CC BY
20
РАЗДЕЛ I. ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 639.2.081.7:681.883.4
Т.Ж. Лобова, А.П. Белаш
УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ АНТЕННОЙ РЕШЕТКИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКОПЛЕНИЙ ПЕЛАГИЧЕСКИХ РЫБ
Для определения плотности косяков пелагических и донных рыб в рыбопромысловых бассейнах обычно используют гидроакустические методы [1]. При оценке численности промыслового скопления к большой ошибке приводят сигналы, отраженные от грунта дна. Для увеличения точности необходимо знать акустические характеристики воды и дна океана рс (плотность, скорость). Однако существующие методы расчета поля при неоднородности по углу акустических характеристик (дно, поверхность океана) приводят к недопустимо большому времени расчета. Например, на компьютерах среднего класса это занимает до нескольких часов. Предложен математический алгоритм, основанный на теории функций Грина, имеющих угловую зависимость. Эта угловая зависимость позволила выделить участки на границах, имеющих однородную структуру. Возможности алгоритма продемонстрированы на примере анализа поля антенной решетки, расположенной внутри морского клина. Время расчета поля внутри морского клина на компьютере средней мощности составило приблизительно 10-20 секунд. Получены расчетные модели в криволинейной системе координат. Проведены численные эксперименты, показавшие применимость выведенной математической модели для практических расчетов. Погрешность расчетной модели не превышает 10%. Рассмотренные приближенные методы расчета позволяют проводить инженерные расчеты антенн, расположенных в мелком море.
Ключевые слова: функции Грина, математическая модель расчета, гидроакустическое поле, диаграмма направленности, погрешности, антенная решетка, математический алгоритм, коэффициент отражения, плотность, скорость.
T.Z. Lobova, A.P. Belash
IMPROVEMENT OF MATHEMATICAL MODEL OF ANTENNA LATTICE TO DETERMINE CONCENTRATION OF PELAGIC FISHES
To determine the density of pelagic and ground fish in various fishing basins hydroacoustic methods are commonly used [1]. In assessing the number of fish, reflected signals from the bottom of sea cause a big mistake. To increase the accuracy, it is necessary to know the acoustic characteristics of the water and the ocean bottom, pc (density, velocity). However, the existing methods of computing the field with inhomogeneity in the angle of acoustic characteristics (the bottom, the surface of the ocean) lead to unacceptably long calculation time. For example, it takes up to several hours on a medium-performance computer. A mathematical algorithm based on the theory of Green's functions with angular dependence is proposed. This angular dependence makes it possible to isolate patches at boundaries having a homogeneous structure. The possibilities of the algorithm are demonstrated by the example of an analysis of the antenna lattice field located inside the marine wedge. The time for calculating the field inside the marine wedge on a medium-performance computer has been approximately 10-20 seconds. Calculation models are obtained in a curvilinear coordinate system. Numerical experiments showing the applicability of the deduced mathematical model for practical calculations have been carried out. The error in calculation model does not exceed 10%. The approximate calculation methods considered allow us to carry out engineering calculations of antennas located in the shallow sea.
Key words: Green's functions, mathematical model of calculation, hydroacoustic field, directivity diagram, errors, antenna lattice, mathematical algorithm, reflection coefficient, density, velocity.
DOI: 10.17217/2079-0333-2018-43-6-12
Введение
В настоящее время гидроакустические приборы позволяют обнаруживать скопления рыб, в том числе плотность косяков, а также определить глубину, на которой они находятся. Целью настоящей статьи является разработка эффективных аналитических методов расчета акустического поля в замкнутых водоемах, закрытых заливах и бухтах при наличии скоплений стада промысловых рыб.
Антенна, содержащая совокупность излучающих элементов, расположенных в определенном порядке, ориентированных и возбуждаемых так, чтобы получить заданную диаграмму направленности, называется антенной решеткой [2].
В процессе определении численности стада промыслов рыб к большой ошибке приводят отраженные от грунта дна сигналы. Чтобы увеличить точность определения численности косяков, необходимо знать акустические характеристики воды и дна океана рс (плотность, скорость). Однако существующие методы расчета поля при неоднородности по углу акустических характеристик, таких как дно, поверхность океана, приводят к длительному времени расчета.
При разработке аналитических моделей удобно использовать аппарат функций Грина. Однако классические функции Грина определяют поле точечного источника в виде сферической волны для неограниченного пространства [3]. Для достижения поставленной цели в настоящей статье предлагается использовать математический алгоритм, основанный на теории функций Грина. Сущность этого метода заключается в формировании математической модели излучения из точечного источника в безграничной среде веера диаграмм направленности [4]. В каждом угловом участке на границах, имеющих однородную структуру, можно учесть различные акустические сопротивления реальных отражающих поверхностей, в том числе с учетом распределения рыбных скоплений.
Предположим, что в некотором объеме Ж (рис. 1) существуют два гармонических поля. Первое поле Ф(г0) создается некоторыми активными элементами, расположенными в объеме Ж0, ограниченном поверхностью 50. Второе поле создается точечным источником, расположенным в точке М0 с координатами г0. В этом случае в линейном приближении поле Ф(г0) описывается неоднородным уравнением:
АФ(Го) + £2Ф(Го) = -4щ(г0), (1)
а второе поле описывается функцией О(г0,г) [5]:
АО(г, г) + к2О(г0, г) = -4п5(г - г0), (2)
где к = = — - волновое число, д(г0) - плотность распределения излучателей в объеме Ж0, Я с
5(г - г0) - дельта-функция Дирака.
Функция, удовлетворяющая уравнению (2), называется функцией Грина. Ее удобно представить в виде
G(Гo,г) = g(г,г) + у(г) , (3)
где g(r0, г) - поле излучения сферического или цилиндрического ненаправленного излучателя в безграничном пространстве, г0 - вектор, характеризующий координаты точки излучателя, г - вектор, характеризующий координаты точки наблюдения (г и г0 выражаются через три ортогональные координаты), у(г) - функция рассеяния на экране с площадью 5, где
£ = £о + + ... + + ^нар.
5нар (рис. 1) может быть стенками волновода или поверхностью резонатора.
Если у(г) = 0, то пространство безграничное, излучается сферическая волна из точки М0, которую представим в виде
е'к\г-го ] е'ж
г) = gОТр г) = г-л = . (3а)
1г - г] Я
Если в свободном поле в точке M0 излучается цилиндрическая ниша, то
G(r0, r) = g(r0, r) = H0il> (kR) ,
(36)
где Н0(1) - расходящаяся ненаправленная цилиндрическая волна при выбранной зависимости от времени в виде ехр(—
Сходящаяся к началу координат волна будет иметь вид Но(2)(кг).
Выражения (3 а) и (3б) - функции Грина свободного пространства. Выражение (3) - функция Грина, которая удовлетворяет граничным условиям произвольной поверхности 5". Функция у(г) определяет рассеяние поля и находится из граничных условий на всей поверхности £ = £ + £0 + £м +... + £и, где £1 ... £п - некоторые рассеивающие поверхности в объеме Ж,
не пересекающиеся друг с другом и расположенные внутри поверхности £н. На поверхностях £н и £п заданы некоторые импедансы si...sn и наружные нормали п.
n Sn
Рис. 1. Геометрия задач анализа и синтеза антенной решетки
Для определения потенциала поля в точке М с координатами г воспользуемся следующим приемом [6].
Умножим выражение (1) на функцию Грина О(г0, г), а выражение (2) - на функцию Ф(г0) и вычтем после этого из первого выражения второе:
G(r0, г)ДФ(г0) + k2 O(r0)G(r0, r ) -O(r0)AG(r0, r ) - k2 O(r0)G(r0, r ) = = -4%q(r0 )G(r0, r) + 4тс5(г - r0 )Ф(г0 ),
(3в)
где А - лапласиан.
Для упрощения выражения (3в) используем интегральное свойство дельта-функции Дирака и вторую интегральную теорему Грина [7], которая является следствием интегральной теоремы Остроградского-Гаусса [6]. Запишем теорему Грина в следующем виде: если в некотором объеме Ж существуют две дважды дифференцируемые гармонические функции и и V, то дифференциальное соотношение между функциями в объеме Ж имеет вид:
J \UДГ - VДи] dW = J
U — - V— 8n 8v
dS.
(4)
то есть вторая интегральная теорема Грина позволяет связать значения полей V и и в объеме Ж со значением этих полей на поверхности £, ограничивающей Ж.
Проинтегрируем выражение (3в) по объему Ж. Используя вторую интегральную теорему Грина, можно снизить порядок интегральных преобразований от трехмерного интеграла по объ-
ему до двухмерного интеграла по поверхности для трехмерной задачи. Для двухмерной задачи формула Грина позволяет перейти от двухмерного интеграла по плоской области до одномерного интеграла по контуру.
Использование функций Грина позволяет решить задачу как анализа, так и синтеза антенн [8] корректными методами. Равноправными решениями уравнения Гельмгольца являются две сопряженные друг с другом функции Грина. Одна из функций Грина описывает расходящиеся от поверхности излучателя волны G+ (МЫ0) , а вторая - сопряженная с ней (МЫ0) [4]. Общим решением уравнения Гельмгольца необходимо считать сумму этих функций:
G(MM0) = G+(MM0) + K^G-iMMo) , (5)
где Котр - коэффициент отражения среды.
Коэффициенты отражения будут зависеть не только от угловых координат, но и от расстояния между реальным точечным излучателем и поверхностью отражения.
Решение (1) может использоваться для формулировки и решения корректных задач синтеза антенн [9]. При этом для получения корректного решения достаточно проинтегрировать выражение (1) по некоторой поверхности 5, на которой необходимо получить заданное звуковое поле. Результатом этого интегрирования (корректная задача математической физики) является распределение поля по поверхности антенны 5.
Математическая модель и ее экспериментальная проверка
Рис. 2. Геометрия задачи
Известны гидроакустические характеристики рыбы (плотность pn и фазовая скорость cn), воды (плотность pn и фазовая скорость cn), геометрия клина и координаты элементов антенной решетки (рис. 2).
Вводится алгоритм, основанный на теории функций Грина [4]. Интервалы углов [U1 mn; U1 max], из них видны в геометрическом приближении, соответственно, верхняя и нижняя плоскости:
fl if U1 . < U < U1 F (U1)= - min max
I 0 otherwise
Расчеты и построение графиков осуществлялись в программе Mathcad.
Функция Грина для первого элемента антенной решетки, расположенного на расстоянии x1 = 0,1:
P1( x):= —•
2 •л
p •cv
F1(U)
Vk2 - U2
• exp
p2 ^c2
1-
U
1-
c1 ^ U
cv J k
p •cv
p2 ^c2
1 -
U
1 -
c1 ^ U
cv J k
(x - x1) Vk2 - U2
+ (y( x) - y0) •U
dU
F1(U)
Vk2 - U2
• exp
i •
(x - x1) •>/k2 - U2
+ (y( x) - y0) •U
dU.
+
Функция Грина для второго элемента антенной решетки, расположенного на расстоянии х2 = 0,2:
Р2( х) :=
р -сУ
2-л
= Щи)
4к2 - и2
-ехр
(х - х2)- 4кГ-й'2
+ (у(х) - у0) - и
йи
р2- с2
1 -
и
1-
с1 ] и_ су I к
р- СУ
р2- с2
1 -
и
1 -
с1 ^ и_
су I к
(7)
Р1(и) л/к2 - и2
- ехр
(х - х2) Vк2 - и2
+ (у( х) - у0) -и
йи.
Функция Грина для третьего элемента антенной решетки, расположенного на расстоянии х3 = 0,3:
+
Р3( х) :=
2-л
■■ПЩ
- ехр
(х - х3) л/к2- и2
+ (у(х) - у0) -и
йи
р -СУ
р2-с2
1 -
и
к I V
1-
с1) и су I к
р -су
р2-с2
1 -
и
1-
с1 ] и
су i к
Р1(и) л1к2 - и2
- ехр
(х - х3) ^к2 - и2
(8)
+ (у( х) - у0) -и
йи.
+
Результат расчетов
Для примера рассмотрим функцию Грина для простейшей линейной антенной решетки. Первый элемент антенной решетки представлен на рис. 3, а. Второй элемент антенной решетки представлен на рис. 3, б. Третий элемент антенной решетки представлен на рис. 3, в.
Частота / = 6,283*10А3 Гц;
Длина волны X = 0,239 м;
Углы [0; 90];
Коэффициент отражения равен 26,304.
Время расчета одного варианта на ЭВМ, на основе применения программного пакета Mathcad составляет 10-20 с. Анализ графика на рис. 3 показывает, что погрешность расчетной модели не превышает 10% в интервале углов [87-90], [0-3]. Колебания графика определяют ошибку расчета по алгоритму (6). График рис. 4 иллюстрирует представление трех «направленных функций Грина» свободного пространства, которые аппроксимируют угловое распределение поля давления на уровне ошибки.
Рис. 3. Функция Грина антенной решетки: а - первого элемента, расположенного на расстоянии х1 = 0,1 от источника, б - второго элемента, расположенного на расстоянии х2 = 0,2 от источника, в - третьего элемента, расположенного на расстоянии х3 = 0,3 от источника
в(х)
Рис. 4. Диаграмма направленности антенной решетки из суммы трех элементов, расположенных на расстояниях 0,1; 0,2; 0,3 от источника
Обсуждение результатов
Разработанные алгоритмы расчетов позволяют проводить анализ поля измерения с заданной погрешностью. Геометрия задачи может быть значительно усложнена по сравнению с обычным клином. Предложенная аналитическая модель расчета давления акустической волны в море позволяет значительно расширить круг практических задач дальнего обнаружения целей в однородных средах. Разработанный алгоритм позволит проводить анализ антенных решеток в ограниченных объемах. Предложенный алгоритм можно использовать для анализа диаграмм направленности антенных решеток произвольной геометрии. Результаты статьи можно использовать для решения практических задач гидроакустики и атмосферной акустики.
Литература
1.Четвергов А.В., Архандеев М.В., Ильинский Е.Н. Состав, распределение и состояние запасов донных рыб у Западной Камчатки в 2000 г. // Тр. КФ ТИГ ДВО РАН. - Петропавловск-Камчатский: Камч. печатный двор. Книжное изд-во. - 2003. - Вып. IV. - С. 227-256.
2. ГОСТ 2328291 - 91. Решетки антенные. Термины и определения.
3. Смарышев М.Д. Направленность гидроакустических антенн. - Л.: Судостроение, 1973. -320 с.
4. Короченцев В.И. Волновые задачи теории направленных и фокусирующих антенн. -Владивосток: Дальнаука, 1998. - 192 с.
5. Короченцев В.И., Губко Л.В., Ким А.В. Трехмерная неоднородная модель морской среды // Морские интеллектуальные технологии. - 2016. - Т. 1, № 3 (33). - С. 280-284.
6. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. - Л.: Судостроение, 1972. - 348 с.
7. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. - М.: Изд-во АН СССР, 1957. - 502 с.
8. Анализ и синтез акустических антенн в морском клине / В.И. Короченцев, А.Е. Малашен-ко, М.В. Мироненко, А.А. Потапенко // Морские интеллектуальные технологии. - 2016. - Т. 1, № 3 (33). - С. 274-279.
9. Короченцев В.И. Синтез линейной антенны, расположенной в волноводе с абсолютно отражающими границами // Проблемы научных исследований в области изучения и освоения Мирового океана: докл. IV Всесоюз. конф. - Владивосток, 1983.
Информация об авторах Information about the authors
Лобова Татьяна Жановна - Дальневосточный федеральный университет; 690950, Россия, Владивосток; аспирант кафедры приборостроения; daydream_2012@mail.ru
Lobova Tatyana Zhanovna - Far Eastern Federal University; 690950, Russia, Vladivostok; Postgraduate of Instrumentation Chair; daydream_2012@mail.ru
Белаш Алексей Павлович - Камчатский государственный технический университет; Россия, Петропавловск-Камчатский; доцент кафедры судовождения
Belash Aleksey Pavlovich - Kamchatka State Technical University; Russia, Petropavlovsk-Kamchatsky; Associate Professor of Ship Navigation Chair
