении условий (8)-(10) теоремы единственности проводится аналогично.
Заключение
Исследована нелокальная внутренняя краевая задача со смещением для смешанного уравнения гиперболо-параболического типа третьего порядка с кратными характеристиками, краевое условие которой содержит оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана - Лиувилля в гиперболической части области. Найдены необходимые и достаточные условия существования и единственности решения поставленной задачи.
С применением метода интегралов энергии выводятся определенные ограничения неравенственно-го типа на известные функции, при которых решение поставленной задачи единственно. Для доказательства существования решения поставленной задачи рассматривается система двух уравнений, составленная из функциональных соотношений между следом искомой функции и производной от него, принесённых на линию вырождения из параболической и гиперболической частей смешанной области. При выполнении условий теоремы единственности задача эквивалентно редуцирована к интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно следа производной искомого решения, безусловная разрешимость которого следует из единственности решения поставленной задачи.
Литература
1. Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006. 287 с.
2. Repin O.A., Kumykova S.K. A problem with generalized fractional integro-differentiation operators of arbitrary order // Russian Mathematics. 2012. Vol. 56, № 12. Р. 50-60.
3. Repin O.A., Kumykova S.K. Boundary-value problem with Saigo operators for mixed type equation of the third order with multiple characteristics // Russian Mathematics. 2015. Vol. 59, № 7. Р. 44-51.
4. Езаова А.Г. Задача с нелокальными условиями на характеристиках для смешанного уравнения третьего порядка // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2009. № 3. С. 14-17.
5. Езаова А.Г. Об одной нелокальной задаче для уравнения смешанного типа третьего порядка // Изв. КБГУ. 2011. Т. 1, № 4. С. 26-31.
6. Джураев Т.Д., Сопуев А., Мамаджанов М. Краевые задачи для уравнений параболо-гипербо-лического типа. Ташкент: Фан, 1986. 237 с.
7. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. 292 с.
8. Смирнов М.М.Уравнения смешанного типа. М.: Высшая школа, 1985. 304 с.
9. Маричев О.И., Килбас А.А., Репин О.А. Краевые задачи для уравнений с частными производными с раз-
0
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 2
рывными коэффициентами. Самара: Изд-во Самарского гос. экон. ун-та, 2008. 275 с.
10. Utkina E.A. Boundary value problems for a third-order hyperbolic equation on the plane // Differential Equations. 2017. Vol. 53, № 6. Р. 818-824.
11. Korzyuk V.I., Mandrik A.A. Classical solution of the first mixed problem for a third-order hyperbolic equation with the wave operator // Differential Equations. 2014. Vol. 50, № 4. Р. 489-501.
12. Репин О.А. О нелокальной краевой задаче с оператором М. Сайго для обобщенного уравнения Эйлера - Пуассона - Дарбу // Интегральные преобразования и краевые задачи: сб. науч. тр. / Ин-т математики Украины. Черновцы, 1996. Вып. 13. С. 175-181.
13. Кумыкова С.К. Об одной задаче с нелокальными краевыми условиями на характеристиках для уравнения смешанного типа // Диф. уравнения. 1974. Т. 10, № 1. С. 78-88.
14. Сопуев А., Кожабеков К.Г. Краевые задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа третьего порядка с младшими членами с характеристической линией изменения типа // Дифференциальные уравнения с частными производными и родственные проблемы анализа и информатики : тр. Меж-дунар. науч. конф. Ташкент, 2004. Т. 1. С. 14-16.
15. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.
16. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М.: Гос. изд-во техн лит-ры, 1953. 379 с.
17. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.
18. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. 301 с.
19. Матвеев В.Н. Дифференциальные уравнения. М.: Высшая школа, 1967. 565 с.
20. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Физмат-лит, 1984. 416 с.
References
1. Nakhushev A.M. (2006). Problems with displacement for partial differential equations. Moscow, Nauka Publ., 287 p. (in Russian).
2. Repin O. A.., Kumykova. S. K. (2012). A problem with generalized fractional integro-differentiation operators of arbitrary order. Russian Mathematics, vol. 56, No. 12, pp. 50-60.
3. Repin O. A., Kumykova S. K. (2015). Boundary-value problem with Saigo operators for mixed type equation of the third order with multiple characteristics. Russian Mathematics, vol. 59, No. 7, pp. 44-51.
4. Ezaova A.G. (2009). Problem with nonlocal conditions on characteristics for a mixed third-order equation. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki (Bulletin of
Поступила в редакцию /Received
Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science), No. 3, pp. 14-17. (in Russian).
5. Ezaova A.G. (2011). On a nonlocal problem for a third-order mixed-type equation. Izv. KBGU, vol. 1, No. 4, pp. 26-31. (in Russian).
6. Dzhuraev T.D., Sopuev A., Mamadzhanov M. (1986). Boundary value problems for equations of parabolic-hyperbolic type. Tashkent, Fan Publ., 237 p. (in Russian).
7. Smirnov M.M. (1966). Degenerate elliptic and hyperbolic equations. Moscow, Nauka Publ., 292 p. (in Russian).
8. Smirnov M.M. (1985). Mixed type equations. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 304 p. (in Russian).
9. Marichev O.I., Kilbas A.A., Repin O.A. (2008). Boundary value problems for partial differential equations with discontinuous coefficients. Samara, Samara State University of Economics Press, 275 p. (in Russian).
10. Utkina E.A. (2017). Boundary value problems for a third-order hyperbolic equation on the plane. Differential Equations, vol. 53, No. 6, pp. 818-824.
11. Korzyuk V.I., Mandrik A.A. (2014). Classical solution of the first mixed problem for a third-order hyperbolic equation with the wave operator. Differential Equations, vol. 50, No. 4, pp. 489-501.
12. Repin O.A. (1996). On a nonlocal boundary value problem with M. Saigo's operator for the generalized Eu-ler-Poisson-Darboux equation. Integral transformations and boundary value problems. Collection of Scientific Articles. Institute of Mathematics of Ukraine. Chernivtsi, iss. 13, pp. 175-181. (in Russian).
13. Kumykova S.K. (1974). On a problem with nonlocal boundary conditions on characteristics for an equation of mixed type. Dif. uravneniya. vol. 10, No. 1, pp. 78-88. (in Russian).
14. Sopuev A., Kozhabekov K.G. (2004). Boundary value problems for equations of mixed parabolic-hyperbolic type of the third order with lower-order terms with a characteristic line of type change. Partial Differential Equations and Related Problems of Analysis and Informatics. Proceedings of the International Scientific Conference. Tashkent, vol. 1, pp. 14-16. (in Russian).
15. Bitsadze A.V. (1981). Some classes of partial differential equations. Moscow, Nauka Publ., 448 p. (in Russian).
16. Lebedev N.N. (1953). Special functions and their applications. Moscow, State Publishing House of Technical Literature, 379 p. (in Russian).
17. Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. (1987). Integrals and derivatives of fractional order and some of their applications. Minsk, Nauka i tekhnika Publ., 688 p. (in Russian).
18. Nakhushev A.M. (1995). Equations of mathematical biology. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 301 p. (in Russian).
19. Matveev V.N. (1967). Differential equations. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 565 p. (in Russian).
20. Faddeev D.K. (1984). Lectures on algebra. Moscow, Fizmatlit Publ., 416 p. (in Russian).
9 марта 2021 г. /March 9, 2021
