О сходимости сопряженного тригонометрического ряда Фурье функции ограниченной λ-вариации Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Drensky V.S. Codimensions of T-ideals and Hilbert series of relatively free algebras //J. Algebra. 1984. 91, N 1. 1-17.

2. Formanek E. Invariants and the ring of generic matrices //J. Algebra. 1984. 89, N 1. 178-223.

3. Procesi C. Computing with 2x2 matrices //J. Algebra. 1984. 87, N 2. 342-359.

4. Krakowski D., Regev A. The polynomial identities of the Grassmann algebra // Trans. Amer. Math. Soc. 1973. 181. 429-438.

5. Мальцев Ю.Н. Базис тождеств алгебры верхнетреугольных матриц // Алгебра и логика. 1971. 10, № 4. 393-400.

6. Mishchenko S.P., Valenti A. A star-variety with almost polynomial growth //J. Algebra. 2000. 223, N 1. 66-84.

7. Drensky V.S. Free algebras and Pi-algebras: graduate course in algebra. Singapore: Springer-Verlag, 2000.

8. Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1985.

Поступила в редакцию 12.09.2005

УДК 517.518.4

О СХОДИМОСТИ СОПРЯЖЕННОГО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО РЯДА ФУРЬЕ

ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ Л-ВАРИАЦИИ

Е. Ю. Редкозубова

В теории тригонометрических рядов хорошо известна следующая теорема о сходимости сопряженного тригонометрического ряда Фурье в точке, доказанная У. Юнгом в 1911 г. [1; 2, с. 102; 3, с. 521].

Теорема Юнга. Если / — 2тт-периодическая функция ограниченной вариации с рядом Фурье ¿>[/], то для сходимости сопряженного ряда ¿>[/] в точке х необходимо и достаточно, чтобы существовал интеграл

1 fix + t)~ fix-1) , , 1 f f(x + t) - f(x-t) , , ,, r,

fix) =--/ —----'-dt = lim--/ --у-'-dt = lim fix; 5),

Jy ' 7Г J 2 tg 4 й^+о 7Г J 2 tg 4 JK

0 s

который представляет тогда сумму ряда <5[/].

Функцию /(ж) принято называть сопряженной к данной функции /(ж).

В работе [4] доказано, что теорема Юнга остается справедливой для более широкого класса функций ограниченной гармонической вариации. В данной статье исследуется окончательность этого результата.

Пусть Л = {Лга}^1 — неубывающая последовательность положительных чисел, такая, что Хп —оо при п —оо и ряд 1/Хп расходится. Множество таких последовательностей Л обозначим через 1Ь.

Последовательность {п} обозначим Н.

Для промежутка I через П(/) обозначим множество всех конечных систем попарно непересекающихся интервалов {1п}, таких, что замыкание 1п С I.

Определение. Для функции /, заданной на промежутке I, Л-вариацией функции / на I называется величина

1/(А)-/Ы|

Функция / называется функцией ограниченной Л-вариации (/ £ АВУ), если ее Л-вариация конечна. Если Л = Н, то / называется функцией ограниченной гармонической вариации (/ £ НВУ).

Понятие ЛЛУ-функций было введено Д. Уотерманом [5]. Он доказал, что для класса _/?!31/-функций остается верной известная теорема Дирихле-Жордана (см. [2, с. 98, 104; 3, с. 121]) о сходимости ряда Фурье ¿>[/] функции ограниченной вариации. Также он показал, что для любого класса АВУ, строго содержащего класс НВУ, найдется непрерывная функция / £ АВУ \ НВУ с расходящимся рядом Фурье. Естественно возникает вопрос о сходимости сопряженного тригонометрического ряда Фурье функции ограниченной Л-вариации к сопряженной функции. В работе [4] было показано, что если пространство

НВУ есть собственное подпространство АВУ, то существует такая непрерывная 27Г-периодическая функция / £ АВУ\НВУ, что разность между п-й частичной суммой сопряженного ряда в точке нуль 5^(0; /) и приближением сопряженной функции в нуле /(0; стремится к бесконечности при п —оо.

1. Покажем, что случай, когда для функции ограниченной Л-вариации сопряженная к ней функция /(ж) не существует в точке ж, а сопряженный ряд Фурье сходится в этой точке, невозможен.

Верна следующая

Теорема. Пусть / — 2тт-периодическая суммируемая функция. Если сопряженный тригонометрический ряд ¿>[/] суммируется методом средних арифметических в точке х к конечному значению М и х — точка непрерывности функции /7 то сопряженная функция /(ж) в этой точке существует и ее значение равно М.

Для доказательства теоремы нам нужна следующая

Лемма [3, с. 524]. Если функция /(ж) удовлетворяет в точке х условию

ъ

J |/(ж + и) — /(ж — и)\йи = о(£),

то имеем

~ , ч Т/ 71" Ч ~ / ч 1 / ¡{х + I) — ¡{х — I) ,,

Ст{х) — / (ж, —) = ат(х) н— / -1-М 0 при т оо.

ТП 7Г ] 2 tg р

7Г

т

Здесь ат(х) = Ът(х, /) = ^ >5га(ж, /) — чезаровские средние сопряженного ряда ¿>[/].

т га=0 ~

Доказательство теоремы. Рассмотрим разность ат(х) — /(ж; 5) для 5 > 0 при т —оо. Пусть т+1 ^ ^ ^ т' Тогда, так как в точке непрерывности функции

т 7г ] \т т + 1)

т + 1

при т —оо, то, учитывая лемму, получаем, что в каждой точке непрерывности функции сопряженный тригонометрический ряд суммируется методом средних арифметических к значению сопряженной функции в этой точке.

Следствие. Если /(ж) не существует в точке непрерывности функции /7 то сопряженный ряд <§[/] в этой точке не суммируется методом средних арифметических и, значит, расходится.

Замечание. Если в условии леммы о(£) заменить на 0(Ь) при £ —0, то разность ат(х) — /(ж, = 0( 1) при т —оо. Можно сделать вывод, что в точке разрыва первого рода, в которой, очевидно, /(ж) не существует, ряд ¿>[/] расходится.

Заметим, что функция ограниченной Л-вариации на отрезке имеет точки разрыва только первого рода и их не более чем счетное множество (см. [5]).

2. Приведем пример функции ограниченной Л-вариации /, где АВУ строго содержит класс НВУ, в точке непрерывности которой существует сопряженная к ней функция /(ж), при этом сопряженный ряд Фурье расходится в этой точке.

Данный пример является модификацией хорошо известного примера Лебега (см. [3, с. 133]).

Пусть П\, П2, ■ ■ ■ , Пк, ■ ■ ■ — последовательность натуральных чисел, которые мы подберем позже. Положим

а0 = 1, ак = (4 щ + 1)(4 п2 + 1) • ... • (4 пк + 1), к = 1,2, ... .

Обозначим 4 = (

к = 1,2,.... Последовательность положительных чисел ск выберем позже,

а пока будем предполагать, что ск 0 при к —оо. Определим функцию

сксо8акх, если ж €к = 1,2,...

^Х^ 1 0, если ж = 0 и ж е [§, 7г],

далее продолжим ее нечетным образом на [—ir, 0]. Тогда, так как /(ж) —0 при х —0, /(ж) непрерывна в нуле и на всем отрезке [—ir, ir}.

Рассмотрим последовательность Л = {Ага} G L, такую, что = о при п —оо. Определим условия на числа Ск, при которых функция /(ж) G ABV[—ir, ir}.

Так как функция / на /д. имеет приращение 2Ск на 2Пк — 1 интервалах монотонности и на двух интервалах приращение Ск, ее вариация на /д. оценивается следующим образом:

^ A¿ A2„fc A2nfc+1 ^ A¿

N N

Поэтому с учетом равенства Y, = Y, 0 (n) = = aN IniV, где c¿n —► 0 при N —оо, вариация

га=1 га=1

оо оо 2rifc оо

ВД; [-7Г, тг]) 4) = 4^cfca:2rifcln2nfc.

fc=l fc=l i=l г fc=l Следовательно, получаем первое условие на выбор Ск-

1) для сходимости ряда YlkLi ска2пк 1п2Пк достаточно, чтобы вариация Va(/; [—ir, 7г]) была конечной. Рассмотрим значение сопряженной функции и сумму сопряженного ряда в точке х = 0. Так как

7Г 7Г 7Г

7(0) = -- [ ^т dt = -- í ® dt - - í f(t)g(t) dt, 71 J 2 tg | ir J t ir J

o o o

где g(t) = 1 t — j — монотонная, непрерывная на [0, ir} функция, то для того чтобы значение /(0) было

§ 2

7Г 2ак-1

конечным, достаточно показать, что существует интеграл / сИ = I dt. С помощью

о ф-

к

второй теоремы о среднем получаем

7Г

J t

о

00 о о л 00

\ - ¿(lk 2 4 \ -

< > Ск--= - > Ск-

^ 1Г &к ir ^ к=1 fc=l

При выполнении условия 1 значение сопряженной функции /(0) будет конечным.

Теперь перейдем к рассмотрению ряда ¿>[/]. Частичная сумма сопряженного ряда Фурье имеет вид

7Г , 7Г 7Г

лч ,, ч 1 Í ,, . cos^-cos (n + h)t 1 I f,, Д-cos ni , 1 , „,

Sn(f]x) = — / /ж + í-2 0 ■ \-= — / /ж + i rft-TT- / / ж + í sin пШ.

7Г У 2 Sin I 7Г У 2 tg I 2-7Г

I J 2tg|

— 7Г —7Г —7Г

Второй интеграл в последней формуле стремится к нулю при п —оо равномерно по ж (см. [2, с. 87; 3, с. 105]). Для нечетной функции /(ж) при ж = 0 имеем

7Г

ад; 0) = i//(t)i^dÉ + o(i)>

VT J 2 tg f

о

где о(1) —0 при п —► оо.

7Г

Рассмотрим интегралы Jfc = //(i)^ff^ dt. Если подберем Cfc и Пк так, что Jk 00 при к оо, то

о Jg2

Sak(f ; 0) —00 при к —оо и тогда ряд ¿>[/] будет расходящимся в точке ж = 0. Представим интеграл Jk в виде суммы

JkJjm4^Lit+ j ntf^iía- J rn^it-

- J f(t)g(t) cos akt dt = Jl + J2k + Jl + 4 + 4 ,

IT

2 ak

где функция g(t) была определена выше. Для интеграла J^ имеем

^ак ^ак г 2 sin2 ^ f 2(

IJ^k sup |/(i)| / -- — dt s^ ck 1

t

2±1)2 -2 t lb

о

о

при к —оо по выбору ск.

Следующий интеграл представим в виде суммы:

J U

т

7Г

dt + J f(t)g(t)dt.

Второй интеграл в этой сумме существует и ограничен, а первый оценивается следующим образом:

£

г=1

Ci COS а^ t

dt

к n n л ОО

Е2ец 2

Сг--< - > Ci]

7г ец 7г ^ г=1 г=1

учитывая условие 1, получаем = 0( 1) при к —оо.

Интеграл представим в виде разности двух интегралов:

7Г 2afc\

Jk

f(t)g(t) cos aktdt,

V

/

первый из которых при к —оо стремится к нулю как коэффициент Фурье, а второй есть 0(^7), т.е. также стремится к нулю.

До сих пор мы еще не определили числа ск и пк. Положим щ = 1 (числа ск укажем потом). Если С\, Сг, ■ ■ ■, Сд;_1 и щ, П2, ■ ■ ■, пк-1 уже определены, то функция /(¿) определена на 1\, /2, ..., т.е. на

полуинтервале

V

f(t)

Она непрерывна на этом полуинтервале, а t > , поэтому ограничена.

7Г

Следовательно, если п достаточно велико, то интеграл J f(t) costnt dt может быть сделан сколь угодно

7Г

2ак-1

малым. Выбором пд; можем сделать ак как угодно большим, в частности таким, что

141 <

Kt)(-^dt

<

следовательно, = о(1) при к —оо. Остается оценить j|. Имеем

з f cos akt ск f 1 — cos 2akt Jk = - / Cfc cos akt—-—dt = —— / ---

Cfc

Cfc

di = -yln(4nfc + l) + y

cos 2akt t

dt.

По второй теореме о среднем

2ак 2 _ 2 7г 2 ак 7г

Так как с^ —0, то = — \ск ln(4пк + 1) + о(1). Откуда

Jk = -\ск ln(4nfc + 1) + о(1) + 0{ 1)

при к —оо. Получили второе условие на выбор ск и п^:

2) для того чтобы ряд S(f] 0) расходился, достаточно, чтобы Jk = —ск ln(4пк +1) ——оо при к —оо. Возьмем ск = \J*2nk 1 гДе последовательность {Pk}kLi положительна и Д ^ оо при к —>■ оо. Тогда

оо

условие 1 запишется в виде ^ ct2nkh < 00 > учитывая, что ам —0 при N ^ оо, выберем Пд; настолько

к=1

большим, что oi2nkPk < 'р- А условие 2 при таком выборе с^ и Пд; очевидно выполнено. Пример построен. Работа поддержана грантом РФФИ № 05-01-00192.

cos 2 akt t

dt

2 ak

TT

cos 2 akt dt

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Young W.H. Konvergenzbedingungen fur die verwandte Reihe einer Fourierschen Reihe // München. Sitzungsberichte. 1911. 41. 361-371.

2. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1. М.: Мир, 1965.

3. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: ГИФМЛ, 1961.

4. Редкозубова Е.Ю. О сходимости сопряженного тригонометрического ряда Фурье функции ограниченной гармонической вариации // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2005. № 4. 48-52.

5. Waterman D. On convergence of Fourier series of functions of generalized bounded variation // Stud. math. 1972. 44. 107-117.

Поступила в редакцию 15.12.2004

УДК 517.53

ОБ ОЦЕНКАХ ПРОИЗВОДНЫХ ОТ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

НА КОМПАКТАХ

О. Н. Косу хин

Введение. Для любого натурального п обозначим через Кп(1^) класс всех рациональных функций Я(г) степени не выше п, полюсы которых не лежат на компакте К комплексной плоскости С. Если при заданном натуральном в, некоторой точке го € К и любом натуральном п справедливо неравенство вида

Д(%0)| (1)

какова бы ни была функция К £ Кп(1^), где Л = \{К,п, 8, г о) > 0, то будем говорить, что в точке го выполняется неравенство типа Маркова-Бернштейна для ,в-х производных рациональных функций. Легко видеть, что у любого компакта К С С найдутся точки го & К, в которых не существует оценок такого вида ни при каких фиксированных п и Заметим, что в случае произвольного континуума К, не вырожденного в одну точку, любого натурального п и любого полинома Рп(г) степени не выше п неравенство вида (1) с К = Рп справедливо в каждой точке го £ К с величиной Л = \{К,п,в) < оо, уже не зависящей от го, т.е. в этом случае всегда имеется равномерая на К оценка для производной любого порядка от каждого полинома (см. добавление С. Н. Мергеляна в [1, разд. 1, п. 5]).