Устойчивое аналитическое решение для волновых полей в шаре Текст научной статьи по специальности «Физика»

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2016. Том 23, № 3

УДК 550.344

УСТОЙЧИВОЕ АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ В ШАРЕ А. Г. Фатьянов

Аннотация. Исследовано известное аналитическое решение для волновых полей в шаре. Показано, что использование стандартной асимптотики цилиндрических функций приводит к помехе в решении. Получено новое асимптотическое выражение для цилиндрических функций. Это дает устойчивое аналитическое решение, что позволяет получить его точное решение. На основе новой асимптотики введено понятие однородных и неоднородных волн для шара. Приведены примеры аналитического расчета полных волновых полей и только прямой волны для шара. Ключевые слова: математическое моделирование в шаре, устойчивое аналитическое решение, полное волновое поле, прямая волна, новая асимптотика цилиндрических функций, однородные и неоднородные волны для шара.

Введение

Аналитическое решение задачи распространения волновых полей в шаре получено давно [1—7]. При этом ряд исследователей ограничивается только построением аналитического решения. Вычислительная сторона вопроса при этом остается без внимания. Но аналитическое решение далеко не всегда может быть доведено до численных результатов. Дело в том, что аналитическое решение после соответствующих интегральных преобразований, как правило, содержит отношение соответствующих цилиндрических функций. В этом случае из-за их быстрого возрастания (убывания) возникают неопределенности различного типа. Как отмечается в [7], в этой ситуации вычисление на компьютере может стать неустойчивым. Для преодоления неустойчивости предлагается использовать асимптотику цилиндрических функций. В работе использована классическая асимптотика цилиндрических функций. Показано, что в этом случае в решении возникает помеха. Помеха имеет вид «ложной» волны. Это происходит из-за того, что классическая асимптотика, например для функции Бесселя, верна для V ^ \г|. А значения функции Бесселя выходят за границы числового диапазона уже при V ~ В работе получена новая асимптотика цилиндрических функций. Это позволяет получить точное решение волновых полей в шаре.

Новая асимптотика цилиндрических функций имеет наглядный физический смысл. На ее основе введено определение однородных и неоднородных

Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты 14-07-00832, 15-07-06821).

© 2016 Фатьянов А. Г.

волн для шара. Известно классическое представление прямой волны в полупространстве на основе однородных и неоднородных волн. Аналогичное представление для шара в точности дает граничную волну по сфере. Это не было известно ранее.

Аналитическое представление решения позволяет получать не только полное поле, но и проводить анализ волнового поля по частям. В качестве примера анализа волнового поля в работе получено решение для прямой волны. Оно сконструировано следующим образом. В качестве фундаментального решения взяты функции Ганкеля. Формально их брать нельзя, так как они не являются ограниченными в нуле (центр шара). Однако решение с функциями Ганкеля определено с помощью новой асимптотики для произвольных индексов и аргументов. Оно дает волновое поле для прямой волны в шаре.

Проведено аналитическое моделирование волновых полей в шаре. В качестве иллюстрации принципиального отличия волновой картины в шаре и полупространстве отметим следующее. Для сферических волн происходит фокусировка на обратной стороне шара. За счет сферической геометрии убывание волн происходит гораздо медленнее, чем в полупространстве.

1. Постановка задачи

Математическая постановка задачи моделирования волновых полей формулируется в сферической системе координат (0 < r < Ro, 0 < в < п, 0 < ф < 2п) следующим образом: определить компоненты вектора смещения для неупругой среды, которые удовлетворяют следующей системе уравнений: д2иг dar 1 дтгв 1 дтфг 1

р-^тг = тг + —+ + ~(2о> ~ ав ~ аФ + Тгвcos(9 + fr '

dt2 dr r дв r sin в дф r

д2ив дтгв 1 дув 1 дтвф , 1П , a , „ ч , , fí.s m

Р~йГ = IT- + + —^^f + _ 0-0 " cosé» + 3тгв) + fe ■ f(t), 1

дt2 дr r дв r sin в дф r

д2иф дтфг 1 дтвф , 1 (Уф 1 ,0 „ , Q л .

Р~Ы2 = 1Г~ + —ШГ + —:—a я! + - 2т00 cos 6» + Зт0г +/0 • / Í дt2 дr r дв r sin в дф r

с начальными условиями при t = 0

диг див диф

иг = — =ие = ^- =иФ = ^г = 0

и граничными данными при r = Ro

уr = твг = тфг. (2)

Предполагается, что компоненты тензора напряжений связаны с компонентами тензора деформаций (а они с компонентами вектора смещения) известными соотношениями, в которых коэффициенты X, ^ по принципу Вольтерра заменяются интегральными операторами A, M, учитывающими влияние упругого последействия:

t t Ax = Xx(t) - X1 J h(t - т)х(т)<1т Mx = ^x(t) - ^l1 J g(t - т)х(т)<1т (3)

Здесь Л1, р1 — величины, определяющие уровень поглощения. Функции последействия (ядра) Л.(£), определяют спектральный состав поглощения [8]. Среда (с-, с-, р) предполагается кусочно-непрерывной по координате г. На границах разрыва параметров ставятся известные условия сопряжения. Компоненты вектора силы Р = (/г, /д, /ф) описывают сосредоточенные и распределенные источники различного типа.

2. Построение устойчивого аналитического решения

Аналитическое решение для наглядности приведено в случае распространения 8И волн. Приложим в точке г = й, в = 0 вращательное воздействие в виде момента сил [8]:

F = ó (г — d)-

5(в)

-j(t)e0 = /ф • /(t)e0-

(4)

d3 sin2 в"

В этом случае задача определения вектора смещения в сферической системе координат сводится к нахождению единственной отличной от нуля компоненты вектора смещения иф(т,в,Ь) из следующей краевой задачи:

Р

di2 ~ г* до \ дв + dz

M

диф dr

Пф

r

3M / диф иЛ 2M f диф + — ( ~gjr - V ) + — ( ^г -иФс^в

M

иф\

r

диф иф\ r

диф dt

дг

дв

r=Ro

t=0

0.

ctg в + р/ф/(t), (5) (6) (7)

t=0

На границах разрыва параметров ставятся известные условия сопряжения. В случае рассмотрения сейсмологической модели жидкого ядра нужно задать дополнительное граничное условие

M

диф иф\ r

дг

0.

r=Ri

Для исследования устойчивости аналитического решения рассмотрим случай однородного шара. Решение ищется в виде разложения Фурье — Лежандра по переменным (в, ¿):

иф{г,в,г) =

ОО ОО

огт, г ^ ,и{г,к,шп)ех_-р{шпг)Рк{соъв). (8)

21 лУг —' ^—'

* п=-<^ к=1

Здесь Р^(х) — полином Лежандра 1-го рода, шп = Цр-. В итоге постановка (5)—(7) сведена к двухпараметрическому семейству (к, шп) краевых задач (для сокращения записи несущественные переменные обозначаются буквой с, а несущественные индексы опускаются):

d2u ldu (к + 0.5)5 dr2 r dr

и + с ■ 8{r — d)F(ui) =---и,

v2

0

2

3 1 йи 2 г йг

г=Но = 0. (10)

Здесь

V2 = ^ - / у дЦ)е-шг Л

Е(ш) — спектр входного сигнала /(г).

Функции Бесселя полуцелого индекса Jk+o.5(z) и J—k—o.5 (*) являются фундаментальной системой решений однородного уравнения (9) [1]. Из условия ограниченности решения в центре шара получим его при г = Но в следующем виде:

Jk+0.5 ^ ж \ 1 т-1/ \ и = --¡сг (ш) = -7-сг (ш).

-и*^^*) + 2 • Jfe+o.5(z) -1.5 + 2 • Jk+0.5(z) /Jk+o.5(z)

(11)

В (11) для наглядности рассмотрен случай, когда источник расположен на поверхности шара. При этом 2 = шНо/ь. Выражение для аналитического решения (11) или эквивалентные ему получены давно и во многих работах [1—7]. При этом ряд исследователей ограничивается только построением аналитического решения и не обращает внимания на вычислительную сторону вопроса. В (11) при возрастании к возникает особенность типа Известно, что функция Бесселя Jk+o.5(z) быстро стремится к нулю. Поэтому особенность в (11) возникает уже при небольших значениях к. В [7] говорится, что из-за быстрого убывания бесселевых функций возникает неустойчивость и соответственно потеря точности. Для преодоления этой проблемы в [7] предлагается использовать классическую асимптотику

которая выполняется для фиксированного 2 при V ^ то.

Применительно к (11) получим

^А*)/^^) ^ (к + 0.5)/*. (12)

На рис. 1 приведен расчет полного поля (8) в однородном шаре по (11). При этом использовалась классическая асимптотика (12). Функции Бесселя брались из математической библиотеки спецфункций Фортрана [9]. Входной сигнал по времени взят в виде импульса Гауса — Пузырева:

/ (г) = ехр

ят^-к^г).

Доминирующая частота в источнике ^ равна 0.05 Гц. Радиус шара ^ равен 6371200 м. Скорость в однородном шаре 3000 м/сек. Выдача произведена на свободной поверхности шара через 1 градус до 180 градусов. Время (по

Рис. 1. Волновая картина в однородном шаре.

Рис. 2. Схема лучей в однородном шаре.

вертикали) выдано в секундах. Расчет проведен до времени 7200 сек, т. е. до 2-х часов.

На рис. 2 приведена схема некоторых лучей в произвольной плоскости ф = фо однородного шара. В действительности их будет гораздо больше. В общем случае лучи будут распространяться по равносторонним вписанным многоугольникам. На рис. 1 стрелкой обозначена прямая волна. Она приходит раньше всех. Далее приходят волны по вписанным многоугольникам. Последней придет волна, идущая по границе шара. Аналогичные явления будут наблюдаться для произвольного значения фо. Это приводит к фокусировке на обратной стороне шара. На времени, большем 6000 сек, четко прослеживаются волны с обратным годографом. Эти волны пришли с обратной стороны шара.

На рис. 3 выдан фрагмент волнового поля, приведенного на рис. 1. Из него видно, что помимо прямой волны возникает еще одна волна. Она обозначена

Рис. 4. Фрагмент волнового поля, полученный с использованием новой асимптотики.

стрелками. Ее интенсивность составляет половину процента от прямой волны. Из рис. 2 следует, что ее быть не должно. Это помеха. В результате моделирования выяснилось, что Jk+o.5 (*) становится малым при к + 0.5, сравнимым с а классическая асимптотика (12) работает при к + 0.5 ^ Иначе говоря, здесь классическую асимптотику применять нельзя.

В работе получена новая асимптотика цилиндрических функций. Введем следующее обозначение: х(*) = ^(*)/Zv(*). Здесь Zv(*) — произвольная ци-

Рис. 5. Граничная волна, пришедшая по поверхности шара.

(1 2)

линдрическая функция ^ (г), (г), И1 ' Используя правило Лопиталя

при малых (или больших) Zv и ZV, получим

ф) = ZV (г (г) = ZV/^.

Из определения функции Zv (г) следует:

1

Из (14) и (15) нетрудно получить следующее уравнение на ):

ф) = - ( 1 - ^Л /ф) - р

х2 + -х + 1- — = 0

V

2

Оно имеет следующие корни:

г

2

-1 ± \/41/2 + l-4z2 «1,2 = -

2г

тем самым

74 М7 I \ -1 ± У/^2 + 1 "

13)

14)

15)

16)

17)

Выражение (18) дает новую асимптотику цилиндрических функций для произвольных г, V, когда ZV(г), Zv(г) ^ 0 и ZV(г), Zv(г) ^ то.

Используем (18) в (11) в случае, когда значения функций Бесселя выходят

за границы числового диапазона. В этом случае получим

2

«(До) = --оР(ь;). (19)

-4 + ^/4(^ + 0.5)2 + 1- 4^

На рис. 4 приведен фрагмент волнового поля в однородном шаре (11) с

использованием (19). Сравнение с рис. 3 показывает, что помехи нет. Таким

образом, получено устойчивое аналитическое решение в шаре.

Рис. 6. Аналитическое моделирование прямой волны для шара.

3. Анализ волнового поля в шаре по частям

Аналитическое решение позволяет проводить анализ волнового поля по частям [10,11]. Ниже будет показано, как проводить анализ волнового поля по частям в случае сферической системы координат.

Сначала выясним физический смысл корней квадратного уравнения (18). Для этого рассмотрим ЯИ волны в цилиндрической системе координат. После преобразования Фурье — Бесселя в спектральной области получим следующее двухпараметрическое семейство краевых задач в однородной среде [12,13]:

й9ш 9 9 , 9. йш

{к- - иг/гг)ги

йг9 ' йг

Здесь

= ^ И. (20)

2=0

V2 = I д(1)е-ш*(М

Функции ¿/12 = ехр(^г^к9 — составляют фундаментальную систему решений однородного уравнения из (20). Рассмотрим отношение у'9 к у1,9. Оно равно

(21)

Выражение (21) классическое. Оно встречается во многих работах по теории волн. Так, например, решение (20) на свободной поверхности будет выглядеть следующим образом [14]:

ц.|г=0 (22)

Рис. 7. Диаграмма направленности прямой волны для шара.

На рис. 5 приведено волновое поле, полученное по формуле (19). Из сравнения с рис. 1 видно, что это граничная волна, пришедшая по поверхности шара. А (22) есть волна, идущая по поверхности полупространства. В этом случае аналогом (21) для шара радиуса Яо будет следующее выражение:

-1 ± у/ф + 0.5)2 + 1 - 4(иДо/и)

2

(23)

(2шЯо/у)

Таким образом, новая асимптотика цилиндрических функций (23) имеет наглядный физический смысл. Это аналог характеристических значений (21) для полупространства.

На основе анализа выражения (21) в упругой среде вводится понятие однородных и неоднородных волн [14]. При к < ^ волна называется однородной. При к > ^ волна называется неоднородной. Понятие однородных и неоднородных волн имеет фундаментальное значение в динамической теории волновых полей.

На основании новых формул (23) вводится понятие однородных и неоднородных волн для шара радиуса Яо. При

(к + 0.5)2 1

Я0 4Я0

с

волна называется однородной. При

(к + 0.5)2

Яо 4Яо

волна называется неоднородной. При достаточно большом радиусе шара Яо получим приближенное выражение. При ^ Др'5^ < ^ волна называется однородной, при > ^ — неоднородной.

с

Возьмем в качестве фундаментальной системы решений однородного уравнения (9) функции Ганкеля. Далее построим два вспомогательных решения:

г«

u\Ro) =-(2Hk+0-5ÍZ) (2]-

2/D \ Hk+0.5(z) ti/ \

u =-ai—r^-m—7~IcF^>

В соответствие с общей теорией в данном случае функции Ганкеля брать нельзя [1]. Они не являются ограниченными в нуле (центр шара). Однако выражение (24) определено с помощью новой асимптотики (18) для произвольных индексов и аргументов.

На рис. 6 приведена полусумма полей из (24). Из сравнения рис. 6 и рис. 1 видно, что это прямая волна в однородном шаре.

При моделировании выяснился интересный факт. На рис. 7 приведен фрагмент прямой волны в однородном шаре. Выдача на свободной поверхности в диапазоне углов 6 от 120 до 130 градусов. Это диаграмма направленности прямой волны. Видно, что прямая волна практически постоянна. На первый взгляд это противоречит теории распространения волновых полей. По теории убывание прямой волны в дальней зоне должно быть обратно пропорционально пройденному пути [14]. Расстояние для прямой волны равно 2i?sin|. Поэтому убывание прямой волны в диапазоне углов 6i < 62 будет

• 61 / • 62

silly /silly. (25)

Из (25) следует незначительное убывание прямой волны в этом случае. Это иллюстрирует принципиальное отличие волновой картины в шаре и полупространстве.

ЛИТЕРАТУРА

1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики М.: Наука, 1977.

2. James J., Faran Jr. Sound scattering by solid cylinders and spheres //J. Acoustic Soc. Amer. 1951. V. 3, N 4. P. 405-418.

3. Varadan V. V., Ma Y., Varadan V. K., Lakhtakia A. Scattering of waves by spheres and cylinders // Field representations and Introduction to Scattering. Amsterdam: North-Holland, 1991. P. 211-324.

4. Avila-Carrera R., S'anchez-Sesma F. J. Scattering and diffraction of elastic P- and S-waves by a spherical obstacle //A review of the classical solution. Geofys. Intern. 2006, V. 45, N. 1. P. 3-21.

5. Агаян Г. М., Воеводин Вад. В., Романов С. Ю. О применимости послойных моделей в решении трехмерных задач ультразвуковой томографии // Вычисл. методы и программирование. 2013. Т. 14. С. 533-542.

6. Толоконников Л. А., Родионова Г. А. Дифракция сферической звуковой волны на упругом шаре с неоднородным покрытием // Изв. Тульск. гос. ун-та. 2014. Вып. 3. С. 131-137.

7. Korneev V. A., Johnson L. R. Scattering of elastic waves by a spherical inclusion. 1. Theory and numerical results // Geophys. J. Int. 1993. N 115. P. 230-250.

8. Фатьянов А. Г. Численное моделирование волновых полей в неоднородном неупругом шаре. Новосибирск. 1981. 22 с. (Препринт / АН СССР Сиб. Отд-ние, ВЦ; 337).

9. Shanjie Zhang, Jian-Ming Jin. Computation of special functions. John Wiley, 1996.

10. Fatianov A. G., Mikhailenko B. G. Numerically-analytical method for calculation of theoretical seismograms in layered-inhomogeneous inelastic media // Geophys. data inversion methods and applications. Free University of Berlin. 1989. P. 499—530.

11. Burmin V. Yu., Fat'yanov A. G. Analytical modeling of wave fields at extremely long distances and experimental research of water waves //Izvestiya, Physics of the Solid Earth. 2009, V. 45, N 4. P. 313-325.

12. Фатьянов А. Г. Полуаналитический метод решения прямых динамических задач в слоистых средах // Докл. АН. 1990. Т. 310, № 2. С. 323-327.

13. Фатьянов А. Г. Аналитическое моделирование волновых полей для сред сложного строения и структуры на сверхдальние расстояния // Мат. заметки СВФУ. 2015. Т. 22, № 3, С. 101-113.

14. Aki K., Richards P. G. Quantitative seismology. Theory and methods. San Francisco: W. H. Freeman and Company, 1980.

Статья поступила 25 августа 2016 г. Фатьянов Алексей Геннадьевич

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, пр. Лаврентьева, 6, Новосибирск 630090 fatSnmsf.sscc.ru

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2016. Том 23, № 3

UDC 550.344

THE STABLE ANALYTICAL SOLUTION FOR THE WAVE FIELDS IN THE SPHERE A. G. Fatyanov

Abstract. We investigate the well-known analytical solution to the problem of the wave fields in the sphere. It is shown that the use of the standard asymptotic behavior of the Bessel functions leads to interference in the solution. A new asymptotic expression for the Bessel functions is found which gives a stable analytical solution that allows one to obtain the exact solution. The homogeneous and inhomogeneous waves for the sphere are detected. We present some examples of analytical calculation of the full wave fields and the primary wave for the sphere.

Keywords: mathematical modeling in the sphere, stable analytical solution, full wave field, primary wave, new asymptotic behavior of Bessel functions, homogeneous and inhomogeneous waves for the sphere.

REFERENCES

1. Tikhonov A. N. and Samarskii A. A., Equations of mathematical physics [in Russian], Nauka, Moscow (1997).

2. Faran J. J., Jr. "Sound scattering by solid cylinders and spheres," J. Acoustic Soc. Amer. 3, No. 4, 405-418 (1951).

3. Varadan V. V., Ma Y., Varadan V. K., and Lakhtakia A. "Scattering of waves by spheres and cylinders," in: Field representations and introduction to scattering, North-Holland, Amsterdam, 211-324 (1991).

4. Avila-Carrera R. and Sánchez-Sesma F. J. "Scattering and diffraction of elastic P- and S-waves by a spherical obstacle. A review of the classical solution," Geophys. J. Int., 45, No. 1, 3-21 (2006).

5. Aganyan G. M., Voevodin Vad. V., and Romanov S. Yu. "On applicability of layered models in solving 3D problems of ultrasonic tomography," Vychisl. Metody i Programmirovanie, 14, 533-542 (2013).

6. Tolokonnikov L. A. and Rodionova G. A. "Diffraction of the spherical sonic wave on an elastic sphere with heterogeneous covering," Izv. Tulsk. Gos. Univ., No. 3, 131-137 (2014).

7. Korneev V. A. and Johnson L. R. "Scattering of elastic waves by a spherical inclusion. 1. Theory and numerical results," Geophys. J. Int., No. 115, 230-250 (1993).

8. Fatyanov A. G., Numerical modeling of wave fields in an inhomogeneous sphere, Novosibirsk, 1981. 22 p. (Preprint/AN SSSR. SO, Comp. Center, 337).

9. Shanjie Zhang and Jian-Ming Jin, Computation of special functions, John Wiley & Sons, Inc., 1996.

10. Fatianov A. G. and Mikhailenko B. G. "Numerically-analytical method for calculation of theoretical seismograms in layered-inhomogeneous inelastic media," in: Geophys. Data Inversion Methods Appl. Free Univ. Berlin, 499-530 (1989).

11. Burmin V. Yu. and Fat'yanov A. G. "Analytical modeling of wave fields at extremely long distances and experimental research of water waves," Izv. Phys. Solid Earth, 45, No. 4, 313325 (2009).

12. Fatianov A. G. "A semi-analytical method to solve direct dynamic problems in layered media," Dokl. Akad. Nauk, 310, No. 2, 323-327 (1990).

© 2016 A. G. Fatyanov

13. Fatyanov A. G. "Analytical modeling of superlong-distance wave fields in the media with composite subsurface geometries," Mat. Zamet. SVFU, 22, No. 3, 86-96 (2015).

14. Aki K. and Richards P. G., Quantitative seismology. Theory and methods, W. H. Freeman and Co, San Francisco (1980).

SSubmitted August 25, 2016 Aleksei Gennadievich Fatyanov

Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics, 6 Lavrent'ev Avenue, Novosibirsk 630090, Russia fatSnmsf.sscc.ru