Условия разделения множеств исправляемых и обнаруживаемых ошибок в таймерных сигнальных конструкциях Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

3 Каретников А.Д., Ашукин Д.Д., Воробьев Н.А., Тишкин Е.М. Как организовать местную работу на удлиненных тяговых плечах

// Железнодорожный транспорт. - 1962. - №8.

4 Зачепа В.М. Исследование вопросов организации местных вагонопотоков с учетом сезонности перевозок скоропортящихся

грузов: Автореф. дис. к.т.н.: 05.22.08 / ВНИИЖТ. - М., 1976.- 24 с.

Доказаны теоремы выбора коэффициентов уравнения качества приема таймерных сигнальных конструкций, обеспечивающих исправление изменения длин отдельных временных отрезков конструкции, получены условия разделения множеств исправляемых и обнаруживаемых ошибок.

УСЛОВИЯ РАЗДЕЛЕНИЯ

МНОЖЕСТВ ИСПРАВЛЯЕМЫХ И ОБНАРУЖИВАЕМЫХ

ОШИБОК В ТАЙМЕРНЫХ СИГНАЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ

Н.В. Захарченко М.М. Гаджиев

Е.Н. Мартынова

Одесская национальная академия связи им. А.С. Попова

Конт.тел (048) 731-73-55,

В таймерных сигнальных конструкциях (ТСК) в отличие от разрядно-цифровых кодов (РЦК), информационными элементами являются не значения информационных параметров на интервалах единичных элементов (^), а длительности отдельных отрезков сигналов в пределах времени формирования конструкции Тк. При этом, с целью избежания межсимвольных искажений в узкополосных системах минимальная длина отрезка тс1 не меньше значения ^ , но и не кратна ему (тс1 > ^) [1]. Она кратна некоторому значению А - ^

Д = i0; S е 2,3...k -S

целые числа

Таким образом

Tci = St0 + kA k eö;1;2...i

(1)

каждом из которых имеется три информационных отрезка (тс1, Тс2, тсз).

Из рисунка видно, что несмотря на то, что длины отрезков т1 > ^ , минимальное энергетическое расстояние между конструкциями определяется не энергией найквистового элемента, а энергией элемента А .

В работе [2] показано, что для бинарного канала (а = 2) число реализаций сигнальных конструкций с 1

отрезками равно

N = си-1г

[ms - i (S -1)]! [S(m - i)] !x i!

На рис. 1 показано 3 сигнальных конструкции на отрезке Тс = St0 для S = 4 при бинарном сигнале, в

(2)

Именно за счет уменьшения расстояния меду сигнальными конструкциями число реализаций их на интервале Тк = т^ намного больше величины ат . Например для двоичного канала (а = 2) при т = 5, S = 4 - общее число реализаций при А = 0,25^ равно N = 245 = 1048576 .

Число реализаций с расстояниями между моментами модуляции не меньше ^ > SД равно N (тс > t0 ) = 510. Несмотря на то, что это число составляет 0,0486% от №р оно более чем в 10 раз больше числа кодовых слов при РЦК №цк=25=32).

Если алфавит канала а у 2 , то общее число реализаций равно [3]

N (а у 2) = (а -1)' Отз4(з-1) (3)

Следовательно, максимальное значение информации, переносимое сигнальной конструкцией ТСК [3]

и (а у 2) = Ч2 ^ (а у 2) = 1ся2 '1<^2 (а -1) (4)

Заметим, что при а = 2 второе слагаемое в выражении (4) равно нулю и максимальное значение переносимой информации равно [стэ-'(3-1) ] . При S = 1, что соответствует простому разрядно-цифровому коду, получаем:

N ('=1)=5 N ('=2)=10 N ('=3)=10

N (' = 4) = 5 N (' = 5) = 1

Всего = 31 не нулевых реализаций.

С целью обнаружения или исправления ошибок изменения длительностей т отдельных отрезков сигнальной конструкции из общего количества N ('), определяемого (2), выбираются те, длительности отрезков которых удовлетворяют условию [2]

А'Х' + А'-1Х'-1... + А1Х1 = 0 (modA0) (5)

где коэффициенты А' и А0 определяют кодовое расстояние в метрике Хемминга. Можно показать, что при

большом количестве N (') число кодовых слов, удовлетворяющих условию (5), стремится к величине в А0 раз

меньше N ('). При этом спектр вычетов стремится к величине постоянной.

В [3] показано, что в каналах с сосредоточенными помехами вероятность невыполнения равенства (5), т.е. обнаружения ошибок в сигнальной конструкции, обратно пропорциональна величине зоны Д . С другой стороны уменьшение зоны Д приводит к увеличению появления ошибок, что увеличивает затраты времени на повторение искаженных сигнальных конструкций в адаптивных системах.

С целью уменьшения вероятности необнаруженных ошибок и вероятности повторения искаженных конструкций определим влияние коэффициентов А' и А0 равенства (5) на качество передачи.

2. Условия обнаружения и исправления изменений длительностей отрезков ТСК.

В зависимости от назначения кода ТСК (исправление или только обнаружения ошибок) для коэффициентов А' и А0 можно сформулировать теорему. Теорема. Если коэффициенты Ак сравнения

Ак = (5е + 1)к-А0 =(50+1)

(к е(1..д))

(6)

X АкХк = 0^А0)

то ошибки кратности меньшей либо равной ' величиной |е0| обнаруживаются с вероятностью 1.

Здесь:

|е0| - величина изменения длительности отрезка Т, определяемая числом значений Д ;

1 - число отрезков сигналов (или моментов модуляции информационного параметра) в сигнальной конструкции.

Доказательство: Вектор ошибки Е (е1 е') и кодовое слово X скалярно складываются, поэтому:

(7)

X АхХ к = £ Ак (Хк + ек Акек ^А0) к=1 к=1 к=1

где ек е[-есес ]; к е(1Д);

Xк - величина координаты Хк на приеме. Допустим ек = е0, тогда

X АкСс = е0 X (е0 + 1)к-1 = (е0 +1)' - 1(тоаА)

к=1 к=1 '

В выражении (8) учтено, что сумма Х(е° +1) представляет геометрическую прогрессию со знаменателем (е0 +1) Для ек = -е0 имеем

(8)

к-1

-^АкС0 = [(е0 +1)' + 1] = -А0 +1 (modAo)

к=1

Принимая во внимание (7) и (8)

(9)

е.

< t <

2 и 2

определены согласно выражениям

X Акек ^ А0 Vек е[-е0,е0]

( у - квантор всеобщности).

Следовательно ^ Акек ^ o(modAo), что обеспечивает обнаружение ошибок

Как следствие этой теоремы можно получить условие исправления ' - кратных ошибок изменения длительностей отдельных отрезков сигнальной конструкции.

Следствие: если величина ошибки изменения длительностей любого из отрезков находится в пределах

(10)

то код, удовлетворяющий условию (6) может исправить ошибки кратности (к <').

Здесь |п] обозначает меньшее целое число, а величины ^ как и е0 - величина, определяющая в значениях Д - изменения длительности отрезка.

Доказательство. Так как в условии (6) предполагается что величина е0 измеряется в целых значениях Д , то условие (10) предполагает уменьшение минимального дискретного значения ^ по сравнению с е0 тоже в 2 раза. Следовательно, условие (6) для коэффициентов А'А0 принимает вид:

Ак = (^ + 1)к-1 !(к еМ))

А0 =(2to +1)' Г (11)

Для исправления ошибок указанной величины ^ и кратности К <' необходимо, чтобы каждому вектору

к=1

к=1

ошибок, удовлетворяющему условию (10) соответствовал "свой" единственный синдром. Покажем, что это условие выполняется.

При передаче любого из 1 отрезков возможны три варианта его изменения:

- уменьшение отрезка на величину ^ ;

- удлинение отрезка на величину ^ ;

- длительность отрезка не изменилась, так как ис-

кажение меньше

|е|<

2

N = (2^+1)1.

9е3 + 3е2 + 1е * 0 (mod27) Необнаруженными будут ошибки, вектора которых (при минимальном весе W ) соответствуют: Е01 ^ 0; ±1; +3; W = 4" Е02 ^±1; +3;0 W = 4

Е03 ^±3;0;0

W = 3

(15)

Таким образом, для каждого отрезка имеем М = 2^ +1 возможных дискретных изменений.

Например, при ^ = 1, М = 3 ; при ^ = 2 М = 5 и т.д. Для кодового слова с " 1 " информационными отрезками число различных дискретных векторов ошибок составит

Если считать удлинение информационного отрезка положительным искажением, а уменьшение длительности отрицательным, то максимальное значение положительной суммы составит

Легко показать, что при приведенных значениях Е0 для каждого из векторов (15) значение равно нулю. Следовательно, указанные вектора являются образующими для кодового множества, удовлетворяющего условию (5) при соблюдении условия (1) [3].

Учитывая то, что сумма (5) вычисляется в модульной метрике (modA0) одному и тому же значению синдрома всегда соответствует два вектора ошибок.

При этом разница этих векторов (с учетом коэффициентов А1 ) должна удовлетворять условию:

Е1 - Е2 =0(modA0 )= Е01 (16)

Следовательно Е2 = Е1 — Е01

(17)

ЕtuAk =Яи (А, + А2..А) = Яц [l+(2tц +1)+...(2tu +1)]'- (12) нат Е,

Так как максимальное значение одной из коорди-

Так как сумма представляет геометрическую прогрессию со знаменателем г = 2^ +1 ,то А с учетом (11) равна Е ц к

Е А =1 -(2tu+1)'-1 ■2 = -1+(2^+1)'

к=1 ц к 1 - 2tu +1 2 (13)

Такое же максимальное значение суммы будет и для отрицательных значений ^. Следовательно общее число различных значений сумм Х^Ак (с учетом случая отсутствия искажения равно"(2^ +1) ), что соответствует числу различных векторов ошибок N5. Следовательно, каждому вектору 1 -кратной ошибки в значениях А при е< ^ для к < 1 будет соответствовать единственный синдром, что позволит исправлять ошибки изменения длительностей отрезков указанной величины ^ .

Рассмотрим пример.

Пусть 1 = 3 ; ^ = 1. Тогда согласно (11) коэффициентами управления(5)будут

А1 = 1, А2 = 3, А3 = 9, А0 = 27.

Так как при ^ = 1 М = 3 число различных синдромов равно М1 = М3 = 27 , что соответствует числу вычетов при , А0 = 27 то код будет "плотно" упакованным. Следовательно вектору ошибок, в котором минимум одна из координат у 1 всегда будет соответствовать, один из синдромов исправляемых ошибок с координатами Ы < 1, что приведет к неверному исправлению.

3. Условия разделения исправляемых и обнаруживаемых ошибок

Для приведенных выше коэффициентов А1, А0 уравнение качества (5) принимает вид:

9 ■ Х3 + 3Х2 +1-Х1 = 0(mod27) (14)

Условием обнаружения ошибки с вектором Е , удовлетворяющего равенствам ^ = 1, е< ^ будет:

для рассматриваемого примера не меньше значение > 3, а значение любой из координат вектора исправляемой ошибки < tu (в данном примере ^ = 1 ), то значение координат вектора ошибки Е2 могут быть больше значения ^ . Учитывая, что вектора Е1 и Е2 соответствуют одному и тому же синдрому С - то исправление будет не верным.

Определим условия при которых вектор ошибки Е2, имеющей одну из координат Щ у ^ может иметь значение синдрома С , соответствующего исправляемой ошибке.

Представим каждую из координат е1, абсолютное значение которой больше ^ в виде двух слагаемых

е. = еи + е,д (17)

где е1ц - величина координаты исправляемой ошибки |еш|<^

е1д - дополнительная составляющая, обеспечивающая превышение |е1| по сравнению с ^ .

Исходя из выражения (12) цпределим значение суммы неисправляемой ошибки Е Ак5к = Iц.

к=1

С = (А1У^ + А2е1„... + А,е1Ц) + (А1е1Д + А2е2д... + А,е1д) (18)

Так как рассматривается случай, когда синдром неисправляемой ошибки соответствует синдрому исправляемой ошибки, то вторая сумма выражения (18) должна быть равной нулю, т.е. вектор Ед - должен соответствовать одному из образующих полиномов Е^.

Из (15) следует, что образующие вектора определяются значениями коэффициентов А^ Следовательно, для исключения совпадения синдромов исправляемых и обнаруживаемых ошибок необходимо изменить значение Аi (или увеличить кодовое расстояние разрешенного множества сигнальных конструкций).

Разделение синдромов можно обеспечить если ввести исправление искажений отрезков величиной

|е| = 2А(^ = 2).

В этом случае согласно (11) коэффициентами Аi будут: А1 = 1; А2 = 5; А3 = 25; А0 = 125.

Согласно доказанной выше теореме каждому вектору 1 -кратной ошибки с координатами |е|<2 будет

е

0

соответствовать один синдром, т.е. возможно исправление ошибок кратности ' < 3 величиной ^ < 2.

Правда в этом случае мощность разрешенного множества будет в 125 раз меньше от мощности множества, определяемого согласно (3), что существенно уменьшат скорость передачи.

Пользуясь аналогией выражений (15) образующими векторами такого множества будут: Е01 ^ 0; ±1; +5 W = 6" Е02 ^±1; +5;0 W = 6.

Е03 ^±5;0;0

W = 5

(19)

Сравнивая веса (15) и (19) видим, что п е р е х о д к о д н о з н а ч н о м у и с п р а в л е н и ю '-кратных ошибок величиной ^ < 2 от ^ < 1 требует увеличения весов образующих векторов на 2.

Так как минимальный вес нулевых векторов соответствует кодовому расстоянию d0 разрешенного множества, то из (15) и (19) можно сделать вывод, что исправление трехкратных ошибок величиной ^ = 1 требует d0 = 3, а при ^ = 2 величина d0 = 5, что на много меньше значений, определяемых для избыточных разрядно-цифровых блоковых кодов [3].

Если ошибки величиной ^ < 2 необходимо не исправлять, а только обнаруживать то в качестве образующих следует взять вектора с минимальным весом 4.

Е01 ^ 0; ±1; +4"

Е02 ^±1; +4;0 [ (20)

^03 ^±4;0;0

Следовательно, коэффициентами, позволяющими исправлять ошибки кратности ' < 3 величиной ^ = 1 и обнаруживать ошибки величиной ^ = 2, будут: А1 = 1; А2 = 4; А3 = 16; А0 = 64 .

Выводы:

1. Доказана теорема синдромного исправления изменений длительностей отрезков таймерных сигнальных конструкций.

2. Получены условия разделения множеств исправляемых и обнаруживаемых ошибок.

Литература

1. Н.В. Захарченко, Э.В. Дельгадо, Эффективность исправления части ошибок в системах с РОС при использовании МВК //Техника средств связи; сер. ТПС, 1985. - Вып. 10. с 94-99.

2. В.М. Захарченко. синтез багатопозицшних часових ко-дiв. Кшв. Техшка, 1999 - 281 с.

3. Помехоустойчивость и эффективность систем передачи информациЬ/А.Г. Зюко, А.И. Фалько, И.П. Панфилов, В.А. Банкет/ М. Радио и связь. 1985. - 272 с.