Влияние боковой силы резания на устойчивость ленточной пилы Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

ДЕРЕВООБРАБОТКА

ВЛИЯНИЕ БОКОВОЙ СИЛЫ РЕЗАНИЯ НА УСТОЙЧИВОСТЬ

ЛЕНТОЧНОЙ ПИЛЫ

В.Н. СЕРДЮКОВ, доц. Мар ГТУ, канд. техн. наук

В данной статье рассматривается устойчивость ленточной пилы без учета боковой силы резания. Задача решалась динамическим методом. Ленточная пила нагружалась силами Р и Т, выводилась из плоского (невозмущенного) состояния и предоставлялась самой себе. За критерий устойчивости принимался характер движения пильной ленты после начального возмущения.

Нормальная и касательная силы резания являются следящими силами. Вектор силы Р при потере устойчивости, всегда совпадает с осью уг поперечного сечения (рис. 1, 2) и является следящим вектором, а вектор силы Т перпендикулярен вектору Р и лежит в плоскости, касательной к срединной поверхности пильной ленты в данном сечении.

Считаем, что ленточная пила в плоскости xy не изгибается и ее концы жестко защемлены. Концевые сечения не могут поворачиваться относительно оси x, а в плоскости zx они шарнирно оперты.

Прогиб и угол поворота представим в форме бесконечных рядов

, . “ .. . inx . “ . . . inx

w(x,t) = Zw (t)si^——, ф(х,0=Ефг (t)si^—— (1)

i=1 2L i=1 2L

и решим задачу в первом приближении, аппроксимируя прогиб и угол поворота в виде одной полуволны синусоиды (понимая при

этом, что форма потери устойчивости будет несколько отличаться от симметричной). w(x,t) = w(L,t)slnnx / 2L, ф(x,t) =

= ф(£,фтга: / 2L. (2)

Функции (2) удовлетворяют граничным условиям. При х = 0 и х = 2L, w = 0, d2w / dx2 = 0, ф = 0.

Из суммы проекций сил на ось х следует, что

Хв = N + T. (3)

Для определения реакций опор YA, YB, MZA, MZB раскрывалась статическая неопределимость стержня длиною 2L, жестко защемленного по концам в плоскости ху и нагруженного в среднем сечении силой Р и моментов Та. В результате получили Ya = (P / 2) + (3 Ta / 4L), YB = (P / 2) - (3 Ta / 4L), MzA = (PL / 4) + (Ta / 4), MzB =

= (PL / 4) - (Ta / 4). (4)

Затем составим три уравнения равно-

весия.

Z My = ZB 2L+L J dR+

0

+T [w(L,t)+asm ф^Д )]- PLsln ф^Д ) = 0,

2L

Z M .= ZA 2L+L J dR -

2l

-T [w( L,t)+asln ф( L,t)]-PLsln ф( L,t)=0,

2L

ZMix = 2MxA - J dMu -Pw(L,t)COsф(L,t) = 0. (5)

0

Рис. 1. Расчетная схема ленточной пилы: Р - нормальная сила резания; Т - касательная сила резания; 2а, S (рис. 2) - размеры поперечного сечения; 2L - длина рабочей части ленточной пилы; N - сила натяжения; M^ M, X, Y, Z с соответствующими индексами - реакции опор; W(L, t) - прогиб среднего сечения; <p(L, t) - угол поворота среднего сечения; dR = - Adxy(d2w(x,t) / dt2) - сила инерции элемента длиной dx; dMu = - Adxyp2(d^(x,t) / dt2) - инерционный момент элемента длиной dx; А - площадь поперечного сечения; у - плотность; р - радиус инерции.

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2008

83

ДЕРЕВООБРАБОТКА

Рис. 2. Положение среднего поперечного сечения и векторов сил Р и Т

Подставляя в (5) вместо dR и dMu соответствующие выражения и вычисляя интегралы, получаем

^ =

2LAy d2w(L,t) T

P

n dt2 2L

j2

+^r[w(L>t)+аф(L,t)]+-ф(L,t),

2

„ 2LAyd w(L,t) Tr 4 ,T 4l P ,т 4

Zb =------T2---~[w(L,t)+<ML,t^“фС^) ,

П dt 2L 2

2LAyp2 d2ф(L,t) P

MxA = Mxb =-

2 + -w(L,t) . (6)

n dt

При получении выражений (6) имелось ввиду, что при малых перемещениях sin9(Z,t) = 9(£,t), cos9(Z,t) = 1. Расчетная часть ленточной пилы (рис. 1) имеет два грузовых участка. Вопрос ставится следующим образом: какой из участков является инициатором потери устойчивости ленточной пилы в целом?

Сделаем произвольное поперечное сечение на левом участке и рассмотрим часть ленточной пилы длиною х в искривленном (возмущенном) состоянии (рис. 1, 3). Координатные оси х0, у0, z0 параллельны осям х, у, z. Координатная система х1 у1 z жестко скреплена с поперечным сечением. Ось хг является касательной к оси ленточной пилы и лежит в плоскости xz. Оси у z - главные центральные оси поперечного сечения.

Моменты относительно осей х0, у0, z0

Mo = Yaw-M, +JdMu = YAw-M, -

- aYP

2 d2ф( L,tV

dt2

1 nx )2L

1-cos— I—. 2L J n

M^ = ZA x+Nw+j dR(x - x')=ZA x+Nw-

. 2Ld2w(L,t) 4L2 d2w(L,t) . nx

- Ay-----x+Ay—----------sin—.

n dt2 n2 dt2 2L

MZo =Yax-Mza . (7)

При составлении выражений (7) векторы моментов направлялись так, что если смотреть со стороны стрелки вектора, то момент виден направленным против часовой стрелки. На рис. 3 показаны положительные направления векторов моментов M, M , M .

Моменты относительно осей хг и у

dw dw dw

Mx = -Mx cos— +Mz sin—= -Mx +Mz —,

01 00 dx 0 dx x z0 dx

Mv, =Mv cosф-Mz cos——sinф-

v V0 У z0 dx

-M sin ——sin ф=Mv -M ф-M —ф . (8)

x dx V0 z0 x dx

При составлении выражений (8) изгибающий момент считался положительным, если он увеличивал кривизну оси ленточной пилы, и отрицательным, если уменьшал. Крутящий момент считался положительным, если его направление совпадало с направлением угла поворота ф.

Пренебрегая слагаемым

(M. I •)■

содержащим произведение малых величин, и подставляя (7) в (8), получаем:

M4=-YA w+ MxA + AYP

2Ld^(L,t)

n

dt2

L nx) v dw dw

xl 1-cos— I+Y4— x -M74— . I 2L J A dx 74 dx

M = ZA x+Nw - Ay-

2 L d2 w(L,t)

v1 4 ' n dt2

22

x+

4L d w(L,t) . nx

+AY—-----72--sin~-YAXФ+M7AФ . (9)

n2 dt

2L

Изгибно-крутильная деформация ленточной пилы в процессе ее движения после начального возмущения описывается уравнениями

B(d2w / dx2) = My , С(дф / dx) = Mx , (10) где B=EI- изгибная жесткость поперечного сечения,

C = (1/3)2aSG + (1/3)a2N (11)

- крутильная жесткость поперечного сечения [1].

Подставляя (9) в (10), получаем дифференциальные уравнения движения поперечного сечения с координатой х на левом участке (12).

84

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2008

ДЕРЕВООБРАБОТКА

B iXWW=ZaX+Nw-Ay

2Ld2 w( L,t) п dt2

x+

4L2 d2w(L,t) . пх

+AY^2--dt2— Sin 2L ~Ya Щ+Ма^ ,

, , . 22Ld2ф(L,t)

C d=-YA w+MxA + AYP---^ITT1 x

dx п dr

Л nx^ dw dw

TC0S2ZД ¥X^ ¥ • (12)

Далее фиксируем время t и интегрируем уравнения (12) по координате х, используя процедуру Бубнова-Г алеркина.

Для этого аппроксимирующие функции (2) подставляем в (12), умножаем полученные выражения на sin(nx / 2L) и интегрируем в пределах от 0 до L.

I

пх

пх

пх

Ц sin2--+ ZA xsin-+ Nw(L,t )sin2-

2 L A 2L 2 L

-Д xsin—+Д — sin2 — -

пх

l---

2L

2L

п

пх

2L

-Ya хф(l,t W—+M^(L,t )sin2—

dx=0,

I

„ . пх пх ТЛ ,т . . 2 пх

«sin—cos--У, w( L,t )sin-+

^ 2L 2La 2L

, ^ . пх „А пх L пх

+MA sin——+Д11-cos—— |sm—+

2L

2L J 2 L

ТЛ .r . п пх . пх

+Y, w( L,t)—cos—sin--

A 2L 2L 2L

п пх пх

-M7.w\L,t)—cos—sin— 2L 2 L 2L

dx=0 , (13)

где

D1 = Bw(L,t)п2 / 4L2, Д2 = Ay(2L / ^dw^t) / dt2), B1 = - С(п / 2L>(L,t), B2 =

= Ayp2(2L / п)(сРфД^) / dt2). (14)

После вычисления интегралов и подстановки вместо соответствующих величин выражений (4), (6), (14) приходим к системе уравнений, описывающих движение среднего сечения после начального возмущения (d2w(L,t) / dt2) + C11w(L,t) + C12ф(L,t) = 0, (d2ф(L,t) / dt2) + C21w(L,t) + C22ф(L,t) = 0. (15) где

C =-'—">1

2 AyL2 v п2

2 7-2

L 20-п2 „ 3

Ta---—+PL—-

l 16п2 2п2

2 Ayp2 L

PL^—^+Ta

8п

J

3-8пЛ 16п У

с =_п:

^22 л л_ 2 т-2

с.

(16)

4 Ayp2 L2

Частное решение уравнений (15) ищем в форме

w(L,t) = Aewt, ф(L,t) = Kewt. (17)

После подстановки (17) в (15) получаем систему двух уравнений

А(ш2 + Сп) + КС12 = 0, (18)

АС21 + K(co2 + С22) = 0.

Система уравнений (18) имеет ненулевое решение, если определитель системы равен нулю. Составляя и раскрывая определитель, получаем уравнение

ш4 + 2аш2 + b = 0, (19)

где

a = (C„ + C22) / 2, b = CnC22 - C12C21. (20)

Корни биквадратного уравнения (19)

(ш2)^ =-a ±V a2 -b. (21)

Тогда

Ш1,2 =±1 (®2)1 и Ш3,4 =±l(®2)2 - (22)

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2008

85

ДЕРЕВООБРАБОТКА

Характер движения пильной ленты после начального возмущения зависит от вида корней ю1 2 3 4. Из выражений (16) и (20) следует, что а > 0 при любых значениях параметров системы. Поэтому если b < 0, то один из корней оказывается вещественным и положительным. Соответствующее движение пильной ленты после начального возмущения представляет собой апериодический монотонный уход от положения равновесия. В этом случае плоскую форму равновесия следует признать неустойчивой.

Если b > a2, то корни ^1 2 3 4 оказываются комплексными и ленточная пила после начального возмущения совершает колебательное движение с возрастающими амплитудами. В этом случае плоскую форму равновесия следует признать также неустойчивой.

Если 0 < b < а2, то корни ^1 2 3 4 все мнимые и движение представляет собой колебания с постоянной амплитудой. В этом случае плоская форма равновесия является устойчивой.

Таким образом, критическим состояниям ленточной пилы соответствуют два равенства

а2 - b = 0 и b = 0. (23)

Подставляя (16) в (20), а (20) в (23), получаем два условия критических состояний.

0,01L2P2 + 0,272aLTP +

+ kp2 + 0,113a2 T2 = 0, (24)

где k = [0,203 T + 0,5N - 0,5(C / p2)]2.

P2 + (27,24a / L)TP - 1 / L2(40,56T +

+ 100N)C + (11,32a2 / L2)T = 0. (25)

При выводе условий (24) и (25) в формуле для С (16) мы пренебрегли членом, содержащим изгибную жесткость.

При P > 0 и T > 0 условие (24) не может быть выполнено. Это означает, что потеря устойчивости в форме колебательного движения с нарастающей амплитудой невозможна при любых значениях параметров системы.

А из условия (25) определим Р.

P = -13,62(Ta / L) ±

± 1^174,18 (Ta)2 +(40,56T+100N)C. (26)

Сила Р, определенная по выражению (26), соответствует потере устойчивости в форме апериодического ухода от положения равновесия.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Рис. 4. Предельные диаграммы: 1 - без учета боковой силы резания; 2 - с учетом боковой силы резания

Далее предположим, что инициатором потери устойчивости пильной ленты является правый грузовой участок (рис. 1). Тогда условие потери устойчивости в форме колебательного движения с нарастающей амплитудой получим из выражения (24), заменяя в нем T на (— T), а условие потери устойчивости в форме апериодического ухода от положения равновесия получаем из (25) заменой T на (— T), а N на (N + T). В итоге получаем два условия критических состояний пильной ленты.

0,01L2P2 - 0,272aLTP + kp2 + 0,113aT = 0, (27) где k = [0,297T + 0,5N - 0,5(C / p2)]2,

P2 + (27,24a / L)TP - 1 / L2(59,44T +

+ 100N)C + (11,32a2 / L2)T2 = 0. (28)

При Т = 0, условие (27) дает мнимое значение для Р, а при Р = 0 получим мнимое значение для Т. Расчеты показали, что при Т > 0 и Р > 0 условие (27) невыполнимо. Из этого следует, что потеря устойчивости в форме колебательного движения с нарастающей амплитудой невозможна.

86

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2008

ДЕРЕВООБРАБОТКА

Рис. 5. Положение среднего поперечного сечения и векторов сил Р, Т и Q до и в процессе нагружения

Расчеты показали, что при одном и том же значении Т Ф 0 формула (26) дает меньшее значение силы Р, чем значение этой силы, определенное из уравнения (28). Следовательно, инициатором потери устойчивости ленточной пилы является левый (менее натянутый) грузовой участок.

Выражение (26) можно рассматривать как уравнение предельной кривой. На рисунке 4 показана предельная кривая 1, построенная без учета боковой силы резания для ленточной пилы с параметрами: L = 90 см, 2а = 10 см, S = 0,1 см, G = 8-104 МПа, N = 7кН. Если точка, построенная по числовым значениям касательной и нормальной сил резания, оказывается ниже или на предельной кривой, то плоская форма равновесия пильной ленты устойчива, если же точка оказывается выше предельной кривой, то плоская форма равновесия неустойчива.

Величины реальных сил резания Р и Т таковы, что можно утверждать: при наличии только этих сил потеря устойчивости ленточных пил всех типоразмеров невозможна.

Проведенное исследование влияния боковой силы резания на устойчивость ленточной пилы показало, что пильная лента теряет устойчивость в форме апериодического ухода от плоской формы равновесия (статическая форма потери устойчивости). Поэтому задачи устойчивости ленточных пил можно решать нединамическим методом.

Используем здесь метод начальных несовершенств. Горизонтальную составляющую сил резания раскладываем на нор-

мальную силу резания Р и боковую силу Q (рис. 5). Силу Q будем рассматривать как начальное несовершенство, которое всегда имеет место. Перемещения поперечных сечений не равны нулю с самого начала нагружения пильной ленты силами Р, Т и Q. В момент потери устойчивости перемещения начинают активно расти. Активный рост перемещений и является критерием потери устойчивости.

Рассмотрим сколь угодно малые перемещения w(L) и 9(L), имея ввиду что Q, Р и Т это конечные величины. При этом Qsin9(L) << Pcos 9(L), а Ps^(L) << Qcos 9(L). Поэтому вертикальной проекцией силы Q будем пренебрегать по сравнению с вертикальной проекцией силы Р, а горизонтальной проекцией силы Р будем пренебрегать по сравнению с горизонтальной проекцией силы Q. Последнее положение является ключевым при исследовании влияния боковой силы на устойчивость пильной ленты (при наличии силы Q появилась возможность пренебречь горизонтальной составляющей силы Р).

Определяем реакции опор, не учитывая силы инерции.

Ya = (P / 2) + (3 Ta / 4L), YB = (P / 2) - (3 Ta / 4L), Мы = (PL / 4) + (Ta / 4), MZB = (PL / 4) - (Ta / 4), ZA = T/ 2L[w(L) + acp(L)] - Q / 2,

ZB = -T / 2L[w(L) + aф(L)] - Q / 2,

MxA =MB = 1 / 2[Pw(L) + Pф(L)a + Qa]. (29) Уравнения, описывающие изгибнокру-тильную деформацию ленточной пилы на левом участке, имеют вид

B(d2w / dx2) = ZAx + Nw - YAx<$ + М^ф, C(dty / dx) = - Yaw + MA +

+ YA(dw / dx)x -MZA(dw / dx). (30)

Прогиб и угол поворота аппроксимируем в виде

w(x) = w(L)sin(nx / 2L), ф(х) = ф(Е)(лх / 2L). (31) В процессе решения уравнений (30) методом Бубнова-Галеркина получаем два уравнения, которые можно получить и из уравнений (13), если в последних положить D2 = 0 и В2 = 0. После вычисления интегралов и подстановки вместо соответствующих величин выражений (14) и (29) получаем систему из двух уравнений

C„w(L) + C^(L) = Ар

C21w(L) + С22Ф(1) = А^ (32)

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2008

87