Устойчивость бифурцирующих решений дискретных динамических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

где

a(v,h)= f VvVhdQ, (f,h) = ( fhdQ.

Jo Jo

Рассмотрим для задачи Синьорини (1) метод Удзавы с модифицированным функционалом

Лагранжа L(v,l).

Зададим произвольно начальную точку l0 Е W 1^2(Г), которая является следом на Г некоторой функции и0 Е W2,(\V). Считая (ик,lk) известными, определяем

uk+1 = arg min L(v,lk);

veWjiO)

и затем определяем lk+1 = (lk — т^ик+1) +. Здесь r параметр сдвига по двойственной переменной. Для каждого к = 1, 2,... существуют точки ик и, если ик Е W|(Q), единственны. Последовательность {ик} сходится к решению задачи (1-2) [3].

Численная реализация метода осуществлена для прямоугольной области Q с использованием метода конечных элементов в сочетании с методом Ньютона второго порядка решения вспомогательных конечномерных задач.

ЛИТЕРАТУРА

1. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Мир, 1980.

2. Гольштейн Е.Г., Третьяков Н.В. Модифицированные функции Лагранжа. М.: Наука, 1989.

3. Ву Г., Намм Р.В., Сачков С.А. Итерационный метод поиска седловой точки для полукоэрцитивной задачи Синьорини, основанный на модифицированном функционале Лагранжа // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. М., 2006. Т. 46, №1. С. 26-36.

Золотухин Анатолий Яковлевич Тульский государственный ун-т Россия, Тула e-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 8 мая 2007 г.

УСТОЙЧИВОСТЬ БИФУРЦИРУЮЩИХ РЕШЕНИЙ ДИСКРЕТНЫХ

ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

© Л. С. Ибрагимова

Рассматривается дискретная система, описываемая уравнением

Хк+1 = І(Хк,Л), к = 0,1, 2...,, (1)

где І(х, X) — зависящий от скалярного параметра Л оператор, действующий в гильбертовом пространстве Н с нормой || • ||. Предполагается, что оператор І(х, X) является вполне непрерывным, причем выполнено тождество І(0, Л) = 0, то есть система (1) при всех значениях

параметра Л имеет нулевую неподвижную точку. В окрестности точки х = 0 система (1) представляется в виде

Хк+1 = А(Л)хи + а(хи ,Л), (2)

где а(х,Л) = о(||х||) при ||х|| ^ 0 и А(Л) = /'х(0,Л). Изучается задача о локальных бифуркациях системы (2) в окрестности неподвижной точки х = 0.

Определение! Число Ло назовем точкой 1-бифуркации системы (1), если существует последовательность Лт ^ Ло такая, что при каждом Л = Лт система (1) имеет ненулевую неподвижную точку х(т), при этом ||х(т)|| ^ 0 при т ^ ж. Решения х(т) назовем бифурцирующими.

Определение 2. Число Ло назовем точкой 2-бифуркации системы (1), если существует последовательность Лт ^ Ло такая, что при каждом Л = Лт система (1) имеет цикл

(т) (т) 0 и (т]п м (т)ц п -р, (т) (т)

х1 ,х2 периода 2 так, что ||х1 ||, ||х2 || ^ 0 при т ^ ж. Решения х1 ,х% назовем

бифурцирующими. Аналогично определение точек р-бифуркации при произвольном р ^ 1.

Через Т(хо, г), где г > 0, будем обозначать открытый шар Т(хо, г) = {х : ||х — хо|| < г}. Пусть х* — неподвижная точка дискретной системы (1). Ее называют устойчивой или притягивающей, если для любой окрестности Т(х*,г) найдется окрестность Т(х*,р), 0 < р ^ г, такая, что при хо £ Т(х*, р) получим х^ £ Т(х*,г), причем х^ ^ х* при к ж. Аналогично вводится понятие устойчивого цикла системы (1).

Известно, что если р(А) < 1 (здесь р(А) — спектральный радиус оператора А), то неподвижная точка х* =0 системы (2) устойчива. Если же р(А) > 1, то х* =0 — неустойчива. Число Ло может являться точкой бифуркации системы (2) только при условии, что р(А) = 1.

Пусть число 1 является простым собственным значением оператора А(Ло) и ео — соответствующий собственный вектор такой, что ||ео|| = 1. Пусть, далее, до — собственный вектор сопряженного оператора А*(Ло), отвечающий собственному значению 1; можно считать, что (ео,до) = 1. Через Ах(Л) обозначим производную оператора А(Л) по параметру Л.

Теорема1. Пусть число 1 является простым собственным значением оператора А(Ло) и (Ах(Ло)ео,до) = 0. Тогда Ло является точкой 1-бифуркации системы (2).

Пусть теперь число —1 является простым собственным значением оператора А(Ло), а векторы ео и до определены аналогично рассмотренному выше случаю.

Теорема 2. Пусть число —1 является простым собственным значением оператора А(Ло) и (Ах(Ло)ео,до) = 0. Тогда Ло является точкой 2-бифуркации системы (2).

В докладе изучается вопрос об устойчивости бифурцирующих решений системы (2). Приведем лишь один из результатов. Пусть в условиях теоремы 1 нелинейность а(х, Л) является квадратичной по х. Определим число £о = (а(ео, Ло),до).

Теорема 3. Пусть оператор А(Ло) имеет простое собственное значение 1, а остальные его собственные значения по абсолютной величине меньше 1. Пусть £о < 0; тогда существующие в условиях теоремы 1 бифурцирующие решения системы (2) устойчивы при Л > Ло и неустойчивы при Л < Ло- Если же £о > 0, то решения устойчивы при Л < Ло и неустойчивы при Л> Ло-

Ибрагимова Лилия Сунагатовна Сибайский институт (филиал) Башкирского государственного ун-та Россия, Сибай (Башкортостан) e-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 23 мая 2007 г.