Научная статья на тему 'Устойчивость ленточной пилы при следящей нагрузке'

Устойчивость ленточной пилы при следящей нагрузке Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
145
28
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Сердюков В. Н.

Сердюков В.Н. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛЕНТОЧНОЙ ПИЛЫ ПРИ СЛЕДЯЩЕЙ НАГРУЗКЕ. Решается задача устойчивости ленточной пилы в новой постановке. Вводится гипотеза о следящем характере сил резания.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Serdyukov V.N. BAND SAW STEADINESS WITH TRACKING CUTTING FORCES. The problem of band saw tracking in new interpretation is solved. Tracking character of cutting forces hypothesis is introduced.

Текст научной работы на тему «Устойчивость ленточной пилы при следящей нагрузке»

ДЕРЕВООБРАБОТКА

13. Ширина срезаемого слоя

b = t / sin9n = 8 / sin45 = 9,4 мм.

14. Средняя толщина срезаемого слоя Коэффициенты

X = р2+0,2р + 0,01; р = ро + А; р - в мм.

X = (0,005 + 0,0186)2 + 0,2(0,005 + 0,0186) +

+ 0,01 = 0,015285;

Fx 01 = a p + 0,1k = 1,56 х 3,1 + 0,1 х 20 =

= 6,83 Н/мм; m, = F , / a a b F =

= 141,4 / 1 х 1 х 9,4 х 6,8 3 = 2,2.

Так как m1 > 1, то толщина срезаемого слоя ас определяется по формуле для макрослоев

a

c

F .

хзуб

—------a p

г. Р-^

a a b

k

141,4

1 -1-9,4

-1,56 - 3,1

20

1,51

В случае, когда глубина фрезерования t = 20 мм, коэффициент m1 = 0,73 < 1 и толщина срезаемого слоя находится по формуле

асм = 0,1 -VX(1 - m0 =

= 0,1 -yj0,015285(1 - 0,73) = 0,035 мм.

15. Максимально допустимая подача на зуб

Sz = a / smфнsmфс = 0,51 / sin45sin26,8 = 1,6 мм.

16. Скорость подачи

V = Szn / 1000 = 1,6 - 4 - 5000/1000 = 32 м/мин.

Библиографический список

1. Глебов, И.Т. Резание древесины. учеб. пособие / И.Т. Глебов. - Екатеринбург: УГЛТУ, 2001. - 151 с.

2. Глебов, И.Т. Резание древесины: избранные лекции / И.Т. Глебов. - Екатеринбург: УГЛТУ, 2005. - 99 с.

УСТОЙЧИВОСТЬ ЛЕНТОЧНОЙ ПИЛЫ ПРИ СЛЕДЯЩЕЙ НАГРУЗКЕ

В.Н. СЕРДЮКОВ, доц. каф. сопротивления материалов и прикладной механики МарГТУ, канд. техн. наук

Решается задача устойчивости ленточной пилы в новой постановке. Вводится гипотеза о следящем характере сил резания.

На рис. 1. показана расчетная схема ленточной пилы для определения критической величины нормальной силы резания Р при небольшой высоте пропила.

Задача решалась динамическим методом. Ленточная пила нагружалась силой Р, выводилась из плоского (невозмущенного) состояния и предоставлялась самой себе. За критерий устойчивости принимался характер движения ленточной пилы после начального возмущения.

В данной работе вводится гипотеза о том, что силы резания являются следящими силами. В частности, вектор нормальной силы резания в процессе потери устойчивости ленточной пилы всегда совпадает с осью у поперечного сечения (рис. 1, 2)

и является следящим вектором. Масса расчетной части ленточной пилы учитывалась в форме приведенной массы, прикрепленной к среднему сечению. Точность такого решения зависит от выбора местоположения приведенной массы. В данном случае альтернативы местоположения приведенной массы не существует (т.к. расчетная схема симметричная). Поэтому решение в рамках принятых допущений должно быть достаточно точным.

При потере устойчивости пильная лента закручивается и изгибается в плоскости наименьшей жесткости. Жесткость поперечного сечения на изгиб в плоскости ух велика по сравнению с жесткостью на изгиб в плоскости zx. Поэтому считаем, что ленточная пила в плоскости ух не изгибается и ее концы жестко защемлены. Концевые сечения не могут поворачиваться относительно оси х, а в плоскости zx они шарнирно оперты.

74

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 1/2007

ДЕРЕВООБРАБОТКА

Рис. 2. Положение среднего поперечного сечения до и в процессе потери устойчивости

На рис. 1 и 2 введены следующие обозначения: Р - нормальная сила резания, 2а, S - размеры поперечного сечения, 2L - длина расчетной части ленточной пилы, N - сила натяжения, M M, Y, Z - реакции опор, w(l, t) - прогиб среднего сечения, ф(1, t) - угол поворота среднего сечения,

d2 / ч

R = -т------w (L, t)

dt2

- сила инерции, m- приведенная масса.

Определяем реакции опор.

1 , ч PL P

M =-Pw (L, t), M =----, Y = —,

x 2 V ’ z 4 2

1 , 4 R

Z = - ML,1)-у.

Для определения момента M^ раскрывалась статическая неопределимость стержня длиною 2L, жестко защемленного по концам в плоскости yx (рис. 1).

Далее рассмотрим часть ленточной пилы длиной x (рис. 1, 3). Координатные оси x, y z0 параллельны осям x, y, z. Координатная система x1 y1 z1 жестко скреплена с поперечным сечением. Ось хг является касательной к оси ленточной

пилы и лежит в плоскости xz. Оси y z1 - главные центральные оси поперечного сечения.

Моменты относительно осей х y0, z0

PP

M =— w w (L, t),

x“ 2 2 V ' PR

My =—m(L, t)x x + Nw.

P PL

M = — x----.

Zo 2 4

(1)

При составлении выражений (1) вектора моментов направлялись так, что если смотреть со стороны стрелки вектора, то момент виден направленным против часовой стрелки. На рис. 3 показаны положительные направления векторов моментов M , M , M .

x0> y0> z0

Моменты относительно осей x1 и у1

M

x1

dw dw dw

= -M cos----+ M sin— = -M + M —,

xo dx Zo dx xo Zo dx

dw

M = M cosm-M cos — sinm-

y, yo Zo dx

dw dw

-M sin — sinm = M -M m-M — m.

xo ex Уо z xo dx T

(2)

При составлении выражений (2) изгибающий момент считается положительным, если он увеличивает кривизну оси ленточной пилы, и отрицательным - если уменьшает. Крутящий момент считается положительным, если его направление совпадает с направлением угла поворота ф.

Пренебрегая слагаемым

dw

Mx on~ m dx

содержащим произведение малых величин и подставляя (1) в (2), получаем

M =

x1

M

У1

P P

--w +— w

22 = P Ф(L, t)

, ч P dw PL dw

(L, t) +---x--------+

2 dx 4 dx

R P PL

x x + Nw xm +--------

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2 2 4

M

и

2 , m. (3)

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 1/2007

75

ДЕРЕВООБРАБОТКА

Изгибнокрутильная деформация ленточной пилы в процессе ее движения после начального возмущения описывается уравнениями

д w дф

EJ — = M , GJ,— = M

дх

дх

(4)

Подставляя (3) в (4), получаем дифференциальные уравнения движения поперечного сечения с координатой х

д2 w Р s \ R P PL

EJ_ —- =— ф(ь, t) x----x + Nw----хфН-----ф,

дх

2

2

дф P P

P дw

2 4

PL дw M

GJ,— = w +— w (L, t)+------x--------1—-, (5)

дх 2 2 2 дх 4 дх 2

где w = w (x, t), ф = ф(х, t) - функции прогиба и угла поворота.

Затем фиксируем время t и интегрируем уравнения (5) по координате х, используя процедуру Бубнова-Галеркина. Для этого задаемся функциями прогиба и угла поворота в следующем виде

/ \ s \ Пх

(x, t) = w (L, t) sin — ,

w ( x ,

2L

пх

(6)

ф( x, t )= ф^, t )sin— .

2L

Функции (6) удовлетворяют граничным

условиям.

При x

0 и x = 2L, w = 0,

д2 w

дх2

= 0 , ф = 0 .

Подставляя (6) в (5), домножая полученные выражения на

пх

sin

2 L

и интегрируя в пределах от 0 до L, получаем

/чп2 . пх P / ч R

EJy w (L, t)—- sin-1—ф^, t)x---x +

4L2

2L 2

2

пх P

+Nw (L, t)sin---------xф(L, t)sin-----+

2L 2

PL , ч пх

+---q(L, t )sin-

4 V 7 2L

2L пх

sin — dx = 0 , 2L

п пх P M

GJ, ф (L, t)—cos---w (L, t)-- +

v 2L 2L 2 V 7 2

P пх P п пх

+— w (L, t )sin-xw (L, t)—cos--+

2 2L 2 2L 2L

PL п пх

+--w (L, t)—cos —

пх

sin — dx = 0 . (7)

2L

4 4 ' 2 L 2L

После вычисления интегралов и подстановки вместо R и Mu соответствующих выражений получаем два дифференциальных уравнения (8).

2mL2 d2

2 dt 2

w

(L, t)

f

+

п2 L

EJ ,— + N-

\

y1

8L

2

w

(L, t)

+

+PL2— ф(L, t ) = 0,

2п

0

PL I -| w (L, t) + Lmp2 ^ ф(1, t) +

8 8п

dt2

+ -

GJ

ф^, t )= 0.

2

Или

d2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

a,, —-w dt2

и w (L t)

(L,t) + b2i

+ anw (L, t) + bl2ф(L, t) = 0,

4r ф(L, t) + b12ф(L, t)= 0.

dt

(8)

(9)

где

2L2 п2 L 2 3

——, al2 = EJ ,-+ N—, b = PL—-

2 12 y1 12 2

п 8L 2 2п

2

a,, = m

L 2 GJ.

a22 = 0,0167PL, b21 = — mp , b22 =-. (10)

п 2

Частное решение системы уравнений (9) имеет вид

w (L, t) = Леш, ф^, t) = Веш . (11)

После подстановки (11) в (9) получаем систему двух уравнений.

A (-aura2 + a12)+ Bb = 0 Aa22 + B (-Ь21ю2 + b22)= 0 . (12)

Система однородных уравнений (12) имеет ненулевое решение, если определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных А и В, равен нулю.

Составляя и раскрывая определитель системы, получаем уравнение

ю4 -2ara2 + b = 0, (13)

где

a = a11b22 + a12b21 b = a12b22 a22b21

2a11b21

a11b21

Корни биквадратного уравнения (13)

(ю2) ^ = a ± Va2 -b .

(14)

(15)

Тогда _____ ______________

Ю1,2 = ^/(®2 ) и Ю3,4 = ±д/(ЮХ . (16)

Характер движения приведенной массы после начального возмущения зависит от вида корней ю1 2 3 4, а значит и от вида корней (ю2)12

Из выражений (10) и (14) следует, что а>0 при любых значениях параметров системы. Поэтому, если b > а2, то корни (ю2)12 (15) - комплексные, сопряженные, и движение представляет собой колебания с возрастающими амплитудами. В этом случае плоскую форму равновесия ленточной пилы следует признать неустойчивой.

Если b < 0, один из корней (ю2)12 получается отрицательным, и движение представляет собой апериодический уход из положения равновесия. В этом случае плоскую форму равновесия

76

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 1/2007

ДЕРЕВООБРАБОТКА

ленточной пилы следует признать также неустойчивой.

Если 0 < b < а2, то корни (ю2) 2 - вещественные, положительные, и движение представляет собой колебания с постоянной амплитудой. В этом случае плоская форма равновесия ленточной пилы является устойчивой.

Таким образом, критическим состояниям ленточной пилы соответствуют два равенства

b = 0 и b = 0.

(17)

Подставляя (10) в (14), а (14) в (17) получаем два условия критических состояний.

22 L a

2L

+ р2----0,00254

п J

2

Р +-п

1 ( GJ,_

2

Р

2п L

п2 L Л

EJ ,— + N-V y18L 2 J

GJk +

+

Р

4 f

4L2

п2 L EJ ,— + N-

2

y1

8L

= 0,

(18)

f

Л

EJ,— + N—

V y18L 2 J

GJk - 0,00254P2L3 = 0. (19)

Из условий (18) и (19) получаем два выражения для критической силы.

=

r2 f a2 2 Л

+ 0,00509р2

(20)

2

a

2

4

71

2

2

Рр 2 =.

( EJ N Л

243 у! + 98 —

V L J

GJk. (21)

Сила Р соответствует потере устойчивости в колебательной форме с нарастающей амплитудой. Сила Рр2 соответствует потере устойчивости в форме апериодического ухода из положения равновесия.

Формула (20) дает мнимое значение для критической силы при любых значениях параметров системы. Это означает, что потеря устойчивости ленточной пилы в форме колебательного движения с нарастающей амплитудой невозможна. Потеря устойчивости происходит в форме апериодического ухода от положения равновесия, и критическая сила определяется по формуле (21).

Для реальных значений параметров сис-

темы

243

EJ, N

—у1 << 98 — L L ’

поэтому можно пользоваться приближенной формулой

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

9, 9

Р =^4NGJk . (22)

Для ленточной пилы с параметрами L = 90 см, 2а = 10 см, S = 0,1 см, G = 8104 МПа, N = 0,007 МН формула (22) дает значение критической силы Р = 1502 Н.

В работе [1] приводится формула для оп-

ределения величины критической силы.

( /—Г^ТТ Л

Р =

кр

1,65 Nb

L

12C

2 + — -1 ! Nb1

(23)

где N - сила натяжения;

b - ширина поперечного сечения;

L - расстояние между осями шкивов;

С - крутильная жесткость поперечного сечения.

Формула получена в предположении, что в процессе потери устойчивости сила Рр направления не изменяет. При тех же параметрах ленточной пилы формула (23) дает значение критической силы Рр = 360 Н. Разница в 4,17 раза.

Определим максимальное напряжение в момент потери устойчивости при Рр = 1502 Н по формуле

где

w=

. = + , 4w A (24)

S (2a )2 V ' , A = 2Sa . (25)

6

Подставляя в (25) и (24) параметры ленточной пилы, получаем cmax = 273 МПа , что меньше предела пропорциональности для сталей, используемых для изготовления ленточных пил.

В заключение отметим, что, на наш взгляд, формула (22) определяет величину критической силы в условиях, более приближенных к реальным условиям работы ленточной пилы, чем формула (23).

Библиографический список

1. Прокофьев, Г.Ф. Интенсификация пиления древесины рамными и ленточными пилами / ГФ. Прокофьев. - М.: Лесная пром-сть, 1990. - 235 с.

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 1/2007

77

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.