Устойчивость движения шипа в подшипнике скольжения и его автоколебания с учетом гидродинамики смазки и центробежных сил Текст научной статьи по специальности «Физика»

А

МЕХАНИКА

УДК 621.822.171-251

Нгуен Ван Тханг, Д.Г. Арсеньев, А.К. Беляев

устойчивость движения шипа в подшипнике

скольжения и его автоколебания с учетом гидродинамики смазки и центробежных сил

Наиболее серьезной и частой причиной, вызывающей неустойчивость ротора и появление самовозбуждения, является действие смазочного слоя в подшипниках скольжения. В этом случае амплитуды колебаний превышают допустимые.

Данная статья является продолжением исследований, опубликованных в работах [1, 2]. Динамике роторов в подшипниках скольжения посвящена обширная литература, но все авторы используют обычное уравнение для течения масла в зазоре (т. е. уравнение Рейнольдса) без центробежных сил. В этих публикациях рассматривается движение ротора либо с учетом только гидродинамических сил [3, 4] либо гидродинамических сил и сил трения [5].

Целью настоящей работы является исследование устойчивости положения равновесия шипа в подшипнике, заполненном маслом, с учетом центробежных сил и гидродинамики смазки, а также автоколебания около положения равновесия в случае как жесткого, так и гибкого вала.

Силы реакции от смазочного слоя, действующие на шип в подшипнике скольжения

В общем случае объектом исследования является упорный подшипник скольжения, который состоит из трех частей (рис. 1, а). В данной статье исследуется случай, изображенный на рис. 1, б. Несжимаемое масло находится в зазоре между цилиндром 2 и вращающимся плавающим валом 1 (ротором). Цилиндр вращается с угловой скоростью ю2, причем его ось вращения фиксирована в пространстве (как и

втулка в общем случае); угловая скорость ротора равна юг

В работе [ 1] получено выражение для ширины зазора (толщина смазочного слоя) (рис. 1, б):

AB = h1(01,t) = h01 - e1(t )cos 0X; _ h

h1 = —- = 1 - s1 cos 01, h01

(1)

где s1 = e1jh01; h01 = R2 - R1— номинальный зазор; e1 = e1(t) — эксцентриситет центра плавающего ротора.

В работе [1] также введена величина Y1 =Y1(t) — угол, описывающий положение линии между центрами плавающего ротора и вращающейся втулки. Пусть в момент времени t = t0 центр ротора 01 занимает положение, соответствующее эксцентриситету e01 = e1(t0) и углу у01 =Y1(to), тогда

01 = Ф) = 9"Y1(to) = Ф-У 01;

h1(01,to) = ho1 - eo1 cos 01,

а выражение для силы на единицу длины, действующей на ротор, имеет вид

1 L/2

q01 = L i (P01 - P01)d Z--

L -L/2

2

uL (ra, +ra2)_ _

=—2 qo1 = г%ь 2h01

(2)

где

Рис. 1. Схематическое представление упорных подшипников скольжения: а — общий случай с тремя цилиндрами, б — обозначения в системе втулка — ротор (см. текст); 1 — плавающий ротор; 2 — плавающяя втулка (кольцо); 3 — фиксированный цилиндр (корпус подшипника); 4 — несжимаемое масло (4-1 — внутреннее поле, 4-2 — внешнее поле); ю1, ю2 — угловые скорости вращения элементов 1 и 2

001 = 2 s

2 Yi

+Ш2

-1

s1 sin 01 +

га, +ra

-cos 01

г =

(1 -s1 cos 01)

-3

цХ (ю1 +^2). 2^012

(3)

(4)

0 h1 2п

3

(5)

Fp = -1LR1 j 001 sin 0^ = 0

T R л 2: sin2 V01 = -хЩ AS1 j -=3-^,

0 h1

(

где A =

2 Y1

Л

v®1 + ®2

-1

s1; B = -

2 s

ra, +ra

(6)

12

г d 01

Введя обозначение Jn = f^1, мы

n J !„n

0 =1

можем

вычислить проекции силы F1 в формуле (5) через Jn :

p01 = p01(r, ф, z,t) — функция глобального давления в зазоре 4-1; p01 = p01(r, q>,t) — функция давления на концах подшипника; ц, L — соответственно динамическая вязкость смазки и длина подшипника.

В локальной системе координат (01^1, O1^1), где направление O1^1 соответствует 01 = 0,, проекции силы F1P , действующей на ротор со стороны смазочного слоя, имеют следующий вид:

F1P = -XLR1 j %1 cos 01d01 = 0

= ^LRkB Jcos2 01d 01-

FP -vTR B 2( °Os2 У 01

=~KLR1B J -p-=

0 h1

MM [J1 - 2J2 + J3 ];

1

vp TR. 2sin20^0

F1^=-XLR1 A J—=3— 2yLRx A

(7)

0 h1 J1 + 2J2 +(s2 -1) J3

Нетрудно получить следующие выражения для J1 — J3 (см. работы [6, 7]):

Т - • Т -

J1 - w ; J 2 - 3

(1 -2 )/2 (1 )3

J3 =

/ Ч 5

(1 )

1 + -ei

Подставив значения интегралов из формулы (8) и значения А, В из формулы (6) в выражения (7), получаем формулы для проекции силы FlP :

Fl(=-xLRlB

1 + 2е2

(1 -е2);

-щ (61)

2 в

Ют +ю

F^=-гLRl Ли

(9)

(1 _82);

где

Т1 (*1)

-кТ2 (61)

1 + 2е2

(1 -е? У

2 У1

Ю1 +ю

^ 1

-1

2 )

Т2 Оп )

(1 -е2 У

к = x^LR1 =

3

рлХ R1 (ю1 + ю2)

2к

(10)

01

Очевидно, что Т(е1) >0и Т(е1) ^дапри в1 ^ 1(/ = 1,2) (рис. 2). Из формулы (9) следует, что сила F1P , действующая на ротор со стороны смазочного слоя, может достигать большего значения. Кривые 1 и 2 не совсем совпадают ввиду того, что в анализе у Тондла [8] давление считалось одинаковым вдоль оси Ох, т. е. не учитывалось течение вдоль подшипника.

Пусть ротор (01, R1) нагружен постоянной силой QP = т^ . Обозначим координаты равно-

е1, у1), тогда ¿1 = 0, у^ = 0. Из уравнений (9) следует, что

FlP (81, у*) = 0; %= FlPx (еГ,уГ) = кТ2{*\).

Из условия равновесия сил нетрудно получить, что

У* = 3я/2; QP = т1 g = ),

(11)

где е^ е[ 0,1].

Формула (11) показывает, что в положении равновесия центр ротора О1 всегда находится

а)

р

) )

2Ь < О 7 / ч

В..И-. 1 1

0,2

0,4

0,6

0,8

б)

80 70 60 50 40 30 20 10

с

- < I

- о

- о о

- о

- о о о

- < о

■ о о о

- 0° 1

•у-Г-ССС поссм

0,2

0,4

0,6

0,8

Рис. 2. Сравнение полученных по формуле (10) расчетных результатов (кривые 1) с данными Тондла [8] (кривые 2), рассчитаными при ь/Яг «1 (короткий подшипник) без учета течения вдоль подшипника: а — Т1(е1), б — Т2(е1)

на горизонтальной линии, которая проходит через центр втулки О2, и эксцентриситет в^ пропорционален массе ротора.

Исследование устойчивости положения равновесия шипа

Ротор с массой 2т1 вращается в двух одинаковых подшипниках скольжения. Система

1

1

1

2

2

1

симметрична, поэтому для простоты рассмотрим только движение шипа с массой т1, вращающегося в подшипнике скольжения с втулкой (см. рис. 1,а). Пока не будем учитывать влияния внешнего поля смазки 4-2 и рассмотрим систему втулка-ротор. Ее система отсчета закреплена в центре втулки, несжимаемое масло 4-1 находится в зазоре между втулкой (О2, R2) (ее ось вращения фиксирована в пространстве) и вращающимся плавающим ротором (0^^ (см. рис. 1,б). Втулка вращается с угловой скоростью ю2, которая была получена в работе [2], а ротор — с угловой скоростью ю1.

Пусть точка G — центр тяжести массы шипа или приведенной массы (рис. 3), причем расстояние этого центра от центра шипа 0^0 = в (для жесткого вала г = 0); эксцентриситет центра шипа относительно втулки 0201 = е1; (х, у) и (х, у)— соответственно координаты центра шипа и его центра тяжести. Вал вращается вокруг собственной оси со скоростью ю1, откуда координаты центра тяжести G можно представить в следующем виде:

x = x + s cos Ojt; y = y + 8 sin Ojt.

(12)

mx = mg + F1p cosф-F^ sinф; my = Ff sin ф + Fcos ф.

Замечая, что ф = у1 -% и подставляя выражения (12) в формулу (13), получим:

X = g + —^Fp sin y1 - F1p cos y1 j + sraj2 cos ra1t; y = —i- ^ F1p sin y1 + F1^ cos y1 ) + sc>2 sin ra1t.

Уравнения движения центра тяжести шипа имеют следующий вид:

Выразим теперь x и y через полярные координаты e1, ф: x = e1 cos ф; y = e1 sin ф.

После дифференцирования и подстановки в уравнения (14) приходим к уравнениям движения в полярных координатах:

1

г1§

e1 " У^1 =-g cos У1 + — F& -

.2,

m

—вю2 (cos ra1t cos y1 + sin ra1t sin y1 );

(15)

УЛ - 2e1 У1 = gsin У1 +—FiPp + m

+вш2 (cos Qjt sin Yj - sin Qjt cos Y1 ).

Разделив уравнение (15) на радиальный зазор h01 и подставив вместо величин F^, F^ их выражения (9), получим следующие уравнения:

ё1 - yjs1 =■

h01

cos Y1

m1h01

Щ (81) 2S1

C>1 +&2

-soj2 (cos ra1t cos y1 + sin ra1t sin y1 );

УЛ - 2 S1У1 =-T~ sin У1" h01

(16)

1

m1h01

kT2 (81)

2 У1

+Ю2

— 1

+ sc>2 (cos ra1t sin y1 - sin ra1t cos y1 ),

где s =s/ h01.

Прежде чем получить уравнения возмущенного движения, надо найти условие равновесия. Уравнения (16) являются нелинейными дифференциальными уравнениями. С помощью Рис. 3. Схематическое представление движения шипа метода Пуанкаре мы можем линеаризовать эту в системе шулк:а-ротор систему. Здесь, однако, имеет место более слож-

1

ныи случаи, поэтому придется воспользоваться методами, дающими только приближенное решение. Прежде всего, определим положение равновесия шипа и исследуем собственную частоту колебания шипа около этого положения, а также его устойчивость. Рассмотрим два случая определения положения равновесия шипа. Первый случай — это когда ротор является жестким валом, т. е. в = 0 ; тогда, подставив условие равновесия в]1 = 0, у]1 = 0 в уравнения (16), нетрудно получить результат, который полностью совпадает с условием (11). Второй случай — ротор является гибким валом, т. е. в > 0 ; если подставить условие равновесия в]1 = 0, у^ = 0 в уравнения (16), то не удается определить положение равновесия шипа из-за того, что количество неизвестных (три) больше, чем количество уравнений (два). Имея в виду периодическую силу инерции, действующую на шип и обусловленную эксцентриситетом его центра тяжести, можно заключить, что установившееся вынужденное движение происходит с периодом возмущающей силы T = 2^га1.

Определим положение равновесия шипа следующими уравнениями:

1 т * 1 т *

-{в!^ = в*; -= У*.

(17)

Вводя подстановку

81 к) = В* +впк); У1 к) = у* +711 к), (18) где в11, у11 — координаты движения около данного положения равновесия, получим из уравнения (17):

1 т 1 т

- |вп ^) Л = 0; - |уп к) Л = 0;

T

1 т 1 т

-\ВЦ ^)Л = 0; -\уп ^)Л = 0.

T л T л

(19)

- („•+з„)=-(в;)+г дт М

11

Зв*

д2Т

(-•)

+ ~811 „ *2 7 +... ( =1,2). 2 8е,

Подставляя уравнения (18) и (20) в уравнения (16) и пренебрегая членами более высоких порядков, получим:

вп =--cos

¿01

(у* +711 )-

1 -к- 2ёи

^1^01 Ю1 + Ю2

! л дТ1 ) -1 (в* ) + 8 ^ '

11 Зв*

— ею2 cos (ю^ -у1);

Уи8* = (У* +У11 )"

(21)

01

т1к01

2 Ун

-1

Ч®1 +®2 )

,(^1)- 0-2(8*'

+ 8

11

9е,

-8Ю2 sin(ю^-у1).

Помня принятое допущение о малости величины у11, можем сделать следующие упрощения:

008 « 008 8Ш

« 8in 008 8in

- У1) = 008 - У* - У11) -(га^-у* ) + Уll8in (ю^-у*);

- У1) = 8in - У* - У11) « (га^ -у* )-У11008 (ю^ -у*);

(у* + У11) = 008 У* - У11У*; (У* +У11 ) = 8in У* +У11008 У*.

Если ограничиться малыми колебаниями, то можно пренебречь всеми членами, начиная со второго порядка и выше, т. е.

222

¿11, Уп, Уп, Уп8п, е11е11и т. д. Допустим, что эксцентриситет центра тяжести в также мал, так что можно пренебречь членами высших порядков, начиная с ву11.

Разложим функции — ( I = 1,2) в ряд:

При этом получаем преобразованные уравнения движения:

1

еи = —

-к-

2 в

11

т1^01 «>1 +Ю2

-1 («г)

3—1 (в*)

+ е11 Д

Зв,

(008у* — у11 8Шу*^ — В®2 008(ю^-у*(22)

1

Тие1 =-

тАп

2 711

-1

Vю! +®2

Т С \ дТ2 (Е*) Т2 (ё! ) + е

9е,

(22)

cos у* = 0;

~Г sin =--^ л2

¿01 тА1

2Т1 (в*)

к . g £511 - ; 811 7ц

"'1"01ш1™2 "01 - 2 Г 3л"

— 8Ш1 cosI ю^-— |;

к 2Т21е1

71181 =■

(-•),

т1^01 Ю1 + &2

к / л - 2

7ц +

т1Н{

01

н--:— Т^'^е* ^Вц -ега^т| ю^-— |.

3% 2

2Т1 (в*)

.. _ к "-чу1). g 811 ~ 811 711>

т1"01 ®1 +®2 %

к 2Т2 (8*). к

---— 711 +-

тДи ®1 + ®2 т1к0)1

7и81 =

711 + ~^Т2 (8*)811.

Ищем решение в виде

в11 = Сехр(А,г); у11 = Бехр(А,г);

при этом характеристическое уравнение принимает вид

•л 4 8, л +-

(sin у* +у11 ео8 у*)- ею2 sin (ю1? -у*).

Интегрируя эти уравнения от 0 до Т и используя выражения (19), имеем:

(23)

Пусть

*

^0 = 81 ; $1 —

2к * 81Т1

(®1 +®2 )

2к 2 Т (

(®1 +®2 )_

% Т2'(в* ) =

2к

^в* ) + 72 (е*) Г1 (8* )Т2 (8* )

+

^ +

(26)

Видно, что условие формул (23) полностью совпадает с условием (11), то есть при малых эксцентриситетах ё условий равновесия для гибких и жестких валов совпадают.

Преобразуя уравнения (22) с помощью (23), получаем следующую систему уравнений возмущенного движения:

$2 =

тА1 (®1 +®2 ) 2к

т^ (©1+^2)

8!Т1 1&1

(8* ) + Т2 (8*)

Т1

а3 = 0; а4 =

kg

Т2

тЛ1 1

1 (8* )Т2 (8*);

(24)

тогда уравнение (26) приводится к следующему виду:

а0Х4 + а1^3 + а^Х2 + а3Х + а4 = 0. (27)

Согласно критерию Рауса—Гурвица [9] для системы второго порядка, система (25) будет асимптотически устойчива, если все коэффициенты уравнения (27) положительны, равно как и все миноры:

Д1 = а1 > 0; Д2 =

а1 а3

а0 а2

= а1а2 - а0а3 > 0;

2

Д3 = а3Д2 -а1 а4 > 0; Д4 = а4Д3 > 0.

Поскольку а3 = 0 , то Д3 = -а1 а4 < 0; Д4 = = а4Д3 < 0. Поэтому система (25) неустойчива, следовательно положение равновесия для движения шипа в подшипнике скольжения (16) неустойчиво в первом приближении.

Известно, что уравнения первого приближения во многих случаях дают верный ответ на вопрос об устойчивости движения, но очень часто заключение, которое можно получить из этих приближенных уравнений, не имеет ничего общего с решением исходных уравнений. Некоторые авторы пытались исследовать нелинейные дифференциальные уравнения дви-

Известно [9], что устойчивость линейной системы (в данном случае (24)) определяется устойчивостью ее однородной системы (ё = 0 ):

(25)

1

к

2

жения [10], т. е. в этих уравнениях учитывается совокупность членов, зависящих от отклонений еп, уп в степени выше первой. Общие методы исследования устойчивости движения Ляпунова сильны прежде всего своей универсальностью. Для того, чтобы рассмотреть влияние структуры сил на устойчивость движения шипа, запишем правую часть уравнения (25) в матричной форме:

Q = -Сл - А4,

(28)

где введены вектор обобщенной силы

т

Q = (0-, ) и вектор обобщенной координаты

т

q = (в11, уп) ; С., В.— квадратные матрицы порядка 2 х 2 с постоянными элементами:

С =

в =

о

)

2кТ. (в*)

т^ 0

л

га. + га

2

2кТ2 (в*)

га. + га

2

Видно, что В1 — симметричная матрица. Разобьем матрицу С1 на симметричную (С) и кососимметричную (Р) матрицы; таким образом получаем:

С = Ст =-2

2 (с.+т )=

2 - кт2 (в*))

2 (т^ - кТ2'(в*)) 0

р = -Р = 2 (с, -

2 (С. -СТ )=

2 (т. ¡1+кт2 (в*))

(29)

- 2 (т1^ + кТ2 )) 0

ляется неконсервативной и сила D = -B.il с симметричной матрицей В1 является диссипатив-ной. Нетрудно заметить, что из формулы (29) неконсервативная сила R ф 0 , откуда по теореме об устойчивости движения следует, что положение равновесия движения шипа в подшипнике скольжения, находящегося под действием произвольных неконсервативных сил и линейных диссипативных сил, всегда неустойчиво независимо от членов высшего порядка [9, с. 196].

Приближенный анализ автоколебаний ротора

В работе [2] и в предыдущих параграфах были выведены основные зависимости для гидродинамических сил реакции от смазочного слоя на шип, вращающийся в подшипнике скольжения, с учетом гидродинамики смазки и центробежных сил и определено статическое положение равновесия. Кроме того, было установлено, что положение равновесия движения шипа в подшипнике скольжения неустойчиво для случая второй гипотезы — Зоммерфельда [2, 6]. Для случая первой гипотезы [2] условие устойчивости приближенно удовлетворяется при в]1 > 0,7 [6, 8, 11, 12]. Для данного значения в]1 е [0,1] существует только одно положение равновесия

у^ из условия (23).

Остановимся подробнее на соотношениях (28), определяющих обе составляющие силы, действующей на шип:

„ 2кТ1 (Б*) -

=--— е.х -ть?уп;

га. + га2 2кТ2 (в* ] *

у.. + кт2 (В! ]Вц.

(30)

га. +га

2

В предыдущих параграфах было показано, что к > 0 и Т > 0, Т > 0 (/ = 1,2). Когда шип находится в положении равновесия ^, у]1), причем у^ = 3%!2 и в]1 е [0,1], то первые слагаемые уравнения (30) равны нулю, т. е.

2

Теперь вектор силы Q = K+R+D, где сила К = -С1 с симметричной матрицей С является потенциальной или консервативной, сила R = -Р1 с кососимметричной матрицей Р яв-

2кТ. (в*) 2кТ2 (в*)

га. +га2

811 =

га. +га2

у.. = 0.

Положим, что шипу сообщен импульс, заставляющий его совершать движение с некото-

0

0

0

0

рой скоростью в^ у1 = V, в результате у11 > 0, уп > 0 ^ Q^< 0, Qц < 0. Через некоторое время центр шипа достигает положения 1 (рис. 4), где импульс силы Qц компенсирует первоначальный импульс шипа, здесь еп < 0, ¿11 < 0, в результате первое слагаемое положительно и возрастает, тогда как величина Qц еще отрицательна, откуда через некоторое время центр шипа вернется и достигнет положения 2 и т. д. Другими словами, центр шипа проходит точки 3, 4 и описывает кривую К.

Допустим далее, что установившееся движение вокруг неустойчивого равновесия может быть приближенно представлено в виде замкнутой кривой. Если (в1, у?) — координаты движения вдоль этой кривой, то для действительного движения можно записать:

81 (г) = е? +5вп('); У1 к) = У1 +5уп(г), (31)

где 5 — постоянная, малая по величине.

Обратимся снова к уравнениям (16) в виде

m

hoi (Yi^I + 2éiti ) = mig sin Yi -

-Щ (ei )

mih0i (ëi - tisi ) = -migcos Yi -2 s

_

Qi +Ю

- s®jîmi cos (of - y i ) ;

(32)

Рис. 4. Схематическое представление автоколебаний шипа: К — траектория, которую описывает центр шипа через позиции 1 — 4, V — начальная скорость шипа

-T2 (si )

2 ti

ш1 + ю2

--1

-8®2m1 sin (œft -у1 ).

Полагая эксцентриситет центра тяжести равным нулю, т. е. 8 = 0 , мы можем представить уравнения (32) в виде

/ (81,¿1,81,У1,У1) = 0; (8,8,^,У1,У1) = 0. (34)

Члены этих уравнений имеют размерность силы.

Умножив первое уравнение на

й?1 = Н01й 81 = Н01 йг, а второе уравнение на сСг

?1й у1 = Н0181С у1 = Н0181йг, получим элемен-

йг

тарную работу, необходимую для перемещения центра шипа вдоль линии центров на й?1, а по нормали к ней — на ?1й у1. Подставляя вместо 81 (г), у1 (г) соответствующие члены из (31) и преобразуя, имеем:

/ю (ё?, ¿?, 8?, у?, ц) =

= 5^1 (ё?, ¿1,8? ^ ё^ Sl, у?, у1 , у^ Уl, 5) Л;

/20 (ё?, е? , у?, у? )е? уС =

= 5у 2 (¿?, Е?, ¿1,81,, у?, у? ,у„ У1, У1,5) йг.

Функции /10, /20 получаются из функций /1, /2 при 5 = 0 с помощью соотношения (31). Разложив функции /1, /2 в ряд по 5, отнесем к ^1, ¥2 все члены, содержащие 5 . Пусть период обращения по кривой К будет Тк = 2я/. Определим координаты (е?, у?) так, чтобы работа, совершенная силами за период Т, была равна нулю, т. е.

i í \ T- ¡ fi)) (ëf, éf, sí, yf, yf )èfdt = 0;

TK о

i TK , ч

T- i f20( Èf,ef,yf,ff,Yf )efyfdt = 0.

TK )

(35)

Аппроксимируем движение по замкнутой кривой движением по эллипсу. Безразмерные координаты этого эллипса будут иметь вид

a = bcosШ; s,*B = csinQft,

где Qj — угловая скорость; b, c — соответствено смещение и угловое смещение относительно среднего положения, определяемого координатами ^, yj j.

Поскольку имеется три неизвестных постоянных (b, c и Qj) и только два уравнения, то из условий (35) найдем отношение b/c и величину Q,.

Таким образом, координаты (е?, у?) задаются соотношениями:

* * * c

8? =8* + bcosQ,t; у! = y* + Р = у* +—sinQ,t. (36)

Сделаем еще одно допущение, а именно, положим, что Ь < 8^. Разложим теперь функции

T

i ) (i = 1,2)

в ряд:

Ti (е? ) = Ti (S* + b cos Qi) =

= T

k

Ш, +Ю2

b2Q 2T (ei ) + 8 b 4Q2Ti"(b* )

mgbQ,c sin y*

2s,

1 - !-c2

8 /

*2 (Bl)

= 0;

2k

Ш, +Ю2

2 8

1 ^ ^2 (Ei ) + 3

( \

c

*

Is*

b ^'(в*) +

3 c

+--- b2Q

16 s*

^(в* )

- k

1 c

2 7

* bQ1T2 (S1) + 1 cbQ1T2 (S1) + 1 2

3c

16 8,

+ b3Q1T2"(8*) 51

1 bc . *

-- mg—sin y*Qi

2 s,

1 -1

= 0.

Полагая, что движение происходит около положения равновесия, т. е. выполняется условие (23), переходим после преобразований к следующим уравнениям:

2s*

= (®i +ю2) b

! (**)+8 b'Ti" (-1*) в);

1 -1 ^ I т,

8 8

(ю, +ю2 )

= 2а-

1 c2 т 8 8,

T2 (ч*)+4 f T2'(e;)+8 b2T2"(ei*)

(Sl* ^'(е**) + 3 b2T2" (в**)

3 b

4 в

8

32

(s*) + b cos QitT '(s*) + (37)

+2 b2 cos2 Qt7i-"(s*) +...

Подставляем соответствующие выражения (36) и (37) в уравнения (35); после интегрирования, проведенного при допущении выполнения всех условий, получим:

Пренебрегая членами с b2 и c2 , получим: 2s*Qi71 (s*) « (га, + ^2 )^т2 (sl*); (га, + Ш2 )S*T2' (s*) ~ 2Q1 "b"T2 (s*) •

(38)

Следовательно,

2Q, T2'(B* )

®1 +®2 \ Ti Л)

b т

(39)

Соответствующий график приведен на рис. 5.

Итак, отношения 2П1/(га1 + ю2), с/Ь найдены при допущении, что Ь < е^, т. е. что траектории, описываемые центром шипа, не охватывают центра втулки.

Аналогично исследуем случай при Ь > е^, когда траектории, описываемые центром шипа, охватывают центр втулки. Движение по данной кривой приближенно описывается уравнениями, аналогичными уравнениям (36):

81 = Ь + е*^ Щ; Уе =у* +0,^. (40)

В результете аналогичного преобразования получим:

2П т2 (е*) ( 2П

ю, +ю

+ 8,

2

T2 (в* ) ; 8*Ti (b);

1 —

ю, +ю

{2bT2 (b )-

(41)

П{Ь )+- bT2'(b)

-8*т2 l^i

c

2

*

2

с/Ь-12-

108-

642

0 т 0,2 т 0,4 т 0,6 т 0,8 т *

£1

Рис. 5. График зависимости отношения с/Ь от б^ для гипотезы Зоммерфельда и при условии Ь < в*

Систему уравнений (41) можно решить только численно. Подставим первое уравнение (41) во второе, выбрав ряд значений от 0 до 0,5 с равным шагом 0,1; тогда получим дискретные значения Ь, а потом подставим эти значения Ь в первое уравнение, чтобы получить 2П1/(ю1 +ю2). Результатом являются три графика, приведенные на рис. 6.

Из анализа данных рис. 5 и 6 можно сделать следующие выводы:

1. Из графика функции Ь— (рис. 6, а) видно, что метод, рассмотренный выше, справедлив до значения б* = 0,3. Для б* > 0,3 следует применять первый из методов, изложенных в

1 *

данном разделе, при Ь < б1 .

2. Из графика зависимости отношения с/Ь от б* (см. рис. 5) видно, что при б* < 0,3 замкнутая кривая, по которой движется центр шипа, есть окружность, радиус которой Ь получен из графика рис. 6, б на интервале 0 < б* < 0,3 и с угловой скоростью 01, чуть меньшей, чем (ю1 +ю2)/2 (рис. 6, в).

3. При б^ > 0,3, с/Ь > 1,5 (см. рис. 5) центр шипа движется по эллипсу с угловой скоростью 01 = (ю1 + ю2 )/ 2, определяемой формулой (39).

Настоящая работа посвящена исследованию устойчивости положения равновесия шипа в подшипнике, заполненным маслом, с учетом центробежных сил, а также автоколебаниям

эксцентриситета б^ (при условии Ь > е*): а — величины (Ь -е*), б — амплитуды, в — частоты

около положения равновесия как для жесткого так и для гибкого вала. Интегрированием функции давления по поверхности зазора были получены явные выражения для сил реакции

со стороны смазочного слоя как на ротор, так и на втулку подшипника. Определено условие равновесия для движения шипа в положениях равновесия в подвижных осях. Согласно результатам проведенного исследования, положения равновесия шипа в подшипнике скольжения оказались неустойчивыми, причем траектория

автоколебания в одном случае есть окружность, а в другом — эллипс. Угловая скорость автоколебания шипа равна или чуть меньше половины суммы угловых скоростей ротора и втулки (см. [2]). Исследование устойчивости движения втулки с учетом влияния внутреннего и внешнего полей смазки может быть проведено по аналогии.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Нгуен Ван Тханг. Силы и моменты, действующие на ротор в упорном подшипнике скольжения, с учетом гидродинамики смазки и центробежных сил [Текст] / Нгуен Ван Тханг // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. - 2011. - № 1(116). - С. 116-122.

2. Нгуен Ван Тханг. Определение скорости вращения втулки в упорном подшипнике скольжения с учетом гидродинамики смазки и центробежных сил [Текст] / Нгуен Ван Тханг, Д.Г. Арсеньев, А.К. Беляев // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. - 2012.- № 2(146). -С. 156-163.

3. Dubois, G.B. Analytical derivation and experimental evaluation of short-bearing approximation for full journal bearing [Text] / G.B. Dubois, F.W. Ocvirk // Cornell Univ. Report. -1953.- No. 1157. - P. 119-127.

4. Пешти, Ю.В. Проектирование подшипников скольжения с газовой смазкой [Текст] / Ю.В. Пешти. - М.: МВТУ им. Баумана, 1973. - 171 с.

5. Максимов, С.П. Автоколебания роторов, вызванные масляным слоем подшипников скольжения [Текст] / С.П. Максимов // Труды ЦКТИ. Котлотур-бостроение. - 1964. - № 44. - С. 87-96.

6. Коровчинский, М.В. Теоретические основы работы подшипников скольжения [Текст] / М.В. Коровчинский. - М.: Машгиз, 1959. - 405 с.

7. Belyaev, A.K. Forces and moments acting on the rapidly rotating floating bearing [Text] / A.K. Belyaev, Nguyen Van Thang // 36th International Summer School -Conference APM' 2008. Repino, Saint Petersburg, Russia. - P. 104-111.

8. Тондл, А. Динамика роторов турбогенераторов [Текст] / А. Тондл. - Л.: Энергия, 1971. - 390 с.

9. Меркин, Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения [Текст] / Д.Р. Меркин. - М.: Наука, 1976. - 320 с.

10. Boyaci, A. Analytical bifurcation analysis of a rotor supported by floating ring bearings [Текст] / A. Boyaci, H. Hetzler, W. Seemann // Nonlinear Dynamics. Berlin: Springer, 2009. - Vol. 57. - P. 497-507.

11. Hatakenaka, K. A theoretical analysis of floating bush journal bearing with axial oil film ruptures being considered [Text] / K. Hatakenaka, M. Tanaka, K. Suzuki // Journal of Tribology. - 2002.- Vol. 124(3). - P. 494-505.

12. Гургвиц, А.Г. Устойчивость движения валов в подшипниках жидкостного трения [Текст] / А.Г Гургвиц, Г.А. Завьялов. - М.: Машиностроение, 1964. - 145 с.

УДК 539.3

В.М. Жгутов

геометрически нелинейные математические модели термопластичности оболочек переменной толщины

Оболочки как элементы разного рода конструкций широко применяются в различных областях техники и строительства.

Тонкостенные элементы современных конструкций в виде оболочек предназначены для работы под воздействием механических нагру-

зок (как статических, так и динамических) и нередко температурного поля, обуславливающего появление чисто температурных деформаций.

Для придания в нужных местах большей жесткости профиль тонких оболочек может иметь плавные утолщения. С целью повышения