CC BY
107
Интервальные задачи на предфрактальных графах
Кочкаров P.A.
Финансовый университет при Правительстве РФ, Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН rasul_kochkarov@mail. ги
Аннотация. В работе рассматривается интервальные задачи на предфрактальных графах. Введен интервальный анализ и основные операции. Предложена общая интервальная постановка многокритериальной задачи на предфрактальном графе.
Ключевые слова: интервальные вычисления, многокритериальная задача, предфрактальный граф, множество альтернатив, сравнение интервалов.
1 Интервальный анализ
В связи с развитием таких направлений науки и техники, как механика, теплотехника, математическая химия, самолетостроение, возникла потребность не только вычисления приближенных решений различных задач, но и гарантированных оценок их близости к точным решениям. Интервальный анализ появился сравнительно недавно как метод автоматического контроля ошибок округления на ЭВМ. Впоследствии он превратился в один из разделов вычислительной математики, учитывающий также ошибки дискретизации численных методов, ошибки в начальных данных и т.п. В монографии P.E. Мура, опубликованной в 1966 г. [Moore, 1999], по существу, впервые были последовательно изложены основы нового направления в вычислительной математике. Последующие исследования показали, что методы интервального анализа могут служить не только для учета ошибок округления на ЭВМ, но и являются новыми аналитическими методами для теоретических исследований.
Основная идея интервального анализа состоит в замене арифметических операций и вещественных функций над вещественными числами интервальными операциями и функциями, преобразующими интервалы, содержащие эти числа. Положительной стороной интервального анализа является возможность полного учета погрешностей, начиная с неточных данных математической модели и кончая ошибками округления на ЭВМ. При точно определенных входных данных задачи получаемые интервалы содержат точное решение исходной задачи, и интервальный метод служит для учета ошибок аппроксимации и округлений.
Интервальный анализ представляет собой относительно молодое и интенсивно развивающееся направление математики. К настоящему времени разработаны приемы интервальных вычислений, пакеты прикладных программ и алгоритмических макроязыков, реализующих элементы интервального анализа на машинном уровне для различных типов ЭВМ. Вместе с тем для сколько-нибудь сложных задач полное применение интервального анализа часто дает неудовлетворительные результаты из-за чрезмерных длин получаемых интервалов. Дело во внутренней установке - пессимистическом подходе, который заключается в прослеживании на каждой элементарной операции всевозможных, в том числе наихудших, сочетаний погрешностей. При обычном ходе вычислений ошибки могут усредняться, компенсироваться и накапливаться далеко не худшим образом. В конечном итоге пессимистические оценки точности на порядок хуже, чем она есть на самом деле [Демидович и др., 1970; Добронец и др., 1990; Калмыков и др., 1986].
Вместе с тем статистические и другие регулярные подходы к моделированию погрешностей дают в целом неплохое качественное представление о поведении ошибки, но не влекут гарантированных оценок для конкретных приближенных решений. Для построения итерационных процессов используется принцип сжимающих отображений или более общий подход, основанный на теореме Шаудера о неподвижной точке. Итерационный метод для уточнения границ интервального решения с построением специальной матрицы перехода изложен в работе Д.М. Гея [Калмыков и др., 1986; Шокин, 1981].
Первая монография в русскоязычной литературе, посвященная интервальному анализу, была опубликована Ю.И. Шокиным в 1981 г. [Шокин, 1981]. Затем в 1982 г. издано учебное пособие Т.И. Назаренко, Л.В. Марченко [Назаренко и др., 1982] по интервальным методам, а в 1986 г. - монография С.А. Калмыкова, Ю.И. Шокина, З.Х. Юлдашева [Калмыков и др., 1986]. В 2013 г. вышла монография С.П. Шарого по конечномерному интервальному анализу [Шарый, 2013]. В этих публикациях имеется обширная и подробная библиография по интервальному анализу.
Интервальный анализ и его специфичные методы имеют наивысшую ценность в задачах, где неопределенности и неоднозначности возникают с самого начала и являются неотъемлемой частью постановки задачи. Хотя это не исключает возможность применения интервального анализа в задачах, формулируемых без привлечения понятия интервала.
В последние десятилетия интервальный анализ получил распространение в качестве основы для так называемых доказательных (достоверных, надежных) вычислений на ЭВМ, вычислений с гарантированной точностью и т.п., несмотря на то, что в этих приложениях
интервальные методы являются всего лишь вспомогательным средством для решения задач, неинтервальных по своей природе.
Интервальный анализ и возникшая практически одновременно с ним теория нечетких множеств явились ответом на вызов бурно развивающейся практики, которая требовала развития аппарата для учета неопределенностей нестатистической (или, в общем случае, неизвестной) природы. При этом интервальный анализ оказался способным исследовать содержательные модели, которые основываются на наиболее скудных априорных допущениях о характере неопределенности, когда относительно рассматриваемых величин ничего не известно, кроме их свойства принимать значения из некоторых ограниченных множеств.
Напротив, в тех работах, где интервальный анализ служит средством для исследования ограниченных неопределенностей, опираться на малость возмущений уже нельзя, размеры «входных» интервалов потенциально могут быть сколь угодно велики, но зато часто предполагается, что все арифметические операции как с точечными (неинтервальными) величинами, так и с интервалами выполняются абсолютно точно. Именно эта модель вычислений рассматривается, в настоящей работе.
Поскольку исторически интервальный анализ возник из необходимости учета ошибок вычислений и задач чувствительности, то на первоначальном этапе своего развития множество решений задачи с интервальными данными понималось как множество всевозможных решений точечных задач с параметрами, которые могут принимать значения из заданных интервалов. Но по мере развития интервальных методов и расширения сферы их приложений обнаружилось, что это простейшее понимание множества решений не отражает существо ряда практически важных интервальных задач. Таковой, является, например, задача о допусках, возникшая в эконометрике и несколько позже в теории автоматического управления для объектов с интервальными неопределенностями в данных. Решение задачи о допусках приводит к необходимости рассмотрения так называемого допускового множества решений интервальных систем уравнений. Эти множества решений естественным образом возникают в ситуациях, когда различные интервальные параметры задачи подвержены влиянию конфликтующих факторов.
Проблемы интервального анализа можно разделить на три группы: исследование самого множества интервальных чисел как некоторой математической структуры, применение интервальных методов к различным задачам прикладной математики (в частности, в последнее время наметились пути использования интервальных методов в задачах управления и экономики) и программирование интервальных методов. В настоящей работе используются интервальные методы из второй группы проблем, частично третьей.
2 Операции и свойства интервальной арифметики
Интервалом называется замкнутый отрезок вещественной оси, а интервальная неопределенность - состояние неполного (частичного) знания об интересующей величине, когда известна лишь ее принадлежность некоторому интервалу. Интервальный анализ - это отрасль математического знания, исследующая задачи с интервальными неопределенностями и методы их решения.
Под арифметическими операциями с интервальными величинами понимаются операции классической интервальной арифметики.
N - множество натуральных чисел;
R - множество вещественных (действительных) чисел;
IR - множество интервальных чисел классической
интервальной арифметики;
а, inf А - левый конец интервала А;
а, sup А - правый конец интервала А;
\А\ - абсолютная величина (магнитуда) интервала А;
abs А - интервальное расширение функции модуля;
(А) - мигнитуда интервала А;
mid А - середина (медиана) интервала А;
wid А - ширина интервала А;
rad А - радиус интервала А.
Под интервалом [а, а] понимается замкнутое ограниченное подмножество R вида \a,a\-{x&R\a<x<a). Множество всех интервалов обозначается IR, элементы которого задаются прописными буквами, то есть А = [а,а]. При этом вещественные числа a&R отождествляются с интервалами нулевой ширины [а, а], называемыми также вырожденными. Через (-а) обозначается интервал (-1 )-а, такой что - а = -а,-а].
Для двух интервалов А = [а,а] и В = [б,b\ классической интервальной арифметики (А,В eIR) задаются следующие операции:
А + В = А- В =
a + b,a +Ь а-Ь,а -Ъ
А • В = \рш\аЬ,ф ,аЬ,аЬ },тах А/В = а -\[/Ь,1/ь], где ОеВ.
Два интервала А и В считаются равными, если а = Ь, а -Ь . Так как интервалы - это множества, то для них определяется частичное упорядочение по отношению включения друг в друга: Ас,Ва>Ь,а <Ъ .
Важными характеристиками интервалов являются середина (центр)
интервала mid А - ^(а + а) и радиус гаdA = ^(a-a). Также вместо
радиуса используется понятие ширины интервала wid А = а -а.
Для двух интервалов A,BeIR условимся считать, что А не превосходит В и писать А<В тогда и только тогда, когда а<Ь и а <Ъ . При этом А<В только тогда, когда а <Ь. Существуют различные подходы сравнения и упорядочения интервалов. Позднее эти операции будут уточнены.
Расстояние между двумя интервалами A,BeIR определяется равенством: dist(4i?) = max|a-6|,|aр(А,В) и обладает
следующими свойствами:
dist(4#) > 0 и dist(>i,£) = 0, когда А = В;
dist(4£) = dist(£„4);
dist(^,C) < dist(^,5) + dist(5,C).
Интервал называется неотрицательным (>0), если неотрицательны оба его конца, неположительным (<0), если неположительны оба его конца. Интервал а считается уравновешенным, если а = -а или mid А- 0.
В IR нейтральными элементами относительно сложения и вычитания является нуль: А + 0 = А, А-0 = А, а относительно умножения и деления единица: АЛ-А, А/1 = А. Кроме того, А • 0 = 0 ■ А = 0.
Интервальные арифметические операции обладают свойствами: (А + В) + С = А + (В + С) - ассоциативность сложения; (А- В)-С = А-(В С) - ассоциативность умножения;
А + В = В + А - коммутативность сложения;
(А- В) = В • А - коммутативность умножения.
Особенностью интервальной арифметики является отсутствие дистрибутивности умножения относительно сложения:
(А + В)С Ф АС + ВС. Но имеет место слабое свойство (А + В)С е АС + ВС называемое субдистрибутивностью умножения относительно сложения.
3 Интервальная постановка многокритериальной задачи на предфрактальном графе
Интервальная постановка многокритериальной задачи на предфрактальном графе описывается следующим образом.
Рассматривается предфрактальный граф GL=(VL,EL), порожденный
затравкой Н = (W,Q), у которой \W\ = n, \0\ = q. Каждому ребру е(1) е EL
приписано М интервальных чисел мл(е(/)) = [м^м^с: [в11а,в' ]ь\, где 1-\,Ь
- ранг ребра, а >0, ¿>0 и 0<в<— - коэффициент подобия.
Ъ
На множестве допустимых решений (МДР) Х = Х{С1) = {х}: х = (Ух,Ех), ^ с^, Ех при М >2 задается векторно-целевая
функция (.ВЦФ):
= (F1(x),F2(x),...,Fi(x),...,FM(x)), (3.1)
в которой критерии i = \,М принимают вид:
Ft(x) = max wi (е) —» min, (3.2)
Fi (х) = min wi (e) max, (3.3)
Fi (x) = £>,(£)-> max, e&Er (3.4)
A Fi(x)= 2>,(i?)-Miiin. eeEx (3.5)
Задача состоит в том, чтобы во множестве X выделить элемент х°,
который является экстремальным относительно векторной целевой функции F (3.1), или по-другому в х° векторная целевая функция Т*7 принимает оптимальные значения по критериям /^(х) для всех г = 1 ,М.
3.1 Множество альтернатив и сравнение интервалов
Решением конкретной задачи дискретной многокритериальной оптимизации является множество несравнимых альтернатив. Различные методы теории принятия решений позволяют сузить это множество.
Множество альтернатив представляется тремя основными множествами: X - множество всех альтернатив (множество допустимых решений); X — паретовское множество (множество Парето), состоящее из всех векторно несравнимых альтернатив; Х° - полное множество альтернатив, определяемое как подмножество с/ минимальной мощности Х° : Представленные множества
упорядочиваются как 1°с Хс X.
Главной проблемой решения интервальными задач является проблема накопления ошибок в конечном результате. Точность интервального результата определяется следующими факторами [Перепелица, 2013]:
1) неопределенность в задании исходных данных;
2) округления при выполнении операций, изменяющих или порождающих интервальные объекты;
3) приближенный характер используемого численного метода.
Виды целевых функций (3.2 - 3.5) подразумевают использование операций сложения и сравнения интервалов. Значения этих целевых
функций также являются интервальными числами, то есть можно говорить об интервальных целевых функциях w(x) = [w(x), w(x)]. Искомым
решением задачи является элемент х° е X, на котором значение интервальной целевой функции достигает экстремума.
При интервальном взвешивании ребер возникает проблема выбора оптимального решения из множества недоминируемых решений. Сравнение интервалов является одним из важных вопросов интервального анализа. Отношение частичного порядка «меньше» или «больше» между интервалами дает возможность формулировать интервальные предпочтения и открывает дорогу для постановки и решения широкого круга задач принятия решений в условиях интервальной неопределенности.
Известные подходы к сравнению интервалов могут быть структурно представлены в виде трех групп. Первыми являются методы строгого качественного сравнения, опирающиеся на анализ диаграмм графического представления сравниваемых интервалов. Далее идут количественные методы, основанные на мерах расстояния между интервалами. Наиболее распространенными являются методы, которые отвечают определенному синтезу количественных и качественных подходов [Перепелица, 2013].
Первая группа методов используется, в основном, для разрешения проблемы сравнения интервалов на уровне графических интерпретаций. Такие методы полезны для качественного анализа отношений между интервалами и при доказательстве некоторых теорем, однако, они не могут использоваться для сравнения интервалов на количественном уровне.
Вторая группа методов представляет, как правило, лишь теоретический интерес. Главная проблема таких методов - недостаток конструктивной интерпретации расстояния между интервалами и нечеткими интервалами. Во многих случаях формально введенные меры, характеризующие расстояния между интервалами (например, расстояние Хаусдорфа), находятся в противоречии с интуитивным пониманием ситуации.
Третья группа анализируемых методов основана на методологии, предложенной в классической работе [Moore, 1999]. В настоящее время этот класс методов реализован как часть доступного программного обеспечения корпорации SUN, в котором воплощено множество практически полезных современных концепций интервальной арифметики [Walster et al., 1999].
Главная идея этих методов представляется как: «интервал меньше, чем другой интервал, если содержит некоторые значения, меньшие, чем некоторые значения в другом интервале». Такое определение слишком ограничено, чтобы охватить все возможные случаи взаиморасположения интервалов. Поэтому вводится три главных класса оценок отношений между интервалами [Перепелица, 2013]:
- безусловное (неравенство);
- возможное (неравенство);
- неравенство в теоретико-множественном смысле.
Задачу сравнения интервалов А = [а, а] и В = [Ь,Ь~\ можно сформулировать как задачу определения вероятности Р(В > А), под которой понимается вероятность того, что случайная точка Ь из интервала В будет больше случайной точки а из интервала А.
Пусть А = [а,а] и В = [ь,ь] - независимые интервалы, и а е [а,а], Ъе \ь,ь\ - случайные величины, равномерно распределенные на этих интервалах. Если сравниваемые интервалы не имеют общих областей, то проблемы их сравнения не вызывают трудностей. В случае пересечения интервалов образуются подинтервалы, играющие важную роль в расчете вероятностных характеристик. Фактически имеются два нетривиальных случая - пересечение интервалов и вложенность одного интервала в другой.
В работах [Калмыков и др., 1986; Шарый, 2013; Шокин, 1981] введены отношения предпочтения, эквивалентности и несравнимости интервалов.
3.2 Бинарные операции сравнения альтернативных решений
Символом -< обозначается бинарное отношение (БО) предпочтения, символом бинарное отношение несравнимости, символом ~ бинарное отношение эквивалентности. Бинарное отношение предпочтения определяется с учетом того, является интервальная целевая функция максимизируемой или, наоборот, она является минимизируемой. Из двух элементов х15х2 еХ, решение х1 предпочтительнее решения х2 (х1 -<х2), если н{х1)<и'(х2) в случае минимизируемой интервальной целевой функции и н'(х1) > и>(х2) в случае максимизируемой интервальной целевой функции. Решения х, и х2 являются несравнимыми (хх <-» х2) при строгой вложенности интервалов ф^с^^), либо и^) и>(х2). Если соответствующие интервалы совпадают н'(х1) = тф'(х2), решения являются эквивалентными х1 ~ х2.
В работе [ТебуеваФБ] предлагается для случая несравнимости интервалов (имеющих вложенные границы) при интервальной целевой функции и>(х) вида «оценка по-наихудшему» (пипшах и шахгшп)
использовать взвешенную свертку границ интервала ю = + Лм?, где Я, А - коэффициенты важности границ интервала, Л +Л =1. Если границы интервала являются равнозначными, то Л-Л - 0,5. Предлагаемое сравнение с использованием взвешенных сверток границ интервалов является развитием сравнения середин интервалов со сдвигом в сторону
более важной границы интервала. Получение взвешенных сверток границ интервалов производится на этапе структурирования неопределенностей исходных данных в виде интервалов с вложенными границами в рассматриваемой задаче многокритериального выбора на графах. Такое структурирование приобрело название получение взвешенной свертки границ интервалов.
3.3 Интервальное расширение целевой функции
Одной из задач интервального анализа является задача оценивания области значений функции некоторого интервала, то есть множества ran (f,X) = {/(х) | х е Х], где X - интервал в R. Рассматриваемые постановки тесно связаны с теми, что рассматриваются в теории оптимизации и математическом программировании - дисциплинах, занимающихся отысканием экстремальных значений различных функций. Фактически, для непрерывной, функции / :Х —» имеет место равенство ran(/,X)= min /(x),max /(х) . Специфика постановки задачи, с которой
L хеХ х^Х *
имеет дело интервальный анализ, состоит в рассмотрении области значений и ее оценок в глобальном смысле, без выделения локальных экстремумов.
В основе методов интервального оценивания областей значений функций лежат несколько естественных идей. Во-первых, это идея, основанная на основной теореме интервальной арифметики: в аналитическое выражение (или алгоритм для вычисления) функции нужно вместо входных аргументов подставить интервалы их изменения, а обычные арифметические операции и элементарные функции заменить их интервальными аналогами, затем вычислить полученное интервальное выражение (или выполнить интервальный алгоритм). Полученный таким образом интервал будет содержать искомую область значений. Во-вторых, это идея замены исходного выражения (или алгоритма вычисления функции) на другое, в том или ином смысле равносильное, но которое бы позволяло достичь большей точности, было бы более удобным при интервальном оценивании и т.п. Затем уже к полученному выражению применяется первая идея.
Вторая идея возникла как реакция на неудовлетворительные результаты применения первой, когда получающиеся оценки оказывались слишком уж далекими от искомой области значений. Причиной этого служит зависимость промежуточных интервальных результатов, которая приобретается при вычислениях любых сколько-нибудь сложных выражений, содержащих неоднократные вхождения переменных. Как правило, при реализации второй идеи опираются на то, что оценивание некоторых типов выражений (линейных форм и др.) можно выполнить относительно просто и с хорошим качеством.
Список литературы
[Алефельд и др., 1987] Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. -М.: Мир, 1987.
[Демидович и др., 1970] Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -М.: Наука, Физматлит, 1970.
[Добронец и др., 1990] Добронец Б.С., Шайдуров В.В. Двусторонние численные методы. - Новосибирск: Наука, 1990.
[Калмыков и др., 1986] Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. - Новосибирск: Наука, 1986.
[Кочкаров и др., 2000] Кочкаров A.A., Кочкаров P.A. Исследование связности предфрактальных графов // Математическое моделирование и компьютерные технологии. Материалы IV Всероссийского симпозиума. - Кисловодск: Кисловодский институт экономики и права, 2000. - С. 74-75.
[Кочкаров и др., 2000] Кочкаров A.A., Салпагаров М.Б., Кочкаров P.A. Моделирование разрушения сложных систем с ациклической структурой // Управление большими системами: сборник трудов. - 2007. - № 17. - С. 103-120.
[Кочкаров и др., 2002] Кочкаров A.A., Кочкаров P.A. Топологические характеристики предфрактальных графов и предупреждение кризисов сложных систем // Проблемы управления безопасностью сложных систем. Труды X Международной конференции. Федеральная целевая программа "Интеграция", Российский государственный гуманитарный университет и др.; под редакцией Н.И. Архиповой и В.В. Кульбы; ответственные за выполнение: Б.К. Тебиев, H.H. Калинина. - 2002. - С. 116-119. [Назаренко и др., 1982] Назаренко Т.И., Марченко J1.B. Введение в интервальные методы вычислительной математики. - Иркутск: Издательство Иркутского университета, 1982.
[Перепелица, 2013] Перепелица Виталий. Многокритериальные модели и методы для задач оптимизации на графах. LAP LAMBERT Academic Publication, 2013. [Салпагаров и др., 2003] Салпагаров С.И., Кочкаров А.М. Распознавание пред фрактального графа с полной двудольной затравкой. Депонированная рукопись № 2322-В2003. 31.12.2003.
[Шарый, 2013] Шарый С.П. Конечномерный интервальный анализ. - Новосибирск.: Институт вычислительных технологий СО РАН, 2013.
[Шокин, 1981] Шокин Ю.И. Интервальный анализ. - Новосибирск: Наука, 1981. [Хапаева и др., 2003] Кочкаров A.M., Хапаева JI.X. Структурное распознавание предфрактальных деревьев с множеством затравок // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. -2011.-№69.-С. 1-12.
[Moore, 1999] Moore R.E. Interval analysis. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1966. [Perepelitsa et al., 1999] Kochkarov A.M., Perepelitsa V.A., Sergienko I.V. Recognition of fractal graphs. Cybernetics and Systems Analysis, T. 35, № 4,1999, pp. 572-585. [Walster et al., 1999] Walster GW., Bierman M.S. Interval Arithmetic in Forte Developer Fortran // Technical Report. Sun Microsystems. March 2000. P. 35-43.
