Моделирование поиска сервисных центров в географические информационные системы нечеткими интервальными графами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Раздел I. Математические модели

УДК 681.327

Л.С. Берштейн, А.В. Боженюк, И.Н. Розенберг, Д.Н. Ястребинская МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОИСКА СЕРВИСНЫХ ЦЕНТРОВ В ГЕОГРАФИЧЕСКИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ НЕЧЕТКИМИ ИНТЕРВАЛЬНЫМИ ГРАФАМИ*

В данной работе рассмотрена задача оптимального размещения сервисных центров по минимаксному критерию. Предполагается, что информация, получаемая из ГИС, представляется в виде графа с нечеткими интервальными расстояниям. Рассмотрено понятие нечеткого множества интервальных баз. Показано что задача размещения сервисных центров сводится к задаче нахождения нечеткого множества интервальных баз рас. -, . -тод вычисления функций принадлежности нечетких интервалов.

Географическая информационная система; нечеткий интервальный граф; нечеткое множество интервальных баз; лингвистическая переменная.

L.S. Bershtein, A.V. Bozhenyuk, I.N. Rozenberg, D.N. Yastrebinskaya MODELLING OF SERVICE CENTERS SEARCH IN GIS ON THE BASE OF FUZZY INTERVAL GRAPHS

In this paper problem of optimal location of service centers by maximum criterion is considered. Information that gets from GIS is presented like graph with interval fuzzy distance. Also notion of fuzzy set of interval bases is considered. Here problem of service centers location adds up to finding problem offuzzy set of interval bases. Method offinding offuzzy interval bases which is generalization of method Magy for fuzzy graphs is suggested to use. In addition method of calculation of membership function offuzzy intervals is proposed.

Geographical information system; fuzzy interval graph; interval bases fuzzy set; linguistic variable.

Происходящее во всем мире широкомасштабное наращивание и разноплановое внедрение географических информационных систем (ГИС) в значительной степени связано с необходимостью совершенствования информационных систем, обеспечивающих принятие решений. ГИС применяются практически во всех сферах человеческой деятельности. Геоинформационные технологии достигли бес, , -, , решений [1,2].

,

значительной неопределенностью. Ошибки в данных, которые часто используются без рассмотрения присущим им неопределенностей, приводят с большой вероятностью к получению информации сомнительной ценности. Неопределенность

* Работа поддержана РФФИ, проект № 10-01-00029-а.

присутствует во всем процессе географической абстракции: от приобретения данных до их использования. [3].

Процесс абстракции и генерации реальных форм географических данных определяется как моделирование данных [4]. Этот процесс дает концептуальную модель реального мира. Вызывает сомнение тот факт, что географическая сложность может быть уменьшена в моделях совершенной точности. Так, неизбежное противоречие между реальным миром и моделью составляет неточность и неопределенность, которые могут обернуться неправильным принятием решения.

Одной из задач, решаемых с ГИС, является задача размещения центров [5]. К этой задаче сводится поиск оптимального размещения больниц, полицейских ,

служб на некоторых участках рассматриваемой территории. В некоторых случаях критерий оптимальности может состоять в минимизации расстояния (или времени проезда) от центра обслуживания до самого отдаленного пункта обслуживания. Другими словами - в оптимизации «наихудшего варианта» [6]. Однако, очень час, , , -но достоверной [7]. Поэтому при формализации задачи размещения центров может оказаться естественным использование субъективных оценок при определении расстояний между частями рассматриваемой территории или временем проезда, на основе опыта эксперта с использованием лингвистических переменных.

Лингвистической мы будем называть переменную, значениями которой являются слова или предложения естественного или искусственного языка. Так понятие «расстояние» является лингвистической переменной, если оно принимает лингвистиче-, . , « », « », «вполне нормальное», и т.п. [8].

, -

чений зависит от множества базовых значений, будем называть синтаксически зависимыми [9]. Наряду с ними существует класс лингвистических переменных, у которых процедура образования новых значений зависит не от множества базовых значений, а от области определения. Так лингвистическая переменная «расстояние» может принимать произвольные значения типа «около 50 км», «приблизительно 20-25 км», которые можно рассматривать как нечеткое число ~ и нечеткий

интервал [а,Ь] с функциями принадлежности соответственно треугольного и . -

таксически независимыми [9]. Семантика значений синтаксически независимой лингвистической переменной, т.е. значения функций принадлежности, определяются ее областью определения.

В данной работе рассматривается подход к размещению центров обслуживания в случае, когда расстояния между частями рассматриваемой территории задаются в виде нечетких графов с трапецеидальными функциями принадлежности.

Пусть некоторая территория разделена на п районов. На территории может находиться до к центров обслуживания (к < п). Необходимо для заданного числа центров определить места их наилучшего размещения, т.е., чтобы обслуживание всей территории осуществлялось на минимально возможном расстоянии хотя бы до одного центра обслуживания.

, , , -четкого интервального графа О = (Х,и) , в котором X - вершины графа, представляют районы некоторой территории, а и = {< 1у /(х1,х^ ) >} - множество нечетких ориентированных ребер с весами в виде нечетких интервалов расстояний

вида = [ау,Ьу] . Здесь [а^Ь^] - «около интервала [а^,Ьу] » - значение син-

таксически независимой лингвистической переменной «расстояние между объектами», величины ау,Ьуе и ау <Ьу. Полагаем, что интервал

а = [0,0], V/ е {1,2,...,п} .

[10]

центров обслуживания, применимого к четким интервальным графам. С его помощью для заданного интервального графа и заданного числа центров обслужива-к -стояние на графе. Однако было бы полезно получать данные характеристики не , к,

ке[1,п]. Это позволило бы более объективно решать задачу выбора числа центров .

Для обоснования решения данной задачи введем понятие интервальной базы нечеткого интервального графа. Данное понятие является расширением понятий для обычного ориентированного и нечеткого графов [6].

Пусть /1 = [а~1 Ь] и /2 = [а2Ь] - произвольные нечеткие интервалы. Если выполняется неравенства а1> а2 и Ь1< Ь2, то интервалы /1 и /2 будем называть , , /1 /2 -

дать отношения >, <, >, и <. Суммой нечетких интервалов /1 и /2 назовем интервал /1 = [а,Ь], в котором границы а = а1 + а2 и Ь = Ь + Ь2 [11].

Рассмотрим на множестве интервалов Ь={/} две операции ШСМШ(Ь) и ШСМЛХ(Ь) - выделение подмножеств наименьших и наибольших интервалов из множества интервалов Ь соответственно.

Так, если множество интервалов Ь={[10,15], [12,14], [12,17], [15,18]}, то МСМШ(Ь) = {[10,15], [12,14]} и ШСМЛХ(Ь) = {[15,18]}.

Пусть х и у - произвольные вершины интервального графа О = (Х,и) . Обозначим через Ьху - множество нечетких интервалов, с помощью которых вершина у достижима из вершины х. Тогда паре вершин (х,у) можно поставить в соответствие множество нечетких интервалов ШСМШ(ЬХу) .

Интервальной базой нечеткого графа О является подмножество БсХ с семейством интервалов Л , определяемым выражением

л = тСмт{тСмлх{1у }}

VyеX\Б VxеБ у

где Ьху - множество интервалов, с помощью которых вершина уеХ\Б достижима из вершины хеБ, и при этом подмножество Б является минимальным в том смысле, что: (VБ' с Б)( 3 / е Л)(3/ 'еЛ\/'> / ) , а семейство V определ яется как:

&[0(29;31)р1 V 0(23;26)р2 V Я(12;13)рз V 0(14;15>4 V 0(0;0>5 ].

Среди всех интервальных баз, состоящих из 1 вершины, выберем такие базы, у которых интервалы расстояния также являются наименьшими или не сравнивае-

, Л1 . ,

2 , , -

, Л2 , . .

Множество Б = {<Л/1 >,<Л2/2 >,...,<Лп/п >} назовем нечетким множеством интервальных баз графа О.

Нечеткое множество интервальных баз определяет совокупность наименьших не сравниваемых между собой нечетких интервалов расстояний от любого района до некоторого центра обслуживания при обслуживании всей территории к центрами обслуживания (ке {1,2,...,п}).

Для нахождения нечеткого множества интервальных баз рассмотрим метод, являющийся обобщением метода Магу для нечетких внешне устойчивых множеств [12].

Рассмотрим некоторую интервальную базу В с семейством интервалов Л . Пусть некоторый интервал / принадлежит семейству Л . Тогда для произвольной х/ еХ :

а) х/Е'В;

б) если х^В, то существует некоторая вершина х.еВ, от которой до вершины х, нечеткий интервал расстояния /., не больше / . Иными словами, справедливо

:

^х, е X)(х, е Б V (3х. е Б | ~ < ~)). (1)

х/ еХ О -

ременную р,, равную 1, если вершина х,е В, и 0, если вершина х,£ В. Введем предикатную форму Q(/ji), равную 1, если /., < / , и 0 в противном случае. Используя

аналогию между кванторами общности и существования, с одной стороны, и операциями конъюнкция и дизъюнкция, с другой, получаем истинность выражения:

Фб = &-(Р, V v_(Pj&Q(Tji)) = 1. (2)

/ =1,п . =1,п

Полагая, что Q( /,,) = Q([ 0,0 ]) = 1, выражение (2) перепишется как

Фб = &.( v_(Pj&Q(^jl)) = 1. (3)

/=1,П } =1,п

(3) , -

:

~ ~ Q(/1 )&Ок1=Q(ll), при к >/ ~ ~ ~ ~ ~

• р1 &р2 &^~1 )&0^~2) vр1 &р2 &&~3) = р1 &р2 &&~1 )&&~2) пРик < /3 &/2 < /3; (4)

Р1 &Р2^Р1 ) = Р1 )> пРи к > к.

(3)

ФБ = ^-(Р1/& Р2/&...&Рк1&&к/)&&~121)&...&&~1г1)) = 1. (5)

/ =1,

: (5) -

ние на основе правил (4) невозможно, то для каждого /-го дизъюнктивного члена совокупность всех вершин, соответствующая переменным, которые в нем присут-

ствуют, дает некоторую базу с семейством несравниваемых интервалов, определяемыми присутствующими предикатами.

На основании данного свойства можно предложить следующий метод нахождения нечеткого множества интервальных баз:

♦ для рассматриваемого нечеткого интервального графа О записать выражение (3);

♦ упрощая выражение (3), используя правила нечеткого поглощения (4), привести его к виду (5);

♦ по полученным дизъюнктивным членам разложения (5) выписать нечеткое множество интервальных баз.

Рассмотрим данный метод на примере нечеткого интервального графа, представленного на рис. 1.

*2

Рис. 1. Пример нечеткого интервального графа

Для данного графа составим матрицу нечетких расстояний длины 1 (матрицу ),

*1 *2 х3 х4 х5

кх =

Х1

х2

х3

х4

х5

™ [11,12 ] ™ [15,16 ] ™

[1~ ,14 ] ™ [11,13 ]

[11,13 ] [11,12 ] [12,13 ]

[15,16 ] [11,12 ] [14,15 ]

[12,13 ] [14,15 ]

\

Для нахождения матрицы интервальной достижимости графа определим операцию возведения в степень матрицы нечетких расстояний следующим образом:

♦ нулевая степень - =

[0,0]

[0,0]

[0,0]

[0,0]

[0,0].

♦ вторая степень матрицы - КХ = Кх ®Кх =|| {{(2*}\\, где элементы матрицы находятся по формуле {2 *} = 1ЫСМ1Ы{ 1( * +1 к *} ;

7=и

♦ /-я степень матрицы - Кх = КХ-1 ® Кх .

х

х

х

2

х

х

х

Возведем матрицу нечетких расстояний в степени 2, 3, (п-1). Затем най-

дем их пересечение (здесь под пересечением понимается попарное сравнение эле).

достижимости Ых . Проиллюстрируем процесс нахождения матрицы достижимости. Возведем матрицу расстояний в квадрат:

Х1

К = Х2

Х3

х4

х5

_____Х1

{[24,26]}

{[24,27]}

Х2

Хз Х

{[22,25 ]}

Х 4

Х5

_ _ {[ 29,3 Х ]}

{[22,26]} ™ {[22,25 ]} {[ 23,26 ]}

™ {[ 22,2~ ]} {[ 2~ ,28 ]} {[ 2~ ,27 ]}

™ {[22,25 ]} {[ 26,2~ ]} {[22,24]} {[ 23,25 ]}

{[ 29,31 ]} {[ 23,26 ]} {[ 25,27 ]} {[ 23,25 ]} {[24,26]}

2

Элементы матрицы Кх = Кх ® Кх находятся как:

г11=тіп|^, {[24,26]}, ^, {[30,32]}, ^} = {[24,26]}; г12=тіи{^, ^,^, ^, ^} = г13=тіп{^, {[22,25]}, ^, {[26,28]}, ^} = {[22,25]} и т.д. г55=тіп{^, ^, {[24,26]},

{[28,30]}, ~} = {[24,26]}.

Отметим, что элементы матрицы КХ имеют смысл наименьших не сравниваемых интервальных путей длины два (двух ребер) между соответствующими вершинами графа. Аналогично находим матрицы КХ = КХ ® Кх и КХ = КХ ® Кх. Находим пересечение полученных матриц. В результате получим матрицу достижимости Ых = КХ п Кх п КХ п КХ п КХ :

Ых =

Х1 Х2 х3 х4 Х5

Х1 ' {[ 0,0]} {[11,12 ]} {[22,25]} {[ 1~ ,16 ]} {[ 29,3 1 ]}

Х2 {[13,14 ]} {[0,0]} {[11,13 ]} {[22,25]} {[23,26]}

Х3 {[24,27]} {[ 11,13 ]} {[ 0,0 ]} {[11,12 ]} {[12,13 ]}

х4 {[15,16 ]} {[22,25]} {[ 11,12 ]} {[0,0]} {[ 15,15 ]}

Х5 {[ 29,3 1 ]} {[23,26]} {[12,13 ]} {[14,15 ]} {[0,0]}

По полученной матрице достижимости составим выражение Фв :

Фв= Ш(0;0М V й( 13,14)Р2 V 0(24,-27)р3 V 0( 15;16М V 0(29;31;р5 }&

-12)р1 V 0(0;0)р2 V 0( 11,13)рз V 0(22;25)р4 V 0(23;26)р5 } &

&{<2(22;25)р1 V 0( 11;13)р2 V 0(0;0)р3 V 0( 11; 12)р4 V 0( 12; 13)р5 } &

& {0(15;16)рх V 0(22;25)р2 V 0(11;12)р3 V 0(0;0)рл V 0(14;15)р5} &

&{0(29;31 )р1 V 0(23;26)р2 V 0( 12/13)рэ V 0(14.-15)р4 V 0(0;0р }.

Приведя подобные члены, используя правила поглощения, окончательно получаем:

Фв = д(29;31)р1 vQ(23;26)p2 vQ(22;25)p4 vQ(29;31)p5 vQ(23;26)p1p2 V д(22;25)р!р4 vQ(22;25)plР5 vQ(12;13)plРз vQ(14;15)plР4 vQ(14;15)plР5 V Q(13;14)p2pз vQ(14;15)p2p4 vQ(15;16)pзp4 vQ(11;12)plРзp5 V Q(11;12)plp4p5 vQ(15;16)plp2pз vQ(15;16)plp2p4 vQ(0;0)plp2pзp4p5.

,

В = {< [22;25]/1 >;< [12;1Ъ] / 2 >;< [11 ;12 /3] >;< [0;0] /5 >} .

Множество интервальных баз определяет следующее оптимальное распределение сервисных центров: если мы имеем 5 сервисных центров, то размещаем их в .

не потребуется (расстояние равно 0). Если имеется 3 (или 4) сервисных центра, то их надо разместить в районах 1, 4, 5. В этом случае минимальное расстояние находится в нечетком интервале [11;12] . Если имеется 2 сервисных центра, тогда их надо разместить в районах 1, 3. В этом случае минимальное расстояние находится [12 ;1 3 ] . ,

его нужно разместить в районе х4 и тогда минимальное расстояние находится в нечетком интервале [22;25] .

Определим теперь функции принадлежности полученных нечетких интервалов. Для этого воспользуемся методом, предложенным в работе [9]. Пусть нечеткое расстояние «около х'» находится между соседними базовыми значениями «около Х1» и «около Х2 » (х1<х’<х2), функции принадлежности которых Ц~х(х) и (х) имеют треугольный вид. Тогда границы функции принадлежности ц~'(х)

« хх » -

ров границ левой и правой базовых значений:

Г = (Х2- Х) X % + (1 - і^- Х) - *

(Х2 - Х1)

(Х2 - Х1)

) X112

1К =

(х2 - х) (Х2 - Хі)

X1К + (1 -

( Х 2 - Х ) (Х2 - Х1)

) X /2

. 2.

Рис. 2. Линейная комбинациш параметров границ левой и правой базовых

значений

Пусть функции принадлежности базовых значений синтаксически-независимой лингвистической переменной «расстояние между объектами» пред-

и

ставлены на рис. 3 нечеткими расстояниями «около 9», «около 12», «около 18», «около 23», «около 25» и «около 30».

Рис. 3. Функции принадлежности базовых значений синтаксически-независимой лингвистической переменной «расстояние между объектами»

Тогда, для числа 11 находим: ^= 2, Iя= 2; аналогично для числа 13 2,2;

Р= 2,2; для числа 22 - 1Ь= 3, 1К= 3.

Данный подход позволяет определить параметры функции принадлежности Ц[% X ](х) произвольного нечеткого интервала [хг,хг] в виде трапеции с вычисленными левой и правой границами:

^[щ~г](х) -

^ (х), если х < х/; 1, еСЛИ Х{ < х < хг. Цх (х), если х > хг.

,

трапеций, которые соответствуют лингвистическим понятиям «около интервала 22-25», «около интервала 12-13» и «около интервала 11-12». На рис. 4 показана

, « 11-12».

Рис. 4. Представление функции принадлежности «около интервала 11-12»

Имея подобное представление полученных результатов, можно говорить об интервальном расстоянии между объектами при тех или иных значениях функции . , 0,95, -

нимального расстояния при размещении центров обслуживания в двух районах находится в интервале [10,8; 12,2], как показано на рис. 4.

, -лучшие места распределения сервисных центров в случае их размещения в верши-

нах графа (а не на ребрах с генерацией новых вершин). Кроме того, определенный интерес вызывает задача свертки несоизмеримых интервалов, что позволило бы упростить процесс вычислений.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Clarke K. Analytical and Computer Cartography. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall, 1995.

2. Longley P., Goodchild M., Maguire D., Rhind, D. Geographic Information Systems and Science. New York: John Wiley & Sons, Inc., 2001.

3. Zhang J., Goodchild M. Uncertainty in Geographical Information. New York: Taylor & Francis, Inc., 2002.

4. Goodchild M. Modelling Error in Objects and Fields. In: Goodchild, M.F., Gopal, S. (eds.): Accuracy of Spatial Databases. Basingstoke: Taylor & Francis, Inc. (1989). - P. 107-113.

5. Кофман А. Введение в прикладную комбинаторику. - М.: Наука, 1975.

6. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. - М.: Мир, 1978.

7. Malczewski, J.: GIS and Multicriteria Decision Analysis. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1999.

8. Zadeh L. The Concept of a Linguistic Variable and Its Application to Approximate Reasoning. Inf. Sci. 8, 9, 1975.

9. . ., . ., . .

в САПР. - М.: Энергоатом издат, 1991.

10. Dziouba T., Rozenberg I. The Decision of Service Centres Location Problem in Fuzzy Conditions. In: Bernd, Reusch (ed.): Lecture Notes in Computer Science, Vol. 2206, Computational Intelligence: Theory and Applications. Proceedings of International Conference 7th Fuzzy Days. Springer Verlag, (2001). - P. 11-17.

11. Hansen E. Global Optimization Using Interval Analysis. New York: Dekker, 1992.

12. Берштейн Л.С, БоженюкA.B. Нечеткие графы и гиперграфы. - М.: Научный мир, 2005.

Берштейн Леонид Самойлович

Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» . .

E-mail: lsb@tti.sfedu.ru.

347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.

.: 88634371695.

Боженюк Александр Витальевич

E-mail: avb002@yandex.ru.

Розенберг Игорь Наумович

ОАО «Научно-исследовательский и проектно-конструкторский институт инженеров

» ( ).

E-mail: I.kudreyko@gismps.ru.

109029, . , . , . 27, . 1.

Тел.: 84959677701. '

Яетребинекая Дина Николаевна

Научно-технический центр «Информационные технологии» федерального

государственного образовательного учреждения высшего профессионального

« ».

E-mail: dny.tsure@gmail.com.

347922, . , ., 4.

.: 89289048814.

Bershtein Leonid Samoilovich

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.

E-mail: lsb@tti.sfedu.ru.

44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.

Phone: +78634371695.

Bozhenyuk Alexander Vitalievich

E-mail: avb002@yandex.ru.

Rozenberg Igor Naymovich

Public corporation “Research and development institute of railway engineers”.

E-mail: I.kudreyko@gismps.ru.

27/1, Nizhegorodskaya street, Moscow, 109029, Russia.

Phone: 84959677701.

Yastrebinskaya Dina Nikolaevna

Scientific and Technical Center "INTECH" of Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.

E-mail: dny.tsure@gmail.com.

Oktyabrskaya Square, 4, Taganrog, 347922, Russia.

Phone: +79289048814.

УДК 681.5.08

Ф.А. Самсонов, И.И. Костюченко, М.В. Петров, В.Н. Наконечный МЕТОД ФАКТОРНОГО ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ИНФОРМАЦИОННОРАСЧЕТНЫХ СИСТЕМ СПЕЦИАЛЬНОГО НАЗНАЧЕНИЯ

Статья посвящена применению метода факторного параметрического моделирования к решению актуальной научной задачи оценки безопасности современных информационно-расчётных систем и сетей, а также расчёту дифференциального и интегрального значений риска реализации потенциальных угроз различной природы в таких системах.

Информационно-расчётная система; безопасность; возможностная мера; уязвимость; угроза; воздействие; ослабление; восприимчивость; ущерб.

F.A. Samsonov, I.I. Kostuchenko, M.V. Petrov, V.N. Naconechnyi METHOD OF FACTORIAL PARAMETRICAL MODELING OF THE LOSS TO SYSTEMS FUNCTIONAL STABILITY SPECIAL INFORMATION-ACCOUNTING SYSTEMS

The Article is dedicated to using the method of factorial parametric modeling to decision of the actual scientific problem of the estimation to safety modern information-accounting systems and networks and estimations differential and integral risk to realization of the potential threats of the different nature in such system

Information-accounting system; safety; possibility measure; criticality; threat; influence; weakening; receptivity; damage.

Важнейшей составляющей национальной безопасности любого современного постиндустриального информационного общества является её информационная безопасность. Поскольку информационное, программное обеспечение, технологии , , -тях современного общества, которые принято относить к критично важным для обороноспособности и экономической стабильности государства: систем автоматизированного управления и контроля состояния радиационных, химических, биологических опасных объектов; систем сбора, обработки и передачи данных в ин-, - -, , -зированных систем боевого управления войсками и оружием [1,7].