Силы и моменты, действующие на ротор в упорном подшипнике скольжения, с учетом гидродинамики смазки и центробежных сил Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

-►

МЕХАНИКА

УДК 621.822.1 71-251

Нгуен Ван Тханг

СИЛЫ И МОМЕНТЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА РОТОР В УПОРНОМ ПОДШИПНИКЕ СКОЛЬЖЕНИЯ, С УЧЕТОМ ГИДРОДИНАМИКИ СМАЗКИ И ЦЕНТРОБЕЖНЫХ СИЛ

В рамках классической теории короткого подшипника обычно рассматривается твердый вращающийся вал (ротор) внутри гнезда, которое фиксировано в пространстве. Зазор между твердыми телами заполнен несжимаемым маслом [2,4]. В данной статье исследуется базовый случай (рис. 1, а): несжимаемое масло находится в зазоре между цилиндром, вращающимся с угловой скоростью ю2, причем его ось вращения фиксирована в пространстве, и вращающимся плавающим валом (ротором, угловая скоростью,).

Динамике роторов в подшипниках скольжения посвящена обширная литература, но все они используют обычное уравнение для течения масла в зазоре (т. е. уравнение Рейнольдса) без центробежных сил. В связи с этим в таких работах рассматривается движение ротора либо с учетом только гидродинамических сил [2, 6] либо гидродинамических сил и сил трения [5].

о)

Цель настоящей работы — анализ выражений для сил и моментов в этом случае при учете центробежных сил, влиянием которых нельзя пренебрегать при быстром вращении ротора (ю, >> ю2, л, ~105 об/с) [3]. Далее, на базе полученного результата предполагается исследовать более сложный случай упорного подшипника скольжения, который состоит из трех частей (рис. 1,6): фиксированный цилиндр (гнездо) 2, плавающий цилиндр (твердое кольцо) 3, вращающийся с угловой скоростью ю2, и плавающий вал (ротор) У, вращающийся со скоростью ю,. Зазоры между твердыми телами заполнены несжимаемым маслом 4.

Аналитическая зависимость давления от положения ротора в зазоре получается из решения гидродинамического уравнения для течения масла в зазоре (уравнение Рейнольдса). Имея в распоряжении решение из теории короткого подшипника, можно получить выражения для сил

Рис. 1. Схематическое представление упорных подшипников скольжения: а — с двумя цилиндрами, б — с тремя цилиндрами;

/— плавающий ротор; 2— фиксированный цилиндр; 3— плавающая втулка (кольцо); 4— несжимаемое масло (4—1— внутреннее поле, 4—2— внешнее поле); Ш[, ю2 — угловые скорости вращения элементов 1 и 2

и моментов: силы, действующие на ротор, определяются путем интегрирования функции распределения давления по поверхности ротора, а моменты, действующие на ротор, доставляются интегрированием касательного напряжения тГф (в цилиндрической системе координат) по этой поверхности.

Основная трудность задачи заключается в том, что необходимо установить аналитическую зависимость сил и моментов, действующих на ротор, от положения ротора в зазоре. С указанной целью необходимо исследовать течение масла в зазоре, а для этого требуется обобщить гидродинамическую теорию смазки на случай значительных центробежных сил. Отдельно будет исследован случай короткого подшипника.

Скорость и давление смазки в зазоре упорных подшипников скольжения

Движение смазки в зазоре упорного подшипника скольжения определяется уравнением равновесия для количества движения [ 1 ]:

У-т-ру=0, (1)

где т — тензор напряжения, р — плотность.

Скорость V и оператор Гамильтона V в цилиндрической системе координат имеют вид:

д

- + е„

1 д

+

д

(2)

* н )•

X X (4)

й а

Подставив формулы (2),(3) и (4) в уравнение баланса количества движения (1), получим окончательное уравнение —Навье — Стокса в цилиндрических координатах:

í 1 ъ.. -Л

+

д (, ди Л ц д — 2ц--р | + ---

дг\ дг ) г дф

ду + 1 дм дг г дф

+ ц

дг

дм ди \ 2ц —+— I

дг дг

ду дф

+

р 2пди р +— + —--—-р

д

' ди V ' ди > ди ^

и—+ — -- У + м—

ч дг г 1 дФ дг у

+ е„

д

ц—

д

д!+! д

!_д_

г Эф

д

+ц—

д

2ц-

ду Эф

- + и

\

\ \ -Р

ди дф

— У

/у

+ 2ц-

Э

— + -

Э

ди Эф

\Л

-

1 дм ду г дф дг

ду у 'ду > ду^

~Р и—+— — + м + м—

дг г 1дФ у

+ е,

ц

дг

д '

дм диЛ 1 д — + — I + ц--

дг дг) г дф

г 1 дм + Эул г дф дг

д

д

2ц——р I + Ц

дг ) г

дм + ди дг дг

дм у дм дм

и--1----+ м—

дг г Эф дг

= 0.

(5)

дг г дф дг

Смазка в зазоре упорного подшипника скольжения принимается несжимаемой жидкостью (ньютоновская жидкость) [1]:

т=-рЕ. +8, 8=2ц(Уу)5, р>0, (3)

где р — давление смазки в зазоре, в — девиатор тензора напряжения т, Ц — динамическая вязкость.

Рассмотрим стационарную задачу, тогда из уравнения непрерывности материала получим:

Это векторное уравнение равносильно трем скалярным уравнениям, т. е. каждое выражение в квадратных скобках равно нулю. В результате имеем три уравнения для изменения давления р по направлениям ег,еф,е2:

др д

др дф

др д

Предполагается ламинарное течение в зазоре; тогда радиальным компонентом и скорости можно пренебречь, по сравнению с другими компонентами. Рассмотрим очень узкий зазор; тогда скорость масла в нем очень быстро изменяется. Поэтому зависимости вектора скорости V от Ф, г очень слабы, то есть

1 Э д д д

--<< —; — << —.

г Эф дг дг дг

В силу этого приближения три скалярных уравнения (5) заметно упрощаются [3], а именно

др

дг г

V

1 др _ д ц дф дг

_ду д

г"

(6) (7)

е • _ IA

z ^ dz г дг

dw г—

V дг

где

(8)

Течение в зазоре

Рассмотрим базовый случай: течение несжимаемого масла в зазоре, который ограничен вращающимся цилиндром с фиксированной осью и вращающимся плавающим ротором. Граничные условия имеют вид

г= Я: м0 = 0, У0 = Ла2, Щ = 0;

м0 =-й0, У0 = СК-Й0)Ю,, =0, (9) ю

рость и внутренний радиус вращающегося цилиндра; юь г0 — угловая скорость и внешний радиус вращающегося плавающего ротора. Интегрирование уравнения (6) дает формулу

Ро = \Лчг

Интегрируя уравнение (7), получаем

v*=i-iwr (21nr-1 +

4 р 9ф г

Интегральные константы ö01,ö02 можно определить с помощью граничных условий (9) для v0. В результате имеем выражение

11 щ

vn =-

где

Ыг) = 2-

4 р, 5ф

А

(12)

g0v(r) = -

a2R2 'r-R-h^f

r R2 - ^^o f

A = r2R2 In

+ r2{R-A0 fin

-R2{R-hüf In

R

\ r

\

Аналогично интегрируя уравнение (8), получим выражение для и

11 дР0

Wa = —

4[i dz

-fow(r)<

(14)

Ыг) = г +

(-/^In^j + ^ln

In

R-h,

(15)

Для радиальной компоненты скорости и()(г) принимается линейная зависимость, удовлетворяющая граничному условию (9):

(Я ~г У

«о

(16)

Уравнение неразрывности и уравнение Рейнольдса

Уравнение неразрывности для любой жидкости с плотностью р имеет вид:

Р = 0; (17)

« р =|p+v.( р )=о.

Для несжимаемой жидкости (р = const) уравнение неразрывности упрощается:

V-v = 0. (18)

В цилиндрической системе координат оно выглядит следующим образом [1]:

du 1 dv dw и _

— +--+ —+ —= 0.

dr г dw dz r

(19)

Интегрируем локальное уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости (18) в ограниченном объеме, то есть рассматриваем зазор r0 < г < г0 + ^ :

¡V-vdV= J \ndS = 0. (20)

V(t) dV(t)

Эта формула показывает, что суммарный расход через определенный ограниченный объем равен нулю [ 1 ]. Рассмотрим элементарный объем в цилиндрической системе координат, ограниченный рассматриваемым зазором:

Q>r + Qkp+Q>z=o, (21)

где Qan QoW' Qoz — соответственно расходы через грани элементарного объема по нормальным направлениям ег, еф, ez, a Qjr — расход через площадки Rdtydz и (R-ha)dqdz [3];

0>г = ([* j\Rdydz-

-[т „(Л

* ([^(Л)]Я -[^(Л-Иь)}{Я-Иь)]с1фс1г. (22)

Приняв линейное приближение (16) для радиальной скорости, а именно

от

мы получаем выражение для О,,.:

дк

е0г = ( -Л0 ))^с1фс1г. (23)

Интегрируем равенство (21) по высоте зазо-

л

ра, т. е. вычисляем интеграл | йг. Тогда получаем интегральное уравнение непрерывности для несжимаемой жидкости в ограниченном объеме , то есть в зазоре Я-Ь()< г<Я [3]:

Я дф ф дг Я ^ (24)

нию Рейнольдса для случая значительных центробежных сил:

м_

4 Я

4 дг2

—---

дф

2

дф дй0 дф

(— \дИ* | дСМдИ*

у о; д дНп

(26)

% дФ.

В результате разложения и

С()М в ряд Тейлора по переменным в точке ^ = 0 получим уравнение Рейнольдса для случая значительных центробежных сил (26) в другом виде:

V д2Р0 +

6 дг2 6 Я2

дР, + ъ_ щщ

дф2 /г0 дф дф

' а/

-(со, + Ю2 )

Эф

(27)

где

л-лъ (Ф) Л-йъ(ф)

Чтобы вычислить интегралы в формуле (25), мы пользуемся формулами (12), (14):

11 дР()

где

*°* = 4"цар

и Щ

^ои-(Ло)'

4 ц дг

} /оу^)^;

-Ф

к

-Ф

Теория короткого подшипника и распределение давления в зазоре для короткого подшипника

Чтобы решить уравнение Рейнольдса для случая значительных центробежных сил (27), сначала рассмотрим случай короткого подшипника, то есть й0 /Я<< 1, в предположении, что изменение давления по Ф много меньше, чем по

направлению г, то есть

Вводя безразмерные переменные (масштабы) [1] вида

др0 дРо

<<

Эф д

р * _ го

-

6ц

приведем уравнение (27) к следующему виду:

л-Й„(Ф)л

Подставив эти формулы в уравнение непрерывности (24), мы приходим к новому уравне-

' 1 л

4^00/

д2Рп

дг

/ И ^ чА)0/

д2Рр дф2

= 2— + (<Э2+Ю,)—. д дф

Отметим, что

Аа

ч

'00

У

и для случая короткого подшипника

¿Д)«1 ^ (¿Д>)2

где = Я-г0 — номинальный зазор; — соответственно длина и диаметр подшипника.

Поэтому вторым слагаемым в уравнении (27) можно пренебречь (теория короткого подшипника). Тогда указанное уравнение принимает вид [2]:

V дЧ 6 д*2 ^

2^>+( «1+«2) ^

(28)

р0(г)= р0(-г), Уге[0,Ь/2],

(29)

где р-ш — заданное давление на внутренней поверхности вращающегося цилиндра.

Интеграл в формуле (10) не зависит от г, поэтому функция Р() должна обладать свойством симметрии. Решив уравнение Рейнольдса (28) с учетом указанного свойства, мы получим выражение

р0(ф,*)=

6ц

+

Э Эф

!22+С( 2 1

Применяя граничное условие (29), мы определим константу в этом уравнении и после подстановки Р() в формулу (10) получим:

р0(г,^) = р1п- р +

Зц

2^ + («1+«2)^ ЭI Эф

(30)

здесь Я-к^ <"<Я ; р0 — глобальное давление в зазоре, который ограничен следующим пространством:

Я-Иь<г<Я, 0<ф<2п; -Ц2<г<Ц2.

Давление на концах подшипника, т. е. при ж = ±Ц2, следует формуле

гуоК'}, Зц Рж=Рт- Р р-^ + Х

Э

Эф

ь1

(31)

С помощью формулы (30) и данного выражения (31) мы получаем окончательный результат для глобального давления в зазоре:

р0(г, ф,^) =

Зц

= Роо +ТГ АгГ

Э1

Эф

V 4у

. (32)

Отметим, что глобальное давление смазки в зазоре дается формулой (10).

Две постоянных интегрирования в уравнении (28) могут быть определены с помощью граничного условия и условия симметрии [3]:

7 = 0,г = Я: р0 = р1п;

Введем следующие кинематические пере-

=

центриситет центра плавающего ротора; у = — угол, определяющий положение линии между центрами плавающего ротора и вращающегося цилиндра;

9 = 9(?,ф) = ф-уЛ(0. Из тригонометрических соотношений в треугольнике ОАВ получается следующее выраже-

Ф

=%) -есозб ^

&Иь = Иы-еьЦ)с ов( Ф-У^ )). (33) Подставив данное выражение для ширины зазора в формулы (31) и (32), получим распределение давления в зазоре для короткого подшипника:

/?00(г,Ф,О = ры - р М—(1г+ г

г

о

+ 7г[(ю1 +ш2 ~2Уь))Цф-Уй)-V

-2 еьсо в(ф -уь)]—;

(34)

Зи

+ [(со1+«2-2уЛ ) ип (ф ■- уь) -«о

-2 еьсо )]

(35)

Силы, действующие на ротор в подшипнике

Силы, действующие на ротор, можно определить с помощью интегрирования функции распределения давления. Согласно классической теории короткого подшипника давление исчезает на обоих концах подшипника, т. е. надо вычислить интеграл от разности давлений |(/?0 - Роо) [3]. Интегрирование по г дает формулу для силы на единицу длины. Вводим обозначение 6 = 6(/, ф) = ф - уь(0; тогда получаем из формулы (35):

%Ь=у I -Роо№ =- ' 2 ^

-1/2

где

%ь =■

Ю] + ю2

--1

г'оо

2ки

Ю] + ю2

0

(1-ЕАСО80)

ч =

(37)

'00 у

^ ф

^ +1 дг г

ди дф

\Л

--V

/у

Рис. 2. Схема обозначений для упорного подшипника скольжения

Как и в начале работы, мы предположили, что радиальной компонентой скорости и можно пренебречь в сравнении с другими компонентами [3];

Для того чтобы определить результирующую силу, действующую на внутреннюю поверхность фиксированного гнезда и на внешнюю поверхность вращающего плавающего цилиндра (кольца), для случая, показанного на рис.1, б, мы повторяем аналогичные вычисления для внешнего поля смазки.

Моменты, действующие на ротор в подшипнике

Моменты, действующие на ротор и на вращающийся цилиндр, можно определить с помощью интегрирования касательного напряжения тГф. В общем случае (см. рис. 1,6), для того, чтобы найти момент, действующий на вращающийся плавающий цилиндр (кольцо), надо проинтегрировать тГф по обеим сторонам кольца. Покажем, как вычисляется момент, действующий со стороны внутреннего поля смазки, на вращающийся цилиндр (кольцо) (момент, действующий на него с внешней стороны, вычисляется аналогично).

Из уравнения для тензора напряжений в цилиндрической системе координат получаем выражение для компоненты тГф:

(38)

Зу V чдг

Подставив выражение для компонента V из формул (12), (13) в формулу (38), получим два выражения для моментов.

1. Момент, действующий со стороны внутреннего поля смазки на вращающийся цилиндр,

2п 1/2 0 -1/2

г=К

с!гс1в,

(39)

где

Гф

г = К

= 20

21п

1-

К-к

/ л2

' Л л

-

-

у у

.(40)

-

2. Момент, действующий на ротор (вал)

2п

1/2

М> = I (Л-^) I тГф

-1/2

йж

г=К-к

'о

¿9 (41)

где

г = Л-И0

= 2D

2 In

f R Л Л

1 —

1-

v v

R

2(ю] -ю2) R-h, " R

-

; (42)

величина D, входящая в формулы (40) и (42), имеет вид

Зц

все силы и моменты, действующие в упорных подшипниках скольжения. Это обеспечивает возможность записать уравнения движения ротора (вала) в зазоре:

Г'ь = тх; Р^ = ту', М} = I <р,

%

х[(ш, +ю2 -2уь 0-2ёьсо8 0]|- (43)

Итак, в результате работы получены аналитические выражения, позволяющие вычислить

где т, I — масса и момент инерции ротора (вала).

Дальнейший анализ сводится к решению уравнений движения ротора (вала) и плавающего вращающегося цилиндра (кольца) в общем случае для упорных подшипников скольжения и исследованию устойчивости движения ротора (вала)в зазоре.

Автор выражает искреннюю благодарность доктору физико-математических наук, профессору А.К. Беляеву за оказанную помощь при проведении работы и полезные дискуссии.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа |Текст| / Л.Г. Лойцянский,— М.: Наука, 1987.— 840 с.

2. Dubois, G.B. Analytical derivation and experimental evaluation of short-bearing approximation for full journal bearing |Text| / G.B. Dubois, F.W. Ocvirk // Cornell Univ. Report.—1953,— No. 1157,- P. 119— 127.

3. Belyaev, A.K. Forces and moments acting on the rapidly rotating floating bearing [Text] / A.K. Belyaev, Nguyen Van Thang // 36ltl International Summer School, Conference АРМ' 2008. Repino, Saint Petersburg, Russia.— P. 104-111.

4. Hatakenaka, K. A theoretical analysis of floating bush journal bearing with axial oil film ruptures being considered [Text] / K. Hatakenaka, M. Tanaka, K. Suzuki // Journal of tribology.— 2002,— Vol. 124.— No 3,- P. 494-505.

5. Максимов, С.П. Автоколебания роторов, вызванные масляным слоем подшипников скольжения [Текст] / С.П. Максимов // Труды ЦКТИ. Котлотурбостроение,— 1964,— N° 44,— С. 87—96.

6. Пешти, Ю.В. Проектирование подшипников скольжения с газовой смазкой [Текст] / Ю.В. Пешти // Высшее техническое училище им. Н.Э. Баумана, МВТУ,- 1973,- 171 с"

УДК 539.3

В.М. Жгутов

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ, АЛГОРИТМ ИССЛЕДОВАНИЯ И АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГИХ РЕБРИСТЫХ ОБОЛОЧЕК

ПРИ КОНЕЧНЫХ ПРОГИБАХ

Оболочки как элементы разного рода конструкций находят широкое применение в космической, ракетной и авиационной технике, машиностроении, судостроении, промышленном и гражданском строительстве благодаря практически

неисчерпаемому разнообразию геометрических форм, высокой несущей способности при относительно низкой материалоемкости.

Для придания большей жесткости тонкостенная часть оболочки зачастую подкрепляет-