О вычислительной сложности интервальных задач на графах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.17

О ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СЛОЖНОСТИ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ЗАДАЧ НА ГРАФАХ

© 2006 г. В.А. Перепелица, Ф.Б. Тебуева, Т.М. Шенкао

Known optimization problems on graphs are considered under uncertainty, when only intervals as value area of considered problem's parameters are known. Exponential estimates of computational complexity of examined problems (including ones that are polynomial in classic statement) are substantiated. Polynomially solvable subclasses are found.

Введение

Задача оптимизации обычно определяется как вычислительная проблема, в которой задано множество альтернатив X = {х}, целевая функция

(ЦФ) F(х): X ^ R. Требуется найти альтернативу х0 е X, на которой

ЦФ принимает экстремальное значение: F(х0) = extrF(х), extr е {min,

xeX

max}. Для задач оптимизации альтернативы X = {х} обычно называют

термином допустимые решения; х0 - оптимум (оптимальное решение); X = {х} - множество допустимых решений (МДР).

Если множество Х является дискретным, то соответствующая задача оптимизации называется задачей дискретной оптимизации.

Следствие выбора каждой альтернативы х зависит не только от этой альтернативы, но и от определенных параметров b1,...,bL. Если вектор

b = (bj,...,bL) е Rl , тогда ЦФ F(х,b): Xх RL ^ R . Традиционно в оптимизации подразумевается, что известны точные значения всех параметров bi , i = 1, L . В этом случае понятие «оптимум» имеет непротиворечивое явное определение: допустимое решение х0 оптимально, если оно минимизирует (или максимизирует) ЦФ на X : F(х0,b) = minF(x,b) или

xеX

F (х0, b) = max F (х, b).

xеX

Во многих реальных ситуациях мы не знаем точных значений параметров рассматриваемой задачи. Можно назвать две причины такого положения: во-первых, параметры являются результатом измерения, а эти измерения в принципе неточные; во-вторых, параметры меняются с течением времени. В таких ситуациях вместо точного значения параметра bi

известен только интервал Bi = |b, bi J его возможных значений: bi е Bi,

т.е. параметрический вектор b принадлежит соответствующему L-мерно-му параллелепипеду: b е B = (Bj,...,BL).

В таких ситуациях неясно, как сформулировать соответствующую задачу оптимизации. Один из возможных подходов состоит в следующем: так как не известно точное значение bi для каждого допустимого решения х, то не известно точное значение ЦФ F(x, b); следовательно, известна только область возможных значений этой ЦФ: F(x,B) = {F(x,b) :b e B} . С точки зрения интервального исчисления, эта область представляет собой интервальное расширение [1] ЦФ F(x, b) над интервальным вектором B.

Известны два класса интервальных дискретных задач оптимизации: интервальные постановки на графах [2-4]; задачи линейного программирования с интервальными ЦФ [5].

Больший перечень практических приложений этих задач представлен в [6]. Мы рассматриваем первый класс этих задач.

Задачи оптимизации на графах с интервальными параметрами

Пусть G = (V,E) - граф [7], где V = {v1,...,vn } - множество его вершин; E = {,...,eL} - множество его ребер. Задано также множество типовых графов (ТГ) Q = {T1,...,Tq} . Допустимое решение х определяется как подграф x = (V, Ex), в котором каждая компонента связности изоморфна некоторому ТГ из Q; X = X(G, Q) = {x} - МДР на графе G для множества ТГ Q.

Рассмотрим конкретные примеры множеств ТГ Q. Пусть ТГ Q состоит из одного элемента: Q = {T1} . Тогда X = X (G, Q) - МДР задачи о совершенных парасочетаниях, если T1 - ребро; X = X(G, Q) - МДР задачи коммивояжера, если T1 - простой n -вершинный цикл. Если элементами множества Q являются ht - вершинные звезды, t = 1, q, то X = X (G, Q) есть МДР задачи покрытия графа звездами.

Опишем целевую функцию F(x, B). Рассмотренные выше параметры

B1,...,BL представляют собой веса ребер графа G = (V,E): каждое e e E взвешено интервальным весом w(e) = [w1 (e), w2 (e)]. ЦФ задачи оптимизации на графах с интервальными весами имеет весовой вид:

F(x,G) = 2 w(e) = [F(x,G),F2(x,G)] ^ extr , (1)

eeEx

где extr e {min, max} и

F(x,G) =2 wv(e), v = 1,2. (2)

eeEx

ЦФ (1) линейна по слагаемым w(e), следовательно, она принимает интервальные значения, которые получаем, используя определение операции суммирования интервалов [1]. Известны различные способы определения оптимальности в случае интервальных значений показателя качества [5, 8]. В настоящей статье рассматривается паретовское определение оптимальности. Будем измерять качество каждого допустимого решения х е X, рассматривая интервал F(x, G) (1) возможных значений ЦФ; для того чтобы выбрать оптимальное решение, сравниваем эти интервалы. При этом F(х, G) (1) называем интервальной целевой функцией (ИЦФ).

Определение 1. Пусть ИЦФ (1), (2) является минимизируемой (т.е. extr = min) и пара решений х,y е X = X(G,Q). Мы говорим, что допустимое решение х е X лучше, чем допустимое решение y е X (и обозначим это х Р y), если в обозначениях (2) выполняются неравенства F (х, G) < F (У, G), F2 (х, G) < F2 (y, G), и хотя бы одно из них строгое; х и у эквивалентны, если F(х, G) = F(y, G); иначе х и у несравнимы.

Определение 2. В условиях определения 1 решение х е X называется паретовским оптимумом, если не существует такое х е X, что х Р х.

Совокупность всех паретовских оптимумов называется паретовским

множеством и обозначается через X, X с X . Два решения принадлежат к одному классу эквивалентности, если они эквиваленты. Это определение распространяется и на классические (т.е. неинтервальные и однокри-териальные) задачи оптимизации: такая задача решена, если получено одно решение, которое принадлежит множеству всех оптимумов, образующих класс эквивалентности. С учетом этого условия считаем, что искомым решением интервальной задачи дискретной оптимизации является полное множество альтернатив (ПМА).

Определение 3. ПМА определяется как такое подмножество X0 паре-

товского множества X, которое содержит по одному представителю из каждого класса эквивалентности.

Сведение интервальной задачи дискретной оптимизации к дискретной многокритериальной задаче

Вернемся к интервальной ЦФ (1), (2), которая определена для интер-вально-взвешенного графа G = (V, E) и данного множества ТГ

Q = {,..., Tq}. Граф G рассматриваем также в виде 2-взвешенного графа:

если ребро e было взвешено интервалом w(e) = [(e), w2(e)], то в процессе «2-взвешения» этому ребру приписываем 2 веса wj(e) и w2(e), которые представляют собой концы интервала w(e). Далее на МДР X = X (G, Q) = {х} определим векторную целевую функцию (ВЦФ)

F(х,G) = (Fi(x,G),F2(x,G)) , (3)

которая состоит из критериев

Fv(х,G) = 2 W(e) ^ extr, v = 1,2 , (4)

eeEx

где extr e {min, max} .

Определение 4. Пусть ВЦФ (3) состоит из максимизируемых критериев (4), т.е. extr = max для v = 1,2 . Решение x e X называем паретовским

*

оптимумом, если МДР X не содержит такой элемент x , для которого выполняются неравенства Fv (x*, G) > F ((%, G) и хотя бы одно из этих неравенств является строгим; X = {x} - паретовское множество.

Определение 5. В условиях определения 4 подмножество X0 с X называется ПМА, если выполняются следующие два условия: удовлетворяется равенство F (X0) = F (X), где определяем F (X*) = {F(x, G):

* \ * i 01 0

x e X f для всякого X с X , и мощность X подмножества X является минимальной.

В [3] представлено строгое обоснование сводимости интервальной задачи об остовных деревьях к 2-критериальной. Представленное в [3] доказательство этого сведения можно применить к общей постановке интервальной задачи оптимизации на графах, которая сформулирована выше. Таким образом, является справедливой следующая

Теорема 1. Для всякого множества ТГ Q = {t1,...,Tq } задача оптимизации на интервально-взвешенном графе с интервальной ЦФ (1), (2) сводится к векторной задаче с ВЦФ (3), (4) на этом же 2-взвешенном графе. Па-ретовское множество и ПМА 2-критериальной задачи с ВЦФ (3), (4) на 2-взвешенном графе G однозначно определяет собой паретовское множество и ПМА этой же задачи с ИЦФ (1), (2) на интервально-взвешенном графе G.

Оценки вычислительной сложности

Рассмотрим формулировку интервальной задачи на графах. Используя понятие «задача» как предикатную переменную, обозначаем его символом Z(Q) в смысле понятия «массовая задача», которое предложено в [9]. Если эта интервальная задача рассматривается как «индивидуальная» [9] на конкретном интервально взвешенном графе G = (V, E), то обозначим ее символом Z (G, Q); ее МДР, паретовское множество и ПМА обозначим

соответственно символами X = X (G, Q), X = X(G, Q) и X0 = X0(G, Q).

Пусть S(n) = {G} - множество всех (невзвешенных) n-вершинных графов.

Определение 6. Интервальная задача Т (б) с ИЦФ (1), (2) называется полной (обладает свойством полноты), если для каждого ее МДР X (О,б), О = (V,Е) е (п), п = 1,2,... существуют такие веса м>(в), е е Е , что выполняются равенства

X 0(О, б) = X (О, б) = X (О, б). (5)

Согласно [9], мы называем интервальную задачу труднорешаемой, если не существует такой алгоритм, который гарантирует нахождение ПМА

с полиномиальной вычислительной сложностью. Мощность ПМА X0|

можно рассматривать как нижнюю оценку вычислительной сложности его нахождения. Это означает, что интервальная задача является труднорешаемой в случае, если максимальная мощность ПМА растет экспоненциально с ростом размерности задачи, т.е. с ростом размерности графов, где максимум берется по всем графам О е 5(п).

Как правило, вычисление мощности МДР представляет меньшую трудность по сравнению с вычислением мощности ПМА. Если рассматриваемая задача обладает свойством полноты, то с учетом равенств (5) снижается сложность нахождения максимальной мощности ПМА. Представляют интерес нетривиальные условия, при выполнении которых рассматриваемая интервальная задача на графах О е 5(п) обладает свойством

полноты. С этой целью рассмотрим какое-либо множество б = {Тк }, состоящее из ТГ Тк = (Ук, Ек ) , к = 1, q .

Определение 7. Множество ТГ б = {тк0} , к = 1, q , называется однородным, если мощности множеств вершин |1к| и ребер |Ек| одинаковы

70 I

V,0

= c1 и \EA = c2, к = 1 q.

для всех ТГ Т° =(, Е0к) из б :

В определении 7 свойство однородности не требует, чтобы величины с1 и с2 являлись константами, которые не зависят от размерности графа О е 5(п). Допускается, что значения с1 и с2 могут быть растущими функциями от п. Например, для задачи об остовных деревьях на п-вершинных графах множество б = {тк0} , к = 1, q состоит из всех попарно неизоморфных п-вершинных деревьев (q = q(n) - мощность множества всех таких деревьев) и при этом для всех ТГ Тк = (|к0, Е°) е б выполняются равенства ||к01 = п , |Ек0| = п -1, к = 1, q . Отметим также, что все одноэлементные множества ТГ вида б = {т^0} являются однородными.

Рассмотрим два интервала V' = [ V1, V '2 ] и V" = [ V '1, V "2 ] на действительной прямой.

Определение 8. Бинарное отношение с строгого включения V' с V" означает, что выполняются следующие строгие неравенства:

V '1 < V '1, V \ < V "2. (6)

Интервальный вес м>(в) = [м>1 (е), w2 (е)] называем положительным, если выполняется неравенство w-i (е) > 0. Положительные веса присущи большинству реальных задач дискретной оптимизации.

Теорема 2. Всякая интервальная задача на графах с ИЦФ (1), (2) является полной в случае, если ее множество ТГ - однородно.

Доказательство. Сначала отметим, что интервалы V' и V'' являются несравнимыми, если для них выполняются неравенства (6). Идея доказательства теоремы 2 состоит в следующем: ребра какого-либо графа О е £(п) взвешиваем попарно несравнимыми интервалами; значения этих весов можно определить таким образом, что для всякой пары х',х" е X(0,0 значения ИЦФ ^(х') и ^(х") представляют собой несравнимые интервалы, в силу чего рассматриваемая индивидуальная задача на графе О является полной (определение 6).

Рассмотрим задачу на графах О е £(п) с ИЦФ (1), (2), для которой

множество ТГ Q = {т/0} , к = 1,q - однородно. Тогда из определения 7 вытекает, что для каждого графа О е £(п) все его допустимые решения

х = (¥х,Ех) е X = (О,Q) содержат одинаковое количество ребер: |Ех| = с,

п

Ух е X, где п кратно константе с^ с = с(п) = — с2 - константа для всякого

с1

фиксированного значения п. Пусть в рассматриваемом графе О = (V,Е) ребра множества Е = {ег}, г = 1, Ь взвешены интервалами ^(ег) = [[ (ег), ^2(ег)] следующего вида:

у>1(ег) = 2г, г = 1Ь,

' (7)

^(ег) = 2 -wl(er). Рассмотрим произвольную пару допустимых решений х = (V, Ех) е е X(О, Q), 5 = 1,2, в которых номера ребер множеств Ех =

= {е^,ег„,...,еьс} с Е, 5 = 1,2 образуют соответственно множества М5 =

= {,г25,. .,гЦ}, 5 = 1,2, где с = пс2. Для этих решений с учетом (7) вы-1 ' с1 числим значения ИЦФ (1), (2):

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. ПРИЛОЖЕНИЕ. 2006. № 12

F(xs) = 2 w(e) = |>(xs,G),F2(xs,G)1, s = 1,2, (8)

eeB

где

F1(Xs) = 2 WjCe) = 2 2r, s = 1,2,

eeE s n=Mj

x (9)

F2(xs) = 2 w2(e) = D - 2 2r = D - Fj(xs), s = 1,2,

eeE s reMs

где константа D = (2 + 2L )c.

Рассмотрим множества M12 = M1 \ M2 и M21 = M2 \ M1, выделим в них максимальные элементы r1 = max r/ , r2 = max r^ . Поскольку

r,1eMu r,2eM 2,1

M1 ф M2 и M1 = |M2|, то M12 n M21 = 0, в силу чего r1 ф r2. Пусть имеет место строгое неравенство r1 < r2. Тогда с учетом равенства мощностей M 21 = |m 211 для значений (9) выполняются соотношения:

F1 (x1) < 2ri+1 < 2r2 < F1 (x2) < F2(x2) < F2(x1). (10)

Сравнивая (6) и (10), согласно определению 8, можем утверждать, что для ИЦФ (1), (2) ее интервальные значения (8) - несравнимы. Таким образом, с учетом произвольного выбора графа G е S(n) и x1, x2 е X(G, Q) получаем, что, согласно определению 8 и неравенствам (10), рассматриваемая интервальная задача полна. Теорема 2 доказана.

Рассматривая класс однородных множеств ТГ Q, условимся нумеровать их индексом к = 1,2,..., т.е. рассматриваем класс Q = {Qk} . В терминологии [9] это означает, что Q определяет собой класс массовых задач на графах. Например, в [10] значения к = 1,2,3,4 соответствуют следующим

задачам: QQ - задача о совершенных паросочетаниях; Q2 - задача об ос-товных деревьях; Q4 - задача коммивояжера; QQ - задача покрытия графа

звездами одинаковой степени, т.е. Q7 ={71? }, где T - h-вершинная звезда, n кратно h. Для всякого множества ТГ Qk е Q при фиксированном значении n можно вычислить максимум мощности МДР

М,к(n) = max X(g,Qk)

GeS (n)1

ределяется формулами [10]:

. Например, для Qk, к = 1,2,4 этот максимум оп-

П! т 1

К(") = n/2 , 'U2(n) = пп-2, ^4(п) = т(п - 1)!. (11)

(п /2)!2п /2 2

В настоящей статье исходным решением интервальной задачи оптимизации на графах является ПМА (определение 3), более точно перечисление всех элементов ПМА, т.е. представление каждого элемента x е X0 в явном виде [10, 11]. С учетом (11) это означает, что для представленных выше задач проблема нахождения ПМА является труднорешаемой [9] или (используя терминологию [12]) она имеет экспоненциальную вычислительную сложность. Заключительному следствию из теоремы 2 предпошлем два замечания. Во-первых, если для двух множеств ТР Qk1 и Qk2 выполняется строгое включение Qk1 с Qk2 , то для всякого графа G е S(n) выполняется (вообще говоря, нестрогое) включение X(g,Qk1 X (g, Qk2). Во-вторых, для всех известных задач оптимиза-

растет экспонен-

ции на графах [3], [4], [7-13] мощность МДР |х (о, Qk)

циально с ростом п в случае, когда О - полный граф. С учетом этих замечаний из теоремы 2 вытекает

Следствие 1. Для известных однородных множеств ТГ Qk соответствующие задачи оптимизации на графах с ИЦФ (1), (2) являются трудно разрешаемыми.

Рассмотрим общий случай, когда граф О и множество ТГ Q - произвольны, т.е. О е (£(п)\ £*(п)), а Q не является однородным в смысле определения 7 и, кроме того, веса ребер графа м(е) = [и'1(е), м2(е)] могут быть и отрицательными, в частности, w-i (е) < м2(е) < 0.

Лемма 1. Для всякой пары «граф О = (V, Е) е £(п) - множество ТГ Q», для которой МДР X(О^) Ф 0, существуют такие веса м(е) = = [(е), м2(е)] ребер е е Е, что каждая пара допустимых решений х1, х2 е X(О,Q) является несравнимой по значению ИЦФ (1), (2).

Доказательство. По аналогии с (7) перенумерованные индексом г = 1,2,.. ., Ь, Ь = |Е|, ребра ег е Е взвесим интервалами следующего вида:

м(ег) = [(ег),м2(ег)], где м2(ег) = 2г; м1(ег) = -2г. Для каких-либо допустимых решений х1, х2 е X(О, Q) в паре множеств Е^ с Е, Е с Е

определим максимальный номер к е{1,2,...,Ь} такой, что ек принадлежит одному из этих множеств (для определенности будем полагать, что ек е Е^ ) и не принадлежит другому (ек г Ех^). Из того, что ек е Евытекает выполнение строгих неравенств ^ (х^ = 2 м1 (ег) < ^ (х2) =

= 2 м1(ег) <Е,^) = 2 М2(ег) <Е;(х1) = 2 ) или, что то же

егеЕх2 егеЕх2 егеЕх1

самое, выполнение строгого включения Е(х2) с Е(х1) (определение 8), которое является утверждением леммы 1 согласно определению 1 и с учетом произвольного выбора пары х1, х2 е X(О, Q).

Лемма 1 доказана.

Согласно определению 6, всякая индивидуальная задача оптимизации на графах является полной в случае, если ее МДР - пустое или состоит из единственного элемента. Тогда из леммы 1 следует

Теорема 3. Всякая задача оптимизации на графах О е £(п) с произвольными интервальными весами и ИЦФ (1), (2) является полной для любого множества ТГ.

Из теоремы 3 вытекает

Следствие 2. Всякая задача оптимизации на графах О е £(п) с произвольными весами и ИЦФ (1), (2) является труднорешаемой, если максимальная мощность МДР X (О, Q)| неограниченна сверху никаким полиномом от п.

Полиномиально разрешимые подклассы интервальных задач на графах

Теорема 1 констатирует сведение интервальных задач на графах к 2-критериальным задачам. Как известно [10], задачи оптимизации на графах с ВЦФ весового вида (3), (4) - труднорешаемые. Существует ряд подходов, позволяющих элиминировать проблему труднорешаемости, обусловленную свойством полноты (определение 6). Один из них состоит в том, чтобы ввести специальные дополнительные условия (ограничения) в математическую постановку рассматриваемой массовой задачи. Например, для ВЦФ вида (3), (4) вместо второго минимизируемого (максимизируемого) критерия весового вида можно ввести критерий вида МШМАХ (МАХМЩ). В результате такой замены максимальная мощность ПМА

X(о,Qk)|, О е £(п) будет ограничена полиномом порядка 0(п2) [10].

По аналогии с 2-критериальными задачами [14], для рассматриваемых интервальных задач на графах представляют интерес такие нетривиаль-

X0 (G, Qk ) для всех G е S(n)

ные условия, при которых мощность ПМА

ограничена сверху константой или хотя бы полиномом от п «невысокой» степени. В этой связи рассмотрим интервальную задачу покрытия графа звездами при выполнении следующих условий:

1) множество ТГ Q7 = {?]7 } состоит из одного элемента, который является й-вершинной звездой;

2) задача рассматривается на 2-дольных графах О = У1,У2, Е) е (п), у которых число вершин первой (второй) доли равно |у | = т (|У21 = I), общее число вершин п = т +1 кратно к и I = т(к -1);

3) всякое допустимое решение х = ((, У2, Ех) е X (о, б7) представляет

собой такой остовный подграф графа О, у которого каждая из т компонент связности является к-вершинной звездой, а ее центр - это некоторая вершина V е У1;

4) ребра е е Е взвешены интервалами из множества А, состоящего из Я интервалов аг = , аг2 ^ одинаковой длины, т.е. интервалы из А удовле-творяют равенствам

а2 - а[ = а , г = 1Я. (12)

Определяемую условиями 1)-4) задачу покрытия графа звездами с ИЦФ (1), (2) будем обозначать символом 2-*. Доказательство полиномиальной разрешимости задачи 2** является конструктивным, т.е. оно базируется на описании и обосновании соответствующего полиномиального алгоритма а1, который состоит из трех этапов.

Этап 1. В данном графе О = У1,У2,Е) е 5(п) для каждой вершины

vi е V, ■ = 1, т выделяем подмножество У2 ^) всех вершин V^ е У2, смежных с vi, а также подмножество Е(^) = {е = (vi, ^): V^ е )} с Е всех ребер, инцидентных вершине vi. Далее для каждой вершины vi е V строится множество ) = }, 5 = 1, к - 2 ее дубликатов. Объединение этих множеств по индексу ■ = 1, т вместе с долей у образует пополненную первую долю V1 = У и ^ и )^ . Для каждого дубликата v1s е у(^)

строится звезда Т1 (vьi ) с центром vьi е V ^) и множеством ребер Е(У) = {е = (,) ^ е V2(vi)} . Таким образом, множество Е пополняется ребрами звезд-дубликатов Т1 (vьi ), 5 = 1, к - 2, ■ = 1, т, причем при дублировании веса ребер сохраняются. Результатом этого пополнения является 2-дольный граф О = (У1,У2,е) , Е = Еи^ и и Е(5)) с равномощны-

ми долями у 1 = \У2\ = I.

Этап 2. Сначала в графе О интервальные веса м(е) = [м1(е), м2(е)] ребер е е Е заменяются на числа м1(е). Далее в 1-взвешенном графе О с помощью подходящего алгоритма [13] (например, венгерский алгоритм) выделяется оптимальное совершенное паросочетание х = (VЕ^), где

через V2(уг-) обозначено подмножество всех вершин V^ е V2, смежных с дубликатами VЦ е Vl(vг■) или с самой вершиной vi е У1; мощность

_ т_

= й -1, ■ = 1,т; иV2^) = V2. В завершение этапа 2 для каждого

■=1

ребра е е Ех числовой вес м(е) заменяется на первоначальный интервальный м(е) = аг = а1г, а2 ^ .

Этап 3. К полученному совершенному паросочетанию х применяется известная операция склеивания вершин графа: для каждого ■ = 1, т, вершины-дубликаты vsi е ^^) склеиваются с вершиной vi еУ1; для полученной после склеивания с vi вершины оставляем обозначение vi. Эта вершина является центром полученной й-взвешенной звезды, состоящей из (й -1) ребер е = (, Vj), таких что Vj е V2 (^). Таким образом, результатом работы этапа 3 является остовной подграф х0 = Е^) исходного графа О = Е), его компоненты связности - т й-вершинных звезд с центрами в вершинах vi е¥1, i = 1,т, т.е. х0 является допустимым

гу *

решением задачи 17.

Обозначим через £*(п) подмножество 2-дольных графов О е £(п),

*

удовлетворяющих условиям 1)-4) задачи 17 .

Теорема 4. Для всякого графа О е £*(п) с непустым МДР задачи 1*

ее ПМА X0 (о, Q7 ) состоит из одного допустимого решения х0, которое алгоритм ах находит с вычислительной сложностью 0(п3).

*

Доказательство. Рассмотрим индивидуальную задачу [9] 17 с минимизируемой ИЦФ (1) на конкретном графе О = Е) е £*(п) и определим на МДР X = {х} для интервальных значений его ИЦФ (1), (2) бинарное отношение нестрогого предпочтения < . Выражение Е(х') < Е(х") означает выполнение нестрогих неравенств (х', О) < Fv (х", О), v = 1,2 .

По определению алгоритма а на его выходе получаем допустимое решение x0 е X = X(g, Q7), на котором достигает минимума значение левого конца ИЦФ (1), (2):

F (x0 ) = minx). (13)

' ' xeX

Из равенств (12) следует, что в представлении (2) концов интервала (1) значение правого конца F2(x) определяется выражением

F2 (x) = F (x) + Id, Vx е X , (14)

где l = |V2|. Из (13) и (14) получаем, что для значения ИЦФ F (x0) = (f (x0), F2 (x0)) выполняется бинарное отношение нестрогого

предпочтения по отношению к любому допустимому решению x е X: F (x0) < F(x), Vx е X . При этом, согласно определению этапа 2, вычислительная сложность z(a-i) алгоритма aj имеет тот же порядок, что и вычислительная сложность задачи о совершенных паросочетаниях на двудольном графе [13]: т(а1) < O(l3)< O(n3). Теорема 4 доказана.

Определяемую условиями 1)-4) полиномиально разрешимую задачу

*

Z7 можно расширить, ослабив представленное выше условие 2) следующим образом. Задачу покрытия графа звездами рассматриваем на всех графах G = (V, E) е S(n), но при условии, что множество ТГ Q состоит из такой звезды, у которой число вершин

h > V , (15)

0

где c0 - это независимая от n константа. В этом случае можно предложить полиномиальный алгоритм a2, у которого подготовительный этап осуществляет перебор вариантов множества вершин первой доли V с V для индуцируемых в данном графе G = (V, E) е S(n) 2-дольных графов

G = (f,v2, E), V u V2 = V , Vj = m . Вычислительная сложность этого

перебора определяется числом сочетаний из n элементов по m, т.е. она ограничена сверху полиномом O(nc°). Далее для каждого варианта первой доли V с V осуществляется решение рассмотренной выше индивидуальной задачи Z* на конкретном 2-дольном графе G = (Vj,V2,E), V2 = V \ Vj, E с E. Заметим, что для всякого c0 > 3 выполняется неравенство r(aj) < O(nc°). Таким образом, неравенство (15) вместе с условиями

1), 3) и 4) определяют собой еще один подкласс полиноминально разрешимых интервальных задач покрытия графа звездами.

Литература

1. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. М., 1987.

2. Демченко А.И. // Тр. семинара по интервальной математике. Саратов, 1990. С. 10-16.

3. Kozina G.L., Perepelitsa V.A. // Interval Computations. 1994. № 1. P. 42-50.

4. Perepelitsa V.A, Kozina G.L. // Interval Computations. 1993. № 1. P. 51-59.

5. Еремин И.И. Противоречивые модели оптимального планирования. М., 1988.

6. Kearfott R.B., Kreinovich V. Applications of Interval Computations. Dordrecht; Boston; London, 1996.

7. КристофидесН. Теория графов. Алгоритмический подход. М., 1978.

8. Miettinen K., MakelaM.M. // Math. Meth. Oper. Res. 2001. № 53. P. 233-245.

9. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М., 1982.

10. Emelichev V.A., Perepelitsa V.A. // Discrete Mathematics and Applications. 1982. Vol. 2. № 5. P. 461-471.

11. Сергиенко И.Л. Математические модели и методы решения задач дискретной оптимизации. Киев, 1988.

12. ЕмеличевВ.А., КравцовМ.К. // Докл. РАН. Математика. 1994. Т. 49. № 1. С. 6-9.

13. Пападимитриу Х., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность. М., 1984.

14. Сергиенко К.В., Перепелица В.А. // Кибернетика. 1987. № 5. С. 85-93.

Карачаево- Черкесская государственная технологическая академия 23 июня 2006 г.

УДК 519.63

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПЛОТНОСТИ ОСАДКА, ВЫПАДАЮЩЕГО НА ПОДСТИЛАЮЩУЮ ПОВЕРХНОСТЬ ОТ НЕПРЕРЫВНОГО ТОЧЕЧНОГО ИСТОЧНИКА

© 2006 г. Е.А. Семенчин, Е.О. Годяева

One of the cases of inverse problem of impurity source in turbulent atmosphere is studied: to restore the power of continuously functioning impurity source when the sediment density, the dry deposition rate and the concentration of admixture are known.

Рассеяние примеси в атмосфере (при условии ее полного отражения от подстилающей поверхности) может быть описано начально-граничной задачей:

dq dq да д „ да д „ да д „ да — + и — - w— = — Kx — +—Kv — + —Kz— + f, дt дх дz дх дх ду ду дz дz

t е [t0,T], q(0,х,у,z) = ср(х,у,z), Kz ^=0 = 0, (1)

дz

q(t, х, у, z) ^ 0, х2 + у2 + z2 ^ го, z > 0, 30