CC BY
1УДК 517.982.256
УСЛОВИЕ СОВПАДЕНИЯ ЖАДНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
С m-ЧЛЕННЫМИ
К. С. Вишневецкий1
Для множества M в банаховом пространстве получены условия, необходимые или достаточные для того, чтобы для всякого натурального n и всякого элемента, равного сумме n элементов из M, его n-e остатки при жадных приближениях относительно M равнялись нулю.
Ключевые слова: жадные приближения, выпуклые множества, сбалансированные множества, банахово пространство, евклидово пространство.
M
following: every element which is a sum of n elements from M has zéro n-th greedy residual
M
Key words: greedy approximations, convex sets, balanced sets, Banach space, Euclidean space.
Жадные приближения относительно произвольного словаря в банаховом пространстве — одна из ключевых тем исследования в нелинейной теории приближений в последние десятилетия [1]. В работе [2] рассматриваются жадные приближения произвольным множеством M в банаховом пространстве X. Для всякого элемента x G X жадный алгоритм выдает последовательность жадных остатков
x0 — xj xn+1 — xn ynj
где yn G Pm (xn ), a
Pm(x) — {y G M : \\x - y\\ — p(x, M) :— inf{||x - y\\ : y G M}}
x M M
существования, т.е. Pm (x) — 0 для всяко го x.
В случае приближений относительно словаря в качестве M выступает множество A(D) — {Xg : X G R,g G D}, где D — словарь, т.е. подмножество единичной сферы S(X) пространства X, линейные
X M
го алгоритма, т.е. для стремления \\xn\\ ^ 0 при любом начальном элементе x. Ясно, что если 0 лежит во внутренности M "множества M, то жадный алгоритм сходится. С другой стороны, для
M
непустое пересечение с каждым открытым полупространством {x : f (x) > 0}, где f — произвольный ненулевой функционал из X*.
Возникает вопрос о скорости сходимости жадного алгоритма. Естественно сравнивать нормы \\xn\\ жадных остатков с наилучшими n-членными приближениями
(тп{х) = р{х, Ега(М) := М + ... + М).
n
В частности, в [2] ставится задача описания всех множеств M, таких, что un(x) — \\xn\\ для всех x из X и n G N.
Утверждение 1. Пусть {ek} С S (H ) — базис гильбертова пространства H. Для приближений относительно словаря D — {ek} равенство \\xn\\ — an(x) выполнено для всех x и n тогда и только тогда, когда базис {ek} ортонормированный.
Доказательство. Если {ek} — ортонормированный базис, то для всех x и n равенство \\xn\\ — un(x) выполнено [1, гл. 1.3].
1 Вишневецкий Кирилл Сергеевич — студ. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: VishneveckiykirillQyandex.ru.
Vishnevetsky Kirill Sergeevich — Student, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Theory of Functions and Functional Analysis.
Пусть {ек} — не ортонормированный базис. Можно считать, что (е\,е2) = 0 Для х = в\ + в2 имеем а2(х) = 0. Возможны два случая: аек € Р\(п)(х),к ^ 3, и [ве^ € Рл(в)(х),3 = {1, 2}. В первом случае Х1 = е1 + е2 — аек € Л(О). Во втором случае можно считать, что ] = 1, тогда (х1,е1) = 0 и Х1 € 8рап(е1 ,е2), следовательно, х1 € Л(О). Из соотношения х1 € Л(Б) вытекает, что х2 = 0, следовательно, \\х2\\ = а2(х) = 0. Утверждение доказано.
Задача описания всех словарей О, для которых равенство \\хп\\ = ип(х) выполнено при всех х и и, представляется довольно трудной даже в случае гильбертова пространства. Класс таких словарей не исчерпывается ортонормированными базисами. Например, для евклидовой плоскости М2 можно показать, что всякий конечный словарь О, относящийся к этому классу, представляет собой объединение ортонормированных базисов и некоторых векторов, противоположных элементам этих базисов. Во всяком пространстве Ь2 к этому классу относится словарь, состоящий из всех неотрицательных функций с единичной нормой, что уже не представляется в виде объединения ортонормированных базисов и некоторых векторов, противоположных элементам этих базисов. В частности, в М2
неотрицательными координатами.
Далее исследуется близкая задача: найти условия на множество Ы, необходимые или достаточные для того, чтобы при всех натуральных и и всех х € X из равенства ип(х) = 0 следовало равенство хп = 0.
Для класса множеств в евклидовом пространстве, представляющих собой конечное объединение отрезков, получается аналогичное утверждению 1
Утверждение 2. Пусть Ы = и'т=1[0,ак] — разностороннее множество в евклидовом пространстве М^. Тогда, следующие условия эквивалентны:
(1) для всякого натурального и и всякого х из равенства ап(х) = 0 следует равенство хп = 0;
(2) для всякого х € Ы + Ы выполнено х2 = 0;
(3) Ы = Ук=1[^к,ак], где Хк < 0 и векторы ак взаимно ортогональны.
Доказательство. Импликация (1) ^ (2) очевидна.
(2) ^ (3). В случае й = 1 утверждение сразу следует из того, что Ы — разностороннее множество. Пусть й ^ 2. Предположим противное, т.е. найдутся два неколлинеарных вектора, скажем а1 и а2, такие, что (а1,а2) = 0 Пусть П — плоскость, образованная векторами а^ и а2- Возьмем вектор Ь1 € П, для которого (а1,Ь1) = 0, (а2,Ь1) > 0. Тогда элемент х = а1/2 + еЪ1 € Ы + Ы и Рм(х) = а1/2 для достаточно малого е. Следовательно, х1 = еЬ1 € Ы, а значит, можно считать, что найдется вектор аз = ХЬ1, где Х > 0. Аналогичными рассуждениями получим векторы а^,...,а^ € П
а1 а2
на углы, кратные п/2. Перенумеруем эти 8 векторов удобным образом. Будем считать, что а1 имеет наименьшую норму из векторов ак, 1 ^ к ^ 8, и что (а1,а2) > 0 и (а1,аз) > 0. Тогда а1 лежит во внутренности прямоугольника, натянутого на векторы а2,аз, а следовательно, и во внутренности множества Ы + Ы. Для любого V € П с (а1,ь) > 0 имеем Рм(а1 + еь) = а1 при малых е. Для х = а1 + еь € Ы + Ы получим х1 = еь € Ы по условию (2), но направлений векторов V бесконечно
сЫ
(3) ^ (1). Пусть множество Ы = Ук=1[Хкак,ак], где векторы ак взаимно ортогональны, Хк < 0. Можно считать, что координаты вектора х = (х1,...,х(1) в базисе а1,...,а^ неотрицательны, в противном случае заменим ак и Хк на Хкак и 1/Хк соответственно, тогда отрезок [Хкак,ак] не изменится, а координата хк поменяет свой знак. Принадлежность х € Т.п(Ы) равносильна тому, что з(х) := \х1^ + ... + \ха] ^ и. Если Рм(х) = ак, то «(х1) = в(х) — 1 и х1 € Еп-1(Ы). Если же РМ(х) = 0ак с в € (0,1), то хк = в, хк = 0 и снова «(х1) = в(х) — 1 и х1 € Еп-1(Ы). Анало-
х
Утверждение доказано.
Ыи х € X го равенства ап(х) = 0 следует равенство хп = 0, в общем случае представляется достаточ-
Ы
для выполнения указанного свойства в достаточно общем классе банаховых пространств. В случае евклидова пространства удается доказать и достаточность этого условия.
Пусть Ы — выпуклое замкнутое множество в банаховом пространстве X. Выпуклое подмножество ¥ С Ы называется гранью Ы, если го условий х,у € Ы, (х,у) П ¥ = 0 следует [х, у] С ¥. Подмножества 0 и Ы называются несобственными гранями, а все остальные — собственными (см. [3, гл. 1.5]).
Для всякой точки p G X \ {0} через fp обозначим произвольный единичный функционал со свойством fp(p) — \\p\\.
X
замкнутое множество E является чебышёвским, т.е. метрическая проекция Pe(x) одноточечна для x G X
M
нахова пространства X назовем сбалансированным относительно точки u G M, если для любой замкнутой грани F существует такой единичный функционал fp-u G S(X*), где p — Pf(u), что плоскость Пр :— {x : fp-u(x — u) — \\p — u\\} является опор ной к M.
Например, для многоугольника на евклидовой плоскости R2 сбалансированность относительно uu многоугольника, лежат на его сторонах.
Теорема. (1) Пусть X — строго выпуклое рефлексивное гладкое банахово пространство, M С X — выпуклое замкнутое множество, такое, что 0 G M. Если для всякого x из 2M выполнено равенство x2 — 0, то M является сбалансированным относительно точки 0.
(2) Пуст ь M — сбалансированное множество относи m ельно точки 0 в евклидовом пространстве Rd. Тогда для всякого натурального n и всякого x G nM выполнено xn — 0.
Доказательство. Докажем (1). Пусть F С M — произвольная замкнутая грань, p — Pf(0). Для x — 2p G 2M имеет место x2 — 0, т.е. x1 — 2p — PM(2p) G M. Поскольку PM(2p) G M m
p — ((2p — Pm (2p)) + Pm (2p))/2,
имеем [2p — Pm(2p),Pm(2p)] С F по определению грани. Заметим, что
\\p\\ — \\2p — p\\ > p(2p, M) — \\2p — Pm(2p)\\. p
\\2p — Pm(2p)\\ > P(0,F) — \\p\\.
В итоге получаем, что \\p\\ — \\2p — Pm(2p)\\. Тогда для всякого y G [2p — Pm(2p),p] справедливо неравенство \\y\\ ^ \\p\\ в силу выпукл ости шара B(0, \\p\\). С другой стороны, так как y G F и p — PF(0) имеем \\y\\ ^ \\p\\. Таким образом, получаем, что \\y\\ — Hp\\ для всех y G [2p — PM(2p),p], тогда Pm(2p) — p в силу строгой выпуклости пространства X, следовательно, B(2p, \\p\\) П M — {p}.
Поскольку плоскость Пр является единственной шорной плоскостью к шару B(2p, \\p\\) в точке p (в силу гладкости пространства X), то она является опорной и к M. Таким образом, M — сбалансированное относительно точки 0 множество.
Докажем (2). Для этого сначала докажем следующую лемму.
Лемма 1. Пусть a,b G Rd,M С Rd. Тогда для всякого x G [a,b] выполнено PM(a) П PM(b) С Pm (x).
Доказательство. Пусть x — да + (1 — &)b, где в G (0,1), и g G M, c G PM(a) П PM(b). Для удобства введем обозначения u — c — a, v — c — b h — g — c. Тогда
\u + h\ ^ \u\, \v + h\ ^ |v|,
так как \u\, \v\ — расстояния от точек a, b до множества M соответственно. Возводя оба неравенства в квадрат, получаем
2(u, h) + \h\2 ^ 0, 2(v, h) + \h\2 ^ 0.
Домножив последние неравенства на в и 1 — в соответственно, сложив и добавив \du + (1 — d)v\2, замечаем, что
\du + (1 — d)v\2 + 2(du + (1 — d)v, h) + \h\2 ^ \du + (1 — d)v\2,
откуда
\du + (1 — d)v + h\ ^ \du +(1 — d)v\,
что равносильно \g — x\ ^ \c — x\. Следовательно, c G Pm (x)- Лемма доказана.
Лемма 2 [3, гл. 1.5, теорема 5.2]. Пусть F — грань выпуклого замкнутого множества M С Rd. Тогда подмножество G С F является гранью M в том и только в том случае, когда, оно
F
Аффинной оболочкой множества A назовем множество точек вида
Aff A = {Ai (a1 — a0) + ... + Am(am — a0) + a0 : m eN,Aj eR,ak e A, 1 ^ j ^ m, 0 ^ k ^ m}.
Размерностью dim A множества A назовем линейную размерность Aff A. Далее под dA понимается граница множества A в Aff A.
Лемма 3 [3, гл. 1.5, следствие 5.5, теорема 5.6]. Пусть F — грань размерности k ^ 1 выпуклого замкнутого множества M С Rd и x e dF. Пусть G — минимальнал (по включению) грань множества M, содержащая x. Тогда dim G < k.
Лемма 4. Пусть M D F — грань множества, сбалансированного относительно точки и. Тогда, F — сбалансированное множество относительно точки p := Pf(и).
GF
является гранью M. Пусть q = Pg (p). Так как M сбалансировано относительно точки и, то вектор p — и ортогонален L = Aff F и вектор q — и ортогонален Aff G С L. Следовательно,
Pg(u) = Pg(Pf (и)) = Pg (p)
по теореме о трех перпендикулярах, откуда Nq П L = nq П L, где Nq = {x : {x, q — p) = {q,q — p)}. Плоскоеть nq является опорной к M, тогдa nq П L является опорной к F в пространстве L. Nq П L L F
Nq F
Введем несколько вспомогательных определений.
Усеченным, конусом с коэффициентом A > 1 над множеством T с вершиной в точке a назовем множество
KX(T, a) = {р(y — a) + a : yeT,^e [1, A]}.
Обозначим также
K\(T, a) = Ыу — a) + a : yeT}.
Множества K\ (T, a) = T и K£ (T, a) назовем наименьшим и наибольшим основаниями усеченного конуса соответственно.
Цилиндром, над множеством T с образующей и назовем множество
C(T, и) = {x + аи : xeT,ae [0,1]}.
Множества T и T + и назовем основаниями цилиндра.
Лемма 5. Пусть M С Rd — множество, сбалансированное относительно точки нуль. Для любой грани F, для, любого вещественного числа, A ^ 1 и любого век тора x e AF выполнено
1) Pm (x) e F;
2) UyeF[Ay,PM(Ay)]= Kx(F, 0).
Доказательство. Докажем одновременно оба пункта индукцией по размерности грани. При dim F = 0 имеем F = {p},Pm(Ap) = p, так как Пр — опорная к M. Усеченный конус K\(F, 0) совпадает с [Ap,PM(Ap)].
Рассмотрим произвольную грань F С M,p := Pf(0). Если x e F + (A — 1)p, то Pm(x) = x — (A — 1)p e F, поскольку плоскость Пр — опорная к M. Если x e d(AF), то по лемме 3 найдется грань F С F, такая, что x e AFF и dim F < dim F. Можно считать, что x e AF° \ (F + (A — 1)p), тогда множество (p, x — (A — 1)p] П dF состоит ровно из одной точки. Рассмотрим минимальную грань G множества M, содержащую эту точку. Тогда x e K\(G + (A — 1)p, Ap). По лемме 3 имеем dim G < dim F, а значит, к грани G можно применить предположение индукции:
\J[Ay,PM(Ay)] = K\(G, 0),
y£G
что эквивалентно равенству
U [Ay, Pm (Ay) + (A — 1)p] = Kx (G + (A — 1)p, Ap).
y£G
Возьмем тот элемент y e G, для которого x e [Ay, Pm (Ay) + (A — 1)p]. Заметим, что
Pm (Ay) = Pm (Pm (Ay) + (A — 1)p),
так как Pm(Лу) + (А — 1)p £ F + (Л — 1)p. Тогда, применяя лемму 1, получим Pm(x) = Pm(Лу) £ F, что доказывает первый пункт.
Пусть x £ KX(F, 0). Есл и x £ C (F, (Л — 1)p), то x £ [Pm (x) + (Л — 1)p, Pm (Pm (x) + (Л — 1)p)]. Пусть x £ K\(F, 0) \ C(F, (А — 1)p). Найдутся a, /3, такие, что x £ K%(F, 0) и x £ Ke (dF + (a — 1)p,ap), где 1 < в ^ a ^ А. Пусть G — минимальная грань множества М, содержащая точку p + (x — ap)/^ = (x — (a — (3)p)/ft £ dF. Тогда можно проверить, что x £ KY(G, —pp), где
_\[3 [3 +a _ a- (3
' ^ ~ /ГГГ
Более точно: из определения a, (3 и G получаем
x £ f3G + (a — (3)p = Ke( (G, —pp).
Аналогично можно проверить, что
K(G, —w) = YG + (Л — Y)P С AF.
По лемме 3 имеем dim G < dim F, а значит, к грани G можно применить предположение индукции:
\J[7V,Pm(1V)]= Ky(G, 0), veo
что эквивалентно
(j [yv + (Л — Y)p, Pm(yv)] = Щ(G, —pp).
veo
Возьмем элемент y £ G, для которого x £ [yv + (Л — Y)p, PM(YV)] - Так как YV + (Л — Y)p £ ЛF, то по уже доказанному первому пункту имеем
Pm (YV + (Л — Y)P) £ F, Pm (YV) £ F.
В силу ортогональности вектора p пространству Aff F получаем
Pm (YV + (Л — y)p) = Pf (YV + (Л — y)p) = Pf (YV — (Y — 1)p) = Pf (yv) = Pm (yv),
откуда
x £ [yv + (Л — Y)p, Pm (yv + (Л — y)p)].
Лемма доказана.
M
докажем более сильное утверждение: для любого вектора x £ ЛМ и любого вещественного числа Л > 0 выполнено xn £ тах{Л — n, 0}М. Случай dim М = 1 очевиден.
Пусть x £ ЛМ, причем Л минимально возможное, так что x/Л £ дМ, и пусть F — минимальная грань М (по включению), такая, что x/Л £ F,p := Pf (0). Есл и Л ^ 1, то Pm (x) = x и xi =0, что завершает доказательство этого случая.
Пусть Л > 1. По лемме 5 пол учим Pm (x) = Pf (x), а в силу того что в ектор p ортогонал ен Aff F, имеем
pF(x) = PF+(\-1)p(x) — (Л — 1)p.
По лемме 4 множество F + (Л — 1)p сбалансировано относительно точки Лp, тогда по лемме 3 имеем dim F < dim М и применимо предположение индукции, т.е.
xF £ ^p + (Л — 1)(F — p),
где х£ — последовательность жадных остатков элемента ж, построенная в плоскости Aff F + (А — 1)р по множеству F + (А — 1)р относительно точки Ар. Тогда
х\ = х — Рм(х) = х — Рр(х) = х — Рр+(х-1)р(х) + (А — 1)р = (х — Рр+(а-1)р(х) + Ар) — р = — р е
е (А — 1)р + (А — 1)(^ — р) = (А —
что и требовалось.
Теорема доказана.
Следствие. Пусть M С Rd — выпуклое замкнутое множество, такое, что 0 GM. Тогда, следующие условия эквивалентны:
(!) для всякого натурального n и всякого x из nM выполнено xn = 0;
(2) для всякого x из 2M выполнено x2 = 0;
(3) M является сбалансированным множеством относительно точки 0.
Было бы интересно обобщить это утверждение на более широкий класс пространств. Покажем, что для всякого натурального n ^ 2 и всякого натурального m найдутся такие множество M и элемент x, что un(x) = 0, но жадный алгоритм относительно M с начальным элементом xm
Рассмотрим треугольник M на евклидовой плоскости с вершинами A = (-3, -2),B = (m — l,m),C = (3m + 3,m), где m G N и точку x = 2B = (2m — 2,2m), тогда a2(x) = 0 и an(x) = 0. Имеем PM(x) = (2m — 2,m), откуда x\ = (0,m). Осталось заметить, что x\ G (m — !)M, так как точка (0,1) лежит на границе треугольника M, следовательно, xm = 0.
Автор выражает благодарность П. А. Бородину за постановку задачи и помощь в работе над статьей, а также Л. Ш. Бурушевой за полезные замечания.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 22 21 00415).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Temlyakov V. Greedy approximation. Cambridge: Cambridge University Press, 2011.
2. Бородин П. А. Жадные приближения произвольным множеством // Изв. РАН. Сер. матем. 2020. 84, № 2. 43-59.
3. Br0ndsted A. An introduction to convex polytopes. N. Y.: Springer-Verlag, 1983.
Поступила в редакцию 27.11.2020
УДК 517.984.4
О ЛОКАЛИЗАЦИИ СПЕКТРА ОПЕРАТОР-ФУНКЦИИ, ВОЗНИКАЮЩЕЙ ПРИ ИЗУЧЕНИИ КОЛЕБАНИЙ ВЯЗКОУПРУГОГО ТРУБОПРОВОДА С УЧЕТОМ ТРЕНИЯ КЕЛЬВИНА-ФОЙГТА
Ю. А. Тихонов1
В статье рассматривается оператор-функция, которая является символом абстрактного интегродифференциального уравнения — модели уравнения малых колебаний вяз-коупругого трубопровода с учетом внутреннего трения. Получена локализация спектра этой оператор-функции, а также проведены оценки нормы ее резольвенты в областях, не содержащих точек спектра.
Ключевые слова: абстрактное интегродифференциальное уравнение, оператор-функция, спектр, резольвента.
In this paper we consider an operator function being a symbol of the abstract integro-differential equation describing the oscillations of a viscoelastic tube. The operator-function spectra localization is determined in the paper and its resolvent norm is estimated in a domain free of spectral points.
Key words: abstract integro-differential equation, operator-function, spectra, resolvente.
Введение. Настоящая работа посвящена исследованию спектра оператор-функции, возникающей при изучении абстрактного интегродифференциального уравнения второго порядка в сепара-бельном гильбертовом пространстве H:
u(t) + aAu(t) + Aait) + Би(г) — [ K(t — s)Au(s)ds = f (t) (1)
Jo
1 Тихонов Юрий Андреевич — асп. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ; Моск. центр фунд. и прикл. матем. МГУ, e-mail: yurytikQyandex.ru.
Tikhonov Yury Andreyevich — Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Mathematical Analysis; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics MSU.
