УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ С ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

2016

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып.3(34)

МЕХАНИКА МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 517.977

Условия устойчивости линейных однородных систем с переключениями

Г. Г. Иванов, Г. В. Алферов, П. А. Ефимова

Санкт-Петербургский государственный университет

Россия, 198504, Санкт-Петербург, Петергоф, Университетский проспект, 35 alferovgv@gmail.com; +7-921-906-60-42

Рассматриваются необходимые и достаточные условия устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову нулевого решения системы линейных однородных дифференциальных уравнений, правая часть которой принимает конечное число значений, а интервал времени между любыми двумя соседними переключениями не может быть меньше некоторого наперёд заданного положительного числа.

Ключевые слова: переключаемые системы; гибридные системы; гистерезис; управление. DOI: 10/17072.1993-0550-2016-3-37-48

В последнее время вырос интерес к исследованию систем с переключениями в робототехнике [1-13], небесной механике и ракетно-космической технике [14-24], экономике [25-28] и других областях [29-31].

Под переключаемой системой понимают многорежимную динамическую систему с законом переключения режимов, определяющим интервалы активности каждого режима.

В частности, системы управления приводами многофункциональных робототех-нических систем являются многорежимными гибридными системами. Эти системы должны обеспечивать решение нескольких задач управления движением рабочих органов манипуляторов в условиях технологической неопределенности. В работе [32] представлен краткий обзор публикаций по методам исследования, синтеза и математического моделирования переключаемых систем.

© Иванов Г.Г., Алферов Г.В., Ефимова П.А., 2016

В работе академика С.Н. Васильева [33], под руководством которого 1-3 июня 2016 г. прошла XIII Международная конференция "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Конференция Пятницкого) [34], обсуждены вопросы устойчивости и стабилизации переключаемых и гибридных систем и рассмотрены некоторые проблемы, которые остаются открытыми. А также рассмотрены критерии устойчивости для систем с ограничениями на правила переключений, представлены результаты по обращению теоремы Ляпунова для переключаемых систем.

В настоящей работе рассматривается линейная однородная система дифференциальных уравнений с переключениями, правая часть которой принимает некоторое конечное число значений, а интервал времени между двумя соседними переключениями не может быть меньше некоторого наперёд заданного положительного числа. Для этого класса систем приводятся необходимые и

достаточные условия устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову нулевого решения, не зависящие от конкретной реализации последовательности переключений режимов.

Рассмотрим систему

(1)

где х - вектор фазовых переменных, и -скалярная кусочно постоянная функция, отображающая множество неотрицательных чисел Г4 = {£|0:<£<«5} на конечное множество целых чисел:

а Л (и) - п х п матричная определяемая соотношениями

Пусть

= 0<^<4я < ■■■ последовательность точек разрыва функции '.: ■: |. Тогда на интервале

Т} = [г| < Ь < 2 = 1,2,...,

функция и (О будет постоянной. Предположим, что последовательность (3) такова, что для нее существует 5 > О, удовлетворяющее условию

(2)

функция,

(3)

ШШТ; > 3,

(4)

где через г,- обозначена длина интервала Г,. Обозначим через и$ множество всех функций , определяемых условиями (2) и (4) для некоторого фиксированного й.

Систему (1) будем называть устойчивой равномерно по и € если для любых г > О и 5 > 0 найдется г\ > 0 такое, что при любом все решения системы (1), начинающиеся в ^-окрестности нуля, со временем не покидают его ¿"-окрестности.

Найдем необходимые и достаточные условия равномерной по Цд устойчивости системы (1).

2. Обозначим через Л* линейный

АЛ

оператор, соответствующий матрице в ' ,

через

замыкание множества А"

х — у

- расстояние между множествами М и

Утверждение 1. Для того чтобы система (1) была устойчивой равномерно по необходимо и достаточно, чтобы для любого существовало ограниченное замкнутое множество М}, содержащее в качестве внутренней точки точку ноль, такое, что

Доказател ьство Необходимость.

Пусть система (1)

устойчива равномерно по Е/д. Покажем, что в этом случае существуют множества, удовлетворяющие условиям утверждения.

Зададимся некоторым 5 > 0 и выберем произвольное ограниченное замкнутое множество М\, содержащее точку ноль в качестве своей внутренней точки. Построим множество

м2 = м1

Если с М\, то процесс завершается. В противном случае построим множество

Если Мэ с М2, то процесс построения заканчивается. В противном случае он продолжается описанным способом. Продолжив этот процесс до бесконечности, получим систему множеств

с М2 с

Положим

М3 =

Щ-

Прежде всего покажем, что множество ограничено. Пусть, напротив, множество неограничено. Тогда для сколь угодно большого Л > 0 найдется такой номер к, что множество Мк с Мд будет содержать подмножество для которого из условия следует, что ||х||>Д. Зафиксируем некоторую точку х* Е В силу определения множества Мк существуют набор чисел

т, > Зг ] = 1, ..., к,

определяемый соотношениями

(5)

чисел

и точка х-1 € Мх такие, что

(5), набор } = 1,.... К

а через

В силу произвольности 6, полученное равенство означает, что если и пробегает множество Vд, то множество решений системы (1), начинающихся при £г = 0 в множестве М^. не является равномерно ограниченным. Откуда, с учетом ограниченности множества Л^ и линейности системы (1), следует, что эта система не может быть устойчивой равномерно по Полученное противоречие и доказывает ограниченность множества

По самому построению множество замкнуто, причем оно содержит точку ноль в качестве своей внутренней точки, так как .'■Л - ." ;'-. Таким образом, для завершения доказательства этой части утверждения нам осталось показать, что имеет место включение

Предположим, что это не так. Тогда для некоторого оператора А^ £ (1,ЛГ).

, в силу его непрерывности, найдётся такая внутренняя точка £ что

А11

.

Но поскольку точка д:с является внутренней точкой множества то для некоторого / точка дг0 ^ М^ Учитывая, что по определению

получим цепочку включений

ЛГ Г- ^ <= ЛТ

£ АЦЩ) <= Н+1 <= Мб

из которой следует, что А1{

е Мл

Но это противоречит предположению о непринадлежности точки и.Очз) множеству , что и доказывает наличие требуемого включения.

Учитывая произвольность выбора , убеждаемся, что если система (1) устойчива равномерно по то для любого 5 > 0 существует множество удовлет-

воряющее всем требованиям утверждения.

Достаточность. Пусть выполнены условия утверждения. Тогда для произвольного 5 > 0 найдется ограниченное замкнутое множество содержащее точку ноль в качестве своей внутренней точки, и т с М5.

такое, что

Это означает, что все решения системы (1) при любом и Е Е/д, начинающиеся в множестве не покидают множества

замыкание

у и»1! ¿=1

где через ¡'(М£) обозначено множества и~=(} А 1(М$).

Обозначим через Кв шар радиуса Й с центром в точке 0. Учитывая равномерную ограниченность норм операторов Л®, Ё *Е [0,£]. 1 = 1, 2, , ¿V, заключаем, что существует такое Д, что

с КЙ.

Далее, поскольку множество М^ в качестве своей внутренней точки содержит точку ноль, то найдется такое г, при котором будет иметь место включение Кг с

Из того факта, что при любом и С все решения системы (1), начинающиеся в не покидают /о (А^ ). следует, что все решения этой системы, начинающиеся в Кг, не покидают шара Кк.

Зададимся теперь произвольным е > 0 и выберем ¡1 столь малым, чтобы было £. В силу линейности системы (1), множество

будет обладать всеми свойствами, что и множество Полагая ?} = ^г, заключаем, что для любого е > 0 найдется г} > 0 такое, что при любом и £ и^ все решения системы (1), начинающиеся в ^-окрестности нуля, не покидают ее е-окрестность. Но это и означает равномерную по « £ 13$ устойчивость системы (1). Учитывая произвольность выбора 5, убеждаемся в справедливости утверждения.

Утверждение 2. Если система (1) устойчива равномерно по 1/$. то для любого 5 > 0 существует выпуклое множество удовлетворяющее всем требованиям утверждения 1. Причем для любого р > 0, ц 1,

р, дМ5 П дМ£ = 0 и для любого q Е [0,1]

Здесь через ЗМ^ обозначена граница множества

Доказательство. Выберем произвольные 5 > 0 и выпуклое ограниченное замкнутое множество М, содержащее в

качестве своей внутренней точки точку ноль. По условию система (1) устойчива равномерно по и, следовательно, для выбранного 5 можно указать множество Мд с М. удовлетворяющее всем требованиям утверждения 1.

Зададимся произвольными t > 3 и . По утверждению 1

М6 =

м

ЛЬ

с М'а.

Учитывая, что с М, получаем

«= М

и, одновременно, Но тогда

Применяя к этому включению оператор Л который существует вследствие невырожденности оператора Л* окончательно получим:

Это включение имеет место при любом ¡г > 3

и при любом £ € (1, ЛГ). Откуда следует

справедливость включения л"

и

линейный

Мв с м1 = | || | "

Оператор „4~! непрерывный, и потому множество ,4ГГ(М) будет, как и множество М, замкнутым и выпуклым. Далее, поскольку пересечение любого числа замкнутых и выпуклых множеств есть множество замкнутое и выпуклое, то таковым будет и множество М-^. Кроме того, учитывая, что

м6 с М1 с м>

приходим к заключению, что М-^ ограничено и содержит в качестве своей внутренней точки точку ноль.

Применяя к М1 описанную процедуру, получим ограниченное замкнутое выпуклое множество такое, что

М'5 с М2 с М1, Продолжая этот процесс, получим последовательность вложенных замкнутых выпуклых множеств

М =з М± =з ■■■ => Мь => ■■■,

Обозначим через предел этой последовательности и покажем сначала, что удовлетворяет всем требованиям утверждения 1 для выбранного 5.

По определению

1г=1

из чего следует, что М& является ограниченным замкнутым и выпуклым множеством, так как таковыми являются множества Мь.

Далее, по самому построению при любом к М^ с а потому М^ с М$. и, следовательно, точка ноль является внутренней точкой множества М& Наконец, покажем, что

Действительно,

=

г=1 Ъ6

этом соотношении к пределу,

Переходя в получим

мя=

— I > ■ "г

¡=1 "¿6

Отсюда следует, что для любого £ € (1,... ,Д0 и £ > 5 имеет место включение

М6 с М8 П АГ*(МцУ, которое означает, что

Применяя к последнему включению оператор , получим

Учитывая произвольность ¡и (и замкнутость множества М$, заключаем, что

Итак, для произвольно выбранного й мы построили выпуклое множество удовлетворяющее всем требованиям утверждения 1, покажем, что это множество удовлетворяет и остальным требованиям утверждения 2.

Покажем, что при любом ц Е [0,1]

Выберем произвольную точку ;г0 £ Так как множество выпукло, и точка ноль является его внутренней точкой, то множеству принадлежит и отрезок прямой [0, лг^], содержащий точки 0 и д:с. Но для любого

откуда следует, что

q дМ$ с

Умножение на скаляр переводит границу начального множества в границу конечного, и следовательно,

д(дМ3) = чдМ& с М5 Отсюда сразу следует, что

Наконец покажем, что для любого (I > 0, р # 1,

Предположим, что это не так. Допустим, что для некоторого ¡.{а. пусть, для определенности, ¡л^ £ (ОД), множества дМ$ и имеют непустое пересечение. Тогда обязательно найдется хотя бы одна точка такая, что

Ро*, — £

Поскольку точка 0 есть внутренняя точка множества М& то существует £ > 0, для которого шар Кг радиуса е с центром в точке О принадлежит множеству Обозначим

через дг0] прямолинейный отрезок,

соединяющей точки х и д;с, и рассмотрим множество

В силу выпуклости при любом

х Е 1Г, отрезок [д;, принадлежит Мд, а следовательно, и принадлежит По

построению точка 0 является внутренней точкой множества а Хд Е откуда

следует, что Хд - внутренняя точка множества <2, а значит и множества ЛГд. Но последнее противоречит предположению, что д;^ Е дМд. Полученное противоречие и доказывает справедливость нашего утверждения.

Таким образом, мы показали, что для произвольно выбранного 3 > 0 можно построить множество Мд, удовлетворяющее всем требованиям утверждения 2.

Определение. Систему (1) будем называть асимптотически устойчивой равномерно по иесли она устойчива равномерно по и при любом и Е решения системы (1), начинающиеся в ^-окрестности нуля, стремятся к нулю при t оо.

Утверждение 3. Для того чтобы система (1) была асимптотически устойчива равномерно по необходимо и достаточно, чтобы для любого 3 > 0 существовало множество ]М5, удовлетворяющее следующим условиям:

1ЛГд - замкнутое ограниченное множество, содержащее в качестве своей внутренней точки точку ноль;

2. Для любого ¡1 Е [0,1)

3. Для некоторого q £ (0,1)

ЛСИУ <=

Доказательство

Необходимость. По условию система (1) является устойчивой равномерно по

Тогда из утверждений 1 и 2 сразу следует, что для любого 3 > 0 существует множество ив удовлетворяющее требованиям 1 и 2 настоящего утверждения, что и доказы-вает необходимость этих утверждений.

Докажем необходимость условия 3.

Если

то в силу замкнутости множеств и и непрерывности операторов Л1 = 1, 2,..., N. £ > О, будет

рЩШгдМц) = Я > о,

и следовательно, найдется q Е (0,1), удовлетворяющее условию 3.

Выберем произвольное 3 > 0 и некоторое множество М^, удовлетворяющее требованиям 1 и 2, и покажем, как в общем случае из него можно построить множество , удовлетворяющее всем требованиям настоящего утверждения.

Прежде всего покажем, что если

то хотя бы для одного из операторов А?, г = 1, 2,...,ЛГ, > 3, например для с, найдется такая точка Л'о Е дМ^, что Е

Действительно, обозначим через х'с некоторую точку, принадлежащую пересечению П дМд точка принадлежит Поскольку дг^ £ то существуют последовательности {Хд } С Мд, {£±], (Гц. > всех к, и набор чисел {¡ь], Е (1 такие, что

и покажем, что эта множеству

при

Здесь через т) обозначена точка, в

которую в момент времени т попадет решение системы х = Л}х, начинающееся

при £ = 0 в точке / = 1, 2,... ,Ц. Не нарушая общности можно считать, что £к = сопл!, так

как этого всегда можно добиться, переходя к подпоследовательности.

Пусть, например, ¡к = 1 при всех к.

Учитывая, что система % = асимптотически устойчива, убеждаемся, что последовательность {£А] не может неограниченно возрастать, ибо в противном случае в силу ограниченности последовательности {ЖдЗ было бы

Цш!^,^) = = О Е дМ'Б1

но точка 0, являясь внутренней точкой множества не может принадлежать его границе.

Обозначим через предел

последовательности а через хи предел

последовательности [д-^ ]. Множество Мд замкнуто, и потому х0 С . а так как при любом к ^ ^ то и Ь0 > 3. Учитывая непрерывность по начальным данным решений линейной системы с постоянными коэффициентами, получим

Но это как раз и означает, что £

Далее, поскольку оператор ограничен и непрерывен, то при отображении он границу множества-прообраза переводит в границу множества-образа. Отсюда граница

дМ$ множества М^ при отображении А±

перейдет в границу

Й

множества

. Но по условию

«О Е дМ'&,

и поскольку, как показано выше,

то

X,

е 0А*°>

£а > £ и некоторый номер £ £ (1, что

л

Но это невозможно, поскольку

у!

и непрерывный ограниченный оператор при отображении границу множества переводит в границу.

Если точка € и для некоторого целого £ существуют наборы чисел ¿1г . ..г ¿г и

е (1.....ЛО- / = 1, 2,..., I,

такие, что имеют место £ соотношений

= ^ е

то будем говорить, что точка д;а имеет £ образов.

Пусть любая точка лсд € Мд имеет не более чем один образ. Обозначим через множество точек, имеющих ровно один образ, и покажем, что Н\ замкнуто.

Выберем в Н± произвольную последовательность {[хй]. Она ограничена, и, следовательно, можно считать, что дг^—►д'о при к со. Поскольку хк имеет один образ, то при любом к точке хк можно поставить в соответствие числа ¿¡^ & (1.г ЛГ) и tk^.3 такие, что

= 4 е Щ'

Но параметр I принимает конечное число значений, и, следовательно, для некоторого IЕ (1, из последовательностей Гдгп, ] и 1 можно выделить

подпоследовательности

и

такие, что

О ^

Таким образом, при отображении Л^ точка Хд принадлежит границе множества-образа, и следовательно, точка дга должна принадлежать границе множества-прообраза, т.е. множеству

Из приведенных рассуждений непосредственно вытекает, что прообразы точки дг£ либо принадлежат множеству либо

вообще не принадлежат множеству Мд.

Действительно, все операторы А\, I = 1, 2,..., А', ¿г > и. непрерывны и ограничены, и потому, если бы существовала точка , являющаяся прообразом точки Я -, то для неё нашлись бы конечный момент

Учитывая, что последовательность {тй ] ограничена, и потому ее можно считать сходящейся к То ^ и что оператор Л|г(д") ограничен и непрерывен, получим

= 11ш = = Е ам>5.

Это означает, что точка д-ц. являясь произвольной предельной точкой множества Н\, также имеет один образ и, следовательно, принадлежит этому множеству, что и доказывает его замкнутость.

Если все точки множества имеют не более чем один образ, то

= Л-, > 0,

Пусть это не так. Тогда в силу замкнутости множеств и /¿(№¿3 у них найдется хотя бы одна общая точка Яд. Поскольку ас0 £ Н-1, то она имеет в качестве образа некоторую точку £ дМ^.

С другой стороны, точка

£ ЭМ(

и, следовательно, по дока-

занному выше, имеет хотя бы один прообраз Е Таким образом, точка очевидно, имеет два образа, что противоречит предположению о наличии у точек множества не более чем одного образа. Полученное противоречие показывает, что два замкнутых множества Н\ и /¿(М^) не могут иметь общих точек, и потому расстояние между ними не может быть равным нулю. Откуда и следует существование положительного удовлетворяющего требуемому соотношению.

Аналогично рассуждая, можно показать, что если все точки множества Мд имеют не более чем К образов, то

где через Нк с обозначено множество точек, имеющих ровно К образов.

Обозначим через Тц открытое множество, содержащее множество и

такое, что

Покажем, что множество Г» _ ы*

не содержит точек, имеющих К образов. Представим границу множества М' в виде ёМ( = М* и М",

где

Г = дМ' П дТк,

м** = вм' п ам$.

Выберем произвольную точку дт^ЕМ*. Если д:с имеет хотя бы один образ х'0 Е дМ то либо дгц £ М*, либо М** Рассмотрим обе эти возможности.

силу самого выбора

Поскольку, в множества

то не может принадлежать Но не может принадлежать и множеству Ммм, так как д;с есть внутренняя точка множества Мд, и при любом непрерывном отображении ЛК^о) = *0' г: = 1,2, • • • Ь > 3, она должна оставаться внутренней точкой множества Мд, т. е. Л'с не может принадлежать .

Таким образом, если х0 Е М*, то ;гс не имеет ни одного образа в М'.

Пусть теперь яг^ £ М**. В силу выбора множества Т^ точка д:с не имеет ни одного образа, принадлежащего М:Н. так как

Но на множестве М** точка д:с не может иметь К образов, так как в противном случае она была бы включена в множество которое по построению не принадлежит множеству М'.

Таким образом, все точки множества дМ1 не могут иметь более ЛГ — 1 образов.

Повторяя эти рассуждения для множества Мт, получим, исключив из него некоторое открытое множество Т^-1, новое замкнутое множество все точки которого имеют уже не более К — 2 образов.

Продолжая этот процесс, не более чем за К шагов мы построим замкнутое ограниченное множество

к

«Л = и 71.

¡=1

все точки которого не имеют ни одного образа.

Выше мы показали, что если

то на границе множества существуют точки, имеющие хотя бы по одному образу. Но построенное нами множество М$ заведомо не имеет таких точек, и, следовательно, для него должно выполняться неравенство

Отсюда заключаем, что построенное множество удовлетворяет условию 3.

Отметим, что на каждом из К шагов множество 2у I = 1, 2,... , К, можно выбирать так, чтобы оставшееся множество удовлетворяло условию 2. Например, для множества достаточно потребовать, чтобы для любого зг5 е М® отрезок [0,д"(}] принадлежал множеству М' и не имел других общих точек с

М*.

Таким образом, множества 7"г. 1 = 1, 2,... , К, можно выбрать так, что построенное выше множество будет удовлетворять всем требованиям настоящего утверждения.

Для завершения доказательства этой части утверждения нам осталось только

показать, что если система (1) асимптотически устойчива равномерно по 11$. то для множества Мд, удовлетворяющего требованиям утверждения 1 и 2, существует такое конечное К, что все точки множества ЗМд будут иметь не более К образов.

Предположим, что такого К не существует. Тогда из множества ЗМд можно выделить последовательность {уД обладающую таким свойством, что точка уу имеет меньше образов, чем точка / = 1,

2,...

Поскольку множество ограничено, то

последовательность {уД без нарушения общности, можно считать сходящейся к некоторой точке дга. Покажем, что точка д;с не может иметь конечного числа образов.

Обозначим через у^ к -й образ точки у,-, ¡=1, 2,.... Положим к = 1. Тогда по определению образа для каждого / = 1, 2,... найдутся такие £ £ 4

Параметр принимает конечное число значений, а последовательность как отмечалось выше, ограничена, следовательно, из можно извлечь подпоследовательность (у^"}

уЬ } будет

I и > 3, что

I У} ~ Хч

V1 АтЧх >71'№

такую, что последовательность сходиться к некоторому пределу последовательность будет сходиться к т-^ > 3, а параметр ¿^ будет иметь одно и то же значение I £ (1,... сразу для всех / = 1, 2,... .

Поскольку оператор ограничен и

непрерывен, то для любого г > 0 найдутся у > Ои/о такие, что при всех / > будет

К Г, ¡У) < г.

Но по построению последовательность {УдЗ сходится к точке х^ откуда следует, что

*1 = Чуточка же являясь предельной точкой последовательности {г'Д}. принадлежащей замкнутому ограниченному множеству сама принадлежит этому множеству, а это означает, что точка зв^ является образом точки д:с.

Повторяя все рассуждения для последовательности {уД), построим точку £ ЭМ^. являющуюся вторым образом точки

Эту процедуру можно повторить любое конечное число раз, что и доказывает наличие у точки дгс бесконечного числа образов.

Таким образом, если указанного К не существует, то обязательно найдется точка , имеющая неограниченное число образов. Но последнее означает, что при некотором и £ решение системы (1), начинающееся в точке Д'о £! ЭМ^ не может асимптотически приближаться к нулю, так как сМИд отделено от нуля. Ясно, что это противоречит предположению об асимптотической устойчивости системы (1) равномерной по и$.

Полученное противоречие показывает, что если система (1) асимптотически устойчива равномерно по Уд, то существует такое К < оо , что все точки множества ЭМ^ имеют не более К образов. Но тогда, пользуясь описанным выше способом, за конечное число шагов из множества М^ можно выде-лить подмножество, удовлетворяющее всем требованиям утверждения для выбранного £?. Замечанием о произвольности выбора 5 > 0 и завершается доказательство необходимости условий утверждения.

Достаточность. Зададимся произвольным 3>0. По предположению, для выбранного й найдется множество удовлетворяющее условиям 1-3 утверждения. Без нарушения общности, можно считать, что множество М$ содержит единичный шар с центром в точке 0. Выберем произвольное управление и о £ и покажем, что при система 1 асимптотически устойчива.

Пусть

О = £0 < ^ < ■■■ - последовательность точек разрыва функции Каждому интервалу [£.■-!,£,■], / = 1, 2, ..., поставим в соответствие числа г, и ур

определяемые соотношением % ~ ^ _ ^ *>

13-+ 1

< 3 <

■ = У г

Зададимся произвольным моментом £ > 0. Тогда найдется такой номер к = 1, 2,..., что t £ [¿1,^] Если t — tk > Зло для интервала [£к>£] определим числа г(4) и неравенствами

+ 1

< 3 ^—гт1^

Нетрудно проверить, что в этом случае при для любого решения системы 1, начинающегося при в точке х0 С М^

будет справедлива оценка

|х0 1<

где величины £ (1,,Щ, / = 1, 2,.... определяются выбором управления Ыц, а Ь = так II х II.

, то получим следующую

Если же t — \x(t)

оценку: к

jCf-tk)

J=1

lx0 Н< С

Л-л

ID/

где

С = шах

,Ait

При получении двух последних оценок использованы линейность системы (1), условие 3 и тот факт, что если х £ Я^ц, то

Объединяя полученные оценки, окончательно находим, что при u = icq для любого решения x(t) системы (1), начинающегося при t = tQ в точке дг0 £ М6, имеет место оценка

II jc(t) II < D II II q™

где D - достаточно большая постоянная, а через Г(£) обозначена целочисленная возрастающая функция, такая, что Г(£) -э м при t -* со. Из этой оценки, так как g £ (0,1), сразу следует, что -J 0 при t -s оо.

Учитывая произвольность выбора 3 > 0 и Wq £ U$, убеждаемся, что при выполнении условий утверждения система (1) будет асимптотически устойчивой равномерно по

И*

Из оценок, полученных в доказательстве утверждения 3, следует, что если система (1) асимптотически устойчива равномерно по U$, то для любого 3 > 0 найдутся величины а;(й> 0 и bf (3) > 0, I = 1, 2,... такие, что при « £ Ug для любого решения х(£) системы (1), начинающегося

при £ = в точке Хщ, будет выполняться оценка

II ха II ^(й)*?-^5^-^ <

<1 х(0 |<|х„ ||

Действительно, справедливость нижней оценки следует из ограниченности снизу всех собственных чисел матриц Л;, 1 = 1, 2а справедливость верхней оценки следует из доказанного выше факта, что || х(&) II ограничена сверху геометрической прогрессией со знаменателем меньшим единицы. Но для такой прогрессии всегда можно подобрать экспоненту, которая имела бы меньшую скорость убывания.

Пользуясь методом функций Ляпунова, получим новые необходимые и достаточные условия устойчивости системы (1) равномерной по . Отметим, что доказываемые в этом пункте утверждения фактически являются следствием утверждений 1, 2 и 3.

Утверждение 4. Для того чтобы система (1) была устойчивой равномерно по {}$, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовала непрерывная функция

, удовлетворяющая следующим требованиям: (дО - положительно определённая функция, = 0; для достаточно малого

С\ > 0 существует гх > 0 такое, что при II х II > с± будет у&^х) > сг; для любых £ £ (1.,.,., Л/}, хв, и £ > + Л

Щ&а) >

Доказательство

Необходимость. Пусть система (1) устойчива равномерно по Выберем

произвольное й > 0. По утверждению 1 для выбранного 5 найдется ограниченное замкнутое множество М$, содержащее в качестве своей внутренней точки точку ноль, и такое, что

Границу этого множества, как и раньше, будем обозначать через дМ$

Выберем непрерывную строго возрастающую на [0, со) функцию с(0) =0, и построим функцию 17д-(х). положив

Потребуем дополнительно, чтобы множество удовлетворяло требованиям утверждения 2. Тогда построенная функция будет непрерывной положительно определенной и (0) = 0, т.е. уд будет удовлетворять условию 1.

Покажем, что она удовлетворяет условию 2. С этой целью зададимся достаточно малым с± > 0 и подберём такое чтобы было

х\\<

Положим

сг =

Тогда, в силу строгого возрастания функции при || х II > <4 обязательно будет

что и доказывает наше утверждение.

Наконец, по утверждению 1,

?б(Мб) С М6>

что, в силу монотонности функции и

показывает, что удовлетворяет условию 3.

Учитывая произвольность выбора

, убеждаемся в необходимости условий утверждения.

Достаточность. Зафиксируем произвольное 5 > 0, и пусть ??д - функция, удовлетворяющая требованиям 2-3. Положим

В силу 2 || х ||< Сщ при х Е Мд, т.е. множество ограничено. Учитывая непрерывность, положительную определенность функции щ и тот факт, что (0) = 0, заключаем, что Мд замкнуто и содержит точку ноль в качестве своей внутренней точки. Наконец условие 3 означает, что

Л(Ма) с М5.

Таким образом, для любого й > О существует множество удовлетворяющее всем требованиям утверждения 1, что и доказывает равномерную по Уд устойчивость системы (1).

Утверждение 5. Для того чтобы система (1) была асимптотически устойчива равномерно по Е/д, необходимо и достаточно, чтобы для любого 5 > 0 существовала непрерывная функция (.г). удовлетворяющая следующим требованиям: положи-

тельно определенная однородная степени а > 0 функция, (0) = 0; для достаточно

малого с± > 0 существует г2 > 0 такое, что при || x |> с]_

Существует Л £ (ОД) такое, что для любых Ё Е (1,.,.,ЛГ), *И> £цИ С> + £

Доказател ьство

Необходимость. Пусть система (1) асимптотически устойчива равномерно по . Зададимся произвольным й > 0. По утверждению 3 для выбранного й найдутся ц Е (ОД) и множество удовлетворяющие всем её требованиям.

Выберем непрерывную строго возрастающую на [0, со) однородную степени а функцию с(0) = 0, и построим функ-

цию щ, положив

По предположению, система (1) является устойчивой равномерно по Цд, а построенная здесь функция уд ничем существенно не отличается от функции, построенной в доказательстве утверждения 4, следовательно, функция будет удовлетворять требованиям 1 и 2 настоящего утверждения.

По условию 3 утверждения 3

Это означает, что если в момент времени t,■i точка я:(} € ¡1 при некотором ц > 0. то О и £>£(}-)- 3 точка

при всех

^[(^л)^ принадлежит множеству Учитывая эти соотношения и строгую монотонность и однородность функции получим:

где

г

Но это и доказывает, что имеет место условие 3.

Учитывая произвольность выбора 5, убеждаемся в необходимости условий утверждения.

Достаточность. Зафиксируем произвольное й > 0, и пусть щ - функция, удовлетворяющая требованиям 1 - 3. Положим

Как и при доказательстве утверждения 4 показывается, что множество Мд удовлетворяет условию 1 утверждения 3.

Рассмотрим множество

где Н С (0/1) взято из 3. Учитывая однородность функции т?$ и полагая ц = Н1:а~. запишем Мд в виде

Откуда получим

M's =

По самому построению

M's с Ms,.

а в силу непрерывности функции vg. границы этих множеств не могут иметь общих точек, так как в противном случае в точках пересечения границ vj должна была бы принимать сразу два различных значения. Таким об-разом, М6 удовлетворяет условию 2 утверж-дения 3.

Наконец, в силу только что приведенных рассуждений, условие 3 означает, что если при t = tu точка д:с принадлежит множеству Ms, то при всех i е= (i,jy) и t > 4- 3 точка е^1-.*-д:|;} принадлежит множеству tjM^. Откуда сразу следует, что

TsiMs) С qMs.

Итак, для любого 3 > 0 существует множество Mg, удовлетворяющее всем требованиям утверждения 3, что и доказывает равномерную по U^ асимптотическую устойчивость системы (1).

Заключение

Новым в настоящей работе является теоретико-множественный подход к решению рассмотренной задачи. Сам по себе такой подход может представлять только теоретический интерес, но с его помощью удалось сформулировать необходимые и достаточные условия устойчивости и асимптотической устойчивости нулевого решения исследуемой системы на языке функций Ляпунова и значительно упростить доказательство справедливости приводимых утверждений.

Список литературы

1. Kulakov F., Alferov G.V., Efmova P. et. al. Modeling and Control Of Robot Manipulators With The Constraints At The Moving Objects // 2015 International Conference "Stability and Control Processes" in Memory of V.I. Zubov (SCP) 2015. С. 102-105.

2. Ефимова П.А., Кулаков Ф.М., Алферов Г.В. и др. Управление многозвенными ма-нипуляционными роботами при наличии связей у перемещаемых ими объектов // Устойчивость и процессы управления: матер. III междунар. конф. 2015. С. 121-122.

3. Ефимова П.А., Шиманчук Д.В. Моделирование движения космического манипуля-ционного робота // Проблемы механики и управления: Нелинейные динамические системы. 2014. № 46. С. 20-30.

4. Kulakov F., Alferov G., Efmova P. Methods of remote control over space robots // 2015 International Conference on Mechanics - Seventh Polyakhov's Reading 2015. С. 7106742.

5. Ефимова П.А. Кинематическая модель космического манипуляционного робота // Молодой ученый. 2015. № 6 (86). С. 1-7.

6. Efmova P., Shymanchuk D. Dynamic Model of Space Robot Manipulator // Applied Mathematical Sciences. 2015. Т. 9, № 96. С. 4653-4659.

7. Ефимова П.А. Динамическая модель космического манипуляционного робота // Процессы управления и устойчивость. 2015. Т. 2, № 1. С. 173-179.

8. Пичугин Ю.А., Малафеев О.А., Алферов Г.В. Оценивание параметров в задачах конструирования механизмов роботов-манипуляторов // Устойчивость и процессы управления: матер. III междунар. конф. 2015. С. 141-142.

9. Кулаков Ф.М., Алферов Г.В., Шарлай А.С. Кинематические модели манипуляцион-ных роботов // Потенциал современной науки, № 2, Липецк. С.38-41, апрель, 2014.

10. Кулаков Ф.М., Алферов Г.В. Модели манипуляторов для автоматизации сборочных операций // Современные инновации в науке и технике: сб. тр. 4-й науч.-практ. конф. Курск, 2014. Т. 2. С. 322-329.

11. Alferov G.V., Malafeyev O.A., Maltseva A.S. Programming The Robot In Tasks Of Inspection And Interception // 2015 International Conference on Mechanics - Seventh Polyak-hov's Reading. 2015. С. 7106713.

12. Кулаков Ф.М., Алферов Г.В. Математические модели гибкого робота // Проблемы механики и управления: Нелинейные ди-

намические системы. № 29. Пермь, 1995. С. 92-97.

13. Алферов Г.В., Кулаков Ф.М., Нечаев А.И.и др. Информационные системы виртуальной реальности в мехатронике и робототехнике: учеб. пособие. СПб.: Изд-во С-Петерб. ун-та, 2009. 168 с.

14. Шиманчук Д.В. Моделирование орбитального управляемого движения космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации L1 // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2010. № 3. С. 8692.

15. Шиманчук Д.В., Шмыров А.С. Построение траектории возвращения в окрестность коллинеарной точки либрации системы Солнце-Земля // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2013. № 2. С. 75-84.

16. Шиманчук Д.В. Об использовании колли-неарной точки либрации при решении задачи кометно-астероидной опасности // Молодой ученый. 2014. № 4. С. 43-46.

17. Кулаков Ф.М., Шмыров А.С., Шиманчук Д.В. Управление космическим роботом с использованием неустойчивой точки либрации // Мехатроника, автоматизация, управление. 2014. № 7. С. 23-28.

18. Поляхова Е.Н., Королёв В.С. Задачи управ-ления космическим аппаратом с солнечным парусом // Технические науки - от теории к практике. 2016. № 55. С. 1831.

19. Королёв В.С. Задачи моделирования многоимпульсных траекторий космических аппаратов // Устойчивость и процессы управления: матер. III междунар. конф. 2015. С. 127-128.

20. Korolev V., Pototskaya I. Problems Of Stability With Respect To A Part Of Variables // 2015 International Conference on Mechanics - Seventh Polyakhov's Reading 2015. С. 7106739.

21. Королев В.С., Потоцкая И.Ю. Условия устойчивости состояний движения // Инновации в науке. 2015. № 51-1. С. 29-43.

22. Королёв В.С. Вопросы устойчивости положений равновесия // Естественные и математические науки в современном мире. 2014. № 24. С. 13-20.

23. Королёв В.С. Устойчивость решений динамических систем по части переменных // Естественные и математические науки в современном мире. 2014. № 19. С. 14-22.

24. Королёв В.С. Задачи оптимального маневрирования космических аппаратов для инспектирования или обслуживания системы тел // Исследования наукограда. 2015. № 2 (12). С. 18-23.

25. Неверова Е.Г., Малафеев О.А., Алферов Г.В. Нелинейная модель управления антикоррупционными мероприятиями // Устойчивость и процессы управления: матер. III междунар. конф. 2015. С. 445-446.

26. Neverova E.G., Malafeyev O.A., Alferov G. V. et al. Model of Interaction Between Anticorruption Authorities And Corruption Groups // 2015 International Conference "Stability and Control Processes" in Memory of V.I. Zubov (SCP) 2015. С. 488-490.

27. Малафеев О.А., Рединских Н.Д., Алферов Г.В. Модель аукциона с коррупционной компонентой // Вестник Пермского университета. Сер: Математика. Механика. Информатика. 2015. № 1 (28). С. 30-34.

28. Демидова Д.А., Алферов Г.В., Колпак Е.П. и др. Нелинейный процесс взаимодействия между коррумпированной фирмой и отделом по борьбе с коррупцией // Проблемы механики и управления: Нелинейные динамические системы. 2015. № 47. С. 17-31.

29. Зубов В.И. Границы области асимптотической устойчивости. СПб: СПбГУ, 2007, 85 с.

30. Иванов Г.Г. К вопросу устойчивости линейно однородных систем с переключениями // Устойчивость и процессы управления: матер. III междунар. конф. 2015. С. 33-34.

31. Ivanov G.G., Sharlay A.S. On Stability of Linear Homogeneous Switched Systems // 2015 International Conference "Stability and Control Processes" in Memory of V.I. Zubov (SCP) 2015. С. 13-15.

32. Шпилевая О.Я., Котов К.Ю. Переключаемые системы: устойчивость и проектирование (обзор) // Автометрия. 2008. Т. 44. № 5. С. 71-87.

33. Vassilyev S.N., Kosov A.A., Malikov A.I. Stability Analysis of Nonlinear Switched Systems via Reduction Method // IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline) 2011. С. 5718-5723.

34. Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: матер. XIII междунар. конф. (1-3 июня 2016 г., Москва) / под

ред. ВН. Тхай. М.: ИПУ РАН, 2016. 448 с.

Stability conditions for homogeneous linear switched systems

G. G. Ivanov, G. V. Alferov, P. A. Efimova

Saint Petersburg State University; 35, Universitetsky pr., Petergof, St. Petersburg, 198504, Russia alfe-rovgv@gmail.com; +7-921-906-60-42

In this paper, we consider the necessary and sufficient conditions for stability and Lyapunov asymptotic stability of the zero solution to the system of homogeneous linear differential equations for which the following is true: its right part takes a finite number of values, and the interval between any two adjacent switchings cannot be less than a positive number given in advance.

Keywords: switched systems; hybrid systems; hysteresis; control.