Устойчивость дискретных задач в условиях неопределенности: задача формирования инвестиционного портфеля Текст научной статьи по специальности «Математика»

УПРАВЛЕНИЕ В СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

УДК 336.76:004.382 ББК 65.263.12с515

Ю. С. Белоцерковская

УСТОЙЧИВОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ ЗАДАЧ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ: ЗАДАЧА ФОРМИРОВАНИЯ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ

Yu. S. Belotserkovskaya

STABILITY OF THE DISCRETE PROBLEMS UNDER UNCERTAINTY: PROBLEM OF FORMATION OF A FINANCIAL INVESTMENT PORTFOLIO

Для практического применения в экономике в качестве математической модели задачи оптимизации инвестиционного финансового портфеля рассмотрена известная задача с интервальной весовой функцией. В качестве главных показателей эффективности введены две целевые функции: величина ожидаемой прибыли и величина риска. В виде интервала задаётся ожидаемая прибыль от объектов инвестирования. Вводятся два типа возмущения исходных данных, которые не выводят исходную задачу из класса интервальных: интервальное сложение исходных весов с возмущающим весом и одновременное возмущение границ интервала. Для каждого типа возмущения получены количественные характеристики устойчивости в виде радиуса устойчивости, означающего, например, оценку инфляции.

Ключевые слова: паретовское множество, инвестиционный финансовый портфель, целевая функция, паретовский оптимум, векторная целевая функция, интервальная весовая функция, возмущающее множество, интервальная задача, радиус устойчивости.

The well-known problem with interval weight function is considered as a mathematical model of the optimization problem of the financial investment portfolio for practical use in the economy.

Two objective functions are introduced as the main performance indicators: the value of the expected profit and the risk value. The expected profit of investment objects is defined as an interval. Two types of disturbance of initial data such as interval addition of the initial disturbance weight and simultaneous perturbation interval boundaries, which cannot derive the original problem from the class of interval problems, are introduced. For each type of disturbance quantitative characteristics of stability as a stability radius that means, for example, an assessment of inflation, are obtained.

Key words: Pareto set, financial investment portfolio, objective function, Pareto optimum, vector objective function, interval weight function, perturbation set, interval problem, radius of the stability.

Для описания факторов неопределенности могут быть использованы различные модели [1, 2], в том числе интервальное описание, которое привлекает большое внимание исследователей [3], т. к. в большинстве случаев какие-либо стохастические характеристики просто отсутствуют, а для неопределенностей известны лишь границы изменения [4].

Методы многокритериальной оптимизации в условиях неопределенности можно разделить на несколько подходов в зависимости от того, на каком этапе формируются предпочтения лица, принимающего решение [2]. В настоящей работе рассматривается следующий подход: предполагается, что все эффективные решения найдены, после чего осуществляется выбор наилучшего из них. Так как нахождение паретовского множества (ПМ) позволяет сузить неопределенность при выборе принятия решения, то нами под оптимальным решением понимается именно ПМ. Проблеме исследования условий неизменности оптимального решения и посвящена данная работа.

Решение задачи формирования инвестиционного финансового портфеля (ИФП) [5, 6] является очень трудоёмким и требует использования ЭВМ. Вычисление радиуса устойчивости таких задач по разработанным формулам на ПЭВМ позволяет получить ответы не для одной индивидуальной задачи, а целого ряда задач, близких к данной.

Следует отметить, что исходные данные в задачах всегда известны только с определённой погрешностью, природа которой зависит от специфики задачи и обусловливается рядом физических и экономических факторов. Непредсказуемость поведения решения задач дискретной оптимизации при возмущении исходных данных требует особой внимательности на этапе подготовки к численному решению. При таких условиях наилучшей природной моделью описания данных является их представление в интервальной форме, когда задают диапазон возможных значений переменных или зависимостей, например, в виде z- где zi и z+i - нижняя

и верхняя границы неопределённого і -го фактора (параметра). Приведенное неравенство означает, что параметр zi может приобретать какое-либо значение из интервала и ему

нельзя задать никакой вероятностной величины.

Именно поэтому появилась необходимость использовать в математических моделях сразу несколько методов учёта неопределённости в исходных данных. Примером такой модели является задача формирования ИФП. В качестве главных показателей эффективности часто фигурируют две целевые функции (ЦФ): 1) величина ожидаемой прибыли; 2) величина риска. Укажем, что первая из этих ЦФ является максимизируемой, а вторая - минимизируемой. Кроме того, математическим выражением для первой из них является математическое ожидание, а для другой -среднеквадратическое отклонение.

Предположим, что есть инвестор, который желает вложить капитал в некоторые ценные бумаги (например, акции различных предприятий). Как известно, существует важный для инвестора закон диверсификации вкладов, т. е. некоторый рассудительный инвестор не будет вкладывать весь капитал в акции одного предприятия, а попытается распределить их наилучшим способом между различными предприятиями. Такое суждение подтверждается законом больших чисел, т. к. при распределении инвестиций между предприятиями уменьшается величина дисперсии. Поэтому возникает вопрос: что такое «наилучший способ»?

Приобретая ценные бумаги, необходимо иметь в виду два момента: будущий доход (т. е. цену возможной продажи акции) и риск (например, риск недополучения прибыли, потеря части дохода или в крайнем случае риск банкротства). Инвестор стремится сформировать такой портфель ценных бумаг, который приносил бы ему наибольшую прибыль при минимальном риске.

В реальных задачах формирования ИФП объекты инвестирования фактически не имеют статистических данных, которые позволяют вычислять математическое ожидание и дисперсию. Единственно возможной становится интервальная постановка задачи определения наиболее целесообразного ИФП.

Постановка исследуемой задачи. В общем виде постановка формулируется следующим образом. Дано множество Е = {е} объектов инвестирования, связанных между собой конкретной топологической структурой (например, такими объектами могут быть различного вида и назначения сети). Эта топологическая структура может быть описана «-вершинным графом G = (V,Е)

[7], в котором каждому ребру е е Е приписан интервальный вес м(е) = [мДе), м2(е)]. Допустимым множеством задачи является подграф вида t = (V, Е(), где Vt с V, Е( с Е . Всё множество допустимых решений обозначим через Т = {^ . В виде интервала м(е) = [мДе), м2(е)] задаётся ожидаемая прибыль от объекта е е Е , где м1 (е), ((м2 (е)) - минимально (максимально) возможный размер дохода от инвестирования объекта е . В этой ситуации эффективность (полезность) того или иного портфеля t е Е целесообразно оценивать с помощью таких критериев:

Fl(t) = УМе) ^тах,

т

(1)

F2 ^) = У w2 (е) ^ тах,

2 2 т

т

(2)

F3 (ґ) = тах(^2 (е) - w1 (е)) ^ тіп,

(3)

где критерии (і), (2) представляют собой математическое выражение оценки ожидаемой прибыли, а критерий (3) отображает некоторую оценку величины риска инвестиций в данных ценных бумагах. Решением задачи является ПМ T . Векторная целевая функция (ВЦФ) (і)-(З) определяет

ПМ T , которая содержит все паретовские оптимумы (ПО). Элемент t є T называется ПО, если

о _ о _ —

не существует такой траектории t є T, доминирующей траекторию t, что Fv (t ) < Fv (%), и = і, n ,

где хотя бы одно неравенство строгое.

Для формирования ВЦФ из критериев (і)-(З) желательно совершить такое их преобразование, чтобы имел место экстремум одного и того же вида (либо все максимальные, либо все минимальные) для каждого из них.

Преобразуем критерий (3) к максимизируемому с помощью следующего линейного преобразования исходных данных w(e) = [w1 (e), w2 (e)], e є E :

A(W) = max(w2 (e) - w1 (e)),

єєЕ

a(W) = min(w2(e) - w^e)), (4)

єєЕ

D(W) = A(W) + a(W).

Отметим, что это преобразование оставляет неизменными границы (верхнюю и нижнюю) области значений интервалов w(e), e є E . В обозначениях (4) вместо критерия (3) используем следующий максимизируемый критерий:

F3(t) = min(D(W) - w2 (e) + w1 (e)) ^ max. (5)

3 еєТ 2 і т

Таким образом, на множестве T = {t} определена ВЦФ:

F (t) = m), F2(t), F3(t)), (б)

состоящая только из максимизируемых критериев (і), (2), (5).

Занумеруем все элементы множества E = {еі,...,eq} . Тогда векторную весовую функцию

(ВВФ) w(e) удобно трактовать как интервальную матрицу-столбец W = | |wS || в пространстве замкнутых интервалов I (R) . Таким образом, элементами матрицы-столбца W будут интервалы вида

S S I

w^ w2 . Изменяя матрицу W, будем получать различные интервальные задачи Z (W).

Формулировка проблемы локальной устойчивости [8]. В пространстве I (R) матриц-столбцов В = \\bS\\ зададим норму [8]: ||В|| = max{|biS|: i = і,2, s = і,q}. Через В(є) обозначим множество всех таких матриц-столбцов В = ||biS||, что ||В|| < є, є > 0.

Задачу Z (W + В), полученную из исходной задачи Z (W), при сложении матриц W

и В є В(є), будем называть возмущённой, а матрицу В - возмущающей.

Для интервальной задачи Z (W) введём два типа возмущения исходных данных, которые не выводят исходную задачу из класса интервальных:

1) интервальное сложение исходных весов w(e) = [w^e), w2(e)] с возмущающим весом

b(e) = [Ьі(є), b2(e)]. При этом возмущающее множество В(є) можно представить в виде

Ві(є) = {В = | М : bis < є,є > ^ Ьі + w! < b2 + w2}; (7)

2) одновременное возмущение границ интервала:

Ви (є) = {В = I\b»\\: bs < є, 0 < є < 8(W)}, (8)

где 5(Ж) = тт( й (е) /2); й (е) = w2 (е) - w1 (е) - ширина интервала.

ееЕ

Определение. Задача 2 (Ж) называется е -устойчивой к I (II) типу возмущения, если выполняются такие включения:

Т(Ж + В) с Т(Ж) УВ е В1(11)(е).

Очевидно [9], что задача 2 (Ж) является е-устойчивой при любом е > 0 , если Т(Ж) = Т(Ж).

В дальнейшем этот случай будем исключать. Задачу 2 (Ж) назовем нетривиальной, если разность Т(Ж) = Т(Ж) \ Т(Ж) * 0.

0 _ 0 _ 0 0 _ 0 _

Для пары решений t , t е Т(Ж) введём число с(^ , t) = t + % — 2 t п t , где t п t — число

0 _ 0 _ 0 элементов, которые являются общими для решений t , t . Очевидно, что с^ ,t) > 0 при t * t .

Для какого-либо решения t є T(W) определим множество:

~ о ~ w o ~ 1

T(W,t ) = {t є T(W): ті (t ,t) > о, і = 1,n},

где Ті (t ,t) = F(t ,W) -Fi(t,W).

За количественную меру устойчивости будем принимать число Pi(ii) (W) = sup {є: T (W + B) с T (W) VB є B^ (є)} , которое назовём радиусом устойчивости. Задача нахождения радиуса устойчивости является обратной проблеме локальной устойчивости. Радиус устойчивости задачи Z (W) определяется такой границей возмущений элементов матрицы W, при которых не возникает новых ПО. Содержательно, он, например, может означать оценку инфляции, при которой множество T (W) не пополняется новым ПО.

Исследование є - устойчивости интервальной задачи Z (W). Из возмущений B^)

и BII (є) вида (7) и (8) для интервальной задачи Z (W) выделим два следующих подмножества:

а) возмущения, которые не влияют на величины D(W) и ds, т. е. D(W) = const, и ширина интервала ds = const, s = 1, q :

Bd (є) = {B = Ilbis II : bis - ^ є - ° (b2s + w2s ) - (b1s + w1s ) = ds } ; (9)

б) возмущения, при которых D(W) = const, а ds Ф const, s = 1, q .

Для описания вида возмущения в случае б) введём следующие обозначения:

d (e') = min d (e);

еєЕ

d (e " ) = max d (e);

еєЕ

Лs = b2s - b1s - ширина интервала возмущения;

о_о_о_ о _ in о ~

c (t , t) = c(t , t) - y(t , t), где y(t , t) - число вхождений ребер e и e в траектории t , t ;

о _ о _ о о

y(t , t) = y(t ) + y(t), где y(t ) - число вхождений ребер е и е в траекторию t

и у(%) - число вхождений ребер е' и е" в траекторию t .

С учетом этих обозначений имеем:

" ) < ( b2s + W2s ) - (b1s + W1s ) < d(Є"),

') < ( b2s - b1s ) + (W2s - W1s ) < d(Є"'),

' ) ^ + ds < d(Є"' ),

Є 0 - ds < Лs < d(e") - ds .

Учитывая, что Лs > 0, ds > 0 , имеем 0 < Лs < d(e " ) - ds .

Тогда возмущение, описываемое в случае б) имеет следующий вид:

Bd(є) = {B = lbs||:bis <є,є>0,0<Лs <d(e")-ds}. (10)

Следующая теорема описывает условия є -устойчивости к возмущению вида (9).

Теорема. Для интервальной задачи ZI (W) следующие утверждения эквивалентны:

(1) задача є -устойчива к возмущению Bd (є) вида (9);

(2) для всякой траектории t є Т(Ж) существует число є > 0 и траектория t є Т12 (Ж, t ) такие, что справедливы неравенства (среди которых хотя бы одно строгое)

w „ 0 0

ті О1, t ) > єс^ , t), і = 1,2; (11)

0

(3) Т(Ж) = Р12 (Ж), где р 2 (Ж) - множество слабоэффективных траекторий t . Доказательство проведем по схеме: (1) ^ (2) ^ (3) ^ (1).

Так как возмущения вида (9) не изменяют ширины интервала й(е), то критерий F3(t) ви-

і

да (5) остается неизменным. Рассмотрим вспомогательную задачу Z12(Ж), которая получается из исходной интервальной задачи удалением критерия F3(t) . Тогда вспомогательная задача

212 (Ж) представляет собой 2-критериальную задачу, под «решением» которой будем понимать ПМ исходной задачи 2 (Ж).

(1) ^ (2). Предположим противное. Пусть при любом е > 0 для траектории t е Т(Ж)

~ 0

не существует такой траектории t е Т12(Ж,t ), что выполняются условия (11), т. е. для каждой

0

траектории t е Т 2 (Ж, t ) существует хотя бы один индекс i0, для которого справедливо равенст-

^ ~ 0

во , t ) = 0 . Тогда, если в качестве возмущающей матрицы В0 е В(е) выбрать матрицу с эле-

0 0 w+B0 ^ 0

ментами Ь^ =—е/2 Уе6, е t , Ь^ = е/2 Уе6, £ t , получим тг-0 ^ , t ) < 0 . Поэтому в возмущен-

I ~ 0 0

ной задаче 212 (Ж + В0) никакая траектория t е Т12 (Ж, t ) не доминирует траекторию t . Кроме

I ~ 0

того, в задаче 212(Ж + В0) никакая траектория t е Т(Ж)\Т12(Ж,t ) не доминирует траекторию

0 I ~ I

t , поскольку это верно для задачи 212(Ж) . Следовательно, t0 е Т(Ж + В0), т. е. задача 212(Ж) не является устойчивой, т. к. ^ £ Т(Ж). Полученное противоречие доказывает (1) ^ (2).

(2) ^ (3). Поскольку для всякой траектории t е Т(Ж) существует число е > 0 и траектория

0 0 t е Т12(Ж,t ) такие, что справедливы неравенства (11), то учитывая неравенство с^ ,t) > 0 при

W

t * t , получаем, что т12 (t, t ) > 0 , а следовательно Т(Ж) п Р12 (Ж) = 0 . Так как Т(Ж) с Р12 (Ж), то справедливо равенство Т(Ж) = Р12 (Ж).

(3) ^ (1). Пусть Т(Ж) = р 2 (Ж). Тогда для всякой траектории ( е Т(Ж) существует число

~ % 0 w ~ 0

е > 0 и траектория t е Т12 (Ж, ( ) такие, что т12 (% , ( ) > 0 . Поэтому найдется такое число е > 0 , для которого выполняются соотношения (11). В силу леммы 9.1 [10] верны неравенства

^+В

Tj 2 (t,t ) > 0 VB е Bd(е). С учетом леммы 9.2 [10] получаем t е T(Ж) VB е Bd(е), т. е. задача

Z1 2 (Ж) е -устойчива.

Теорема доказана.

Приведенная теорема, описывающая необходимые и достаточные условия е -устойчивости

интервальной задачи Z (Ж) к возмущению вида (9), позволяет получить формулу для вычисления радиуса устойчивости этой задачи.

Утверждение 1. Радиус устойчивости в случае возмущения вида (9) определяется следующей формулой:

W (% t°)

Pd (Ж) = min max min 1 ’

t єТ(W) tєТІЛ(Ш,t )

c(t ,t )

Для возмущений вида (l0) и (8) приведем только формулы вычисления радиуса устойчивости.

Утверждение 2. Радиус устойчивости в случае возмущения вида (l0) определяется следующей формулой:

Г w о

| Т- (t, t ) w - 0 |

pD(W) = min max min<jmm——о--------;т3 (t,t )#.

t0єf(W) t єТ (W ,t0) ^ !=l"2 c'(t , t)

Утверждение 3. Радиус устойчивости в случае возмущения вида (8) определяется следующей формулой:

pn(W) = min {Pi (W); 5(W)}.

Вычисление радиуса устойчивости задач с интервальной весовой функцией. Рассмотрим задачу коммивояжера на интервально взвешенном графе G , изображенном на рисунке, где ВЦФ (6) представлена критериями вида (l), (2), (5), а интервальная весовая функция (ИВФ) - матрицей W (табл. l).

1

2 О

О 3

о 4

Интервально взвешенный граф G

Є

2

Таблица 1

Весовая матрица W *

е1 е2 е3 е4 е5 еб е7 е8 е9

3 1 3 8 2 4 5 5 7

5 4 8 9 4 8 11 6 10

2 3 5 1 2 4 6 1 3

D(W) - ds 5 4 2 6 5 3 1 6 4

Л * Ак 4 3 1 5 4 2 - - 3

* * *

А ^ = d(е " ) - ds, d(е ’) = тах d(е); тіп А 8 = А = 1;

D(W) = тіп(^2 (е) - wl (е)) + тах^2 (е) - w1 (е)) = 1 + 6 = 7.

Так как значение тт(^2 (е) - (е)) не является единственным ^4 = d8 = 1), то возможны

следующие комбинации выбора D(W): d4 + d7 = 7 и d7 + d8 = 7. Таким образом, для каждой из

I 0 ~

этих комбинаций подсчитывается число с ^ , t); рассматривается различное возмущающее множество ВГ) (W) и определяется радиус устойчивости р^).

Множество допустимых решений Т :

*1 = V—' 2е е3, 4 е5 е6}

*2 = е1 е2 е9 е5 е4 е7 }

*3 = е1 , е8 е4 е3 е9 е6}

*4 = е1 , е8 е5 е9 е3 е7 }

*5 = е7 , е3 е2 е8 е5 е6 }

*6 = е7 , е4 е8 е2 е9 , е6 }

Вычислим радиус устойчивости для случая D(W) ^4 + d7 = 7 .

*

Если значения т1 / с',т2 / с', т3 / 2 < А /2, то исключаем их из рассмотрения. Исключенные значения обозначены знаком « - » (табл. 2).

Таблица 2

Вычисление радиуса устойчивости

* *2 0 Г (W, * ) с ' т1 / с ' т2/ С " т3 /2 тіп тах тіп

*1 21 38 2 *3 4 9/4 8/4 1 1 1

1

*2 26 43 1 *3, *6 5,4 4/5, 4/4 3/5, 5/4 -, 2 3/5, 1 1 1

-, 1

*3 30 46 2 *

*4 25 44 1 *3, *6 2,5 5/2, 5/5 2/2, 4/5 —, — 1, 4/5 1

-, 1

*5 20 41 1 *3, *6 4,3 10/4, 10/3 5/4, 7/3 —, — 5/4, 3/2 3/2

—, 3/2

*6 30 48 1 *

Радиус устойчивости р(Ж) = 1.

Проведем возмущение вида В0 (е). Пусть возмущающая матрица имеет вид

%[0.0] '

[0,0]

[0,0]

[0,0] в = [0,0]

[0,0]

[0,0]

[0,0]

И11!

Далее проведем расчет паретовских множеств возмущенной задачи (табл. 3).

Таблица 3

Паретовские множества возмущенной задачи

t F2 Fз Т (^ Ш + B)

ч 21 39 2 * *

'2 25 45,1 1 -

ч3 29 48,1 1,9 *

'4 24 45,1 1 -

'5 20 41 1 -

'6 29 50,1 1 *

В результате проведенного возмущения получаем: при возмущении матрицей В появился новый паретовский оптимум ' . Таким образом, исследованная задача неустойчива, если р(Ж) > 1.

Проведенное исследование устойчивости векторных задач на системах подмножеств с ИВФ показало, что значение радиуса устойчивости изменяется при различных типах возмущений исходных данных, которые не выводят рассматриваемую задачу из класса интервальных. Приведено практическое применение конкретной задачи в области экономики. Для каждого возмущения получены количественные характеристики устойчивости. Сформулирован и доказан критерий устойчивости интервальной задачи к возмущению вида (9).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вощинин А. П. Построение аналитических моделей по данным вычислительного эксперимента в задачах анализа чувствительности и оценки экономических рисков / А. П. Вощинин, П. В. Бронз // Заводская лаборатория. - 2007. - Т. 72, № 1. - С. 101-105.

2. Перепелица В. А. Дискретная оптимизация и моделирование в условиях неопределенности данных: монография / В. А. Перепелица, Ф. Б. - М.: Акад. естествознания, 2007. - 152 с.

3. Вощинин А. П. Интервальный анализ данных: развитие и перспективы // Заводская лаборатория. -2002. - Т. 68, № 1. - С. 118-126.

4. Тебуева Ф. Б. Принятие решений в дискретных задачах оптимизации на графах с нечеткими весами / Ф. Б. Тебуева // Горный информационно-аналитический бюллетень. - 2008. - № 6. - С. 381-392.

5. Шапкин А. С. Экономические и финансовые риски. Оценка, управление, портфель инвестиций / А. С. Шапкин. - М.: Изд.-торг. корпорация «Дашков и К°», 2004. - 544 с.

6. Мищенко А. В. Двухкритериальная задача оптимизации инвестиционного портфеля / А. В. Мищенко, А. А. Попов // Менеджмент в России и за рубежом. - 2001. - № 1. - С. 106-116.

7. Зыков А. А. Основы теории графов / А. А. Зыков. - М.: Наука, 1987. - 384 с.

8. Леонтьев В. К. Стойкость в линейных дискретных задачах / В. К. Леонтьев // Проблемы кибернетики. - 1979. - Вып. 35. - С. 169-184.

9. Бакурова А. В. О стойкости многокритериальных задач на системах подмножеств / А. В. Бакуро-ва, В. А. Емеличев, В. А. Перепелица // Докл. акад. наук Беларуси. - 1995. - № 2. - С. 6-12.

10. Кравцов М. К. Полиэдральные аспекты транспортных задач и сложность многокритериальных задач дискретной оптимизации / М. К. Кравцов: дис. ... д-ра физ.-мат. наук. - Минск: Белорус. гос. ун-т, 1994. - 303 с.

REFERENCES

1. Voshchinin A. P., Bronz P. V. Postroenie analiticheskikh modelei po dannym vychislitel'nogo eksperi-menta v zadachakh analiza chuvstvitel'nosti i otsenki ekonomicheskikh riskov [Construction of analytical models using the data of computational experiment in tasks of the analysis of sensibility and assessment of economic risks]. Zavodskaia laboratoriia, 2007, vol. 72, no. 1, pp. 101-105.

2. Perepelitsa V. A., Tebueva F. B. Diskretnaia optimizatsiia i modelirovanie v usloviiakh neopredelen-nosti dannykh [Discrete optimization and modeling in conditions of data uncertainty]. Moscow, Akademiia estestvoznaniia Publ., 2007. 152 p.

3. Voshchinin A. P. Interval'nyi analiz dannykh: razvitie i perspektivy [Interval analysis of the data: development and perspectives]. Zavodskaia laboratoriia, 2002, vol. 68, no. 1, pp. 118-126.

4. Tebueva F. B. Priniatie reshenii v diskretnykh zadachakh optimizatsii na grafakh s nechetkimi vesami [Decision making in discrete tasks of optimization on the graphs with fuzzy scales]. Gornyi informatsionno-analiticheskii biulleten', 2008, no. 6, pp. 381-392.

5. Shapkin A. S. Ekonomicheskie i finansovye riski. Otsenka, upravlenie, portfel’ investitsii [Economic and financial risks. Assessment, management, investment portfolio]. Moscow, Izdatel'sko-torgovaia korporatsiia «Dashkov i K°», 2004. 544 p.

6. Mishchenko A. V., Popov A. A. Dvukhkriterial'naia zadacha optimizatsii investitsionnogo portfelia [Two-criteria task of optimization of investment portfolio]. Menedzhment vRossii i za rubezhom, 2001, no. 1, pp. 106-116.

7. Zykov A. A. Osnovy teorii grafov [Graph theory foundations]. Moscow, Nauka Publ., 1987. 384 p.

8. Leont'ev V. K. Stoikost' v lineinykh diskretnykh zadachakh [Stability in linear discrete tasks]. Problemy kibernetiki, 1979, iss. 35, pp. 169-184.

9. Bakurova A. V., Emelichev V. A., Perepelitsa V. A. O stoikosti mnogokriterial'nykh zadach na siste-makh podmnozhestv [On stability of multi-criteria tasks on the systems of subsets]. Doklady akademii naukBela-rusi, 1995, no. 2, pp. 6-12.

10. Kravtsov M. K. Poliedral’nye aspekty transportnykh zadach i slozhnost' mnogokriterial’nykh zadach diskretnoi optimizatsii. Diss. dokt. fiz.-mat. nauk [Polydral aspects of transport tasks and complexity of multicriteria tasks of discrete optimization: dis. Dr. phys. mathem. sci.]. Minsk, Belorus. gos. un-t, 1994. 303 p.

Статья поступила в редакцию 1.06.2013, в окончательном варианте - 20.06.2013

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Белоцерковская Юлия Сергеевна - Российский государственный университет нефти и газа им. И. М. Губкина, Москва; канд. физ.-мат. наук; доцент кафедры «Теоретическая механика»; [email protected].

Belotserkovskaya Yulia Sergeevna - Gubkin Russian State University of Oil and Gas; Candidate of Physical and Mathematical Sciences; Assistant Professor of the Department "Theoretical Mechanics"; [email protected].