Условия разрешимости одной переопределенной сингулярной краевой задачи для функционально- дифференциального уравнения первого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Плаксина И.М. Условия разрешимости одной переопределенной сингулярной краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения первого порядка

4. Янушаускас А.И. К теории вырождающихся эллиптических уравнений // Сиб. матем. журн. - 1974. - Т.15. - № 6. - С. 1394-1405.

5. Янушаускас А.И. К теории эллиптических уравнений коэффициенты, которых при младших производных имеют особенности высокого порядка // Сиб. матем. журн. - 1976. - Т.17. - № 5. - С. 1177-1187.

Кибирев Владимир Васильевич - кандидат физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики Бурятского государственного университета, тел. (8301-2)217573, [email protected]

Kibirev Vladimir Vasilievich - candidate of physical and mathematical sciences, the professor of the applied mathematics department of the Buryat State University.

УДК 517.929 © И.М. Плаксина

УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННОЙ СИНГУЛЯРНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

В работе рассматриваются линейные функционально-дифференциальные уравнения, определенные на конечном отрезке и являющиеся сингулярными по независимой переменной. Сингулярность сосредоточена на концах отрезка и в конечном числе внутренних точек. Для таких уравнений получены условия нетеровости и фредгольмовости. Также получены эффективные условия разрешимости и однозначной разрешимости.

Ключевые слова: функционально-дифференциальные уравнения, сингулярные уравнения, фредгольмовость, нетеровость, разрешимость.

I.M. Plaksina

CONDITIONS OF SOLVABILITY OF ONE OVERDETERMINED SINGULAR BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR FIRST ORDER FUNCTIONAL DIFFERENTIAL EQUATION

This article discusses some problems for functional-differential equations with singularity of special type. Equation defined on the segment and singularity concentrated at the n+1 points in the segment. There are conditions of Fredholm property and effective conditions of solvability and unique solvability. Keywords: Functional differential equation, singular equation, Fredholm property, solvability.

1. Предварительные определения

Пусть Lp , 1 < p < ¥ - пространство суммируемых с p -й степенью

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2012/1

функций z: [ü;b]® R с нормой \z\L„ = I j|z(t)|p dt

p

ü J

Vp

; Dp - пространство

абсолютно непрерывных функций x: [ü;bR , производная которых является элементом пространства Lp , с нормой ||x|| =||x|| +|x(ü)| .

Пусть, далее, функция a: [ü;b]® R удовлетворяет следующим условиям: 1) lim ta(t) = k0, lim ta(t) = kf, j = 1,2,..., n -1, lim ta(t) = kn; 2)

t ®bü + i ®bj j t ®bn-ü

n k

функция a(t) = a(t) - V—j— суммируема на отрезке [ü,b]; 3) функция j=0t - bj

a(t) суммируема со степенью p на каждом отрезке ^ + ej,bj+1 -Ej+1J, ü = bü < b1 <... < bn = b , Ej > ü, j = ü,1,2,..., n -1. Таким образом, функция a(t) не суммируема на отрезке [ü,b] и терпит разрыв второго рода в точках bü,b1,...,bn. В качестве примера можно рассмотреть функцию a(t) = ctgt, tе [ü,pm], m - некоторое фиксированное натуральное число. Здесь bj =pj, kj = 1, j = ü,1,...,m .

Пусть, наконец, оператор T: Dp ® Lp вполне непрерывен. В качестве оператора T могут, например, рассматриваться операторы, определяющие сосредоточенное отклонение (Tqx) (t) = q(t) xg (t) или распре-

b

деленное отклонение аргумента (Trx) (t) = jx(s)dsr(t; s). Здесь q е Lp,

ü

i ,Л [nA] ,Л fx(g(t)), g(t) е [ü;b]

функция g(t) измерима на отрезке [ü;b], xg (t) = j ^ ^ ;

функция r(t;s) измерима в квадрате [ü;b]x[ü;b] и r(•;s)е Lp,

b

varr(•;s) е Lp , r(t;b) = ü. Эти условия гарантируют [1, стр. 56] полную

s=ü

непрерывность операторов Tq и Tr соответственно. Отметим, что приведенные условия обеспечивают произвольное отклонение аргумента. Частными случаями операторов Tq и T являются операторы, определяющиеся запаздывание: g(t) < t для оператора Tq и оператора Tr вида

t

(Trx) (t) = j x(s)dsr (t; s).

ü

Плаксина И.М. Условия разрешимости одной переопределенной сингулярной краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения первого порядка

2. Постановка задачи

Основным объектом исследования является полуоднородная краевая задача для сингулярного по независимой переменной функционально-дифференциального уравнения первого порядка

Краевую задачу (1)-(2) будем рассматривать как операторное уравне-

ние [С,!](х) = {/,0} , где [С,!]: Бр ® Ьр хЯ.п+\ [С,!](х) = со! {Сх, !х} . Так

как коэффициент а(г) не суммируем на отрезке [0,Ъ], то уравнение (1) является сингулярным по независимой переменной. Сингулярность сосредоточена в точках Ъ0,Ь1,...,Ъп. Так как уравнение (1) является уравнением первого порядка, а вектор-функционал !: Вр ® Яп+1 определяет п + 1 краевое условие, то задача (1)-(2) является переопределенной.

Необходимо подчеркнуть тот факт, что задача (1)-(2) рассматривается только при нулевых краевых условиях. Поэтому определим банахово подпространство пространства Бр функций, удовлетворяющих однородному условию (2). Теперь задачу (1)-(2) можно рассматривать как уравнение (1) в пространстве Бр .

Уравнения вида (1) в пространстве Бр встречаются при изучении периодических химических реакций. Практические задачи, при моделировании которых возникают сингулярные уравнения, приведены в монографии [2]. Уравнение (1) является обобщением некоторых из рассматриваемых [2] ситуаций.

В монографии [2] также приведен подробный библиографический список работ с начала ХХ века, в которых изучались сингулярные уравнения. Более поздняя библиография приведена в книге [1].

Основная идея исследования основана на результатах статьи [3], в которой рассматривалось уравнение с сингулярностью, сосредоточенной в точке г = 0 . В этой статье показано, что при Т ° 0 условия разрешимости сингулярного уравнения определяются асимптотикой коэффициента а(г) в точке г = 0 (числом к0). В статье [4] отмеченный результат обобщается на случай уравнения вида (1) при п =1 , 0 = Ъ0 < Ъ1 = Ъ . В предлагаемой работе уравнение (1) рассматривается при любом конечном значении п .

(Сх) (г) ° х(0 + а(г)х(г) + (Тх)(0 = /(г) 1х °со!{х(Ъ0),х(Ъ1),...,х(Ъп)} = 0

ге [0,Ъ] (1) (2)

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2012/1

3. Вспомогательные результаты

Положим и. = к. + -1, . = 0,1,...,п . Следуя [5], уравнение (1) будем

] . р

называть нетеровым, если оператор С: Юр ® И нормально разрешим и размерности ядра и коядра этого оператора конечны. Уравнение (1) фред-гольмово, если оно нетерово и размерность ядра оператора С совпадает с размерностью коядра. Свойства нетеровости и фредгольмовости важны для получения условий разрешимости уравнения (1). В работе [4] показано, что наличие (отсутствие) свойств нетеровости и фредгольмовости уравнения (1) при п = 1 определяется соотношением между числами к0, к1

1 / Р

и числом---, где р =-, а именно доказаны следующие утвержде-

Р Р -1

ния:

Утверждение 1. Пусть п = 1. Уравнение (1) в пространстве Юр нетерово тогда и только тогда, когда и0 Ф 0 и и1 Ф 0 . Индекс уравнения (1) равен 1 при и0 < 0, и1 < 0 . Уравнение (1) фредгольмово при и0 < 0, и1 > 0 и при и0 > 0 , и1 < 0 . Индекс уравнения (1) равен -1 при и0 > 0 , и1 > 0 .

Утверждение 2. Пусть п = 1, Т ° 0, и0 < 0, и1 > 0 Тогда уравнение (1) имеет единственное решение при любой правой части / е И, опреде-

* ^-к0' ь-1 Л-к

Ь -

п = 1, Т ° 0, и0 > 0, и1 < 0 уравнение (1) также однозначно разрешимо при любой правой части / е Ир и его решение имеет вид

5] I Ь - 5

ляемое равенством х(—) =-Ц— 1 | Ь—- I ехр<!-|5(ц)с1т]\/(5)С5 . При

*(0 = {^—^ ^] ехр|-{я/(5)С5 .

чество

4. Основной результат

Пусть п > 1. Рассмотрим последовательность и0,и1,...,ип. Определим пар (и.,и.+1), таких, что и. <0 , и.+1<0, и п- как коли-

пар (и.,и.+1), таких, что и.>0 , и.+1>0, у = 0,1,...,п -1.

п+ как количество

Теорема 1. Если ^и. Ф 0 , то оператор С нетеров индекса

.=0

Плаксина И.М. Условия разрешимости одной переопределенной сингулярной краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения первого порядка

Если ^ из = 0, то оператор С не является нормально разрешимым.

3=0

Доказательство. Пусть ^и з Ф 0 . Определим вспомогательный опе-

3=0

ратор 8: Бр ® Ьр вида

(8х)(г) = х(г) + и рассмотрим уравнение

I -Ь + )

V 3=о г — Ъ3

х(г) г е [0,Ъ]

(8х)(г) = /(г) г е [0, Ъ]

Очевидно, что ядро оператора 8 состоит из функций Х0(г),Х1(г),...,Хп—1(г), где каждая функция Х3 (г) при ге [0, Ъ] \ ^, Ъ]+1)

тождественно равна нулю, 3 = 0,1,...,п — 1, а при ге ,Ъз+1) является решением уравнения

(8,-х)(г) ° х(г) +

í + + а з (г) ^

г — Ъ Ъ,.+,— г 3

х(г) = 0.

з з+1 У

Если при некотором значении 3 = 0,1,...,п — 1 функция Хз(г) не явля-

ется элементом пространства Б0р, то положим Хз (г) ° 0 на всем отрезке

^Ъ].

п к 3—1 к п к

Здесь а0(г) = г" + ¿(0, а3(г) = I—V" + I —V" + ¿(0 при

i=2 г — Ъ1 1=0 г — Ъг 1=}+2 г — Ъг

п—2 к

3 = 1,2,..., п — 2 , а — 1(г) = I —1—+ а(г). Очевидно, что каждая функции п 1=0г—Ъ

(г) суммируема со степенью р на соответствующем отрезке |Ъз, Ъ3+1 |, 3 = 0,1,..., п — 1.

Размерность ядра (коядра) оператора 8 равна сумме размерностей

п—1

ядер (коядер) операторов 83, 3 = 0,1,...,п — 1. Поэтому тё8 = Iтё83 .

3=0

Индексы операторов 83- определяются в соответствии с утверждением 1, а именно при и3 >0 и и3+1>0 индекс оператора 83 равен —1; при и3- <0 и и3+1 <0 индекс оператора 83 равен 1, если и3 и и3+1 разных знаков, то индекс оператора 83 равен нулю. Таким образом, индекс оператора 8 равен П+ — V .

\

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012/1

В силу теоремы С.Г. Крейна [1, с. 13] свойство нетеровости оператора d устойчиво по отношению к вполне непрерывному возмущению T и при таком возмущении индекс оператора не меняется. Поэтому indL = v+ - v~ .

Отметим, что в случае, когда хотя бы одно из чисел Uj равно нулю, то соответствующий оператор 8j не является нормально разрешимым, следовательно, также не являются нормально разрешимыми оператор 8 и оператор L.

Теорема 2. Пусть v+ = V и однородное уравнение

(Lx) (t) = 0 t e[0, b]

имеет только тривиальное решение. Тогда уравнение (1) однозначно разрешимо при любой правой части.

Доказательство следует из теоремы 1.

5. Пример применения теоремы 1

k

Пусть a(t) = |--, b = pn , n - некоторое фиксированное натуральное

sin t

число. Положим b0 = 0, b1 = p,..., bn = b = pn . Рассмотрим уравнение

k

x(t) + ,-гx(t) + (Tx)(t) = f(t) t e [0,pn] (3)

sin t

Решение уравнения (3) будем искать в пространстве Dp функций x e Dp, удовлетворяющих дополнительным условиям x(bm) = 0, m = 0,1,...,n .

Теорема 4. Уравнение (3) нормально разрешимо тогда и только тогда,

когда \k\ Ф —f . Если \k\ < —f, то уравнение (3) нетерово и его индекс равен Р Р

-n . Если \k\ > —f, то уравнение (3) фредгольмово. Р

Доказательство. Рассмотрим вспомогательный оператор

k

8 : D0p ® Lp, определяемый равенством(81x)(t) = x(t) ^^--. x(t). Запи-

sin t

шем функцию a(t) в следующем виде:

n-1 f k -k Л

a(t) = -+ ~ - + o5m (t) Cm (t) (4)

v t -pm t -p(m +1) J

Плаксина И.М. Условия разрешимости одной переопределенной сингулярной краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения первого порядка

Здесь am (t) = T^Ä — ----—k . ч при t e [bm , bm+1 ] , и am (t) = 0

sin t t — pm t — p(m +1)

при t e [0, b] \ [bm, bm+1 ], m = 0,1,..., n . Нетрудно видеть, что функции am (t)

ограничены в существенном на отрезке [0,b] .

Из равенства (4) видно, что асимптотика функции a(t) вблизи точек сингулярности определяется чередующимися константами k и —k . Нера-1

венство k >—- гарантирует, что последовательность u0, u1,...,u окажет-P n

ся знакочередующейся, и тогда v+ = v~ = 0 . Неравенство Ikl < —f влечет

P

положительность чисел u0, u1,..., u , и тогда v+ = 0, v~ = n . Если |k| = — ,

n P

то хотя бы одно из чисел u0, u1,..., un обращается в нуль. Ссылка на теорему 1 завершает доказательство.

Литература

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. - М.: Институт компьютерных исследований, 2002. - 384 с.

2. Кигурадзе И.Т., Шехтер Б.Л. Сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Итоги науки и техники. Серия: Современные проблемы математики. Новейшие достижения. - 1987. - Т. 30. - С. 105-201.

3. Абдуллаев А. Р. О разрешимости задачи Коши для сингулярного уравнения второго порядка в критическом случае // Труды института прикладной математики им. И.М. Векуа. - 1990. - № 37. - С. 5-12.

4. Плаксина И. М. Условия однозначной разрешимости некоторых линейных сингулярных функционально-дифференциальных уравнений // Вестник Бурятского государственного университета. - 2011. - Вып. 9. -С. 149-155.

5. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. СПб.: Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2004. - 816 с.

6. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971.

Плаксина Ирина Михайловна - аспирант, Пермский национальный исследовательский политехнический университет. 614990, г. Пермь, Комсомольский

проспект, д. 29, тел. (8-902) 8320964, [email protected]

Plaksina Irina Mikhailovna - postgraduate student, Perm National Researching

Polytechnical University. 29, Komsomolsky prospect, Perm, 614990, phone

(8-902) 8320964, [email protected]