Устойчивость эквивалентной модели системы управления с эталонной моделью и объектом третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

/2- 2-e

- _"з_

e Ti t4

+3 И 1 Rn M c ti - ti о -Ti 2 - e i i RnM c

I #1 # U доС м] $ U доС м j

і -

Ti

t2 3Є

+ І2- 2 e i RnMc 1-T21 e i K3

I 1 # UдоСм j i J &

2-02 -

2 — e

Rn M c

UдоС м

_ ^ 1 — А

Ti [e Ti I

Для каждого из видов оптимальных по быстродействию первой группы диаграмм перемещения микро-позиционных электроприводов с упругими валопроводами из соответствующих им соотношений определяются значения /ь І2, із, /4 и /5.

Разработанные диаграммы справедливы при малых значениях изменения угла поворота исполнительного органа механизма. При увеличении этого параметра необходимо ограничивать ток якорной цепи электродвигателя, а при дальнейшем увеличении - угловую скорость исполнительного органа механизма.

ЛИТЕРАТУРА

электропривода с упругим валопроводом при ограничении по току // Электроэнергетические комплексы и системы: Материалы на -уч.-практ. конф. / КубГТУ. - Краснодар, 2005. - С. 53-55.

2. Добробаба Ю.П., Мурлина В.А., Ивченко В.В., Си-раш А.Н. Оптимальная по быстродействию диаграмма перемещения электропривода с упругим валопроводом при ограничениях по току и скорости механизма // Там же. - С. 56-60.

3. Добробаба Ю.П., Коноплин В.И., Литаш Б.С., Максименко А.Е. Разработка оптимальной по быстродействию первого вида диаграммы перемещения электропривода с упругим валопро -водом при ограничении по напряжению // Электроэнергетические комплексы и системы: Материалы Междунар. науч.-практ. конф. / КубГТУ. - Краснодар, 2006. - С. 46-49.

4. Добробаба Ю.П., Коноплин В.И., Дурлештер И.А. Раз -работка оптимальной по быстродействию второго вида диаграммы перемещения электропривода с упругим валопроводом при ограни -чении по напряжению // Там же. - С. 50-53.

5. Добробаба Ю.П., Коноплин В.И., Даниленко Д.С. Раз -работка оптимальной по быстродействию третьего вида диаграммы перемещения электропривода с упругим валопроводом при ограни -чении по напряжению // Там же. - С. 54-57.

6. Добробаба Ю.П., Коноплин В.И., Олейников А.А. Разработка оптимальной по быстродействию четвертого вида диаграм -мы перемещения электропривода с упругим валопроводом при огра -ничении по напряжению // Там же. - С. 58-61.

7. Добробаба Ю.П., Коноплин В.И., Барандыч В.Ю., Дрижжа Д.Ф. Разработка оптимальной по быстродействию пятого вида диаграммы перемещения электропривода с упругим валопро -водом при ограничении по напряжению // Там же. - С. 62-66.

1. Добробаба Ю.П., Мурлина В.А., Ивченко В.В., Коноп-

лин В.И. Оптимальная по быстродействию диаграмма перемещения

Кафедра электроснабжения промышленных предприятий

Поступила 20.04.07 г.

и і

T

e

t

e

4

Rn Mc

eTi

t5 = 0.

1

62-501.12

УСТОЙЧИВОСТЬ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ МОДЕЛИ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ С ЭТАЛОННОЙ МОДЕЛЬЮ И ОБЪЕКТОМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

В.И. ПУГАЧЕВ

Кубанский государственный технологический университет

Для управления объектами с переменными параметрами в оборудовании пищевой промышленности предложено использовать адаптивную систему управления с эталонной моделью, схема которой приведена в [1].

Передаточная функция эквивалентного объекта управления - эквивалентной модели (ЭМ):

,,,( р) = *£> = |уо(р)['+ М р)и-(р)] .

е и(р) 1+ Wо (р)Г0С (р)

При большом коэффициенте усиления звена обратной связи Кос

К.( р): К ( р) (2)

Для объектов первого и второго порядка устойчивость ЭМ сохраняется при любых коэффициентах уси-

ления звена обратной связи, а вся система работает весьма эффективно.

Исследуем поведение ЭМ при передаточной функции объекта третьего порядка. Для этого используем систему Mathcad [2]. Пусть

Ко( р ) = —--------15--------;

6р + 11р + 6 р+ 1

к (р)=--------------—--------.

т бр3 + 11р2 + 6 р +1

Будем считать Кос большим, если Кос > 10. Подставим соответствующие значения в (1).

Кос = 10; Кос(р) = Кос;

К (р) = —3Ц------------------.

6р + 11р + 6 р+ 1

Если объект и модель третьего порядка с одинако -выми коэффициентами, то при Кос = 10 переходная функция эквивалентного объекта совпадает с переход-

ной функцией объекта и модели. Эквивалентный объект устойчив.

Выясним, как реагирует эквивалентный объект на увеличение коэффициента усиления объекта.

^( Р) =

2,0

Б4(Кос) = 7,03 • 107 - 7,025 •Ю6Кос -1,422 106 К2

Приравняв Б4(Кос) = 0, находим "-8,49-8,06,

Кос =

6р3 + 11 р2 + 6 р + 1

К (р) =

12 р3 + 22 р2 + 12 р + 2+ 3К о А (р)+В( р)

где

-8,49+ 8,06

4,5

Поскольку Кос - вещественный коэффициент, то устойчивым значениям Кос из четвертого условия соответствует Кос < 4,5.

А( р) = 36 р6 + 132 р5 +193 р4 + а1 аъ а5 0 0'

+(12К ос + 144) р3 + (22К ос + 58) р2; а0 а2 а4 а6 0

В( р) = (12К ос + 12) р + 2К ос + 1. Б5( К о-) = $$$0 $$0 а1 аъ а5 0

Характеристическое уравнение эквивалентного а0 а2 а4 а6

объекта 0 0 а1 аъ а5

X (р) = А( р)+ В( р) = 0.

Обозначим коэффициенты характеристического уравнения по убывающим степеням р:

а0 = 36; а1 = 132; а2 = 193; а3 = 12Кос + 144; а4 = 22Кос + 58; а5 = 12Кос + 12; а6 = 2Кос + 1.

Главные диагональные миноры определителя Гур-вица до 5 порядка:

Б1(Кос) = 132, т. е. первое условие выполняется всегда;

02(К ос) =

; Б2(К ос) = 20200-432К о

а1 аъ а5

а0 а2 а4

0 а1 аъ

Кос =

7,87

Поскольку Кос положителен, то устойчивым значениям Кос из третьего условия соответствует Кос < 7,87.

04(К ос) =

а1 аъ а5 0'

а0 а2 а4 а6

0 а1 аъ а5

0 а о а2 а4 &

Кос =

Границе устойчивости соответствует равенство нулю соответствующего определителя.

К1(Кос) = 47.

Это уравнение прямой линии, соответствующее границе устойчивости. Легко видеть, что устойчивые значения Кос лежат ниже этой линии

03(К ос) =

Б3(Кос) = 1,911 106 - 2,02 105 Кос - 5184Ко2_ Приравняв Б3(Кос) = 0, находим "-46,8%

Б 5(Кос) = 6,22 • 108 + 3,73 • 108 Кос +

+ 1,23 107 К о- - 1,61 • 107 Ко- -1,24 • 106 Ко-.

Приравняв Б5(Кос) = 0, находим

' -12'

$$$-3,75 .

-2,22.

# 5,01 &

Как следует из расчетов, эквивалентный объект не -устойчив даже при небольшом изменении Ко. Для принятого Ко = 2 Кос < 4,5.

Высокая степень характеристического уравнения ЭМ объекта существенно усложняет исследования, поскольку приходится проверять много условий устойчивости. Возникает вопрос о способах повышения устойчивости эквивалентного объекта

Для этого введем производные в передаточную функцию модели.

Примем

Мр + Ьр + 1,5 6р3 + 11р2 + 6 р+ 1

Подставив передаточную функцию модели в выражение передаточной функции ЭМ (1), находим

12 р3 + (20М + 22) р2 + (20Ь + 12) р + 32

36 р6 +132 р5 + 193 р4 + 264р2 + 132 р + 21'

Как видно из передаточной функции эквивалентной модели, наличие первой и второй производных в модели не влияют на устойчивость ЭМ.

Проверим влияние производных в обратной связи. Для этого будем использовать физически реализуемое интегро-дифференцирующее звено первого порядка с постоянной времени числителя выше постоянной времени знаменателя. Устойчивость проверим построением переходной функции эквивалентного объекта.

а1 а3

а0 а2

Рис. 1

Примем

^оо( Р) = К °с(Т°с Р+ 1}; Кос = 10; Тос = 1.

0,1р +1

Тогда

К. (р ) =

5,71 ■ 10!3 + 0,619 р2 + 0,486р + 1,5

К(Р) = -

1,5

6р +1

При этом ЭМ принимает вид К (р) =

= 5,71 • 10-2 р2 + 2,01р + 1,5

0,171р5 + 2,06 р4 + 3,65 р3 + 8,01р2 + 7,24 р + 1

Переходные функции модели, объекта и ЭМ при введении производной в обратную связь изображены на рис. 2 (кривые обозначены, как на рис. 1).

Использование в качестве модели апериодического звена первого порядка позволяет снизить степень характеристического уравнения эквивалентной модели и облегчить исследования.

Введение сигнала по производной в обратную связь является эффективным даже при использовании в качестве модели апериодического звена первого порядка.

Способ оценки устойчивости модели по переходной функции прост, но не дает даже качественной связи между Кос и Тос. Поэтому запишем характеристическое уравнение ЭМ в общем виде

36 р5 + 432р4 + 767р3 + (120К осТос + 482) р2 +

+(120К ос + 20К осТос + 121) р+ 20К ос + 10= 0.

10

15

Рис. 2

20

25

0,171р6 + 2,17 р5 + 5,03 р4 + 10,6 р3 + 12,8р2 + 6,24 р + 1'

Переходные функции модели Ит(ґ), объекта Я°(/) и ЭМ Иг(ґ) при введении производной в обратную связь изображены на рис. 1 (кривые 1, 2, 3 соответственно), их выражения не приведены из-за сложности записи.

Как видно из графика, ЭМ из неустойчивой превратилась в устойчивую и отличается от модели не более, чем на 0,5%.

Проверим, можно ли использовать более простую модель. Возьмем модель первого порядка

Коэффициенты характеристического уравнения по убывающим степеням р:

а0 = 36; а 1 = 132; а2 = 767; а3 = 120Кос + 482; а4 = 120Кос + 20КосТос + 121; а 5 = 20Кос + 10.

Найдем уравнения границ устойчивости, приравняв соответствующие диагональные миноры к нулю.

Б2(Тос, К ос) = 3,14 -105 - 4320К ос Тм;

72 7

К 1(Тос) = Т-.

ос

Для значений Кос = 10 и 20 соответственно:

В2Кос20(Тос) = 2,251 105 - 7,5 1 04Тос; В2К 10(Т ) = 2,251 105 - 3,75 ■104 Т .

ос ос ос

Для обеспечения устойчивости ЭМ при увеличении Кос необходимо уменьшать Тос.

Б3(Т ,К ) = 3,186 • 107 К Т +1,288 108 -

ос ос ос ос

-2,239107 Кос - 5,184 • 105К2 То2-.

Для значений Кос = 10 и 20:

В 3К 10(Т ) =

ос ос

= 2,139 108Тос + 1,933 107 -4,688 107То2_; В3К ос20(Тос) =

= 4,278 ■ 108 Тос -1,436 ■ 108 - 1,875 ■ 108 Т2 .

Графики границы устойчивости в плоскости пара -метров Кос и Тос для определителя третьего порядка представлены на рис. 3 (кривые: 1 и 2 - Б3Кос 10( Т^) и Б3Кос 20(Тос)).

Для обеспечения устойчивости ЭМ при увеличении Кос необходимо уменьшать Тос.

0,6 1,2 1,8 2,4 3 3,6 4,2 4,8 5,4 Тос

Рис. 3

0

5

і

£4(Тос, К ос) = 1,0-1010 К ос + 8,98 •Ю8 К о- ТД +

+1,32•Ю10 - 1,22• 108К3 Т2 -2,03• 107К3 Т3 -

1 ? ? о- о- ’ о- о-

-4,08 • 109 КI + 5,4 • 109 КI Тос + 8,09 • 109 КосТос.

Для значений Кос = 10 и 20:

£ 4К 10(Т ) =

ос ос

= 2,95 1011 -3,32-1010То2- -2,03• 1010То3- + 6,211011 Тос; Б4К ос20(Тос) =

= —1,42 • 1012 - 6,17 • 1011 То2- -1,62 • 1011 То3- + 2,32 • 1012 Тос.

Графики границы устойчивости в плоскости параметров Кос и Тос для определителя четвертого порядка представлены на рис. 4 (кривые: 1 и 2 - Б4Кос 10(Тос) и Б4Кос 20(Тос)).

ВЫВОДЫ

1. Для объектов третьего порядка нельзя реализовать управление по модели без введения сигнала по производной в обратной связи.

2. В качестве модели объекта можно использовать звено, порядок передаточной функции которого ниже порядка передаточной функции реального объекта.

Рис. 4

3. Выбор постоянной времени дифференцирования в обратной связи Тос следует делать из условия устойчивости ЭМ, поскольку ее значительное увеличение и уменьшение относительно оптимального значения может привести к потере устойчивости ЭМ.

ЛИТЕРАТУРА

1. Пугачев В.И. Исследование возможностей адаптивной системы управления с эталонной моделью // Изв. вузов. Пищевая технология. - 2007. - № 2. - С. 80-83.

2. Дьяконов В. Mathcad 2001. Учебный курс. - СПб.: Питер, 2001. - 624 с.

Кафедра автоматизации производственных процессов

Поступила 08.11.06 г.

621.002.5

ПРОКАТКА МАТЕРИАЛА ВАЛКАМИ РАЗНЫХ РАЗМЕРОВ ПРИ ОДИНАКОВОЙ СКОРОСТИ КОНТАКТИРУЮЩИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

В.П. БОРОДЯНСКИИ

Кубанский государственный технологический университет

Прокатка валками различных материалов с целью их уплотнения (прессование сыпучих материалов) или формоизменения (прокатка пластичных материалов, металлов) широко используется в производстве различных отраслей промышленности. Существующие методы проектных энергосиловых расчетов валковых устройств не в полной мере используют связь геометрических, кинематических и силовых параметров прокатки [1-4]. В частности, основное внимание уделяется определению величины равнодействующей сил, нормальных направлению прокатки и нейтральному углу. Эти параметры являются основными, без которых решение задач, связанных с процессом прокатки, неосуществимо. Однако механика процесса прокатки значительно проясняется и расчеты становятся более точными, когда ведется строгий учет геометрических и кинематических параметров процесса прокатки.

Рассмотрим прокатку материала, который в процессе обработки не изменяет свою плотность. Зная лишь начальную ИН и конечную ИК высоту заготовки, определить производительность прокатки при известной скорости поверхности валков (V = У2) нельзя, так

как скорость выходящего материала не соответствует скорости поверхности валков. При разных их диаметрах входное сечение не параллельно прямой, проходящей через оси валков О102, как это наблюдается в случае одинаковых валков. Чтобы определить кинематические характеристики движения материала и производительность прокатки необходимо знать угол захвата у (рис. 1). Это позволит определить нейтральный угол а! (практически в долях от у, при проектных расчетах), а затем и параметры прокатки. Полагаем, что при прокатке отсутствует уширение и поэтому скорость материала будет зависеть от площади сечения (высоты сечения) деформируемого материала как в зоне отставания (дуга В1А1), так и в зоне опережения (дуга А101). При заданных значениях Нн, г\, гъ ^к, ®1,ю2 (рис. 1) определим угол захвата у1 для верхнего валка 1.

Толщиной Нн захватываемой половы 3 является хорда А1А2 = Нн окружности радиусом г3, которая контактирует с валками в точках В1 и В2. Для прямоугольного треугольника Е1Е2р2 можно записать

• о, Е202

Б1П 1 = - 2 2

^2 —

е1б2 о1о2

бш у (г2 - г)

' А ’

где А - межцентровое расстояние ОО2: А = г + 5 + г2.