CC BY
52
УДК 532.5; 532.135; 621.822;681.3.06
ДИНАМИКА ГИБКОГО АСИММЕТРИЧНОГО РОТОРА НА ТРЕХСЛОЙНЫХ ПОДШИПНИКАХ СКОЛЬЖЕНИЯ
В.Н. Прокопьев, В.Г. Караваев, Е.А. Задорожная, H.A. Хозенюк
Сформулирована методология решения задачи расчета динамики гибкого асимметричного ротора, опирающегося цапфами на два подшипника скольжения с пакетом плавающих втулок. Задача сводится к решению системы из двадцати четырех уравнений движения пяти элементов ротора, плавающей невращающейся моновтулки и двух вращающихся втулок.
1. Введение. Для уменьшения уровня вибраций малоразмерных роторных машин и, в частности, турбокомпрессоров систем наддува двигателей внутреннего сгорания применяются конструкции подшипников ротора с плавающей вращающейся (ПВ) или невращающейся (ПН) моновтулкой. Такие подшипники содержат два смазочных слоя и являются двухслойными.
При некоторых сочетаниях конструктивных и режимных параметров системы ротор-подшипник размеры орбит, по которым движутся цапфы ротора и плавающие втулки, существенно возрастают, хотя и остаются ограниченными. Для уменьшения уровня колебаний ротора и втулок, а также передаваемых на подшипники нагрузок могут найти применение конструкции подшипников с тремя смазочными слоями. Это достигается установкой в корпус роторной машины пакета плавающих втулок: ПН моновтулки и двух ПВ втулок.
Конструкцию ротора турбокомпрессора ТКР-8.5С с трехслойными подшипниками иллюстрирует рис. 1. Первый (внутренний) смазочный слой 15 ограничен поверхностью цапфы ротора и внутренней поверхностью ПВ втулки 2, второй (промежуточный) слой 11 образован наружной поверхностью ПВ втулки и внутренней поверхностью ПН моновтулки 6, зафиксированной от вращения штифтом 13, третий (наружный) слой 10 - наружной поверхностью ПН втулки и поверхностью корпуса 6.
Смазка подается через отверстие 8, заполняет окружную смазочную канавку 14 на наружной поверхности моновтулки и наружный смазочный слой 16. Через отверстие в ПН втулке смазка заполняет сегментную канавку 10 на внутренней поверхности ПН втулки и второй смазочный слой 11. Через шесть радиальных отверстий 12 смазка поступает во внутренний смазочный слой 15.
Если считать ротор с массой 2т жестким и симметричным, его подшипники можно рассчитывать, воспользовавшись моделью автономного подшипника [1-3]. Итогом расчета являются параметры расчетных траекторий (орбит), по которым под действием приложенных нагрузок движутся центры цапф ротора и втулок, а также гидромеханические характеристики: минимальные толщины смазочных слоев, гидродинамические давления, потери на трение, расходы смазки ит. д.
В реальных конструкциях, например в конструкции турбокомпрессора ТКР-8,5С, инерционные характеристики турбинного и компрессорного колес отличаются более чем в два раза; колеса ротора несимметрично расположены относительно подшипников, а диаметр вала 5 меняется от 17 мм в районе турбинного колеса до 8 мм - около компрессорного. Под действием нагрузок ступенчатый вал ротора деформируется таким образом, что все точки его оси движутся по различным траекториям, а консольно расположенные турбинное 7 и компрессорное 1 колеса совершают сложные прецессионные движения. Геометрические центры цапф и втулок движутся по некоторым траекториям, параметры которых для левого и правого подшипника отличаются. Движения шипов (цапф) каждого подшипника не может рассматриваться независимо, т. к. между цапфами существуют упругие связи - вал ротора. Поэтому расчет подшипников скольжения должен происходить в рамках решения связанной задачи динамики гибкого ротора на подшипниках с пакетом плавающих втулок.
Практические результаты в области расчета динамики гибких роторов на обычных (однослойных) подшипниках скольжения получены в работах Рула и Букера [4], Нельсона, Мак-Во [5], Кирка и Гантера [6], Лунда, Орката [7], Шена [8], Натараджа, Нельсона [9]. Расчету динамики
гибкого асимметричного ротора на подшипниках с плавающей вращающейся втулкой посвящена статья Ли [10], в значительной степени опирающаяся на исследования Кирка и Гантера [6].
А
Рис. 1. Конструкция ротора на подшипниках с пакетом плавающих втулок: 1 - компрессорное колесо; 2 - плавающая вращающаяся втулка; 3 - плавающая невращающаяся моновтулка;
4 - дистанционная втулка; 5 - ротор; 6 - средний корпус турбокомпрессора; 7 - турбинное колесо; 8, 9,12 - отверстия для подачи смазки; 10,14 - сегментная, кольцевая канавки;
11,15,16 - смазочные слои; 13 - штифт
Разработанная авторами методика расчета динамики гибкого несимметричного ротора на двухслойных подшипниках, т. е. подшипниках с плавающей втулкой [11], отличается от известных главным образом уточнением гидродинамической части задачи. Так при расчете поля давлений в смазочном слое и потерь на трение рассматривается реальная конструкция подшипников, на поверхностях которых всегда располагаются источники смазки. Динамическое поведение системы «гибкий ротор - гидродинамические подшипники скольжения» определяется с учетом зависимости вязкости смазки от эффективной температуры смазочных слоев. При расчете температуры учитывается рециркуляция масла из смазочного слоя в источники, также теплообмен между смазочными слоями и поверхностями их ограничивающими.
В настоящей работе методика, изложенная в статье [11], распространена на систему «ротор
- трехслойные подшипники скольжения». Содержание статьи охватывает постановку задачи рас-
чета динамики гибкого ротора, описание расчетной модели, вывод основных уравнений, а также методику расчета нагрузок, действующих на подшипники скольжения.
2. Моделирование динамики гибкого ротора на подшипниках с тремя смазочными слоями. Динамическая модель ротора турбокомпрессора с несимметрично расположенными колесами, опирающегося на два трехслойных подшипника, разработанная применительно к турбокомпрессору ТКР-8,5С (см. рис. 1), приведена на рис. 2. Ось 02 инерциальной системы координат ОХУ2 проведена через геометрические центры корпусов подшипников. Начало координат
О располагается в геометрическом центре С\ диска, моделирующего турбинное колесо при не-деформированном положении вала.
Рис. 2. Динамическая модель ротора турбокомпрессора
Ротор представлен в виде пяти масс, соединенных между собой безмассовыми гибкими стержнями (участками). Жесткостные характеристики вала ступенчато изменяются по его длине.
Две точечные массы тцк, к = 1,2 моделируют цапфы ротора. Участок вала между двумя подшипниками моделируется точечной массой т2, колеса ротора - тонкими дисками с полярными ./, и экваториальными JЭi,i-1,3 моментами инерции и массами ті. Массы дисков располагаются в центре масс соответствующих колес, точечные массы тц1, тц2, т2 сосредоточены, соответственно, в средних сечениях подшипников 2к =1,1к, к = 1,2 и участка вала / = 1ц2 - 1цХ между подшипниками.
Предполагается, что каждая ПВ втулка совершает плоское движение и моделируется цилиндром с массой твк и полярным моментом инерции Jвk, к = 1,2.
НВ моновтулка представляет собой цилиндр переменной толщины (см. рис. 1). Для снижения массы и жесткости втулки в средней ее части выполняются отверстия. Вращение моновтулки вокруг оси 2 ограничено штифтом. Зазор между штифтом и моновтулкой значительно больше, чем суммарный установочный зазор. Поэтому предполагается, что штифт не ограничивает линейные перемещения моновтулки, и ее движение в плоскости ОХУ предполагается плоскопараллельным. Движение ПН моновтулки в плоскости ОХУ штифтом не ограничено. Смещениями моновтулки вдоль оси 2 пренебрегаем. Динамическая модель ПН моновтулки представлена двумя равновеликими точечными массами тнк, ¿ = 1.2, соединенными абсолютно жестким невесомым стержнем, тиХ - ти2 =тн/2, где тн - масса моновтулки. Положения масс тнк соот-
ветствуют срединным сечениям подшипников Zk -I к . Абсолютно жесткий шток, моделирующий штифт, ограничивает лишь вращение моновтулки вокруг оси Z .
Положение всех масс определяется их расстояниями /,, i = 2,3, 1цк, к = 1,2 до центра масс
первого диска.
Цапфы, ПВ, ПН втулки и корпус разделены тонкими смазочными слоями. На рис. 2 смазочные слои представлены в виде упругих и демпфирующих элементов с нелинейными свойствами. Оси вращения цапф вала, ПВ и ПН втулок остаются параллельными.
Ввиду малости углов изгиба вала предполагается, что геометрические центры дисков и точечные массы при движении остаются в соответствующих плоскостях, перпендикулярных оси OZ . Положения геометрических центров шипов, втулок, точечных масс и дисков в системе координат OXYZ описываются координатами Хцк, Yllk, XekJek,XHk,Yllk, * = 1,2;ВД, / = 1,...,3.
Вращение дисков относительно осей координат OX,OY определяется углами 6Xl, 0Yi, г = 1,3 (рис. 3). Положительные направления отсчета углов приняты по ходу часовой стрелки, смотря, соответственно, с положительного конца осей ОХ и OY. Вращения шипов и ПВ втулок относительно оси OZ определяются углами б к, бек, к = 1,2. При установившемся режиме
а к = а = cot. где о) = const -угловая скорость вращения вала ротора, t время.
Рис. 3. Угловые координаты дисков: 1,2- проекции полярной оси диска и оси центров цапф на плоскости OYZ (а) и 0X2. (б)
Движение ротора представим следующей суперпозицией: 1 - движение оси ротора, как жесткого целого, в пределах зазоров подшипников; 2 - упругие смещения элементов ротора относительно жесткой оси (рис. 4), обозначенные символом «~».
Рис. 4. Вал, деформированный в плоскости 0X2 :
------ось центров цапф ротора;------деформированный вал
Относительные линейные Х1,У! и угловые вХг, ву, перемещения г'-го элемента связаны с соответствующими абсолютными перемещениями равенствами:
вХ:=еХ1-(¥ц1-Уц1)Ц- ву,=9„-(Хц2-Хц1)/1, ¡ = \,...,3.
Дифференциальные уравнения движения элементов ротора получим в форме уравнений Ла гранжа:
<1
Ж
í дтЛ
дТ Q„, (i)
&») дЯп
где Т - кинетическая энергия в инерциальной системе координат; {qn},{qn},{Qn} - обобщенные координаты, скорости и силы элементов ротора (n = 1,..., 4 - для дисков, n = 1,2 - для точечных масс).
Движение г'-го диска (/ = 1,3) образуется поступательными перемещениями в направлениях осей OX, OY и вращательными движениями вокруг этих осей. Введем систему координат OjXY'Z', совершающую поступательное движение в неподвижной системе координат OXYZ (рис. 5). Соответствующие оси этих двух систем параллельны. Система координат 0:г/££ закреплена на диске, оси Opj¿¡ расположены в его плоскости.
Кинетическую энергию i -го диска при расположении центра масс в О, запишем в виде:
Ti=Ta+Ti2- (2)
Здесь Tñ = 0,5m¡V2 - кинетическая энергия диска в поступательном движении, V¡ = ^xf + уf -скорость геометрического центра диска; Та - кинетическая энергия во вращательном движении диска с угловой скоростью Q относительно мгновенной оси вращения, проходящей через этот центр.
Полагая, что диск - тело вращения вокруг оси 0¡z (оси 0¡t), ¿¡, £ - главные центральные оси инерции), запишем:
Та=0,5(1э&2¥+^р1 + Щ), (3)
где J3i = Jm = Jg, J, =J$ - моменты инерции диска относительно подвижных осей OjJi,£,%;
Qni,Qg,Q^ - проекции на эти оси вектора Q угловой скорости вращения диска вокруг мгно-
венной оси вращения.
Учитывая кинематические соотношения Эйлера для левой системы координат =ésm<f>-iffsmecos<fi, Cl г, - í?cos^ + i//siní?sin^, CIq = -ф + y/cosd, из уравнения (3) находим
Tji =^J3i{lj/2Ún2 6 + e2) + Ji{-^> + X¡/C05e)2 .
В уравнениях (3) углы Эйлера обозначены следующим образом: у/ - прецессии, в- нутации, ф - собственного вращения. Угол у/ отсчитывается от оси OtX' не как обычно принято - до линии OjN, а до линии 0{L - проекции оси 0£ на координатную плоскость 0¡XY' (рис. 5, 6). Направление отсчета угла ф считается положительным по ходу часовой стрелки, смотря с конца
оси О^.
Ввиду малости угла в полагаем:
& -ф + уг; 0Yi я в cos 6Xi » в sin у/\
вyí * в cos у/ -ву/ sin у/', 6Xj и в sin yf + вцf cos у/.
Раскладывая функцию cos/9 в ряд по степеням 9, получаем:
1
Поскольку вх, + (9у, = в + в у/ , дХ{0У; - ву^х, - в у/, кинетическая энергия / -го диска во вращательном движении равна
Тц=-
ИЛИ
1
Та=~
JЗіФ\і + dyt) + J¡{а2 + 0J(éXldY¡ - 6УівХі))
где частота вращения ротора со&ф-цг.
(4)
Г
(6)
Подстановкой (4) в (2) получаем следующее выражение для кинетической энергии дисков:
то = Е+^)+~{'э,02х, +$,) + •/,^ +‘»М,-^Л,)]}- (5)
/=1,31 1
Кинетическую энергию точечной массы т2 запишем как
Тт=0,5т2(х2+Г2), а уравнения Лагранжа (1) с учетом (5) преобразуем к виду Рх = -т,Х1 + т& Ру, = ~т,У1;
М= -,]-м6Х1 + Сх,; Му/ = :п0 у^ + Су,.
Здесь Рх^Рп и Мю, Му1 - приведенные к геометрическому центру О, силы и моменты пар сил, с которыми г'-й диск действует на вал, ускорение свободного падения,
-Jicoвyi, СУ1 = ^<овХ1 - гироскопические моменты, вызываемые прецессией ротора.
Если центр масс /' -го диска не находится в его геометрическом центре О,, а корпус подшипников движется поступательно с ускорением / в положительном направлении оси 0,Х, два первых равенства системы (6) принимают вид
РХ1 = ~т1Х1 +т,{Е- ¡) + ЕХ1; Ру, = ^, (7)
2 2 где FXi = m^fi) sin(« + r¡j), FY¡ = m^jCo cos(a + 77,) - проекции на оси OiXY действующей на г'-й
диск силы, вызванной дисбалансом e¡; 77, - фазовый угол неуравновешенной массы; mj - переносная сила инерции.
Из (7) при г = 2 следуют уравнения движения точечной массы т2 :
Рх2 = -™2Х2 +т2(g - j)+Fx2 ; PY2 = -m2Y2 + Fy2 . (8)
Для определения деформированного состояния вала воспользуемся гипотезой плоских сечений. Деформации в месте расположения геометрических центров дисков и точечных масс от действия приложенных сил определяются формулами:
Ху — a¡jPXj + bjjMyj, Yy — ctjjPyj + bjjMXj j i= I,-, 3,y — lj-j 3,
&Xij = ФцРYj + YijMxj ’■> &Yij - Фу^Х] + YijMyj ; / = 1,3, 7 = 1,3.
Здесь Xtj, fjj - относительные перемещения геометрического центра О, диска и точечной массы т2 (см. рис. 5); вХ], dYlJ - относительные угловые перемещения /-го элемента ротора под действием сил, приложенных к участку ротора в месте расположения /-го элемента, отсчитываемые от линии, соединяющей центры цапф; д(/,btJ,фу,-коэффициенты влияния: а^,Ъу - линейные и
фу,7у - угловые перемещения в направлениях осей 0,X,0,Y геометрического центра Ог z'-ro
элемента от соответствующих единичных сил и моментов, приложенных к участку ротора в месте расположения j-го элемента.
Относительные линейные Xi,Yi и угловые перемещения вXl, 6Yl под действием всех сил, приложенных к ротору, получаются суммированием:
X j = апРХ1 + ЪЛМп + ai2Px 2 + ааРхз + ЪпМуг;
?i = anPYi + ЪПМХХ + ааРу2 + ЩзРуъ + ЬаМхз;
@Xij = Ф,\Рп + YnMx\ + ФцРуг + ФяРуз + YeMхз'■> ^
®Yij ~ ФцРXI + Yi\My\ + ФцРх2 + ФаРХЗ + Yi3MY3-Учитывая (7), (8), представим равенства (9) в виде
= ай (~m]Xl + m](g-j)+FX[) + bn ЫЭ1дп + GX1) + аа (~т2Х2 + m2(g- j) +
+ Рх2) + ai3 (~щХ3 + тз{ё ~ j)+ Рхз) + ЪгЗ(-JЭЗ®УЗ +&ХЗУ’
% = ал(~т{?х + FYX) + bn(-J3l8xl + Grl) + ai2(-m2Y2 + FY2) +
+ аг-з(-тзгз + Fyi) + bß(-J338X3 +G73), г = 1,...,3.
@Xi = Фи +FYl) + yn (~J3 ßxx + Gxl) + фа (-m2Yi+Fy2) +
+ фп (-тъУъ +FY3) + (-J3$Xt, + GX3);
=Фл(-™\Х\ +t»1(g-j)+FX\) + Ya(~J3Ai +Су1) + фа(-т2Х2+т2^-])+
+ Fxi) + Ф1з(~тз^з + (g -j)+ Р’хз) + Ув(~^эз@уз + Gy3), / = 1,3.
В матричной форме уравнения движения дисков и точечных масс записываются как
И
х' Фх
Y Фу
вх Л*
А. Лг.
(10)
Здесь А - матрица масс и коэффициентов влияния, X, У, вх, вг - векторы-столбцы обобщенных перемещений, Фх, фу, Лх, Лу - векторы-столбцы с элементами, определяемыми выражениями, приведенными в приложении статьи [11].
В правой части системы (10) присутствуют слагаемые X,, Р', вХ{, вУ1, нелинейно зависящие от перемещений цапф ротора. Поэтому система десяти дифференциальных уравнений движения (10) содержит 14 неизвестных. Дополнительные соотношения для Х1 Л в», ву, должны быть получены из системы уравнений движения подвижных элементов подшипников.
Система координат ОХУ (рис. 7) закреплена на корпусе роторной машины. Локальные системы Оцкхцкуцк , Овкхвкуек и Онкхнкунк, связанные с к -й цапфой ротора и соответствующей плавающей и невращающейся втулками, введены для определения реакций на подвижные элементы А:-го подшипника со стороны первого (внутреннего) Л®, 7?^ , второго (промежуточного)
и третьего (внешнего) Я(х3к, смазочных слоев. Координаты центров шипа Оцк,
втулок Овк, Оик в системе ОХУ, обозначенные на рис. 7 через Хцк,Уцк,Хвк,¥вк , Хнк, к = 1,2, определяются интегрированием следующих уравнений:
а2х
т
Ф сИ2
(12у,
г~ = тцк(ё - Л + тцкецк(о2 йоъ{о) *)- [я® - Я$ вт^г)]
1+^
»г
цк
чк л2 а2х,
тчкечк® 81П<
(а /)- И Мывк1) +Я!у1 со8(ю„*0.
/И.
с1г
Увк _ п(2)
~ж~ л
= Ив* (я - у) - К{п + И* со^(°вк1) - Рук Мювк1).
Кхк *™(Ювк{)+Рук СОАЮвк*).
от
н*
т
нк
¿Г
г*Хкл
■К\г+тнк(ё-])-Р{хк’
(И)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
— — Я^
- КУ'к л¥к •
Здесь тек , тнк - расчетные массы втулок; евк, ецк - расстояния (дисбалансы) центров масс ПВ
втулок и шипов от центров Оек и Оцк их вращения; Я®, Я® - проекции реакций гидродинамических давлений внутреннего (первого) смазочного слоя к-го подшипника на оси системы Овкху, закрепленной на ПВ втулке; Рш, Рп - внешние нагрузки, действующие на к -ю цапфу со
стороны других элементов ротора; Я$,Я$, Я^,Я$ - реакции второго и третьего смазочного слоя £-го подшипника в системе ОХУ; Jek - момент инерции ПВ втулки; тдк] ,тцк] и тцк] -силы инерции, обусловленные кинематическим возбуждением, т.е. движением корпуса турбокомпрессора в положительном направлении оси ОХ с ускорением у; М^,М^ - моменты относительно центра Оек от касательных напряжений, действующих со стороны смазочных слоев к-го подшипника на внутреннюю и наружную поверхности ПВ втулки соответственно.
Рис. 7. Система координат для подшипника с тремя смазочными слоями
В выражениях (11), (12) проекции сил , РУк , действующих на к-ю цапфу со стороны дру-
гих элементов ротора, определяются из условий равновесия сил и моментов для схемы, изображенной на рис. 8:
Рхі =-Пл = -І(А/к/£-/Лї); =~ПУІ=^(МХі/1-/іРу,);
і=1 г=1
Рхг=-Ъхг =-Е(МГ;./1-^.); ^Г2 = -Пп = -¿(МжИ-^РП).
;=1 /=1 Здесь Пш, Пук, к = 1, 2 - опорные реакции; = (¿2 - //)/ ^ =(/; -Ц)! Ь\ і = 1,...,3, /, = 0.
Реакции внутреннего (первого) смазочного слоя на £-ю цапфу ротора в системе координат ОЛТ, закрепленной на корпусе турбокомпрессора, определяются формулами:
Rxí = cos(®e^)- 4* *“(^0;
4* = Rxk M®ekt) + R(y¡ eos(mekt).
Реакции смазочных слоев каждого из двух подшипников связаны с гидродинамическими давлениями известными соотношениями
RxJk ~~гк^ \\PkJ) cos<pd(pdz; =-r^ sin<pd<pdz.
Ям
Здесь p[J){<p,z) - поле гидродинамических давлений в j-м смазочном слое £-го подшипника, определяемое интегрированием уравнений Рейнольдса; <p,z - окружная и осевая координаты смазочного слоя; Q(J¿ - активная область смазочного слоя; г/[/) - радиус шипа. Под шипом понимается: для внутреннего смазочного слоя - цапфа, для промежуточного - ПВ втулка, для внешнего - ПН втулка.
Таким образом, решение задачи расчета динамики гибкого ротора на подшипниках с тремя смазочными слоями сводится к решению системы уравнений движения (10) для дисков и центральной массы (10 уравнений) и системы вида (11)—(16) - для двух трехслойных подшипников (14 уравнений).
В процессе расчета динамики гибкого ротора на подшипниках с тремя смазочными слоями определяются траектории движения всех элементов ротора (два колеса, две цапфы и центральная масса), положение упругой линии вала ротора в каждый момент времени, а также следующие гидромеханические характеристики подшипников.
Средние за цикл:
- мощности потерь Nв смазочных слоях каждого подшипника и суммарные потери;
- расходы смазки в торцы А:-го подшипника из каждого смазочного слоя и суммарные расходы через к-й подшипник Qlk;
- расчетные (эквивалентные) температуры смазочных слоев Тг% подшипников.
Экстремальные за цикл:
- толщины смазочных слоев inf к ;
- гидродинамические давления sup р^ k .
Систему уравнений движения (10)—(16) можно использовать для расчета динамики гибкого асимметричного ротора как на трех- и двухслойных подшипниках, так и на подшипниках без промежуточных элементов. Пример расчета динамики гибкого асимметричного ротора на двухслойных подшипниках приведен в работе [12].
В настоящее время проводится адаптация численных алгоритмов, разработанных для решения задач динамики симметричного и асимметричного ротора на двухслойных подшипниках, на случай применения пакета втулок.
Представленная работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 04-01-96-088) и аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2006-2008 годы)» (код проекта РНП 2.1.2.2285).
Литература
1. Прокопьев В.Н. и др. Разработка чертежно-технической документации и проведение испытаний турбокомпрессоров ТКР-8,5 с различными вариантами конструкции подшипниковых узлов. Выполнение расчетных исследований и формулировка рекомендаций по совершенствованию конструкций подшипниковых узлов // Отчет о научно-исследовательской работе. № 01200407780, инв. № 02.200404133. - Челябинск, 2004. - 76 с.
2. Применение для роторов малоразмерных турбокомпрессоров опор скольжения с пакетом плавающих втулок/В.Н. Прокопьев, А.К. Бояршинова, Е.А. Задорожная, A.C. Фишер //Конструирование и эксплуатация наземных транспортных машин. Сборник трудов. - Челябинск: ЮУрГУ, 2002. - С. 102-113.
3. Прокопьев В.H., Бояршинова А.К., Задорожная Е.А. Многосеточный алгоритм интегрирования уравнения Рейнольдса для гидродинамических давлений в смазочном слое опор скольжения // Труды Международного форума по проблемам науки, техники и образования. Академия наук о земле. 3-7 декабря, 2001 г. - М., 2001. - С. 6-10.
4. Рул, Букер. Модель турбомоторной системы с распределенными параметрами в конечных элементах //Конструирование и технология машиностроения. - 1972. -№ 1. - С. 135-142.
5. Нельсон, Мак-Во. Исследование динамики системы ротор-подшипники методом конечных элементов // ТАОИМ. Конструирование. - 1976. -№ 2.-С. 223-231.
6. Kirk R. G. Gunter Е. Nonlinear Transient Analysis of Multimass Flexible Rotors Theory and Applications. NASA CR-2300, 1973. - 238 c.
7. Лунд, Оркат. Расчет и экспериментальное исследование влияния неуравновешенности на движение гибкого ротора // ТАОИМ. Конструирование и технология машиностроения, 1967. -№ 4. - С. 211-224.
8. Шен. Исследование динамики гибкого ротора. Часть 1. Теория // ТАОИМ. Конструирование и технология машиностроения. -1972. -№2. - С. 33-43.
9. Натарадж, Нельсон. Общий подход к определению периодических решений уравнений динамики роторных систем с нелинейными опорами // ТАОИМ. Современное машиностроение, серия Б. - 1989. -№ 11. - С. 103-109.
10. Ли. Динамика роторов на подшипниках с плавающей втулкой // ТАОИМ. Проблемы трения и смазки, т. 104. -1982. -№ 4.-С. 34-40.
11. Методика расчета динамики гибкого асимметричного ротора на подштниках с плавающей вращающейся втулкой/ В.Н. Прокопьев, В.Г. Караваев, Е.А. Задорожная, H.A. Хозенюк// Труды Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы теории и практики современного двигателестроения». - Челябинск, 2006. - С. 176-191.
12. Динамика ротора турбокомпрессора ТКР-8,5С/ Е.А. Задорожная, НА. Хозенюк, П. А. Та-раненко, И.А. Литучая // Труды Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы теории и практики современного двигателестроения». - Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2006. - С. 125-134.
