Теорема Валле-Пуссена для одного сингулярного функционально-дифференциального уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

функций z: [0, b] ^ R со стандартной нормой ||z||lp = ^/0 |z(t)|p dt^ , AC — пространство

УДК 517.929 © И. М. Плаксина

ТЕОРЕМА ВАЛЛЕ-ПУССЕНА ДЛЯ ОДНОГО СИНГУЛЯРНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Получены условия знакопостоянства функции Коши одного сингулярного функционально-дифференциального уравнения.

Ключевые слова: сингулярное уравнение, функционально-дифференциальное уравнение, функция Коши.

Введение

Рассмотрим функционально-дифференциальное уравнение первого порядка

(Lx)(t) = x(t) + a(t)x(t) + (Tx)(t) = f (t), t Є [0, b]. (1)

k

Коэффициент a(t) представим в виде a(t) = — + a(t), к Є R, функция a: [0,5] —>■ R суммируема со степенью p на отрезке [є, b] для любого 0 < є < b, суммируема на всем отрезке

[0, b] и удовлетворяет предельному условию lim ta(t) = 0. Коэффициент a(t) не суммируем

t——0+

на отрезке [0, b], поэтому уравнение (1) является сингулярным по независимой переменной в точке t = 0. Линейный оператор T: AC ^ Lp вполне непрерывен.

Здесь Lp — банахово пространство суммируемых со степенью p (1 < p < ж) на отрезке [0, b]

rb.... -Л1/р

I о

абсолютно непрерывных на отрезке [0, b] функций x: [0, b] ^ R с нормой ||x||ac = ||Х||lp + |x(0) |.

Примерами функций a(t) могут быть----и —~\—- на отрезке [0,1]. В качестве оператора Т

sin t t д/t

будем рассматривать оператор вида T = T+ — T-, где T+ = q+(t)x(rt), T- = q-(t)xh(t). Здесь функции q+(t) и q-(t) принадлежат пространству Lp и неотрицательны, 0 < r < 1, функция h(t) ^ t измерима, Xh(t) равняется x[h(t)] при h(t) Є [0, b] и нулю при h(t) Є [0, b]. Эти условия обеспечивают [1, с. 56] полную непрерывность такого оператора T: AC ^ Lp. Также при этих условиях операторы T + и T- вольтерровы.

Методика предлагаемого исследования основана на работах [1] и [2].

§1. Вспомогательные сведения

Пусть Dp — банахово пространство абсолютно непрерывных функций x: [0, b] ^ R, производная которых является элементом пространства Lp, с нормой ||x||dp = ||x||lp + |x(0)|. Также определим пространство Dp функций x: [0, b] ^ R, принадлежащих пространству Dp и удовлетворяющих дополнительному условию x(0) = 0. Норму в пространстве Dp зададим равенством l|x||_Dg = l|x У lp . Определим вспомогательные операторы Lo: Dp ^ Lp и L+: Dp ^ Lp равенствами (Lox)(t) = x(t) + a(t)x(t) и L+ = Lo + T + соответственно. Наконец, определим константу

m = к + —---. Справедливы следующие теоремы [31.

p

Теорема 1. Оператор Lo фредгольмов тогда и только тогда, когда m > 0.

Т еорема 2. Пусть m > 0. Тогда уравнение L+x = f однозначно разрешимо при любой правой части f Є Lp.

Так как m > 0, то оператор L+ обратим. Обозначим обратный оператор C +: Lp ^ Dp. Этот оператор является линейным интегральным вольтерровым: (C+f)(t) = fQ C + (t,s)f (s) ds.

Функция Коши C +(t, s) уравнения (1) тождественно равна нулю при t < s и является решением краевой задачи

Lx = 0, x(s) = 1 (2)

при £ ^ в, если в > 0, и равна нулю, если в = 0.

Р

Функция Коши как функция второго аргумента суммируема со степенью ----------- и поэтому

р — 1

может быть произвольно изменена на множестве нулевой меры. Положим, что она является решением краевой задачи (2) при каждом в € (0, Ь].

Теорема 3. Пусть т > 0. Пусть, далее, для любых £ € (0, Ь) выполняется неравенство £ ехР {!гТг й(п) ■ 9+ (т) ^т < гк. Тогда функция Коши С + (£, в) строго положительна

при £ € [в, Ь].

Отметим, что оператор Т + содержит запаздывание специального вида, так как условие зна-копостоянства функции Коши С +(£, в) для случая произвольного запаздывания практически не

ент д, гарантирующая знакопостоянство функции Коши, зависит от величины запаздывания.

§ 2. Теорема Валле—Пуссена

Запишем оператор С в виде С = С+ — Т-. Определим оператор К: С ^ С равенством К = С+Т-. Сформулируем теорему типа теоремы Валле-Пуссена [1, с. 357].

Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 3.

Следующие утверждения эквивалентны.

1. Существует неотрицательная на промежутке (0, Ь] функция -и(і) Є Ёр, такая что (С-и)(і) > 0 при почти всех і Є (0, Ь].

2. Спектральный 'радиус р(К) оператора К меньше единицы.

3. Уравнение (1) имеет единственное решение при любой правой части / Є ЬР, причем его оператор Коши, обратный к оператору С, изотонен.

Список литературы

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функциональнодифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Институт компьютерных исследований, 2002.

2. Абдуллаев А.Р. О разрешимости задачи Коши для сингулярного уравнения второго порядка в критическом случае // Труды института прикладной математики им. И.Н. Векуа. Тбилиси, 1990. № 37. С. 5-12.

3. Плаксина И.М. Об одном сингулярном линейном функционально-дифференциальном уравнении // Известия вузов. Математика. 2012. № 2. С. 92-96.

Keywords: singular equation, functional-differential equaiton, Cauchy function.

Mathematical Subject Classifications: 34K06, 34K26, 47A53

Плаксина Ирина Михайловна, аспирант, кафедра высшей математики, Пермский национальный исследовательский политехнический университет, 614990, Россия, г. Пермь, Комсомольский пр., 29. E-mail: [email protected]

384 с.

Поступила в редакцию 15.02.2012

I. M. Plaksina

Vallée-Poussin theorem for one singular functional differential equation

Conditions of constant sign of Cauchy function of one singular functional differential equation are obtained.

Plaksina Irina Mikhailovna, post-graduate student, Department of Higher Mathematics, Perm National Research Polytechnic University, Komsomolskii pr., 29, Perm, 614990, Russia