УСТОЙЧИВОСТЬ СЕЛЕКТОРНО-ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2017 Математика. Механика. Информатика Вып. 2(37)

МЕХАНИКА МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 517.977

Устойчивость селекторно-линейных дифференциальных включений

Г. Г. Иванов, Г. В. Алфёров, П. А. Ефимова

Санкт-Петербургский государственный университет

Россия, 198504, г. Санкт-Петербург, Петергоф, Университетский проспект, 35 alferovgv@gmail.com; +7-911-246-57-87

При моделировании многих реальных процессов анализ устойчивости систем с переключениями является важной задачей. В настоящей работе исследуется проблема устойчивости нулевого решения селекторно-линейного дифференциального включения (СЛДВ). Рассматриваются необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости по Ляпунову нулевого решения систем автоматического управления, которые содержат элементы с неполной информацией.

Ключевые слова: переключаемые системы; дифференциальные включения; релейная стабилизация; устойчивость; законы переключения.

DOI: 10.17072/1993-0550-2017-2-25-30

Введение

Прежде всего стоит отметить, что при упрощении описания системы, когда динамические звенья заменяются функциональными преобразователями, или при учете различного рода неидеальностей, нестацио-нарностей и т.д., возникает недоопределен-ность в описании системы. Это приводит к необходимости при исследовании устойчивости систем автоматического управления, содержащих элементы с неполной информацией, рассматривать не одну систему, а совокупность систем дифференциальных уравнений, содержащих функциональные параметры, которые могут произвольно изменяться в заданных пределах. Для описания таких систем используют дифференциальные включения [1].

© Иванов Г.Г., Алфёров Г.В., Ефимова П.А., 2017

Ряд интересных случаев, например таких, как проблема абсолютной устойчивости управляемых систем или исследование линейных нестационарных моделей x = A(t ) x,

где матрица A(t) удовлетворяет поэлементно неравенству

а< A(t ) < р,

описывается линейными дифференциальными включениями. Этим и объясняется интерес к задаче устойчивости линейных параметрически возмущенных систем.

В работе рассматривается вопрос об устойчивости нулевого решения селекторно-линейного дифференциального включения

x g R( x) = œm\jki Akx )

где Ak - Гурвицевы матрицы размерности n x n.

А.Ф. Филиппов [2] показал, что если решение x = 0 этого дифференциального

включения асимптотически устойчиво, то оно является экспоненциально устойчивым. А.М. Мейлахс [3], в свою очередь, доказал, что асимптотическая устойчивость рассматриваемого включения влечет за собой существование функции v(х), которая будет являться функцией Ляпунова, и определил аналитический вид этой функции. Опираясь на результаты А.М. Мейлахса [3], А.П. Молчанов и Е.С. Пятницкий [4] установили, что для асимптотической устойчивости положения равновесия х = 0 дифференциального включения необходимо и достаточно, чтобы нашлось такое натуральное число m , число у > 0 и симметричные

матрицы Lj,..., Lm, что функция вида

m

v(х) = max хтLix

i=1

при всех х удовлетворяла соотношению dv(х) и и 2

max —< -у\\ х ,

yeR(*) Qy

х е R(х),

(1)

где через

dv( х)

ду

обозначена производная

где п -мерный вектор х характеризует отклонение системы от режима, предписанного целью управления, а через ^(х) обозначено множество допустимых скоростей. Для указанных выше задач множество R(x) при каждом х представляет собой многогранник вида

I N

R(х) = conv I У Ak

\

х

Kk=1

(2)

функции v(х) по направлению у .

При исследовании вопроса устойчивости селекторно-линейного дифференциального включения мы будем опираться на эти результаты.

1. Предварительные замечания

При исследовании устойчивости систем автоматического управления, содержащих элементы с неполной информацией, приходится рассматривать не одну систему, а совокупность систем дифференциальных уравнений, содержащих функциональные параметры, которые могут произвольно изменяться в заданных пределах. Подобная ситуация возникает в известной проблеме абсолютной устойчивости управляемых систем, при исследовании линейных нестационарных моделей X = А^) х,

где матрица А (0 удовлетворяет поэлементно неравенству

а< А($) < р,

и т. д.

Для описания систем, содержащих элементы с неполной информацией [5-33], используют дифференциальные включения

Дифференциальные включения (1), где R( х) имеет вид (2), будем называть селекторно-линейными, поскольку многозначное отображение R( х) в (2) представляет собой объединение линейных однозначных отображений (селекторов).

Под решением включения (1), как обычно принято, будем понимать абсолютно непрерывную функцию х^), удовлетворяющую соотношению

х е R(x(t)),

почти всюду на рассматриваемом интервале.

Задача состоит в исследовании асимптотической устойчивости нулевого решения х^) = 0 включения (1).

Решение х = 0 включения (1) назовем устойчивым, если для каждого £ > 0 существует такое 5 > 0, что для любого х0,

для которого ||х0|| < 5, каждое решение ~(t) с

начальным условием х 0) = х0 существует

при t > 10 и удовлетворяет неравенству

||~(0|| < £.

В определении асимптотической устойчивости помимо устойчивости дополнительно требуется, чтобы ~ ^ 0 при t .

В дальнейшем будем предполагать, что все матрицы Ак в выражении (2) являются

Гурвицевыми, поскольку очевидно, что это условие необходимо для асимптотической устойчивости нулевого решения (1).

2. Условия устойчивости

Прежде чем приступать к исследованию устойчивости нулевого решения автономного селекторно-линейного дифференциального включения (1), докажем вспомогательное

утверждение, в формулировке которого через 2 (х) обозначена матрица размерности N х п, k -я строка которой определяется равенством

^ (х) = (АхУ

k = 1,2, ..., N.

Лемма. Если для любого х е £ = {х :||х|| = 1} существует п -мерный вектор у (х) е £ такой, что

2 (х)у(х) < 0, х • у(х) > 0,

то существуют 5 > 0 и положительно определенная однородная функция v( х) такие, что

— v(х) < -51 х||2, —г 1111

где производная берется в силу любой из систем

х = Акх, k = 1,2,..., N.

Доказательство. Выберем произвольную точку х0 е £ и построим множество

М(х0) = {у :2(х0)у < 0, х0 • у > 0, у е £}. В множестве М (х0) выберем некоторую точку у0. Поскольку М (х0) , очевидно, открыто, то этому множеству точка у0

принадлежит вместе с некоторой своей окрестностью.

Воспользовавшись тем, что любые точки х е £ и у е £ можно представить в виде

х = х0 + Ах, у = у0 + Ду,

получим систему равенств

2 (х)у = 2 (х0) у 0 + 2 (Ах) у0 + 2 (х)Ду, х • у = х0 • у0 + Ах • у0 + х • Ду. По построению

2 (х0)у0 < 0 х0 • у0 > 0,

откуда, в силу (3) и того факта, что у0 является внутренней точкой множества М (х0) , следует существование постоянных у > 0 и в > 0 таких, что для любого

х еГ(^

Г(х0) = {х : ||х - х0|| < у, х е £}, и для любого у е 0(х0),

©(х0) = {у :|у-х4 <в, у е £},

будет 2(х)у < 0, х • у > 0.

(3)

Это означает, что множество 0(y0) принадлежит каждому из множеств

M(х) при x еГ(x0), т.е.

0(Уо) с ПM(X).

хеГ( хо)

Повторяя аналогичные рассуждения, каждой точке х е S можно поставить в соответствие некоторую окрестность Г(х) с S . Ясно, что совокупность окрестностей Г(х), х е S, образует открытое покрытие множества S , из которого, в силу компактности сферы, можно извлечь конечное подпокрытие

Г( х,),..., Г( хт ).

Без нарушения общности можно считать, что выбранное подпокрытие минимально, т.е. из него уже нельзя выбросить ни одного из множеств Г(х■), j = 1,2,.,m.

Ясно, что множества Г( х■) могут

попарно пересекаться. Поэтому выберем из каждого Г(хj) некоторое открытое подмножество Г'(хj) таким образом, чтобы при

j1 * j2

Г'(хл) ^Г'(х;-2) = 0

и чтобы замкнутые множества Г'(хj), j = 1,2,..., m. образовывали покрытие множества S .

Отметим, что описанная выше процедура построения множества Г(х) каждому множеству Г(х ■) ставит в соответствие некоторое множество 0( y j), j = 1,2,..., m.

Зададим на Г'( х}-) произвольную непрерывную вектор-функцию

Pj (х): Г'(х;) ^0(y}.), j = 1,2,...,m.

Несомненно, окрестности Г( х■) и 0(y j) можно всегда выбрать такими, что найдется набор положительных чисел ö1,.,öm, для которых при любом х е Г(хt)

будет

2(х)p} (х) < -öj < -ö, j = 1,2,., m,

где

ö = min ö ■.

je{1,...,m} 1

На границы множеств Г'(х:) функции p:

Z(х)у(х) < 0, х • у(х) > 0.

(4)

продолжим по непрерывности.

Таким образом, на сфере

S

мы

построили вектор-функцию х £ S, то положим

p(х). Если

p( х) = I\х\р

( \ х

VI х У

был

Поскольку выбор функций Pj

произвольным, то можно потребовать, чтобы эти функции удовлетворяли условиям

со}- л dюJ = 0, х е Г'(х;.), у = 1,...,т, где = pjdx - дифференциальная 1-форма, а —с- ее внешняя производная.

Согласно теореме Фробениуса, построенная выше вектор-функция р( х) определяет

в пространстве Rn вполне интегрируемое поле гиперплоскостей и, следовательно, существует функция v(х), для которой вектор-функция р( х) является градиентом.

Условие х • р(х) < 0 при х ^ 0 означает, что однородная функция v( х) является положительно определенной, а условие Z (х)р(х) <-5 при х е ^, в силу выбора функции р(х) и линейности по х коэффициентов матрицы X (х) , влечет за собой выполнение соотношения

-—v(х) < —5||х||2, —И 1111

где производная берется в силу любой из систем

х = Акх, к = 1,.,N.

3. Устойчивость решения СЛДВ

Перейдем теперь к исследованию вопроса об асимптотической устойчивости тривиального решения х = 0 автономного селекторно-линейного дифференциального включения (1).

Теорема. Для того чтобы нулевое решение х = 0 селекторно-линейного дифференциального включения (1) было асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы для любого х е S существовал п -мерный вектор у (х) е S такой, что

Доказател ьство

Необходимость. Пусть решение х = 0 СЛДВ вида (1) асимптотически устойчиво. Тогда, как следует из работ А.М. Мейлахса, А.П. Молчанова и Е.С. Пятницкого, существуют натуральное число m , положительное 5 и симметричные n х n матрицы Li, i = 1,2,..., m , такие, что функция

v(х) = max хт L-х

ie{1,2,.,m}

является положительно определенной квадратичной формой и имеет производную в силу включения (1) w( х), удовлетворяющую оценке

w(х) < -5 х

(5)

Очевидно, что если оценка (5) справедлива для производной функции v(х) , взятой в силу дифференциального включения (1), то она будет справедлива и для производной функции v(х), взятой в силу любой из систем

х = Акх, к = 1,2,.,N.

Отсюда и из того факта, что v( х) есть квадратичная форма, заключаем, что имеют место неравенства (4).

Достаточность. Если имеют место неравенства (4), то из леммы следует существование положительно определенной функции v(х) и 5 > 0 таких, что производная функции v( х) в силу любой из систем х = Акх, к = 1,2,.,N

не превышает величины — 5||х|| . Но тогда, очевидно, и

II 1|2

м>(х) < — 5 х .

откуда заключаем, что нулевое решение СЛДВ (1) асимптотически устойчиво.

Заключение

В данной работе рассмотрен вопрос об устойчивости параметрически возмущенных линейных систем. Мы показали, что вопрос об устойчивости нулевого решения селектор-

2

но-линейного дифференциального включения сводится к вопросу о разрешимости системы алгебраических неравенств, коэффициенты которых однозначно определяются коэффициентами исходного дифференциального включения.

Список литературы

1. Иванов Г.Г., Алфёров Г.В., Ефимова П.А. условия устойчивости линейных однородных систем с переключениями // Вестник Пермского университета. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2016. № 3 (34). С. 37-48.

2. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

3. Мейлакс А.М. О стабилизации линейных управляемых систем в условиях неопределенности // Автоматика и телемеха-ника. 1975. № 2. С.182-189.

4. Молчанов А.П., Пятницкий Е.С. Функции Ляпунова, определяющие необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем управления // Автоматика и телемеханика. 1986. № 4. С. 5-15.

5. Kulakov F., Alferov G.V., Efmova P. et al. Modeling and Control of Robot Manipulators With The Constraints At The Moving Objects // 2015 International Conference "Stability and Control Processes" in Memory of V.I. Zubov (SCP) 2015. P. 102-105.

6. Ефимова П.А., Кулаков Ф.М., Алфёров Г.В. и др. Управление многозвенными ма-нипуляционными роботами при наличии связей у перемещаемых ими объектов // Устойчивость и процессы управления: Материалы III междунар. конф. 2015. С. 121-122.

7. Ефимова П.А., Шиманчук Д.В. Моделирование движения космического манипуля-ционного робота // Проблемы механики и управления: Нелинейные динамические системы. 2014. № 46. С. 20-30.

8. Kulakov F., Alferov G., Efmova P. Methods of remote control over space robots // 2015 International Conference on Mechanics - Seventh Polyakhov's Reading 2015. P. 7106742.

9. Ефимова П.А. Кинематическая модель космического манипуляционного робота // Молодой ученый. 2015. № 6 (86). С. 1-7.

10. Efmova P., Shymanchuk D. Dynamic Model of Space Robot Manipulator // Applied Mathematical Sciences. 2015. Т. 9, № 96. P. 4653-4659.

11. Ефимова П.А. Динамическая модель космического манипуляционного робота // Процессы управления и устойчивость. 2015. Т. 2, № 1. С. 173-179.

12. Пичугин Ю.А., Малафеев О.А., Алфёров Г.В. Оценивание параметров в задачах конструирования механизмов роботов-манипуляторов // Устойчивость и процессы управления: Материалы III междунар. конф.2015. С. 141-142.

13. Кулаков Ф.М., Алфёров Г.В., Шарлай А.С. Кинематические модели манипуляцион-ных роботов // Потенциал современной науки. Липецк. 2014. № 2. С. 38-41.

14. Кулаков Ф.М., Алфёров Г.В. Модели манипуляторов для автоматизации сборочных операций // Современные инновации в науке и технике / Сб. тр. 4-й науч.-практ. конф. Курск, 2014. Т. 2. С. 322329.

15. Alferov G.V., Malafeyev O.A., Maltseva A.S. Programming The Robot In Tasks Of Inspection And Interception // 2015 International Conference on Mechanics - Seventh Polyak-hov's Reading 2015. P. 7106713.

16. Кулаков Ф.М., Алфёров Г.В. Математические модели гибкого робота // Проблемы механики и управления: Нелинейные динамические системы. Пермь, 1995. № 29. С. 92-97.

17. Алфёров Г.В., Кулаков Ф.М., Нечаев А.И. и др. Информационные системы виртуальной реальности в мехатронике и робототехнике: учеб. пособие. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2009. 168 с.

18. Шиманчук Д.В. Моделирование орбитального управляемого движения космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации L1 // Вестник Санкт-Петер-бургского университета. Серия 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2010. № 3. С. 8692.

19. Шиманчук Д.В., Шмыров А.С. Построение траектории возвращения в окрестность коллинеарной точки либрации системы Солнце-Земля // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10. При-

кладная математика. Информатика. Процессы управления. 2013. № 2. С. 75-84.

20. Шиманчук Д.В. Об использовании колли-неарной точки либрации при решении задачи кометно-астероидной опасности // Молодой ученый. 2014. № 4. С. 43-46.

21. Кулаков Ф.М., Шмыров А.С., Шиманчук Д.В. Управление космическим роботом с использованием неустойчивой точки либрации // Мехатроника, автоматизация, управление. 2014. № 7. С. 23-28.

22. Korolev V., Pototskaya I. Problems Of Stability With Respect To A Part Of Variables // 2015 International Conference on Mechanics - Seventh Polyakhov's Reading 2015. P. 7106739.

23. Королёв В.С., Потоцкая И.Ю. Условия устойчивости состояний движения // Инновации в науке. 2015. № 51-1. С. 29-43.

24. Королёв В.С. Вопросы устойчивости положений равновесия // Естественные и математические науки в современном мире.

2014. № 24. С. 13-20.

25. Королёв В.С. Устойчивость решений динамических систем по части переменных // Естественные и математические науки в современном мире. 2014. № 19. С. 14-22.

26. Королёв В.С. Задачи оптимального маневрирования космических аппаратов для инспектирования или обслуживания системы тел // Исследования наукограда.

2015. № 2 (12). С. 18-23.

27. Неверова Е.Г., Малафеев О.А., Алфёров Г.В. Нелинейная модель управления антикоррупционными мероприятиями // Ус-

тойчивость и процессы управления: Материалы III междунар. конф. 2015. С. 445446.

28. Neverova E.G., Malafeyev O.A., Alferov G. V. et al. Model of Interaction Between Anticorruption Authorities And Corruption Groups // 2015 International Conference "Stability and Control Processes" in Memory of V.I. Zubov (SCP) 2015. P. 488-490.

29. Малафеев О.А., Рединских Н.Д., Алфёров Г.В. Модель аукциона с коррупционной компонентой // Вестник Пермского университета. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2015. № 1 (28). С. 30-34.

30. Демидова Д.А., Алфёров Г.В., Колпак Е.П. и др. Нелинейный процесс взаимодействия между коррумпированной фирмой и отделом по борьбе с коррупцией // Проблемы механики и управления: Нелинейные динамические системы. 2015. № 47. С. 17-31.

31. Зубов В.И. Границы области асимптотической устойчивости. СПб.: СПбГУ, 2007. 85 с.

32. Иванов Г.Г. К вопросу устойчивости линейно однородных систем с переключениями // Устойчивость и процессы управления: Материалы III междунар. конф. 2015. С. 33-34.

33. Ivanov G.G., Sharlay A.S. On Stability of Linear Homogeneous Switched Systems // 2015 International Conference "Stability and Control Processes" in Memory of V.I. Zubov (SCP) 2015. P. 13-15.

Stability of Selector-Linear Differential Inclusions

G. G. Ivanov, G. V. Alferov, P. A. Efimova

Saint Petersburg State University; 7/9, Universitetskaya naberezhnaya, St. Petersburg, 199034, Russia alferovgv@gmail.com ; +7-911-246-57-87

In this paper, we study the problem of stability of the zero solution of a selector-linear differential inclusion.

Keywords: switched systems; differential inclusions; relay stabilization; stability; switching laws.