Условия интегрируемости преобразования Фурье р-абсолютно непрерывной функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

10. Saff E.B., Totik V. Logarithmic potentials with external fields. Berlin et al.: Springer, 1997.

УДК 517.5

А. М. РОДИН

Условия интегрируемости преобразования Фурье р-абсолютно непрерывной функции

Пусть / е L(1R). Тогда преобразование Фурье функции / определяется формулой

к

Если / e LP(R), 1 < р < 2, то, как известно (см. [1, с.128|), функции

n

FN(x) = fWe-^dt

-n

при N —» +oo сходятся в Lj/(R) (1/р + 1/р' = 1) к некоторому пределу /, также называемому преобразованием Фурье функции /.

Известны следующие теоремы Титчмарша (см. [1, с.128,153]), являющиеся аналогами теорем Caca и Хаусдорфа-Юнга для тригонометрических рядов.

Теорема А. Пусть f € Lip[a,p), 1 < р < 2, 0 < а < 1 (то есть J\f{x + h)-f{x)\pdx < c\h\°* для всех h £ R). Тогда f g L7(M) для

R

всех 7 > , F ,.

' p+ap-l

Теорема В. Если f € ЛР(К),

1 < р < 2; то / € Z/р/ (R) tí при этом

ll/llvw ¿ K(p)\\fhrm

Р. Т. Мамедовым и Г. И. Османовым [2] были получены обобщения теоремы А с использованием модулей непрерывности в Lp(R) произвольного натурального порядка. В настоящей работе изучаются достаточные условия интегрируемости на R функций вида

в терминах р - вариационных модулей непрерывности. В 27г-периодическом случае такие модули активно изучались А. П. Терехиным [3].

Дадим основные определения.

Пусть 1 < р < +оо, / определена на R. Рассмотрим величину

W1-1 ./>(/,*)- sup SUP Гй - . (1)

-°о<а<6<+оо |{|<« )

где £ = {а = х0 < х\ < ... < хп — Ь} разбиение отрезка [а, 6], a |£| = max(xj — Xi-i) - диаметр разбиения Если в формуле (1) убрать нер-

1<1<П

вую точную верхнюю грань, то получится определение u»i_i/„(/, <5, fa, 6]). Легко видеть, что при а < с < Ь имеет место неравенство

<1/р(/, 5, [а, с]) + <^_1/р(/, «5, [с, Ц) < <1/р(/, б, [а, Ь}). (2)

Если для функции / Ш]_1/р(/, <5) ограничен константой, не зависящей от (5, то / принадлежит пространству VJ,(R) функций ограниченной

р - вариации на R. Если же limwi-i/p(f,S) = 0, то / называется р - аб-6—* о

солютно непрерывной функцией на R (обозначение / 6 CP(R)). Норма в Vp(R) и CP(R) задается равенством

||р = шах { supaii_i/p(/, <S), sup|/(а;)| > . I. ¿>0 zeR J

При к е К, к > 2, можно задать р - вариационный модуль непрерывности порядка к — 1/р формулой

|Ь|<<

Аналагично 2тг-периодическому случаю (см. лемму 1 в [4)) можно показать, что 1/р(/, пб) < пк~1/т,Ш1С-1/р^,6), с чем и связано обозначение Шк- 1/р(/, <5). Свойство (2), как нетрудно видеть, переносится на

Пусть А„(/)р - наилучшее приближение в СР(К) функции / £ СР(М) целыми функциями экспоненциального типа не выше а (см. |5, с.22]). В заметке |б] установлен континуальный аналог обратной теоремы А. II. Те-рехина [3] для 27г-периодических функций.

Теорема С .Пусть / £ С„(К), 1 < р < +оо. Тогда

И

"*-!/„(/, <5) < Са-^'г^МПр »к-1/р~1-

Легко видеть, что не каждая / 6 Ср(й) интегрируема в какой-то степени на К (достаточно взять константу, отличную от 0). Поэтому будем рассматривать классы ЬЯСГ := ЬЯ(Ж) ПСР(М).

Теорема I.Пусть / £ Ь„СР, 1 < р < 2, ¡3 6 (0,р'], а > 1. Если

оо

при некотором гп 6 N сходится ряд шш интеграл

п=1

/ < +оо, то / \х\а\/(х)\Р<1х < +оо.

О й

Доказательство

Рассмотрим симметричную разность

т

Л<т)/(*,Л) = £>1)*С*/(х + (т - 2к)к/2). о

Тогда легко видеть, что

Д(т»/(1, Н? = (—г)т2т втт у /(I).

В силу теоремы В

(\ 1/У / \

При ^ = ¿V е К, оценим правую часть (1) следующим образом:

/ \ 1/Р / т(<г+1) \ 1/Р

(у |дМ/(х,Л)|»Лг1 =(Е У |Д(т)/(^-Л/2,Л)|,,^1 <

/+оо «*«> /V 1

< £ / ЛГ~1 XII/(а: + й/г. Л.) - ¡^т-^}{х + {к-1)КК)\Ых

(4)

Здесь использовано равенство

У |А(т>/(х-/1/2,/»)Р«*г= I |Д(т)/(х + (А -1/2)Л,Л)|^г

7гг 7гг—ЛЛ

и вложение [тгi — kh, n(i + 1) — kh] С [тгг — ж/2,7r(i + 1)] при 1 < к < N.

Пусть тп < N. Тогда все значения аргумента /, входящие в Л(т'/(х~|-(к - 1/2)h,h), где 1 < к < N, х € [жг — ж/2,ж(г + 1)], лежат в [тгг -ж/2 - to/i/2,7t(i + 1) + mh/2] С ¡7г(г - 1),7г(г + 2)]. Поэтому при х е [л-г - л-/2,7г(г + 1)]

n

J2 |A(m_1)Дх + kh, h) - Д^"4/(г + (fc - 1)/;., Л)|" < t=i

+2)]). (5)

В силу (2) и его обобщения на wm-i/Р(/, <5)

+00

Е h' t3™. Мп + 1)]) < <-1/р(/, h).

п=—оо

Эта сумма соответствует правым частям (5) для г = Зп + 1, n € Z. Аналогичные неравенства получаются для г = Зп, п € Z, и i — 3п + 2, n е Z. Поэтому последняя сумма в (2) не превосходит

+оо \ Up

£ <-!/„(/> h, [ж(г - 1),тт(г + 2)]) 2тг7У-' < (-)l'*um„Up(f, h).

\п=—оо /

(6)

Из (3) и (G) следует, что

(2N ri \ Vp' / 2IV \ W

/|2m{72Тf{x)lr'dcrJ - (/|2msinm-

При N = 2', l> l0, 2l° > m, получаем 2i+i

J \f(x)\'dx < C22~*>'^1/p(f, (7)

2'

Применим теперь при /3 < p' интегральное неравенство Гельдера

2"+1 / 2'+1 ч !-3/р' /21+1 \ 0/р'

J \x\a\f(x)\0dx < I У |xr'/(p'-«da;j I J l/^l'dx j <

' 2<+1

При /3 = р' 21+1 2!+5

I \х\а\/(х)\Рах < 2-2°' I \/(х)\"'(1х < =

2' 2£

так как 2- = в' — 1. р у

Суммируя по I от Iо до +оо, получим +00

/ |хИ/(аО|"<& < С3£2<<^-^_1/р(/, 5^)-2*0 '=-'»

Сходимость ряда в правой части эквивалентна сходимости ряда из уело-

—2'0

вия. Аналогичная оценка верна для / \х\а\}(х)У<1х В силу условия

-оо

а > /9/р' — 1 при /3 < р' имеем

2*0 / 2<о \ / 2'0 \ а'Р'

I Ы°|/(х)|»Ли < У у \/(х)\>'ёх

-2'0 \_2'о ) \-2'о )

< +00,

так как ^^ > — = -1. При ¡3 — р' и а > 0 последнее неравенство очевидно. Таким образом, f |х|°|/(ж)|3 < +оо при условии сходимо-

я

+оо

стиряда

п=1

Равносильность сходимости ряда и интеграла показывается аналогично §2 в [7]. Теорема доказана.

Теорема 2.Пусть / е ЬРСР, 1 < р < 2,13 6 (0,р'|, а > /3/р'-1. Гогда +00

из сходимости ряда ^ следует существование интеграла

к

Доказательство

Воспользуемся следующим результатом А. А. Конюгакова из [8] (см. также более общее неравенство в [4, лемма 3]).

Пусть с1п > О, Ь > 1, а > 0, и существуют такие г > 0 и А > 0, что

+оо / п /+оо ' \

т~т(1т > АтГТ<1п при тп < п. Тогда Е Е 4 < С Е п 'Ь{пс1п)а .

П=1 \* = 1 / )

В качество <4 будем брать кт~1/р~1 Ат(/)р, а —Ь — а-/3+Р(-т+1/р) при настолько большом т, что эта сумма меньше -1. Используя теорему С, получаем

+оо т +00 / п \ 0

п=1 \/с=1 /

+оо +оо

П=1 П=1

Таким образом, из выполнения условия теоремы 2 следует выполнение условия теоремы 1. Теорема доказана.

Теорема 3.Пусть } £ Ь2СР, 1 < р < 2, /? € (0,2], а > /3/2 - 1. Если сходится ряд (тп £ М)

+оо 1

то f \х\а\/(х)\0(1х < +оо. к

Доказательство Снова в силу теоремы Планшереля или теоремы В при р = 2 получаем (3), где р' = р = 2. Так же как и выше, получаем (4) при р = 2. Теперь

/ N \ !/2 / н \ 1/р

воспользуемся неравенством I Е 1°*|2 ) < I Е ) при р < 2, откуда получим

+оо

—и? (гъ у а -1V + к =

27У

1\А^ПхЛ)\Чх< Е 77«^р(/,М*(<-1Ы< + 2)]), л=;

Если аР + № < с", где р < 2, а,Ь,с> 0, то при с > 0 имеем (¿)Р + (-с)" < 1, откуда (о/с)2 + (&/с)2 < 1, то есть о2 + б2 < с2. Поэтому неравенство

(2) и его аналог для верны при замене показателя р на 2.

Рассуждая аналогично доказательству теоремы 1, получаем

/

Отсюда получаем при I > 10, где > т, 21+1

/

и при 0 < 2

2l+l / 21+1 ч / 2l+i v 1-0/2

| |x|a[/(x)|âdx < I J \f(x)fdxj j J |x|

<

< СЛ-^^^^и, £ï) = С22«-^_1/р(/, JL).

С помощью этой оценки завершаем доказательство аналогично доказательству теоремы 1.

Аналоги теорем 1-3 для коэффициентов Фурье можно найти в [4].

Библиографический список

1. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.:Гостехиздат, 1948.

2. Мамедов Р. Г., Османов Г. И. Некоторые свойства преобразований Фурье и свойства коэффициентов ряда Фурье. //Известия АН Азербайджанской ССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. 1966. е2. С. 15-24.

3. Терехин А. П. Приближение функций ограниченной р-вариации. //Известия вузов. Математика. 1965. е2. С. 171-187.

4. Volosivets S. S. Convergence of sériés of Fourier coefficients of p-absolntely continuons functions. //Analysis mathernatica. 2000. -26. el. pp. 63-80.

5. Тиман A. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.:Физматгиз, 1960. С. 24.

6. Волсх:ивец С. С. Приближение функций ограниченной р-вариации на прямой. //Математика-Механика: Сб. научных трудов. Саратов: Издательство Саратовского университета, 2001. Вып.З. С. 24-25.

7. Бари Н. К., Стечкин С. В. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций. //Труды ММО. 1956. Т.5. С. 483-522.

8. Конюшков А. А. Наилучшее приближение тригонометрическими полиномами и коэффициенты Фурье. //Мат. сборник. 1958. Т.44(86). е1. С. 53-84.