К вопросу о фредгольмовости и разрешимости одной сингулярной краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Пусть задача (3) однозначно разрешима и ее функция Грина сохраняет знак. Тогда, для, всех a G (a, b) однозначно разрешима, задача, (10), для всех в G (a,b) однозначно разрешима, задача, (9) и для вс ex а, в G (a, b) однозначно разрешимы задачи (7), (8).

ЛИТЕРАТУРА

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функциональнодифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Ин-т компьютерных исследований, 2002.

2. Домошницкий А.И. О взаимообусловленности знаков функций Грина двухточечных краевых задач // Краевые задачи. Межвуз.сб.научн.тр. Пермь: I II III. 1987. С. 15-20.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

Plaksina V.P. Necessary conditions of fixed sign of Green function of some boundary problems. Necessary conditions of fixed sign of Green function of some boundary value problems for functional differential equations of second order were obtained.

Key words: functional-differential equation; boundary value problem; Green function.

Плаксина Вера Павловна, Пермский государственный технический университет, г. Пермь, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, e-mail: vpplaksina@list.ru.

УДК 517.929

К ВОПРОСУ О ФРЕДГОЛЬМОВОСТИ И РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ СИНГУЛЯРНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ © И.М. Плаксина

Ключевые слова: функционально-дифференциальное уравнение; сингулярное уравнение; краевая задача; фредгольмовость; разрешимость.

В работе рассматривается краевая задача для сингулярного по независимой переменной функционально-дифференциального уравнения первого порядка. Уравнение рассматривается на отрезке и имеет особенность, сосредоточенную в п точках. Для такой краевой задачи получены условия нетеровости, фредгольмовости. Обсуждаются условия разрешимости.

Пусть 0 = Ьо < Ъ\ < ■ ■■ < Ьп = Ь. Пусть, далее, — пространство абсолютно непрерывных функций х: [0, Ь] ^ М, производная которых принадлежит пространству Ц*, 1 < р < ж , и которые удовлетворяют дополнительным условиям х(Ьо) = х(Ь\) = ■■■ = = х(Ьп) = 0 . Норма в пространстве О]* определяется равенством ||х||др = \\Х\\l-p ■

Рассмотрим сингулярное по независимой переменной функционально-дифференциальное уравнение первого порядка

(Сх)(Ь) = х(Ь)+Ь(Ь)х(Ь) + (Тх)(Ь) = /(Ь) Ь <Е [0,Ь]. (1)

п к ■

Здесь коэффициент Н(Ь) имеет вид Н(Ь) = ^ + а(Ь) , суммируемая на отрезке [0,Ь]

з=о ■

функция а: [0,Ь] ^ М ограничена в существенном на каждом отрезке [Ь^ + е^, Ь]+\ — е^+\] ,

£j > 0 и удовлетворяет предельным условиям lim (t — bj)a(t) = lim (bj+i — t)a(t) = 0 ,

t^bj +0 t^bj+i-0

j = 0,1,... ,n — 1. Функция h(t) не суммируема на отрезке [0, b] и терпит разрыв второго

рода в точках t = bj , j = 0,1,...,n .

Оператор T: Dp ^ Lp вполне непрерывен.

Уравнения вида (1) возникают в теории химических реакций, при изучении процессов, протекающих в атоме гелия и в химическом реакторе; при изучении формы свободной поверхности осесимметричного слоя жидкости и центрально-симметричного деформирования упруго-пластического шара. Большой список практических задач, в которых возникают сингулярные уравнения, приведен в работе И.Т. Кигурадзе [1]. С точки зрения теории абстрактного функционально-дифференциального уравнения сингулярные уравнения изучались в Пермской школы [2]. Соответствующие результаты изложены в монографии Н.В. Азбелева [3] и статьях С.М. Лабовского [4], А.И. Шиндяпина [5], М.Ж. Алвеша [6], Е.И. Бравого [7]. Также в книге [3] приведен литературный обзор по рассматриваемой тематике.

Определим константы Uj = kj + p-—i ■

Леммаї. Оператор L: Dp ^ Lp нормально разрешим тогда и только тогда, когда для всех j = 0,1,... ,n выполняется условие Uj = 0 .

Рассмотрим конечную последовательность up,ui,...,un . Обозначим через v + — количество таких пар чисел (uj,Uj+i) , что Uj < 0 и Uj+i < 0 . Через v- обозначим количество таких пар чисел (uj ,Uj+i) , что Uj > 0 и Uj+i > 0 .

n

Л е м м а 2. Если П Uj = 0, то опера,т,ор L: Dp ^ Lp нет,еров и его индекс равен j=0

v+ — v-

Следствие. Если последовательность Uo,Ui,. ..,un знакочередующаяся, то оператор L: Dp ^ Lp фредгольмов.

Рассмотрим теперь краевую задачу

(Lx)(t) = f (t), ix = a, t Є [0,b] (2)

Задачу (2) представим в виде уравнения [C,i]x = (f, a) , где [C,i]x = col(Cx,ix) . Здесь ix = col(i0x,i1x, ...,im-1x), ij x = x(jj), Tj Є (bj ,bj+i), j = 0,1,...,m — 1.

(2)

для всех j = 0,1,... ,n выполняется условие Uj = 0 .

n

Теорема 2. Если П Uj = 0, то краевая задача (2) нетерова и ее индекс равен

j=0

v+ — v- — m

Теорема 3. Пусть v- = 0, v+ > 0 . Задача, (2) фредгольмова тогда и только тогда, когда m = v+ .

Теорема 4. Пусть v- = 0, v + > 0 и Tj Є (bj ,bj+1), где точ ки bj ,bj+1 таковы, что Uj < 0 и Uj+i < 0 . Пусть, далее, Л: Lp ^ Dp — оператор Грина вспомогательной краевой задачи

x(t) + h(t)x(t) = f (t), ix = a, t Є [0, b] (3)

(2)

parnopa TЛ меньше 1 .

Теоремаб. Пусть v- = 0 . Тогда задача, (2) разрешима не при любой правой части f Є Lp,a Є Rm .

Теоремаб. Пусть v + = v- = 0 . Тогда задача, (2) ^зрешима не при л юбом а Є Rm .

ЛИТЕРАТУРА

1. Кигурадзе И. Т., Шехтер Б.Л. Сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. 1987. Т.30. С. 105-201.

2. Плаксина И.М. Об одной модельной сингулярной задаче // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. Пермь, 2010. Вып. 1(1). С. 19-23.

3. Лабовский С.М. О положительных решениях двухточечной краевой задачи для линейного сингулярного функционально-дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения. 1988. Т.24, № 10. С. 1695-1704“

А.Шиндяпин А.И. О краевой задаче для одного сингулярного уравнения // Дифференц. уравнения. 1984. Т.20, № 3. С.450-455.

5. Алвеш М.Ж. О разрешимости двухточечной краевой задачи для сингулярного нелинейного функционально-дифференциального уравнения // Изв. вузов. Математика. 1999. № 2 (441). С. 12-19.

6. Бравый Е.И. О регуляризации сингулярных функционально-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1994. Т.30, № 1. С.26-34.

7. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функциональнодифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Ин-т компьютерных исследований, 2002.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

Plaksina I.M. About Fredholm property and solvability of one singular boundary value problem for functional-differential equation. This paper deals the with boundary value problem for singular in the independent variable functional-differential equation. The equation is considered on a segment and has singularity concentrated at n points. For such boundary value problem the conditions of Fredholm property and solvability were obtained.

Key words: functional-differential equation; singular equation; boundary value problem; Fredholm property, solvability.

Плаксина Ирина Михайловна, Пермский государственный технический университет, г. Пермь, Российская Федерация, аспирант, e-mail: impl@list.ru.

УДК 512.8

ОКРЕСТНОСТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ И РЕАЛИЗАЦИЯ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА

© А.К. Погодаев, А.М. Шмырин, И.А. Седых, H.A. Корниенко, С.С. Роенко

Ключевые слова: окреетноетные системы; сети Петри; нейронные сети.

Показано, что окреетноетные модели обобщают частные системы. Рассмотрены предложения по оптимизации структуры окрестностей.

Окреетноетные модели, развивают общие подходы теории систем и являются обобщением для традиционных дискретных моделей таких, как конечные автоматы, клеточные автоматы, сети Петри и т.д. В ряде работ показано, что дискретные модели, в частности, сети Петри, нейронные сети и другие, являются разновидностью окреп НОС! Ill,IX систем с некоторыми вариациями [13].

В [3] введено обобщенное определение окрестности ой модели. Окрестностная модель в общем случае описывается набором NSg = (N, X, V, Y, Z, G, F, X[0]) , где: