CC BY
17
Ю.Н. САНКИН, Н.Ю. САНКИН
УСТОЙЧИВОСТЬ ФРЕЗЕРОВАНИЯ ПРИ СУЩЕСТВЕННО НЕЛИНЕЙНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ ПРОЦЕССА РЕЗАНИЯ
Рассматривается проблема оценки устойчивости фрезерных станков при резании одной фрезой и существенно нелинейной характеристике процесса резания с учетом перекрестных связей. Построена пространственная математическая модель упругой системы станка на основе экспериментальных данных, взятых из работы [1].В работе [2] решена проблема оценки устойчивости токарных станков при существенной нелинейной и неопределенной характеристике процесса резания. Процесс резания на фрезерных станках отличается ещё большей неопределенностью, связанной с наложением вынужденных колебаний при врезании и выходе зубьев фрезы из зоны резания. При рассмотрении устойчивости фрезерных станков в основу положены те же теоретические соображения, что и при рассмотрении процесса точения. Критерий устойчивости получен в результате суммирования сил резания на каждом резце, находящемся в контакте с заготовкой [2].
Рассмотрим вначале задачу устойчивости фрезерования в линейной постановке ГЗ! Как показывают исследования, сила резания зависит в основном
от толщины среза. При этом наблюдается переходный процесс, соответст-нуюптий япепиптткчепгоъгу чве*^ Р.г.тти лтегтт* тшиянир г.тгеллп пЯпяботки от предыдущего прохода, то динамическая характеристика резания для отдельного резца даётся формулой:
Ь {-кг?*
IX/ 1_ V
гг V | — ,
' трР+х
где к = кВ — коэффициент резания; к — удельная сипя пезяния; Е — ширина
стружки; х~ коэффициент^ перекрытия; г = 60/я5 - время поворота фрезы на один зуб; п - частота вращения; 5 - число зубьев фрезы; Тп - постоянная времени стружкообразования, зависящая от скорости резания:
/
т = =1р
р V V '
где q -1,..1,5 - постоянный коэффициент; а0 - заданная толщина срезаемого слоя или подача на зуб; = ас1ао ~ усадка стружки; ас - толщина стружки; 1р - путь движения резца, определяющий формирования силы резания; у
- скорость резания.
На рис, I изображена фреза, её / -й зуб и соответствующая сила резания Я;
сх - угол наклона силы резания к обрабатываемой; плоскости; /3 - угол между горизонтальной проекцией силы резания Р^ и отрезком, направленным
к центру фрезы; к - главный угол фрезы в плане; ^ - угол, определяющий текущее положение г -го зуба относительно осей X, У, Ъ\ м, - приращение толщины среза / -м зубом.
Составляющие силы резания / -го зуба на осяхА^, ¥и, 2М, связанных с / -
м зубом:
Рих =%со&асо50; Р^ =совавт/?; Рш =Р^та> где ^ - модуль силы Рь
Составляющие силы резания г -го зуба на осяхХ, У, 1:
Рь = ^соь(Х5т(р + <р^; - р. совясов^ + £>,); Ры=Р^та.
1\ * РЖ
I ^
! » / I .у \
п
I /
и I А
^д- \
Рис. 1. Силы, действующие на 1-й зуб фрезы
Найдём приращение толщины среза на ;-м зубе и^ возникающее от приращения сил резания:
Р> - /*|со5азт(/?т-#); соБасо8(/?+# ); зта| . Единичный орт нормали к поверхности резания:
Т
п.и = Бткзт^ ; этксоз^созк- .. Ргзменение толщины среза на / -м резце:
(1)
1=1
где Ж- матрица передаточных функций несущей системы и привода подач; 5 - число зубьев, участвующих в работе.
ьликйчпмй ОПТ пам!)а»лспий снльт и6я2пйя:
1 ' 1 1 4
I______;_/ о . _ _______(О , _ ¡.:.__1Г
п.^ — ^иылъч^р т и/ф ьОниьиЕ^р-Г Щ ), 5Ши| ,
после чего соотношение (1) перепишется в виде:
1-1
Изменение толщины среза на отдельном резце иу связано с величиной модуля приращения силы резания Р, зависимостью
Р 1 Р
где и=
их> иу>иг\ ~ вектор относительного перемещения между центром
фрезы и заготовкой.
Согласно выражению (2):
I
(=1
Последнее соотношение перепишем в виде:
уГрШ-Ци^Ъ, (3)
* т
где Я = рпы~ матрица коэффициентов направления; I- единичная мат-1=1
рица.
Поскольку ]¥рЯи - Р\ где Р = ¡Р^Р^Р^' - вектор приращений силы резания, то из соотношения (3) следует:
-/)/> = 0. (4)
Любое соотношений (3) или (4) может служить основой для вывода критерия устойчивости станка. Однородные системы уравнений (3) или (4) имеют нетривиальные решения, когда их определитель, а он одинаков у обеих СйСТем, равен нулю. Условие равенства нулю определителя -= $ представляет достаточное условие устойчивости динамической системы станка в линейной постановке. Это означает, что ни одно собственное значение передаточной матрицы разомкнутой системы не должно равняться 1.
Элементы матрицы записываются в виде [3]:
" к П_ПТиМТ . .
где X. - 1 / со^, со .— у - я собственная частота; м,- у - я форма колебаний; Т2 -\/ © 1, Т), - постоянная времени демпфирования; - норма й формы колебаний.
Запишем характеристическое уравнение для определения собственных чисел. Матрицу К можно представить как результат произведения усред-
нённых единичных векторов п^ и niu. Поэтому матрицу R можно считать диадноЙ. Следовательно, у матрицы |ew¡tJull, = WpWR равны нулю величины
12 и /3. Поэтому два первых собственных числа также равны нулю Я1=Я2= 0. Третье собственное число Я3 - WptrWR, где trWR = <яп + + а22 + л33 - след матрицы произведения WR.
Условие для границы устойчивости станка имеет вид [3]:
WptrWR = 1. (5)
В этом уравнении
trWR = WxxRxx + WxyRyx + ^xz^zx + Wyx^xy + ^yy^yy + + WrzR7Y + W7J(RX7, + WzyRyz + Wzz^zz величины
t j Rxx - £ cosa sin(/? + <pt )sin к sin q>i; R^ - £ cosa cos(/? + g>i )sin к sin (pl;
j-1 ы\
s s
Rxz = X sin a sin к sin (p¡; RYX = £ cos a sin (/? + <p¡ )sin к cos q>i;
i=i /=1 s s
Ryy■ - 2cosacos(fi + (Pi) s*nxcos<Pi¡ = Y, sin a sin/сcostp¿;
í=I Í=I
s s
°zx ~ J^cosct Sin {jj +<Pi )cos л у — У] cos a cos (/? -f <p¡) cosí' ;
s
Rzz =У] sin arcosa,
являющиеся компонентами матрицы R, называются коэффициентами направления.
Критическую толщину срезаемого слоя, соответствующую потере устойчивости процесса резания, найдем из соотношения:
_____0-5 cos <р
Re *т
max <r . i
ТрР +1
Р=1й>
¿гИ7!?
где ~Яетах----максимум отрицательного значения вещественной соТ пХ I рГ 1
ставляющей характеристики
trWR
. (7)
ТрР + 1
При существенно нелинейной характеристике процесса резания вместо
величины (7) берём величину - Т®р) [2], что предполагает выбор не-
которого наибольшего значения и, следовательно, гарантирует некоторый запас при расчёте устойчивости.
Передаточная функция упругой системы станка, характеризующая относительное перемещение между фрезой и заготовкой, дается формулой:
где К = """"л * "п-
©яК"2
п-я собственная форма колебаний; со„- п-я собственная частота; т - число витков, существенно проявляющих себя АФЧХ.
Произведение векторов ипиТп представляет собой симметричную диад-ную матрицу. Поэтому число различных АФЧХ равно шести (рис. 2-7, размерность по осям ЯеЖи \rnW- Ю-8- Ю-7 м/Н ):
(5.42*10~3 ■ р} +7.7М0*4 -р + \ (2.72-10"3 + 3.13-10"4 • р + \
(2.15-10"3.р)г+1.7110-4 -р + 1 (1.6410"3 • р^ + 2ЛЗ-10"5 • р + 1
Обозначим:
м,
т.Ы!
¡1 ¿П
ТЗ ТТЛТТГЛУ К АГ« ГТ»Л Л
и пашЧ/М ^л)
10,49-10"4 0,266-Ю-4 0,547-10" ^ = ! 0.743 -10 4 0.344-10"4 0.395-10-4
у3 =|0,478-Ю"4 0 0 ; У4 -|0 0,476-10~4 О^бв-Ю"4
-з -2 -1 о 1_
0..„ Л А ЛчТТЛ/ Н7 А /IV. п» 1Л гг а
-1 -0.5 0
Ке !Хуу(уО)х1(Г
Г1--- 1 А А1Пг И7
А ИК>. ГГ уу
.0.5
-O.J
¥
о
X ?
S
'Ыш*
S
-1.5
-2.5
J / i . / ! 1\ í\ i ¡ Ï í \
1 1 \ i \f 1 i \ ; I t \ ñ ! \
l\ \ Г T 1
\ .......Jf
— . [ _ —^ } \ j j ;
-1
>
ß I
-0.J 0 0.5 Re(Wzz(w))xlO"1
Рис. 4. АФЧХ W,
22
-2
-1
Ï> -___V т-. л~
ЧСЦ, Aíi^ VY J J I U
Рис. 6. АФЧХ Wr
1.5
r--J- i
/ l í 1 I \ . \ 1
\ \ I L ! F
!/ N ¡v У 4 r
S ? i ¿ i i i ! .... _ J____________L _J
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 ReíWxyíwObuf8
Рис. 5. АФЧХ Wzy
1.5
-i о
Re(Wyr<w))xlO
Рис. 7, АФЧХ W,
у*
p«„ е Afuuv . il _ v „l
À i UV iílk »r if /i yi Л p js J
2
» 5
'o
Я 0
IÍ
I
-2
-3 -4
— ~T 1
\Ú У
/ \ i
i 7 /
i
\ 4
Г
-6
-A -3 -2
-1
i nv
O A ífiTTV **ЛЯЛ> II "Г
У. ЛФ JJ» tr IГ JL\. \Х — 1 _ у I
1
Ниже приводятся результаты расчета устойчивости станка с учетом и без учета перекрестных связей (рис. 8,9). Исходные данные взяты из работы [1] при резании стали 45 при установке станка на башмаке для третьего варианта обхода рамки [1]. В результате получено: критическая толщина срезаемого слоя равна 3 мм с учётом перекрестных связей и 6 мм без их учёта.
Результаты расчёта в данном случае при учете перекрестных связей и без их учета отличаются в 2 раза. При этом погрешность подобных расчетов и измерений обычно составляет до 15 %.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Климовский В.В., Гришандин В.Ф. .. Виброустойчивость вертикально-фрезерного станка при установке его на различные виды опор // Исследование оптимальных металлоконструкций и деталей подъёмно-транспортных машин: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1978. С. 66-78,
2. Санкин Ю.Н., Санкин Н.Ю, Устойчивость токарных станков при неопределенной характеристике процесса резания // СТИН. 1998. №10. С. 7-11.
3. Санкин Ю.Н. Динамика несущих систем металлорежущих станков. М.: Машиностроение, 1986.
Санкин Юрий Николаевич, доктор технических наук, профессор кафедры «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета, окончил ^изико-механич&схии факультет Ленинградского тюлитехниче-ского института. Имеет монографии и статьи в области механики сплошных сред, теории колебаний и устойчивости движения.
Санкин Николай Юрьевич, ассистент кафедры «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета, окончил электромеханический факультет Ленинградского политехнического института Имеет статьи в области теории колебаний и устойчивости движения.
