CC BY
50
4. Исламов Г.Г. О некоторых приложениях теории абстрактного функционально-дифференциального уравнения, II // Дифференциальные уравнения. Москва, 1990. Т. 26. № 2. С. 224-232.
5. Лабовский С.М. О положительных решениях двухточечной краевой задачи для линейного сингулярного функционально-дифференциального уравнения // Дифференциальные уравнения. Москва, 1988. Т. 24. № 10. С. 1695-1704.
6. Чичкин Е.С. Теорема о дифференциальном неравенстве для многоточечных краевых задач // Известия вузов. Серия: Математика. Казань, 1962. № 2. С. 170-179.
7. Азбелев Н.В., Алвеш М.Ж., Бравый Е.И. О сингулярной краевой задаче для линейного дифференциального уравнения второго порядка // Известия вузов. Серия: Математика. Казань, 1999. № 2. С. 3-11.
8. Плаксина И.М. О положительности функции Коши сингулярного линейного функционально-дифференциального уравнения // Известия вузов. Серия: Математика. Казань, 2013. № 10. С. 16-23.
9. Domo.shnit.sky A. Maximum principles and non-oscillation intervals for first order Volterra functional differential equations // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. Series A: Mathematical Analysis. Waterloo (Ontario, Canada), 2008. V. 15. Issue 6. P. 769-814.
10. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 2001.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана Российским Фондом Фундаментальных Исследований (проект № 14-01-00338).
Поступила в редакцию 9 июня 2015 г.
Plaksina I.M. ON THE CAUCHY FUNCTION POSITIVITY FOR A SINGULAR FUNCTIONAL-DIFFERENTIAL EQUATION
The article discusses first order functional-differential equations with independent variable singularity. Vallée-Poussin-like theorem, the Cauchy function positivity conditions are obtained.
Key words: functional-differential equations; singular equations; Cauchy problem; Cauchy function; differential inequalities.
Плаксина Ирина Михайловна, Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь, Российская Федерация, старший преподаватель кафедры автоматизации технологических процессов, e-mail: impl@list.ru
Plaksina Irina Mikhailovna, Perm National Research Polytechnical University, Perm, the Russian Federation, Senior Lecturer of the Process Automation Department, e-mail: impl@list.ru
УДК 517.929
УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНОГО СИНГУЛЯРНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
© В.П. Плаксина, И.М. Плаксина, Э.В. Плехова
Ключевые слова: сингулярное дифференциальное уравнение; задача Коши; функционально-дифференциальное уравнение.
Рассматривается квазилинейная задача Коши с нулевыми начальными условиями для сингулярного функционально-дифференциального уравнения второго порядка. Получены достаточные условия разрешимости рассматриваемой задачи Коши и соответствующей линейной задачи.
В предлагаемой работе рассматривается задача
(£*)(*) = х(*) + тх(р) = /(*, (Тх)(*)), £ е [0, Ь], (1)
х(0) = 0, гс(0) = 0. (2)
Здесь константы т е М и р е М таковы, что т > 0 , р > 1. Функция /(■, ■) удовлетворяет условиям Каратеодори: функция /(£, х) непрерывна по х при почти всех £; измерима по £ при каждом х . Оператор Т является линейным и вполне непрерывным. Пространства, в которых действует оператор Т, будут определены ниже.
Особенность уравнения (1) заключается в том, что функция -2 несуммируема на отрезке [0, Ь] , то есть это уравнение является сингулярным по независимой переменной [1] в точке £ = 0. Кроме того, во втором слагаемом левой части уравнения (1) присутствует запаздывание специального вида. В правой части уравнения (1) присутствует вполне непрерывный линейный оператор Т. В частности, оператором Т может быть оператор внутренней су-
о го К91 - /с /х|ЗД], если Л,(£) е [0, Ь]
перпозиции Ьь [2, с. 53], определяемый равенством (Ь^х)(£) = < .
10, если Л,(£) е [0, Ь]
Обыкновенное (случай р = 1, Т — тождественный оператор) сингулярное дифференциальное уравнение вида (1) используется во многих математических моделях. В частно-
т
сти, оператор вида Нх = х +—2х возникает при исследовании радиального уравнения Шрёдингера с сингулярным потенциалом [3]. Оператор Н присутствует в частном случае уравнения Эйлера.
Теория задач Коши и краевых задач для сингулярных дифференциальных уравнений разработана И.Т. Кигурадзе и его учениками (см., например, работы [1], [4]). В рамках этой теории сингулярные в точке £ = 0 уравнения рассматриваются в пространствах функций, определенных на полуинтервале (0, Ь] . Однако существует несколько типов таких уравнений, которые можно изучать методами теории абстрактного функционально-дифференциального уравнения [2, с. 18]. В этом случае решение определено на всем отрезке [0, Ь] . К таким уравнениям относятся уравнения, рассмотренные в работах [5]—[9].
Таким образом, предлагаемая работа посвящена исследованию еще одного типа сингулярных уравнений, к которому применима теория абстрактных функционально-дифференциальных уравнений.
Р
Всюду далее будем полагать, что 1 <р< то и р =-.
р — 1
Пусть Ьр[0, Ь] = Ьр — пространство измеримых функций г: [0, Ь] ^ М , удовлетворя-
( ъ \1'р
ющих условию \\г\\ьр = /|г^)|р ^ < то . Пусть, далее, Ш2'Р[0,Ь] = Ш2'р — про-
V0 )
странство абсолютно непрерывных вместе с первой производной функций х: [0, Ь] ^ М, имеющих принадлежащую пространству вторую производную. Через Шд 'р обозначим пространство функций х е Ш2'р , удовлетворяющих условиям (2). Норму в пространстве
определим равенством \\х\\^2>р = \\х\\ьр
0
Решением задачи (1)—(2) будем называть элемент пространства Шд 'р , почти всюду удовлетворяющий уравнению (1).
Будем пользоваться тем фактом, что пространство изометрически изоморфно про-
странству Ьр . Взаимно-однозначное соответствие определим следующими соотношениями:
у(£) = х(£), (3)
t
x(t) = (Ay)(t) = j (t - s)y(s) ds, (4)
0
r2,p
где x € Wq , y € Lp .
Используя изоморфизм (3)—(4), перейдем к эквивалентному задаче (1)—(2) интегральному уравнению
t/p
y(t) + m/ (р - s)y(s) ds = f (t, (Ty)(t)), (5)
где оператор Т: ЬР ^ ЬР представляет собой суперпозицию оператора Т: ^ ЬР
и оператора Л.
*/Р ^ - р8
Определим оператор В: ЬР ^ ЬР равенством (Ву)(£) = / -у(5) ^ .
о
-2+1 (р')2
Л е м м а 1. Спектральный радиус оператора В 'равен Т\ = р р —-.
р + 1
Доказательство. 1. С помощью теста Шура [10, с. 33], [11] покажем, что
ЦВМ < п.
Согласно тесту Шура, для произвольного интегрального оператора К: ЬР ^ ЬР с неотрицательным ядром К(-, ■): М+ х М+ ^ М существование почти всюду положительных функций П\,П2: М+ ^ М таких, что
K(t, s)u2(s) ds
p-1
< aui(t), (6)
J K(t,s)ui(t) dt < в Ms)]p 1, (7)
0
гарантирует оценку ¿p ^ ав •
i - pst
7i t — ps) , где pit ) = <.
< 0.
и u2(s) = s-1/p справедливы неравенства (6) и (7) с константами а = r^-1 и в = ri соответственно. Поэтому ^ r1 • Следовательно,
Пусть K(t, s) = -—2^0(t-ps) , где д(т) = < 1 еСЛИ Т ^ Для функций ui(t) = t-1/p' pt2 если т<
КB < ri. (8)
_ 1+1
2. Положим yn(t) = t p n . Нетрудно видеть, что yn являются собственными функциями оператора B, соответствующими собственным значениям
_2+1_1 np' np'
rl,n = Р p n-—-—-—.
np' + n + p' n + p'
Следовательно, r(ß) ^ rln для всех натуральных n. Так как rl = lim rl n , то
r(B) ^ ri. (9)
Сравнение оценок (8) и (9) завершает доказательство.
и
Л е м м а 2. Пусть ш < г"1 . Тогда спектральный радиус оператора (/ + шВ) 1 равен г2 = (1 + шп) 1 .
Доказательство. 1. В силу теоремы [12, с. 140] норма оператора (/ + шВ) 1 не превышает выражения (1 — ш\\В\\) 1 , равного г2 . Поэтому
г((1 + тВ)"1) < Г2. (10)
_1+1
2. Положим yn(t) = t p n . Нетрудно видеть, что yn являются собственными функциями оператора (I+ mB) , соответствующими собственным значениям r2,n = (1 + mri,n) . Следовательно, r( (1 + mB ) ^ r2n для всех натуральных n . Так как r2 = lim r2n , то
r( (1 + mB)-1) ^ Г2. (11)
Сравнение оценок (10) и (11) завершает доказательство.
Рассмотрим полуоднородную задачу Коши
i(Lx)(t) = z(t), t€ [0,b], (12)
|ж(0) = 0, Х(0) = 0. ( )
Теорема 1. Пусть |m| < r-1 .
Тогда задача (12) имеет единственное 'решение при любой правой части z € Lp . Доказательство. Положим y(t) = X(t) . Тогда y € Lp и задача (12) эквивалентна интегральному уравнению
y(t)+ m(By)(t) = z(t), t€ [0,b]. (13)
Эквивалентность означает существование взаимно-однозначного соответствия между решениями уравнения (13) и задачи Коши (12). Соответствие определяется равенствами (3) и(4).
В условиях теоремы спектральный радиус оператора mB: Lp ^ Lp меньше единицы. Поэтому оператор I + mB обратим и уравнение (13) однозначно разрешимо при любой правой части z € Lp . Следовательно, при любой правой части z € Lp также однозначно разрешима задача (12). Теорема доказана.
Вернемся к задаче Коши (1)—(2) для квазилинейного сингулярного дифференциального уравнения.
Теорема2. Пусть выполнены следующие условия:
1) |m| < r-1;
2) оператор T вполне непрерывен;
3) существуют такая функция а1 € Lp и такая константа а2 € (0,—, что
Г2\\Т\\,
для всех значений £ е [0, Ь] и произвольного элемента V е М справедливо неравенство
|/(£, V)| ^ а1(£)+ а21V|. (14)
Тогда задача (1) - (2) разрешима.
Доказательство. Полагая х = у, перейдем от задачи Коши (1)—(2) к эквивалентному интегральному уравнению (5). Запишем это уравнение в операторном виде:
(I + шВ)у = ^у. (15)
Здесь оператор F: Lp ^ Lp определен равенством (Fy)(t) = /(t, (Ty)(t)) .
При выполнении первого условия в силу теоремы 1 оператор I + mB обратим и задача (12) однозначно разрешима при любой правой части.
В силу обратимости оператора I + mB уравнение (15) эквивалентно уравнению
y = фу, (16)
где оператор Ф: Lp ^ Lp имеет вид Ф = (I + mB)-1F.
Если функция / удовлетворяет неравенству (14), то для оператора Немыцкого N: Lp ^ Lp , определенного равенством (Nz)(t) = /(t,z(t)) , справедлива оценка ||Nz|| ^ ^ ||а1| + a2||z|| .
Оператор Ф является суперпозицией вполне непрерывного линейного оператора T: Lp ^ Lp , непрерывного ограниченного оператора Немыцкого N и линейного ограниченного оператора (I + mB)-1 . Поэтому оператор Ф вполне непрерывен. Кроме того, справедлива оценка ||Фу|| ^ ^i + ^2||y|| = ||(I + mB)-1||(||ai|| + a2||T||||y||) .
II (I + mB)-1Fy|| 1
Отсюда lim --п—n-= u2 .Из условия a2 < —¡——г следует u2 < 1.
||y|| r2|T|
Применение теоремы 4 [12, с. 418], являющейся следствием из теоремы Шаудера, завершает доказательство.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кигурадзе И.Т., Шехтер Б.Д. Сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Серия: Современные проблемы матем.: Новые достижения. Москва, 1987. Т. 30. С. 105-201.
2. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Ин-т компьютерных исследований, 2002.
3. Волк В.Я. О формулах обращения для дифференциального уравнения с особенностью при x = 0 // Успехи математических наук. Москва, 1953. Т. VIII. № 4 (56). С. 141-151.
4. Kiguradze I., Sokhadze Z. On the global solvability of the Cauchy problem for singular functional differential equations // Georgian mathematical journal. Tbilisi, 1997. V. 4. № 4. P. 355-372.
5. Лабовский С.М. Положительные решения двухточечной краевой задачи для сингулярного линейного функционально-дифференциального уравнения // Дифференциальные уравнения. Москва, 1988. Т. 24. № 10. С. 1116-1123.
6. Шиндяпин А.И. О краевой задаче для одного сингулярного уравнения // Дифференциальные уравнения. Москва, 1984. Т. 3. № 11. С. 450-455.
7. Азбелев Н.В., Алвеш М.Ж., Бравый Е.И. О сингулярных краевых задачах для линейного функционально-дифференциального уравнения второго порядка // Известия вузов. Серия: Математика. Казань, 1999. № 2. С. 3-11.
8. Плаксина И.М. О положительности функции Коши сингулярного линейного функционально-дифференциального уравнения // Известия вузов. Серия: Математика. Казань, 2013. № 10. С. 16-23.
9. Абдуллаев А.Р., Плехова Э.В. Об одной краевой задаче для сингулярного дифференциального уравнения второго порядка // Научно-технический вестник Поволжья. Казань, 2013. № 4. С. 30-35.
10. Халмош П., Сандер В. Ограниченные интегральные операторы в пространствах L2 . М.: Наука, 1985.
11. Абдуллаев А.Р., Плаксина И.М. Об оценке спектрального радиуса одного сингулярного интегрального оператора // Известия вузов. Серия: Математика. Казань, 2015. № 2. С. 3-9.
12. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.
Поступила в редакцию 1 июня 2015 г.
Plaksina V.P., Plaksina I.M., Plekhova E.V. SOLVABILITY CONDITIONS OF THE CAUCHY PROBLEM FOR A SECOND ORDER QUASILINEAR SINGULAR FUNCTIONAL-DIFFERENTIAL EQUATION
The article is devoted to semi-homogeneous quasilinear Cauchy problem for a second order singular functional-differential equation. Sufficient solvability conditions of this Cauchy problem are obtained.
Key words: singular differential equation, Cauchy problem, functional-differential equation.
Плаксина Вера Павловна, Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, e-mail: vpplaksina@list.ru
Plaksina Vera Pavlovna, Perm National Research Polytechnical University, Perm, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Higher Mathematics Department, e-mail: vpplaksina@list.ru
Плаксина Ирина Михайловна, Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь, Российская Федерация, старший преподаватель кафедры автоматизации технологических процессов, e-mail: impl@list.ru
Plaksina Irina Mikhailovna, Perm National Research Polytechnical University, Perm, the Russian Federation, Senior Lecturer of the Process Automation Department, e-mail: impl@list.ru
Плехова Эльвира Валентиновна, Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, e-mail: elvira.plekhova@mail.ru
Plekhova Elvira Valentinovna, Perm National Research Polytechnical University, Perm, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Higher Mathematics Department, e-mail: elvira.plekhova@mail.ru
УДК 69.003.13
МЕТОДИКА РАСЧЕТА ФИЗИЧЕСКОГО ИЗНОСА ЖИЛЫХ ЗДАНИЙ ПО
ПРАВИЛАМ ОЦЕНКИ ВСН 53-86
© К.М. Плотников, П.М. Симонов
Ключевые слова: физический износ жилых зданий; признаки износа; количественная оценка.
Построенная модель позволяет определить степень износа конструкций и элементов используя только наличие и количество признаков износа, что упрощает анализ износа жилых зданий.
Под физическим износом конструкции, элемента, системы инженерного оборудования и здания в целом следует понимать утрату ими первоначальных технико-эксплуатационных качеств (прочности, устойчивости, надежности и др.) в результате воздействия природно-климатических факторов и жизнедеятельности человека [1].
Существуют три основных метода расчета физического износа [2]: экспертный (нормативный); стоимостной; метод расчета срока жизни здания.
В основу метода экспертного метода положена шкала экспертных оценок для определения физического износа, изложенная в Ведомственном нормативном документе ВСН 53-86р «Правила оценки физического износа жилых зданий». Величина износа определяется по внешним (видимым) повреждениям элементов. Именно данным методом пользуются работники БТИ (бюро технической инвентаризации) при составлении технических паспортов на здания.
