CC BY
29
ДЕРЕВООБРАБОТКА
13. Ширина срезаемого слоя
b = t / sin9n = 8 / sin45 = 9,4 мм.
14. Средняя толщина срезаемого слоя Коэффициенты
X = р2+0,2р + 0,01; р = ро + А; р - в мм.
X = (0,005 + 0,0186)2 + 0,2(0,005 + 0,0186) +
+ 0,01 = 0,015285;
Fx 01 = a p + 0,1k = 1,56 х 3,1 + 0,1 х 20 =
= 6,83 Н/мм; m, = F , / a a b F =
= 141,4 / 1 х 1 х 9,4 х 6,8 3 = 2,2.
Так как m1 > 1, то толщина срезаемого слоя ас определяется по формуле для макрослоев
a
c
F .
хзуб
—------a p
г. Р-^
a a b
k
141,4
1 -1-9,4
-1,56 - 3,1
20
1,51
В случае, когда глубина фрезерования t = 20 мм, коэффициент m1 = 0,73 < 1 и толщина срезаемого слоя находится по формуле
асм = 0,1 -VX(1 - m0 =
= 0,1 -yj0,015285(1 - 0,73) = 0,035 мм.
15. Максимально допустимая подача на зуб
Sz = a / smфнsmфс = 0,51 / sin45sin26,8 = 1,6 мм.
16. Скорость подачи
V = Szn / 1000 = 1,6 - 4 - 5000/1000 = 32 м/мин.
Библиографический список
1. Глебов, И.Т. Резание древесины. учеб. пособие / И.Т. Глебов. - Екатеринбург: УГЛТУ, 2001. - 151 с.
2. Глебов, И.Т. Резание древесины: избранные лекции / И.Т. Глебов. - Екатеринбург: УГЛТУ, 2005. - 99 с.
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛЕНТОЧНОЙ ПИЛЫ ПРИ СЛЕДЯЩЕЙ НАГРУЗКЕ
В.Н. СЕРДЮКОВ, доц. каф. сопротивления материалов и прикладной механики МарГТУ, канд. техн. наук
Решается задача устойчивости ленточной пилы в новой постановке. Вводится гипотеза о следящем характере сил резания.
На рис. 1. показана расчетная схема ленточной пилы для определения критической величины нормальной силы резания Р при небольшой высоте пропила.
Задача решалась динамическим методом. Ленточная пила нагружалась силой Р, выводилась из плоского (невозмущенного) состояния и предоставлялась самой себе. За критерий устойчивости принимался характер движения ленточной пилы после начального возмущения.
В данной работе вводится гипотеза о том, что силы резания являются следящими силами. В частности, вектор нормальной силы резания в процессе потери устойчивости ленточной пилы всегда совпадает с осью у поперечного сечения (рис. 1, 2)
и является следящим вектором. Масса расчетной части ленточной пилы учитывалась в форме приведенной массы, прикрепленной к среднему сечению. Точность такого решения зависит от выбора местоположения приведенной массы. В данном случае альтернативы местоположения приведенной массы не существует (т.к. расчетная схема симметричная). Поэтому решение в рамках принятых допущений должно быть достаточно точным.
При потере устойчивости пильная лента закручивается и изгибается в плоскости наименьшей жесткости. Жесткость поперечного сечения на изгиб в плоскости ух велика по сравнению с жесткостью на изгиб в плоскости zx. Поэтому считаем, что ленточная пила в плоскости ух не изгибается и ее концы жестко защемлены. Концевые сечения не могут поворачиваться относительно оси х, а в плоскости zx они шарнирно оперты.
74
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 1/2007
ДЕРЕВООБРАБОТКА
Рис. 2. Положение среднего поперечного сечения до и в процессе потери устойчивости
На рис. 1 и 2 введены следующие обозначения: Р - нормальная сила резания, 2а, S - размеры поперечного сечения, 2L - длина расчетной части ленточной пилы, N - сила натяжения, M M, Y, Z - реакции опор, w(l, t) - прогиб среднего сечения, ф(1, t) - угол поворота среднего сечения,
d2 / ч
R = -т------w (L, t)
dt2
- сила инерции, m- приведенная масса.
Определяем реакции опор.
1 , ч PL P
M =-Pw (L, t), M =----, Y = —,
x 2 V ’ z 4 2
1 , 4 R
Z = - ML,1)-у.
Для определения момента M^ раскрывалась статическая неопределимость стержня длиною 2L, жестко защемленного по концам в плоскости yx (рис. 1).
Далее рассмотрим часть ленточной пилы длиной x (рис. 1, 3). Координатные оси x, y z0 параллельны осям x, y, z. Координатная система x1 y1 z1 жестко скреплена с поперечным сечением. Ось хг является касательной к оси ленточной
пилы и лежит в плоскости xz. Оси y z1 - главные центральные оси поперечного сечения.
Моменты относительно осей х y0, z0
PP
M =— w w (L, t),
x“ 2 2 V ' PR
My =—m(L, t)x x + Nw.
P PL
M = — x----.
Zo 2 4
(1)
При составлении выражений (1) вектора моментов направлялись так, что если смотреть со стороны стрелки вектора, то момент виден направленным против часовой стрелки. На рис. 3 показаны положительные направления векторов моментов M , M , M .
x0> y0> z0
Моменты относительно осей x1 и у1
M
x1
dw dw dw
= -M cos----+ M sin— = -M + M —,
xo dx Zo dx xo Zo dx
dw
M = M cosm-M cos — sinm-
y, yo Zo dx
dw dw
-M sin — sinm = M -M m-M — m.
xo ex Уо z xo dx T
(2)
При составлении выражений (2) изгибающий момент считается положительным, если он увеличивает кривизну оси ленточной пилы, и отрицательным - если уменьшает. Крутящий момент считается положительным, если его направление совпадает с направлением угла поворота ф.
Пренебрегая слагаемым
dw
Mx on~ m dx
содержащим произведение малых величин и подставляя (1) в (2), получаем
M =
x1
M
У1
P P
--w +— w
22 = P Ф(L, t)
, ч P dw PL dw
(L, t) +---x--------+
2 dx 4 dx
R P PL
x x + Nw xm +--------
2 2 4
M
и
2 , m. (3)
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 1/2007
75
ДЕРЕВООБРАБОТКА
Изгибнокрутильная деформация ленточной пилы в процессе ее движения после начального возмущения описывается уравнениями
д w дф
EJ — = M , GJ,— = M
дх
дх
(4)
Подставляя (3) в (4), получаем дифференциальные уравнения движения поперечного сечения с координатой х
д2 w Р s \ R P PL
EJ_ —- =— ф(ь, t) x----x + Nw----хфН-----ф,
дх
2
2
дф P P
P дw
2 4
PL дw M
GJ,— = w +— w (L, t)+------x--------1—-, (5)
дх 2 2 2 дх 4 дх 2
где w = w (x, t), ф = ф(х, t) - функции прогиба и угла поворота.
Затем фиксируем время t и интегрируем уравнения (5) по координате х, используя процедуру Бубнова-Галеркина. Для этого задаемся функциями прогиба и угла поворота в следующем виде
/ \ s \ Пх
(x, t) = w (L, t) sin — ,
w ( x ,
2L
пх
(6)
ф( x, t )= ф^, t )sin— .
2L
Функции (6) удовлетворяют граничным
условиям.
При x
0 и x = 2L, w = 0,
д2 w
дх2
= 0 , ф = 0 .
Подставляя (6) в (5), домножая полученные выражения на
пх
sin
2 L
и интегрируя в пределах от 0 до L, получаем
/чп2 . пх P / ч R
EJy w (L, t)—- sin-1—ф^, t)x---x +
4L2
2L 2
2
пх P
+Nw (L, t)sin---------xф(L, t)sin-----+
2L 2
PL , ч пх
+---q(L, t )sin-
4 V 7 2L
2L пх
sin — dx = 0 , 2L
п пх P M
GJ, ф (L, t)—cos---w (L, t)-- +
v 2L 2L 2 V 7 2
P пх P п пх
+— w (L, t )sin-xw (L, t)—cos--+
2 2L 2 2L 2L
PL п пх
+--w (L, t)—cos —
пх
sin — dx = 0 . (7)
2L
4 4 ' 2 L 2L
После вычисления интегралов и подстановки вместо R и Mu соответствующих выражений получаем два дифференциальных уравнения (8).
2mL2 d2
2 dt 2
w
(L, t)
f
+
п2 L
EJ ,— + N-
\
y1
8L
2
w
(L, t)
+
+PL2— ф(L, t ) = 0,
2п
0
PL I -| w (L, t) + Lmp2 ^ ф(1, t) +
8 8п
dt2
+ -
GJ
ф^, t )= 0.
2
Или
d2
a,, —-w dt2
и w (L t)
(L,t) + b2i
+ anw (L, t) + bl2ф(L, t) = 0,
4r ф(L, t) + b12ф(L, t)= 0.
dt
(8)
(9)
где
2L2 п2 L 2 3
——, al2 = EJ ,-+ N—, b = PL—-
2 12 y1 12 2
п 8L 2 2п
2
a,, = m
L 2 GJ.
a22 = 0,0167PL, b21 = — mp , b22 =-. (10)
п 2
Частное решение системы уравнений (9) имеет вид
w (L, t) = Леш, ф^, t) = Веш . (11)
После подстановки (11) в (9) получаем систему двух уравнений.
A (-aura2 + a12)+ Bb = 0 Aa22 + B (-Ь21ю2 + b22)= 0 . (12)
Система однородных уравнений (12) имеет ненулевое решение, если определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных А и В, равен нулю.
Составляя и раскрывая определитель системы, получаем уравнение
ю4 -2ara2 + b = 0, (13)
где
a = a11b22 + a12b21 b = a12b22 a22b21
2a11b21
a11b21
Корни биквадратного уравнения (13)
(ю2) ^ = a ± Va2 -b .
(14)
(15)
Тогда _____ ______________
Ю1,2 = ^/(®2 ) и Ю3,4 = ±д/(ЮХ . (16)
Характер движения приведенной массы после начального возмущения зависит от вида корней ю1 2 3 4, а значит и от вида корней (ю2)12
Из выражений (10) и (14) следует, что а>0 при любых значениях параметров системы. Поэтому, если b > а2, то корни (ю2)12 (15) - комплексные, сопряженные, и движение представляет собой колебания с возрастающими амплитудами. В этом случае плоскую форму равновесия ленточной пилы следует признать неустойчивой.
Если b < 0, один из корней (ю2)12 получается отрицательным, и движение представляет собой апериодический уход из положения равновесия. В этом случае плоскую форму равновесия
76
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 1/2007
ДЕРЕВООБРАБОТКА
ленточной пилы следует признать также неустойчивой.
Если 0 < b < а2, то корни (ю2) 2 - вещественные, положительные, и движение представляет собой колебания с постоянной амплитудой. В этом случае плоская форма равновесия ленточной пилы является устойчивой.
Таким образом, критическим состояниям ленточной пилы соответствуют два равенства
b = 0 и b = 0.
(17)
Подставляя (10) в (14), а (14) в (17) получаем два условия критических состояний.
22 L a
2L
+ р2----0,00254
п J
2
Р +-п
1 ( GJ,_
2
Р
2п L
п2 L Л
EJ ,— + N-V y18L 2 J
GJk +
+
Р
4 f
4L2
п2 L EJ ,— + N-
2
y1
8L
= 0,
(18)
f
Л
EJ,— + N—
V y18L 2 J
GJk - 0,00254P2L3 = 0. (19)
Из условий (18) и (19) получаем два выражения для критической силы.
=
r2 f a2 2 Л
+ 0,00509р2
(20)
2
a
2
4
71
2
2
Рр 2 =.
( EJ N Л
243 у! + 98 —
V L J
GJk. (21)
Сила Р соответствует потере устойчивости в колебательной форме с нарастающей амплитудой. Сила Рр2 соответствует потере устойчивости в форме апериодического ухода из положения равновесия.
Формула (20) дает мнимое значение для критической силы при любых значениях параметров системы. Это означает, что потеря устойчивости ленточной пилы в форме колебательного движения с нарастающей амплитудой невозможна. Потеря устойчивости происходит в форме апериодического ухода от положения равновесия, и критическая сила определяется по формуле (21).
Для реальных значений параметров сис-
темы
243
EJ, N
—у1 << 98 — L L ’
поэтому можно пользоваться приближенной формулой
9, 9
Р =^4NGJk . (22)
Для ленточной пилы с параметрами L = 90 см, 2а = 10 см, S = 0,1 см, G = 8104 МПа, N = 0,007 МН формула (22) дает значение критической силы Р = 1502 Н.
В работе [1] приводится формула для оп-
ределения величины критической силы.
( /—Г^ТТ Л
Р =
кр
1,65 Nb
L
12C
2 + — -1 ! Nb1
(23)
где N - сила натяжения;
b - ширина поперечного сечения;
L - расстояние между осями шкивов;
С - крутильная жесткость поперечного сечения.
Формула получена в предположении, что в процессе потери устойчивости сила Рр направления не изменяет. При тех же параметрах ленточной пилы формула (23) дает значение критической силы Рр = 360 Н. Разница в 4,17 раза.
Определим максимальное напряжение в момент потери устойчивости при Рр = 1502 Н по формуле
где
w=
. = + , 4w A (24)
S (2a )2 V ' , A = 2Sa . (25)
6
Подставляя в (25) и (24) параметры ленточной пилы, получаем cmax = 273 МПа , что меньше предела пропорциональности для сталей, используемых для изготовления ленточных пил.
В заключение отметим, что, на наш взгляд, формула (22) определяет величину критической силы в условиях, более приближенных к реальным условиям работы ленточной пилы, чем формула (23).
Библиографический список
1. Прокофьев, Г.Ф. Интенсификация пиления древесины рамными и ленточными пилами / ГФ. Прокофьев. - М.: Лесная пром-сть, 1990. - 235 с.
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 1/2007
77
