Необходимые условия знакопостоянства функции Грина некоторых краевых задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЗНАКОИОСТОЯНСТВА ФУНКЦИИ ГРИНА

НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

© В.П. Плаксина

Ключевые слова: функционально-дифференциальные уравнения; краевые задачи; функция Грина.

Сформулированы необходимые условия знакопостоянства функции Грина некоторых краевых задач для функционально-дифференциального уравнения второго порядка.

Пусть Ш2 — пространство абсолютно непрерывных функций, производная которых суммируема на отрезке [а, Ь]. Пусть, далее, функция р(£) суммируема на отрезке [а,Ь],

функция Н(і) непрерывна и разность Н(і) — і принимает значения одного знака, т. е. справедливо одно из неравенств Н(і) ^ і или Ь(і) ^ і, при этом мера множества і Є [а, Ь] , для которых Н(і) = а или Н(і) = Ь, равна нулю. Обозначим х^’Ь\і) = х[к(і)]аь(і), где аь(і) равняется 1 для Н(і) Є [а; Ь] или 0 в противном случае [1, 2].

Рассмотрим двухточечные краевые задачи:

Х(і) + р(і)х^’Ь\ї) = /(і) Х(а) = 0,х(Ь) = 0 і Є [а,Ь], (1)

Х(і)+р(і)х^’Ь\і) = /(і) х(а) = 0,Х(Ь) = 0 і Є [а,Ь], (2)

Х(і)+ р(і)х^’Ь\ї) = /(і) х(а) = 0,х(Ь) = 0 і Є [а,Ь]. (3)

Пусть а < а ^ в <Ь .Ъ пространстве Ш2 [а,Ь] рассмотрим вспомогательные задачи:

Х(і)+р(і)х^’в\і) = /(і) Х(а) = 0,х(в) = 0 і Є [а, в], (4)

Х(і)+ р(і)хаЬ\і) = /(і) х(а) = 0,Х(Ь) = 0 і Є [а,Ь], (5)

Х(і)+ р(і)х^’в\ї) = /(і) х(а) = 0,х(в) = 0 і Є [а, в], (6)

Х(і)+ р(і)х^’в\і) = /(і) х(а) = 0,Х(а) = 0 і Є [а, в], (7)

Х(і)+р(і)х^’в\і) = /(і) х(в) = 0, Х(в) = 0 і Є [а, в], (8)

Х(і)+ р(і)х^’в\і) = /(і) х(а) = 0,х(в) = 0 і Є [а, в], (9)

Х(і)+ р(і)х^’в\і) = /(і) х(а) = 0,х(Ь) = 0 і Є [а,Ь]. (10)

Теорема. Пусть задача (1) однозначно разрешима и ее функция Грина сохраняет знак. Тогда, для, всех в € (а, Ь) однозначно разрешима задача, (4) и для всех а, в € (а, Ь) однозначно разрешимы, задачи (6), (7), (8).

Пусть задача, (2) однозначно разрешима, и ее функция Грина сохраняет знак. Тогда, для, всех а € (а, Ь) однозначно разрешима задача, (5) и для вс ех а, в € (а, Ь) однозначно разрешимы задачи (6), (7), (8).

Пусть задача (3) однозначно разрешима и ее функция Грина сохраняет знак. Тогда, для, всех a G (a, b) однозначно разрешима, задача, (10), для всех в G (a,b) однозначно разрешима, задача, (9) и для вс ex а, в G (a, b) однозначно разрешимы задачи (7), (8).

ЛИТЕРАТУРА

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функциональнодифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Ип-т компьютерных исследований, 2002.

2. Домошницкий А.И. О взаимообусловленности знаков функций Грина двухточечных краевых задач // Краевые задачи. Межвуз.сб.научн.тр. Пермь: I II III. 1987. С. 15-20.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

Plaksina V.P. Necessary conditions of fixed sign of Green function of some boundary problems. Necessary conditions of fixed sign of Green function of some boundary value problems for functional differential equations of second order were obtained.

Key words: functional-differential equation; boundary value problem; Green function.

Плаксина Вера Павловна, Пермский государственный технический университет, г. Пермь, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, e-mail: [email protected].

УДК 517.929

К ВОПРОСУ О ФРЕДГОЛЬМОВОСТИ И РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ СИНГУЛЯРНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

© И.М. Плаксина

Ключевые слова: функционально-дифференциальное уравнение; сингулярное уравнение; краевая задача; фредгольмовость; разрешимость.

В работе рассматривается краевая задача для сингулярного по независимой переменной функционально-дифференциального уравнения первого порядка. Уравнение рассматривается на отрезке и имеет особенность, сосредоточенную в п точках. Для такой краевой задачи получены условия нетеровости, фредгольмовости. Обсуждаются условия разрешимости.

Пусть 0 = Ьо < Ь1 < ••• < Ьп = Ь. Пусть, далее, И — пространство абсолютно непрерывных функций х: [0,Ь] ^ М, производная которых принадлежит пространству Ьр , 1 < р < го , и которые удовлетворяют дополнительным условиям х(Ьо) = х(Ь{) = • •• = = х(Ьп) = 0 . Норма в пространстве И0 определяется равенством ||х||др = \\Х\\ьр ■

Рассмотрим сингулярное по независимой переменной функционально-дифференциальное уравнение первого порядка

(Сх)(Ь) = х(Ь)+Ь(Ь)х(Ь) + (Тх)(Ь) = /(Ь) Ь € [0,Ь]. (1)

п к ■

Здесь коэффициент Н(Ь) имеет вид Н(Ь) = ^ + а(Ь) , суммируемая на отрезке [0,Ь]

з=о т

функция а: [0,Ь] ^ М ограничена в существенном на каждом отрезке [Ь7 + е^, Ь7+1 — £7+1] ,