CC BY
20
УДК 51
Ф.Б. Тебуева
НОВЫЕ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД НЕЧЕТКИМИ ВЕСАМИ В ДИСКРЕТНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ НА ГРАФАХ*
1. Математическая постановка задач оптимизации на графах с нечеткими весами
адача оптимизации обычно определяется как вычислительная проблема, в которой задано множество альтернатив X = {х}, целевая функция (ЦФ) F (х) : X ^ BL и требуется найти альтернативу х0 е X , на которой эта ЦФ принимает экстремальное значение: F (х0) = extr F (х),
' ' хеХ ' J
ехtr e{min, max}. Для задач оптимизации альтернативы X = {х} обычно называют термином допустимые решения, х0- оптимум (оптимальное решение), X = {х} - множество допустимых решений (МДР).
Если множество X является дискретным, то соответствующая задача оптимизации называется задачей дискретной оптимизации.
В действительности, следствие выбора каждой альтернативы х зависит не только от этой альтернативы, но и от определенных параметровb1, ..., bL. Если векторb = (bj, ..., bL)е BL, тогда ЦФ F (х) есть целевая функция F (х, b) : X х BL ^ B . Традиционно в оптимизации подразумевается, что
известны точные значения всех параметров bi, i = 1, L. В этом случае понятие «оптимум» имеет непротиворечивое явное определение: допустимое решение х 0 является оптимальным, если оно минимизирует (или максимизирует) целевую функцию на X : F (х0, b ) = min F (х, b ) или F (х0, b) = max F (х, b ) .
Однако, во многих реальных ситуациях точно не известны значения параметров рассматриваемой задачи. Можно назвать две причины такого положения: во-первых, параметры являются результатом измерения, а эти измерения в принципе неточные; во-вторых, параметры меняются с течением времени. В таких ситуациях вместо точного значения параметра bi задается нечеткое
множество B = {(b; ц(Ь; ))} его возможных значений. В этом случае является
известным только факт, что параметрический вектор b принадлежит соответствующему L - мерному параллелепипеду: b е B = (B1, ..., BL) .
*Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ, проект № 06-01-00020а
В подобных ситуациях неясно, как сформулировать соответствующую задачу оптимизации. Один из возможных подходов состоит в следующем: т.к. не известно точное значение bi для каждого допустимого решения х, то является
не известным и точное значение целевой функции F (х,Ь); следовательно, мы знаем только область возможных значений этой ЦФ: F (х, B) = {F (х, b) : b е B}.
В настоящее время известны два класса нечетких задач дискретный оптимизации:
1. Задачи линейного программирования с нечеткими ЦФ [1].
2. Постановки задач оптимизации на графах с нечеткими весами [2].
Пусть G = (V, Е) есть граф [3, 4], где V = {v1,...,vn} - множество его вершин и E = {e1,...,eL} - множество его ребер. Задано также множество типовых графов (ТГ) Q = {7^,..., Г}. Допустимое решение х определяется как подграф х = (V, Ех) , в котором каждая компонента связности изоморфна некоторому ТГ из Q ; X = X (G, Q) = {х} - это МДР на графе G для множества ТГ Q .
Рассмотрим конкретные примеры множеств ТГ Q. Пусть множество ТГ Q состоит из одного элемента:Q = {71}. Тогда X = X(G,Q) есть МДР задачи о совершенных паросочетаниях, если T1 есть ребро; X = X (G ,Q) есть МДР задачи коммивояжера, если T1 есть простой n - вершинный цикл. Если элементами множества Q являются ht - вершинные звезды, t = 1,q , то X = X(G,Q)
есть МДР задачи покрытия графа звездами [3].
Опишем теперь целевую функцию F(х, B). Рассмотренные выше параметры
B1,...,BL представляют собой веса ребер графаG = (V,Е) . Каждое ребро е е Е взвешено нечетким множеством W(е) = {(w (е); M.(w; (е)))}, где элементы wi (е) являются носителями нечеткого множества (НМ), а ^(wi (е)) - степенью принадлежности их нечеткому множеству. ЦФ задачи оптимизации на графах с нечеткими весами имеет вид:
F(х,G) = £ W(е) = F {(w;. (х); ц(wi (х)))} ^ ех& , (1)
ееЕх
где ехtr e{min,max} или
F( х,G) = max W (е) ^ min. (2)
ееЕх ' J
ЦФ (1), (2) линейна по слагаемым W(е), следовательно, она принимает нечеткие значения, которые получаем, используя определение операции суммирования нечетких множеств [5]. Будем измерять качество каждого допустимого решения х е X , рассматривая нечеткое множество F(х,G) (1), (2) возможных значений этой ЦФ. При этом F(х,G) (1), (2) называем нечеткой целевой функцией (НЦФ).
Под математическим решением индивидуальной задачи дискретной многокритериальной оптимизации следует понимать нахождение того или иного множества альтернатив (МА). Из найденного МА впоследствии с помощью методов многокритериального выбора [6] осуществляется выбор и принятие решения.
Перечислим наиболее известные типы МА: а) X - множество всех допустимых решений (МДР), которое рассматривается в качестве МА в случае, когда
критерий выбора и принятия решения является очень сложным; б) X - паре-товское множество (ПМ), состоящее из всех паретовских оптимумов. Для данной индивидуальной задачи с ЦФ (1), (2) решение х е X называется паретов-ским оптимумом, если не существует такого х* е X , который удовлетворяет неравенствам 7 (х‘) < 7 (х) , V = 1, ..., N , среди которых хотя бы одно является
строгим; в) X°- полное множество альтернатив (ПМА), которое определяется как подмножество X0 с X минимальной мощности X0| такое, что
Е (X0) = Е (X), Е (X‘) = {Е (х): х е X‘} VX‘ с X [7]. ПМА является обобщением определенного для 1- критериальных задач понятия «оптимум». Для всякой индивидуальной задачи представленные выше МА образуют иерархически упорядоченную цепочку включений X0 с X с X .
2. Необходимость введения новых арифметических операций над нечеткими множествами
Над нечеткими множествами можно производить различные операции, при этом необходимо определить их так, чтобы в частном случае, когда нечеткое множество является четким (обычным), эти операции переходили в обычные операции теории множеств, то есть операции над нечеткими множествами должны обобщать соответствующие операции над обычными множествами. При этом обобщение может быть реализовано различными способами, из-за чего какой-либо операции над обычными множествами может соответствовать несколько операций в теории нечетких множеств.
Суммирование нечетких множеств. Проанализируем степень пригодности или адекватности существующих определений этих операций, представленных в известных к настоящему времени публикациях. При этом отметим, что нечеткие переменные принято делить на нечисловые и числовые [8].
В работе [8] представлены 3 аксиоматически определенных метода суммирования НМ А и В в полном пространстве Ш :
1) алгебраический: А + В : цА+В (ш) = цА (ш) + цВ (ш) - цА (ш) • цВ (ш) ;
2) граничный: А©В: цА@в (ш) = (цА (ш) + цВ (ш)) Л 1 для Vw е Ш ;
3) драстический: АУВ : цАУВ (ш) = цВ (ш), если цА (ш) = 0, цАУВ (ш) = цА (ш) , если ц В (ш) = 0 V ш еШ и цАУВ (ш) = 1 в других случаях.
Каждый из этих методов, что принципиально важно, представляет собой некий вариант теоретико-множественного суммирования, т.е. сумма двух НМ Ш и Ш есть либо теоретико-множественное объединение их терм-множеств, либо некоторая его модификация. Можно утверждать, что представленные выше три метода суммирования НМ принципиально не соответствуют содер-
жательному смыслу суммирования в целевых функциях вида ^ W (е) ^ extr ,
eeEx
extr є {min,max}. Отсюда вытекает необходимость предлагать и обосновывать
новое определение операции суммирования НМ в целевых функциях экстремальных задач на графах, взвешенных нечеткими множествами.
Следуя [1, 8], рассмотрим два НМ W (e') и W (е" ) , для которых определены соответственно два множества-носителя W' = {w1,w'2,...,w'h} и W" = {w" , w2",..., w,"}. Для элементов этих множеств априори известны дискретные функции принадлежности ц' = ц" (w') , i = 1, ¡1 и ц" = ц" (w " ) , j = 1, 12 ,0 <ц’ (w’), ц" (w ")< 1. Предполагая, что множества W" и W" упорядочены по возрастанию, получаем множество-носитель для суммы носителей НМ W' + W" = W , представляющее собой такое упорядоченное по возрастанию множество W = {w1,w2,..., w,}, в котором w1 = w1 + w'1 , w2 = w1 + w'2 ,..., w, = w'1 + w," .
Определение функции принадлежности |a = |a(w) элементов w в сумме W представим на примере одного элемента w0 є W . В процессе суммирования представителей носителей нечетких весов W и W элемент w0 может получаться в результате сложения элементов определенных q > 1 пар: w" + w" , w' ' + w "..., w" + w" s1 < s'2 < ... < s ' , s" < s2' < ... < s ". Тогда степень принад-
s2 S2 ’ Sq Sq ’ 12 q ’ 12 q " 1 "
лежности элемента w0 в W определяется согласно следующего выражения [1, 8]
ц(0 )= SUp {min ( (w'), vw.(w”))j, (3)
(" + w ’ )=w °є№
удовлетворяющего общепринятому свойству меры принадлежности: 0 < ц < 1.
Отметим, что определение (3) является уже четвертым по счету. В целях иллюстрации неадекватности такого способа суммирования содержанию какой либо конкретной задачи (к примеру задачи землепользования) рассмотрим два конкретных НМ, представляющих урожайность озимой пшеницы на пахотных угодьях одного хозяйства:
W(е') = W(е " ) = {(10; 0,5), (25; 0,4), (40; 0,1)}. (4)
В выражении (4) веса W (е ") и W (е" ) представляют собой ожидаемые урожайности, т.е. урожаи, которые могут быть получены с единичной площади 1 га на двух различных полях. Согласно (4) ожидается: низкий урожай H = 10ц/га с функцией принадлежности (ФП) цн = 0,5; средний урожай C = 25 ц/га с ФП цс = 0,4 и высокий урожай B = 40ц/га с ФП цв = 0,1. Тогда содержательно непротиворечивым суммированием этих двух одинаковых урожайностей является выражение
W (е') + W (е") = {(20; 0,5), (50; 0,4), (80; 0,1)}. (5)
Содержательный смысл выражения (5) состоит в том, что на площади 2 га ожидается следующий урожай: Н = 10ц/га с ФП цн = 0,5, С = 25 ц/га с ФП цс = 0,4, В = 40 ц/га с ФП цв = 0,1.
Вычислим теперь сумму IV (е') + IV (е") , используя формулу (3):
IV (е’) + V (е ") = {(20; 0,5), (35; 0,4), (50; 0,4), (65; 0,1), (80; 0,1)}. (6)
Сравнивая правые части выражений (5) и (6), видим, что каждая из них представляет собой НЧ, причем НЧ (5) является собственным подмножеством нечеткого множества (6). Иными словами, в нечетком множестве (6) по сравнению с (5) появились два новых элемента:
(35;0,4), (65;0,1), (7)
которые по сути дела привносят собой ненужную, более того, отвлекающую информацию о результатах выполнения операции сложения. Действительно, представленные в (7) урожайности 35 ц/га со значением ФП ц = 0,4 и 65 ц/га со значением ФП ц = 0,1 просто непредусмотрены содержательным смыслом рассматриваемой ситуации, определяющей суммарный выход продукции с пахотных угодий площадью 2 га.
Таким образом, каждое из четырех представленных выше известных определений операции суммирования нечетких чисел не позволяет адекватно отразить операцию суммирования нечетких весов. Отсюда следует, что применительно к таким конкретным задачам, как упомянутая задача землепользования необходимо представлять новое, более адекватное реальным ситуациям определение операции суммирования двух нечетких чисел.
Следует отметить, что лингвистическое представление слагаемых в полной мере распространяется на сумму этих слагаемых, т.е. если пара НМШ ', V"
имеет видW' = {(ш",ц")}, IV" = {(ш"ц")}, ш',ш" е(Н,С,В) , 1 = 1,3, то сумма
V = V ' + V " представляет собой НМ того же типа: V = {(ш ,ц 1)}, 1 = 1,3. Операция «суммирование нечетких лингвистических весов» определяется следующим образом:
Ш (е') + Ш (е") = {(ш'н + <; цН), (< + <; ц* ), (ш'в + ш"в; ц* )} , (8)
где
Ц (ш*) = ц(ш") + ц (ш") - ц(ш")-ц (ш"), 1 е (Н, С, В). (9)
Определение (8), (9) можно назвать «скалярным суммированием», которое согласуется с (4), (5). Отметим, что определение (8), (9) распространяется на такие слагаемые, у которых функции принадлежности помечены одним и тем
же индексом к , т.е. для фиксированной пары 1, к , 1 = 1,3, к = 1, т значение
ц* является одинаковым для слагаемых и ш" .
Возвращаясь к ЦФ (1), выделим в ней сумму ^ V (е) , представляющую со-
ееЕ*
бой понятие, которое можно назвать термином «НВ решения хк». С учетом (8), (9) НВ V (е) всякого ребра е е Е* представляем следующим выражени-
емШ(е) = {( (е); цН), ( (е); цк ),)(е)в ; цВ)}. Тогда НВ Шк решения хк определяется выражением
р (хк )= Е Ш (е ) = Шк = {(Н; цН ) Ж; цС),«; цВ )) =
ееБк
Г^ \ / Л ( М (10)
Е Жн (е); цкн , Е (е); цк , Е Жв (е); ЦВ
ееБХк у у ееЕ^ у у ее£к
Определяя суммирование НВ различных решений хк, особо отметим, что для рассматриваемой задачи землепользования ее ЦФ (1) представляет собой
т различных НВ жк = {(Н; цкн ), (ж£ ; ц* ), (жкВ; цкв )), каждый из которых
определяется выражением (9).
Вычитание нечетких множеств. В [1] предложена следующая формула для разности двух НМ:
цлхв (х)=.К(х)-цв(х) при ца(х)-цв(х). (11)
[ 0 в противном случае.
Т.е. в ней не производится никаких арифметических операций над носителями НМ. В то же время считается целесообразным произвести над носителями этих НМ операцию «скалярного вычитания»
Ш' (е) \ Ш" (е) = {(Ж (е) - ж" (е); ц(Ж - ж"))},
где функцию принадлежности ц(Ж - ж") можно определить по формуле (11).
Умножение, деление, возведение в степень нечетких множеств. Операция умножения НМ в большинстве литературных источников рассматривается по сути как теоретико-множественное пересечение
цАПВ (е) = т5п К (е) цв (е)) .
В [1] эта операция представлена как алгебраическое произведение функций принадлежности двух НМ
ц(ж ) = цш(Ж )• ц№.(ж" ).
По прежнему считается, что элементы-носители остаются без изменения, т.е. происходит «оперирование» только функциями принадлежности. В реальности возникают задачи, например, задача управления запасами, в которой такое умножение неадекватно содержанию задачи. Как известно, задача управления запасами состоит в нахождении оптимального уровня заказа, определяемой по формуле Уилсона [9]
у = /2 • к •р
Ь
где в виде НМ могут быть заданы ее параметры: р - интенсивность спроса на
складируемые ресурсы; к - затраты на оформление заказа; Ь - складские затраты на хранение единицы запаса. Здесь возникает необходимость в новых операция умножения, деления и возведения в степень нечетких множеств, использующих в вычислении носители НМ.
Для умножения двух НМ Ш' и Ш" предлагается произвести операцию «скалярного умножения» носителей и функций принадлежности
Ш(е’)-ш(е") = |(жн; цН-цН), (К •<; ц'с •цС),(ЖВ-К; цВ-цВ)).
Операцию возведения НМ в степень видимо, целесообразно проводить путем возведения в степень как носителей, так и их степеней принадлежности
Ш (е)с = {((Жн )с; (цн )с), ((Жс )с; (цс)), ((жв )с; (цв )с)), (12)
где с - некоторая константа.
Операцию деления двух НМ Ш иШ , естественным образом, можно рассматривать как операцию умножения первого НМ Ш (е') на обратное второму
НМ ( (е " ))-1
Сравнение нечетких множеств и упорядочение по предпочтительности. Предлагаемый в настоящей работе метод упорядочения НВ по предпочтительности базируется на процедуре дефазификации [10]. Прежде, чем приводить описание этой процедуры, отметим условия, при которых она не пригодна. Для этого рассматриваем 2 допустимых решения х1, х2 е X , на которых ЦФ
(1) принимает значения в виде двух НВ р (х]) = {(ж (х]); ц (ху)}, 1 е {н, С, В}, у = 1,2 . Тогда, рассматривая величины (х!) и ц (ху) в качестве максимизируемых показателей, можно утверждать, что вариант х1 предпочтительнее варианта х2 , если выполняются следующие неравенства Ж (х1)> Ж (х2) , ц (х )>ц (х2) , 1 е{н, С, В),
среди которых хотя бы одно является строгим. В случае не выполнения этого условия реализуется следующая процедура дефазификации. Сначала вычисляются следующие величины: Ь (х/ ) = Еж (х)• ц (х), м(х) = Ец 1 (х),
N (ху ) = Е Ж (ху) , У = 1,2. Далее вычисляются центры тяжести носителей
1
(ЦТН) и соответствующие им степени принадлежности (СП):
Ж (ху ) = £ (ху )м (ху) ц (ху ) = 1 (ху )/N (ху) . Пару ( Ж (х]); ц (х])) условимся называть сверткой нечетких весов (НСВ). Для упорядочения вариантов х), у = 1,2 по предпочтительности осуществляется известная операция сравнения интервалов [ц (ху), Ж (ху)], у = 1,2. При этом границы этих интервалов рассматриваются в качестве максимизируемых показателей.
Определение 1. Вариант х1 предпочтительнее варианта х2 (эквивалентен варианту х2), или в другой терминологии, х2 доминируется вариантом х1 (х1 у х2) , если выполняются неравенства ц( х1) > ц( х2) , ж (х1) > ж (х2) , среди которых хотя бы одно является строгим (равенства ц(х1 ) = ц(х2) , ж (х1 ) = ж (х2)). Эквивалентность этих вариантов обозначаем через х1 ~ х2.
Определение 2. Варианты х1 и х2 являются несравнимыми (х1 о х2), если в паре интервалов [Д (ху), w(ху)], j = 1,2 один из них является строгим включением другого.
Примечание 1. Нетрудно убедиться в том, что при выполнении неравенств (12) вариант х1 преподчтительней х2. Если в (12) выполняются равенства, то
Х1~ х2.
Определенные выше бинарные отношения БО предпочтительности >, эквивалентности ~ и несравнимости о позволяют вычленить из МДР X = {х}
паретовское множество (ПМ) X, на котором для каждой пары НВ (w (х'); д(х), ( (х ''); д(х" ))) выполняется БО несравнимости и БО эквивалентности. Последнее разбивает ПМ X на классы эквивалентности. Выбирая из каждого класса по новому представителю, получаем полное множество альтернатив (ПМА) X0 : X0 с X с X . Определенное таким образом ПМА X0 является искомым математическим решением задачи дискретного программирования с нечеткими данными. Далее элементы ПМА X0 упорядочиваются по предпочтительности в смысле теории выбора и принятия решений [6, 7], например, с помощью обобщенного решающего правила [6,
7].
---------------------------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Орловский С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. - М.: Наука, 1981. - 208 с.
2. Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б., Темирова Л.Г. Моделирование экстремальных задач на графах с нечеткими данными/ Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Абрау-Дюрсо, 5-11 сентября 2002, Ростов-на-Дону: Ростовское математическое общество, 2002. - С.214-216.
3. Лекции по теории графов / Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. - М.: Наука, 1990. - 384 с.
4. Свами Т., ТхуласираманГ. Графы, сети и алгоритмы. - М.: Мир, 1984. - 454 с.
5. Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б., Темирова Л.Г. Математическая модель землепользования на базе нечетких множеств и клеточных автоматов// Электронный журнал «Исследовано в России», 2003, С. 2429-2438 http:// zhurnal.ape.relarn.ru/articles/003/207.pdf
6. Ногин В.Д. Принятие решений в многокритериальной среде: количественный подход. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 176 с.
7. Емеличев В.А., Перепелица В.А. Сложность дискретных многокритериальных задач //Дискретная математика. - 1994. - Т.6. - Вып.1.- С. 3-33.
8. Прикладные нечеткие системы/ Под редакцией Т. Тэрано, К. Асаи, М. Сугэно. -М.: Мир, 1993. - 368 с.
9. Исследование операций: В 2-х томах /Под ред. Дж. Моудера, С. Элмаграби. - М.: Мир, 1981. - 677 с.
10. Ярушкина Н.Г. Основы теории нечетких и гибридных систем. Учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2004. - 320 с. ШИН
Тебуева Ф.Б. НОВЫЕ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД НЕЧЕТКИМИ ВЕСАМИ В ДИСКРЕТНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ НА ГРАФАХ
Рассматриваются дискретные задачи на графах, в которых ребра взвешены нечеткими множествами. В виду отсутствия общепризнанных арифметических операций над нечеткими множествами предлагаются новые определения: сложения, вычитания, умножения, возведения в степень, сравнения.
Tebueva F.B. NEW ARITHMETIC OPERATIONS ABOVE FUZZY WEIGHTS IN DISCRETE PROBLEMS OF OPTIMIZATION ON GRAPHS
Discrete problems on graphs in which edges are weighed by indistinct sets are considered. In a kind of absence of the conventional arithmetic operations above indistinct sets new definitions are offered: additions, subtraction, multiplication, exponentation, comparison.
— Коротко об авторах----------------------------------------------------------
Тебуева Ф.Б. - кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник, Карачаево-Черкесская государственная технологическая академия, кафедра прикладной математики.
Статья представлена Карачаево-Черкесской государственной технологической академией.
---------------------------------------- © Ф.Б. Тебуева, 2008
УДК 51
Ф.Б. Тебуева
ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В ДИСКРЕТНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ НА ГРАФАХ С НЕЧЕТКИМИ ВЕСАМИ*
1. Задачи оптимизации на графах с нечеткими весами. Математическая постановка
Пусть О = (V, Е) есть граф [1, 2], где V = {^,...,^п) - множество его
вершин и Е = {е1,..., е£) - множество его ребер. Задано также множество типовых графов (ТГ)0 = {Г1,...,Г). Допустимое решение х определяется как подграф х = (V, Ех) , в котором каждая компонента связности изо-
*Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ, проект № 06-01-00020а
морфна некоторому ТГ из Q ; X = X (G,Q) = {x} - это МДР на графе G для множества ТГ Q.
Рассмотрим конкретные примеры множеств ТГ Q. Пусть множество ТГ Q состоит из одного элемента: Q = {7^}. Тогда X = X (G, Q) есть МДР задачи о совершенных паросочетаниях, если Т есть ребро; X = X (G, Q) есть МДР задачи коммивояжера, если 71 есть простой n - вершинный цикл. Если элементами множества Q являются ht - вершинные звезды, t = 1, q , то X = X (G,Q)
есть МДР задачи покрытия графа звездами [1].
Опишем теперь целевую функцию F(x, B). Рассмотренные выше параметры
B1,...,BL представляют собой веса ребер графа G = (V,E) . Каждое ребро e е E взвешено нечетким множеством W(e) = {(wi (e); д(wi (e)))}, где элементы wi (e) являются носителями нечеткого множества (НМ), а M-(w; (e)) - степенью принадлежности их нечеткому множеству. ЦФ задачи оптимизации на графах с нечеткими весами имеет вид:
F(x, G) = £ W(e) = F {(w;. (x); д (w;. (x))) -> extr , (1)
eeEx
где extr e{min,max} или
F(x, G) = max W (e) — min . (2)
eeEx
ЦФ (1), (2) линейна по слагаемым W(e), следовательно, она принимает нечеткие значения, которые получаем, используя определение операции суммирования нечетких множеств [3]. Будем измерять качество каждого допустимого решенияx е X , рассматривая нечеткое множество F(x,G) (1), (2) возможных значений этой ЦФ. При этом F(x,G) (1), (2) называем нечеткой целевой функцией (НЦФ).
Под математическим решением индивидуальной задачи дискретной многокритериальной оптимизации следует понимать нахождение того или иного множества альтернатив (МА). Из найденного МА впоследствии с помощью методов многокритериального выбора [4] осуществляется выбор и принятие решения.
Перечислим наиболее известные типы МА: а) X - множество всех допустимых решений (МДР), которое рассматривается в качестве МА в случае, когда
критерий выбора и принятия решения является очень сложным; б) X - паре-товское множество (ПМ), состоящее из всех паретовских оптимумов. Для данной индивидуальной задачи с ЦФ (1), (2) решение x е X называется паретов-ским оптимумом, если не существует такого x* е X , который удовлетворяет неравенствам Fv (x’) < Fv (x) , v = 1, ..., N , среди которых хотя бы одно является строгим; в) X0- полное множество альтернатив (ПМА), которое определяется как подмножество X0 с X минимальной мощности |X0| такое, что
F(X0) = F(X), F(X‘) = ^(х): х е X‘) VX' с X [5]. ПМА является обобщением определенного для 1 - критериальных задач понятия «оптимум». Для всякой индивидуальной задачи представленные выше МА образуют иерархически упорядоченную цепочку включений X0 с X с X .
3. Сужение множества недоминируемых альтернатив в задачах многокритериального выбора. Решающие правила
Теория принятия решений изучает задачи наилучшего выбора, используя имеющуюся в наличии информацию о предпочтениях. Наиболее приспособленными для практического использования являются так называемые «прямые методы» [6]. Суть их в том, что общая (абсолютная или относительная) полезность альтернативы оценивается посредством некоторой функции от численных значений показателей или критериев, составляющих векторную целевую функцию (ВЦФ).
Наиболее часто используются решающие правила (РП), построенные на тех же принципах, которые лежат в основе определений целевых функций (ЦФ) задач оптимизации. При этом, если для задачи с ВЦФ строится решающее правило (РП) по образу и подобию конкретной ЦФ / (х) , х = {е), то параметрами этой ЦФ являются не веса ю (е) , а значения критериев FV (х) . Если критерии Fv (х) , V = 1, N упорядочены и пронумерованы в порядке убывания их относительной важности, то РП / (х) представляет собой суперпозицию функций вида /(^1F1 (х), X2F2 (х),...,XNFN (х)) , где \ - это коэффициенты относительной важности критериев (КОВ) FV (х). Т.е. вектору критериев FV (х) взаимнооднозначно соответствует вектор КОВ
X = (Х1, X2,..., XN) , V = . (3)
При использовании РП / (х) наилучшим выбором из ПМ X или ПМА X0
объявляется такой элемент х0 е X , на котором значение функционала / (х) достигает требуемого экстремума. При этом необходимо помнить, что элемент х0 является лишь кандидатом на роль лучшего решения, ибо решающие правила являются всего лишь более или менее удачными эвристическими методами, порожденными человеческой практикой оценки полезности конкурирующих альтернатив.
Ниже представлены обобщения известных РП для задач дискретной оптимизации с нечеткой целевой функцией (НЦФ), или другими словами, нечеткими критериями.
а) Решающее правило взвешенной суммы
Для обеспечения возможности применения представленного ниже РП взвешенной суммы необходимо выполнение следующих условий.
10 Все критерии (х) данной ВЦФ должны быть однородны по виду экс-
тремума, т.е. либо все минимизуруемые, либо все максимизуруемые.
20 Все критерии (х) данной ВЦФ должны иметь одну и ту же единицу
измерения.
Если условия 10 и 20 в исходной постановке не выполняются, то для отдельных критериев необходимо выполнить подходящие преобразования.
Введем операции умножения нечеткого множества на число и сложения нечетких множеств.
Определение 1. Произведением некоторого числа а на нечеткое множество W = {(, )) является нечеткое множество W' = {(а • wt, ^(wj))}, в
котором элементы- носители получаются путем их умножения на число а, степени принадлежности ^(wj) остаются неизменными.
Определение 2. Суммированием нечетких множеств W и W является нечеткое множество W = W' + W", в котором элементы- носители получаются путем скалярного сложения элементов-носителей HM W иW , функция принадлежности при этом вычисляется по формуле д (wi) = д (w\) + д (w") - д (w') • д (w") .
Пусть на МДР X = {х} задана ВЦФ в виде вектора
F(х) = ( (х), F2 (х),...,Fn (х)) (4)
оптимизируемых критериев
Fv (х)^ ехtr , v = 1, 2, ..., N . (5)
для которых определен вектор (3) КОВ. Если каждый критерий (5) имеет одну
и ту же единицу измерения и один и тот же вид экстремума, то РП взвешенной
суммы определяется линейной сверткой критериев
N
fi ( х ) = !^(х ) =
v=1 , (6)
= {(1 • { д{ )) (X2 • ^W 2 , д^ )) ..., (XN • WN , д(^ ))} е}
где ехtr = min. В случае ехtr = min (ехtr = max) говорят о свертке MINSUM (MAXSUM).
б) Решающие правила вида MINMAX и MAXMIN
Считаем, что данная ВЦФ состоит из критериев, каждый из которых имеет одну и ту же единицу измерения и один и тот же вид экстремума.
Введем операцию сравнения HM.
Определение 3. Вычислим центры тяжести носителей (ЦТН) и соответствующие им степени принадлежности (СП): W (х)) = L (х )/M (х), д (х ) = L (х> )/N ((),
где L ) = X wi (х1) • д, () , N (х1) = I w (х,) , M (х ) = I д, ( ) ,} = 1,2 .
i i i
Пару ((ху);д(х1)) условимся называть сверткой нечетких весов (НСВ).
Сравнение нечетких множеств W и W можно свести к сравнению интервалов: [д (w'), w (w ')] и [д (w"), w (w ")].
Если является определенным КОВX = (XUX2,...,XN) , то решающие правила
вида MINMAX и MAXMIN определяются соответственно следующим выражениям
f2 (X, x) = max XvWv (x) min , (7)
f2 (X, x) = mm XvWv (x) ^ max . (8)
РП используется в случае ВЦФ, состоящей из минимизируемых (максимизи-
руемых) критериев.
в) Решающее правило вида «расстояние до идеальной точки»
Пусть критерии ВЦФ (4) имеют одинаковую единицу измерения, одинаковый вид экстремума и для них определены КОВ (3).
Определение 4. Разностью нечетких множеств Ши W является нечеткое множество W = W' \ W", в котором элементы- носители получаются путем скалярного вычитания из элементов-носителей первого НМ W элементы- носители второго НМ W , функция принадлежности при этом вычисляется по форму-
( ) [Мx)-Mx) пРи Мx)-Мx)
ле ^\w" (x) = 1 '
[ 0 в противном случае.
Введем обозначения: av = min Wv (x) , v = 1, N ; идеальная точка в критериальном пространствеа = (а1,а2,...,aN), где av = av (av = Av) для критерия Wv (x) ^ min (Wv (x) ^ max). РП «расстояние до идеальной точки» определяется формулой:
f (X, x ) = ]Г (((x)- av)2 X v) ^ min. (9)
г) Мультипликативное решающее правило
Определение 5. Произведением двух HM W' и W" является
HMW (e')-W (e") = {(w'HWH; ц'н-Ц ), (w'c W; Ц ‘Ц ), W '<; Ц -Ц )},
получаемое путем «скалярного умножения» элементов- носителей и их степеней принадлежности соответственно.
Пусть в ВЦФ (4) каждый из критериев (5) имеют одинаковую единицу измерения и одинаковый вид экстремума. Тогда мультипликативное РП определяется формулой:
f4 (X, x) = П Wv (x) extr, (10)
где extr = max (extr = min), если все Wv (x) ^ max (Wv (x) ^ min ), v = 1,N .
Формальное определение РП аналогично формуле мультипликативной ЦФ. Это РП обычно используется в задачах, у которых критерии имеют смысл вероятности или когда значение f2 приобретает смысл понятия «объем».
д) Обобщенное решающее правило (ОРП)
Рассмотрим N - критериальную задачу, у которой ВЦФ (4) состоит из N > 2 минимизируемых критериев (5).
По условию рассмотрим случай, когда мощность ПМА |Х0| > 2. В этом случае возникает проблема выявления в X0 решения с максимальной величиной
=1
полезности U (x) . Неизвестная полезность U (x) оценивается векторной целевой функцией полезности (ВЦФП)
f (x) = (f (x) > ( (x)>•••> fm (x)) , (11)
которая состоит из РП fs (x) , представляющих собой N - местные функционалы fs (x) = fs ((x) ,W2 (x),..., Wn (x)), s = 1, m. (12)
При m > 2 ВЦФП определяет собой новое ПМА Х° с X0. Суть ОРП состоит в поэтапном или итеративном вычислительном процессе применения ВЦФП к квази-ПМА Х° с целью ранжирования его элементов по предпочтительности, т.е. по возрастанию величины полезности U (x) .
Итерация 1. Если мощность квази-ПМА |Х°| = 1, то его единственный элемент x(1) рассматривается в качестве первого претендента на искомый наилучший выбор и на этом заканчивается итерация 1, а вместе с ней и работа ОРП. Пусть мощность |Х°| > 2, тогда итерация 1 заканчивается формированием квази-ПМА X0 в качестве исходной информации для следующей итерации. При этом составляющие критерия нормируются, т.е. вместо величин fs (x) ,
s = 1, m рассматриваются их нормированные значения /(1) (x) = -1 fs (x), где
s a 1 s
s
a(1) = min f (x) .
s xeX? sV '
Пусть осуществлено к > 1 итераций, в процессе которых сформирована последовательность квази-ПМА X0 з Х° з Х20 з ... з Xk0_1 з Х°к . Если мощность
ПМА |Хк0| = 1, то единственный элемент x(k * рассматривается в качестве наиболее вероятного претендента на роль альтернативы, обладающей максимальной полезностью. Если же мощность альтернативы Х° > 2 , то для подготовки
итераций (к +1) критерии fs (fk 1 (x)) , s = 1, m нормируются. Здесь
f, (fk ( x)) является m - местным функционалом, который определяется по
формуле РП (11). Например
m
f1 (fk-1 (x ))=Ь:-1 (x)^ min, (13)
s=1
f2 (fk-1 (x)) = rnax fsk 1 (x) ^ min , (14)
f3 (fk-1 (x)) = yZ (fsk-1 (x) -1) min, (15)
m
f4 (fk-1 (x)) = Пfk-1 (xH min, (16)
где fs (fk-1 (x)) - значения критериев, пронормированных на предыдущей итерации к -1, s = 1, m . Для нормирования fs (fk-1 (x)) вычисляется вначале оптимум а(-1) = mion f{s k-1), а затем величина fs (fk-1 (x)) заменяется на величину
xeXk-1
f. ( (x)) = 4*-f ( (x)). (17)
a
s
Итерация k + 1. На ПМА Xk определяется ВЦФП
f ( (x )) = (f1 (fk (x)), f2 (fk (x;)),..., f m (fk (x))), (18)
которая состоит из РП fs (fk-1 (x)), s = 1, m, которые с учетом нормирования
(18) представляют собой m - местные функционалы вида (13)-(16):
fs (fk (x )) = fs (f1 (fk (x)) , f2 (fk (x)),•••, f m (fk (x))H min, (19)
ВЦФП (11)-(12) определяет собой (k +1) -ое ПМА Xk0-1 с Xk . Если мощность (k +1) ПМА |Xk0-^ = 1 , то единственный элемент x(k' принимается в качестве наиболее вероятного решения, обладающего максимальной полезностью. Если же мощность |Xk0-^ > 2, то осуществляется нормирование критериев
(19) аналогично (17) с тем лишь отличием, что индекс k заменяется на (k +1) .
Алгоритм ОРП останавливает работу, как только очередное ПМА оказывается одноэлементным.
2. Оценки вычислительной сложности задач оптимизации на графах с нечеткими весами
Используя понятие "задача", как предикатную переменную, обозначаем его символом Z(Q) в смысле понятия "массовая задача", которое предложено в книге [7]. Если эта задача рассматривается как "индивидуальная задача" [7] на конкретном нечетко взвешенном графе G = (V, E), то обозначим ее символом Z(G, Q); ее МДР, паретовским множеством и ПМА являются соответственно множества X = X(G, Q), X = X(G, Q) и X0 = Xk(G,Q).
Пусть S(n) = {G} - множество всех (невзвешенных) n - вершинных графов. Определение 6. Нечетко взвешенная задача Z(Q) с НЦФ (1), (2) называется полной (обладает свойством полноты), если для каждого ее МДР X(G, Q), G = (V,E) е S(n), n = 1, 2, ... существуют такие весаW(e), e е E , что выполняются равенства
X k(G, Q) = XX (G, Q) = X (G, Q). (20)
Согласно [7] мы называем нечетко взвешенную задачу труднорешаемой, если не существует такой алгоритм, который гарантирует нахождение ПМА с полиномиальной вычислительной сложностью. Мощность ПМА |X0| можно рассматривать как нижнюю оценку вычислительной сложности его нахождения. Это означает, что нечетко взвешенная задача является труднорешаемой в слу-
чае, если максимальная мощность ПМА растет экспоненциально с ростом размерности задачи, т.е. с ростом размерности графов, где максимум берется по всем графам С е 5(п).
Как правило, вычисление мощности МДР представляет меньшую трудность по сравнению с вычислением мощности ПМА. Если рассматриваемая задача обладает свойством полноты, то с учетом равенств (20) снижается сложность нахождения максимальной мощности ПМА. Представляет интерес найти нетривиальные условия, при выполнении которых рассматриваемая нечетко взвешенная задача на графах С е 5(п) обладает свойством полноты. С этой
целью рассмотрим какое-либо множество О = {Тк}, состоящее из
если мощности множеств вершин ||0| и ребер \Бк\ одинаковы для всех ТГ
В определении 7 свойство однородности не требует, чтобы величины с1 и с2 являлись константами, которые не зависят от размерности графа С е 5(п) . Допускается, что значения с1 и с2 могут быть растущими функциями отп . Например, для задачи об остовных деревьях на п - вершинных графах множество
0 = }, к = 1, д состоит из всех попарно неизоморфных п -вершинных деревь-
ев (д = д( п) - мощность множества всех таких деревьев) и, при этом, для всех ТГ Т° = (0, Б°о ) е О выполняются равенства ||00| = п , |Ек | = п -1, к = 1, д . Отметим также, что все 1- элементные множества ТГ вида О = {Т10} являются однородными.
Рассмотрим два нечетких множества Ш' = {(ш], и
V" = {(", на некотором универсальном множестве Ш .
Определение 8. Бинарное отношение с строгого включения V с V " означает, что элементы носители в этих нечетких множествах равны = ш",
1 = 1,0 и при этом для функций принадлежности выполняются следующие строгие неравенства:
полняется неравенство (е) > 0. Положительные веса присущи большинству
реальных задач дискретной оптимизации.
Теорема 1. Всякая нечетко взвешенная задача на графах с НЦФ (1) - (2) является полной в случае, если ее множество ТГ является однородным.
Доказательство. Сначала отметим, что нечеткие множества Ш' и Ш" являются несравнимыми, если для них не выполняются неравенства (21). Идея до-
(21)
называем положительным, если вы-
казательства теоремы 1 состоит в следующем: ребра какого-либо графа Є є 5(п) взвешиваем попарно несравнимыми интервалами; значения этих весов можно определить таким образом, что для всякой пары х' , х "є X (Є ,0) значения НЦФ F (х') и F (х") представляют собой несравнимые нечеткие множества, в силу чего рассматриваемая индивидуальная задача на графе Є является полной (см. определение 3).
Рассмотрим теперь задачу на графах Є є 5(п) с НЦФ (1) - (2), для которой
множество ТГ 0 = {71°}, к = 1, д является однородным. Тогда из определения 5 вытекает, что для каждого графа Є є 5(п) все его допустимые решения х = (V, Ех) є X = (Є, 0) содержат одинаковое количество ребер:
|Ех| = с , Ух є X ,
где п кратно константе с1 и величина с = с(п) = Пс2 является константой для
С1
всякого фиксированного значения п. Пусть в рассматриваемом графе Є = (V, Е) ребра множества Е = {ег}, г = 1, L взвешены нечеткими множествами Ш (вг) = {( (ег), (ег))} следующего вида:
^ (er) = 2r + i, г = 1, L , i = 1, к , (22)
1
(e))=™—:, г = 1, L , i = 1,k • (23)
2 +i
Рассмотрим произвольную пару допустимых решений xs = (Vx, Ex )е X(G, Q), s = 1, 2 , в которых номера ребер множеств
Ex = {es, вг,,•••, eSje E , s = 1, 2 образуют соответственно множества Ms = {r/, r2S,..., rcs}, s = 1, 2 , гдеc = — c2 • Лля этих решений с учетом (22) и
n
с
(23) вычислим значения НЦФ (1), (2):
F(xs) = X W(e) = {( (х), (x)))}, s = 1, 2 , i = 1, k , (24)
eeE s
где
w, (xs) = X w, (e) = X (r + i) , S = 1, 2 , i = , (25)
ee£ s reMs
(xs)) = £ f-1—], s = 1, 2 ,i = 1,k . (26)
reM5 v 2 + i у
Рассмотрим множества M12 = M1 \ M2 и M21 = M2 \ M1, выделим в них максимальные элементы r1 = max r/ , r2 = max rf . Поскольку M1 ^ M2 и
rf1eM12 r2eM2 1
, то M12 n M21 = Ш, в силу чего r1 ^ r2. Пусть имеет место строгое
неравенство r1 < r2, тогда с учетом равенства мощностей |M12| = |M21| для значений (25) и (26) выполняются следующие соотношения:
^(x1) < 2r1+i+1 < 2r2+i < ^(x2) < w,(x2) < w,(x1). (27)
Сравнивая (27) и (21), согласно определению 5 можем утверждать, что для НЦФ (1) - (2) ее нечеткие значения (24) являются несравнимыми. Таким образом, с учетом произвольного выбора графа G е S(n) и x\ x2 е X(G, Q) получаем, что согласно определения 6 и неравенств (27) рассматриваемая нечетко взвешенная задача является полной.
Теорема 1 доказана.
Рассматривая класс однородных множеств ТГ Q, условимся нумеровать их
индексом к = 1,2, ...: Q = {Qk}. В терминологии [7] это означает, что класс Q
определяет собой класс массовых задач на графах. Для всякого множества ТГ Qk е Q при фиксированном значении n можно вычислить максимум мощности
МДР yк (n) = max X (G, Qk) . Например, для Qk, к = 1, 2, 4 этот максимум
GeS (n) * *
определяется следующими формулами [8]:
Y1( n) = (n /2П1 2n/2 , Y 2 (n) = nn-2 , Y 4 (n) = -|( П - 1)! (28)
Исходным решением нечетко взвешенной задачи оптимизации на графах является ПМА, более точно, перечисление всех элементов ПМА, т.е., представление каждого элемента x е X0 в явном виде [9, 10]. С учетом (28) это означает, что для представленных выше задач проблема нахождения ПМА является труднорешаемой [7] или (используя терминологию [11]) она имеет экспоненциальную вычислительную сложность. Заключительному следствию из теоремы 1 предпошлем два замечания. Во-первых, если для двух множеств ТГ Qk1 и Qk2 выполняется строгое включение Qk1 е Qk2 , то для всякого графа G е S(n) выполняется (вообще говоря, нестрогое) включение X (G, Qk1 ) X (G, Qk2). Во-вторых, для всех известных задач оптимизации на графах [1, 2, 7, 11] мощность МДР | X(G,Qk) | растет экспоненциально с ростом n в случае, когда
G - полный граф. С учетом этих замечаний из теоремы 1 вытекает
Следствие 1. Для известных однородных множеств ТГ Qk соответствующие задачи оптимизации на графах с НЦФ (1), (2) являются трудно разрешаемыми. Рассмотрим общий случай, когда граф G и множество ТГ Q являются
произвольными, т.е. G е (S(n) \ S’(n)) , а Q не является однородным в смысле
определения 5 и, кроме того, веса ребер графа W (ei ) = {(Wi (er ), ^(S )))}
могут быть и отрицательными, в частности, wi(e) < 0.
Лемма 1. Для всякой пары "граф G = (V, E) е S(n)- множество ТГ Q ”, для которой является непустым МДР X(G,Q) ф Ш, существуют такие веса
W (вг ) = |(^ (e, ). (вг ребер e є E , что каждая пара допустимых реше-
ний x1, x2 є X(G,Q) является несравнимой по значению НЦФ (1) - (2).
Доказательство. По аналогии с (25), (26) перенумерованные индексом r = 1, 2, ..., L , L = |E|, ребра er є E взвесим нечеткими множествами следующего вида: W (er) = {((Єг), p(w,(er)))j , где wi (er) = -2r + i . Для каких-либо допустимых решений x1, x 2 є X (G, Q) в паре множеств E ^ E , Ex ^ E определим максимальный номер к є {l, 2,...,L} такой, что вк принадлежит одному из этих множеств (для определенности будем полагать, что ек є E ) и не принадлежит другому (ек £ EХ2). Из того, что вк є E^ вытекает выполнение строгих неравенств ж (Хі) = £ Ж (er) <M(w, ((x2)))= (er) < w (Х2) = X Wi (er)
er ^xi er є-^2 er єEx2
< w. (xi) = £ w. (e ) или, что то же самое, выполнение строгого включения
e^Ex1
F(x2) ^ F(x1) (см. определение 8). Это включение является утверждением леммы 1 согласно определению 8 и с учетом произвольного выбора пары
xi, x2 є X(G, Q) .
Лемма 1 доказана.
Согласно определению 6, всякая индивидуальная задача оптимизации на графах является полной в случае, если ее МДР является пустым или состоит из единственного элемента. Тогда из леммы 1 следует, что является справедливой
Теорема 2. Всякая задача оптимизации на графах G є S (n) с произвольными нечеткими весами и НЦФ (1) - (2) является полной для любого множества ТГ.
Из теоремы 2 вытекает
Следствие 2. Всякая задача оптимизации на графах G є S(n) с произвольными весами и НЦФ (1) - (2) является труднорешаемой, если максимальная мощность МДР |X (G, Q ) неограниченна сверху никаким полиномом от n .
-------------------------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лекции по теории графов / Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. - М.: Наука, 1990. - 384 с.
2. Свами Т., ТхуласираманГ. Графы, сети и алгоритмы. - М.: Мир, 1984. - 454 с.
3. Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б., Темирова Л.Г. Математическая модель землепользования на базе нечетких множеств и клеточных автоматов// Электронный журнал «Исследовано в России», 2003, С. 2429-2438 http:// zhurnal.ape.relarn‘ru/articles/003/207.pdf
4. Ногин В.Д. Принятие решений в многокритериальной среде: количественный подход. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 176 с.
5. Емеличев В.А., Перепелица В.А. Сложность дискретных многокритериальных задач //Дискретная математика. - 1994. - Т.6. - Вып.1.- С. 3-33.
6. Ларичев О.И. Наука и искусство принятия решения. - М.: Наука, 1979. - 200 с.
7. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. - М.:, 1982. - 416 с.
8. Перепелица В.А., Мамедов А.З. Исследование сложности и разрешимости векторных задач на графах: Уч. пособие. Черкесск, 1995. - 68 с.
9. Емеличев В.А., Перепелица В.А. Сложность дискретных многокритериальных задач // Дискретная математика. - 1994. - Вып 1 (6). - С.3-33.
10. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. - М.: Наука, 1982. - 256 с.
11. Пападимитриу X., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность. - М.: Мир, 1985. - 512 с. ШШ
Тебуева Ф.Б. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В ДИСКРЕТНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ НА ГРАФАХ С НЕЧЕТКИМИ ВЕСАМИ
Рассматриваются задачи дискретной оптимизации, в которых исходные данные имеют нечеткий характер. Применены известные решающие правила и обобщенное решающее правило для сужения полного множества альтернатив и получения единственного решения. Доказано, что оптимизационные задачи на графах с нечеткими весами являются труднорешаемыми, т.е. для них отсутствуют какие либо алгоритмы полиномиальной трудоемкости.
Tebueva F.B. DECISION-MAKING IN DISCRETE PROBLEMS Of OPTIMIZATION ON GRAPHS WITH FUZZY WEIGHTS
Problems of discrete optimization in which initial data have indistinct character are considered. Known deciding rules and the generalized deciding rule are applied to narrowing full set of alternatives and reception of the unique decision. It is proved, that оптимизационные problems on graphs with fuzzy weights are intractables, i.e. for them are absent what or algorithms polynomial labour inputs.
— Коротко об авторах----------------------------------------------------------
Тебуева Ф.Б. - кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник, Карачаево-Черкесская государственная технологическая академия, кафедра прикладной математики.
Статья представлена Карачаево-Черкесской государственной технологической академией.
