Ускоренные алгоритмы оценивания параметров аддитивной экспоненциальной модели методом наименьших квадратов Текст научной статьи по специальности «Математика»

1.РАДЮЕЛЕКТРОН1КА

УДК 621.391

УСКОРЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ АДДИТИВНОЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ МЕТОДОМ

НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

М.В.Андреев, О.О.Дробахин

Рассмотрено применение метода наименьших квадратов для решения задачи оценивания параметров аддитивной экспоненциальной модели, предложены ускоренные алгоритмы реализации данного метода, указан вид первой и второй производных целевой функции метода наименьших квадратов и проведено сравнение их точностных характеристик с другими методами.

Розглянуто застосування методу найменших квадрат1в для розв'язку задач1 ощнювання параметр1в адитивноЧ експоненщальноЧ модел1, запропоноват прискорет алгоритми реал1зацп даного методу, зазначений вигляд першоЧ i другоЧ пох1дних щльовоЧ функцп методу найменших квадратiв i проведене порiвняння ¿х характеристик з тшими методами.

The application of least squares method for a solution of a problem of parameter estimation of additive exponential model was considered. The accelerated algorithms of this method were proposed. The analytical expressions for components of gradient vector and Hessian matrix of the objective function of least squares method were obtained. The comparison of the novel method and traditional methods was held.

ВВЕДЕНИЕ

Во многих задачах радиоэлектроники возникает проблема определения параметров аддитивной экспоненциальной модели. Эту проблему приходится решать, например, в различных задачах радиотехнических измерений: при многочастотной рефлектометрии передающих линий, в антенных измерениях, в неразрушающем контроле, при определении параметров слоистых структур по частотной зависимости коэффициента отражения и в некоторых других [1-5]. Для этих задач аддитивная экспоненциальная модель позволяет моделировать их различные свойства, например, характеристику отражения в передающей линии или от слоистой диэлектрической структуры и давать приемлемую физическую интерпретацию полученным значениям параметров данной модели.

Современная многочастотная рефлектометрия часто использует обратное преобразование Фурье от измеренных в частотной области данных для определения значений параметров аддитивной экспоненциальной модели. Однако способность такого подхода выполнить временное (пространственное) разделение близко расположенных друг к другу компонент ограничена по

критерию Релея инструментальным диапазоном качания частоты измерительной установки. Разрешение также отсутствует для неортогональных компонент вследствие наличия высоких боковых лепестков, ограниченности интервала наблюдения диапазоном постоянства (квазипостоянства) искомых параметров (времен запаздывания и амплитуд откликов), диапазоном когерентности сигнала и т.д. Эти ограничения, проявляющиеся при использовании преобразования Фурье, в некоторой степени можно ослабить, если для указанных целей использовать подгонку под измеренные данные модели в виде суммы неортогональных экспонент при помощи метода наименьших квадратов.

Однако использование метода наименьших квадратов для оценивания параметров аддитивной экспоненциальной модели предполагает решение сложной проблемы нахождения глобального максимума неунимодальной функции многих переменных, что требует значительных вычислительных ресурсов. В данной работе рассмотрены возможности ускорения данной процедуры, проанализированы точностные характеристики предложенных алгоритов и проведено сравнение с другими известными методами.

1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть модель для анализируемого в частотной области сигнала представима в виде суммы экспонент:

м

хм(Г, ю) = £ Гт ■ ехр + (-югт), (1)

т = 1

где параметрами модели являются вектора амплитуд г = {Ту, г2, ..., Гм} и времен \ = {11, ^ М} . В случае задания сигнала в диапазоне [ю^ ю^] на дискретной сетке частот юп = Ю1 + (п - 1 )Дю , п=1,2,...,Ы его можно записать:

Хм( г, г) = Е Г, (2)

где хм _ {хм(ю1), хм(ю2), ..., хм(ю#)} , а элементы матрицы е принимают вид:

Епт _ ехР+(-)®пгм); п _1 2,., N; м = 1, 2,..., М. (3)

Матрица е является функцией вектора времен > _ }

г _ {tl, ..., М} •

Проблема определения параметров модели (2) по некоторым измеренным в частотной области данным

X _ {х(Ю1), х(Ю2), ..., х(ю№)} является обратной задачей,

которая может быть неустойчивой в силу того, что выбранная модель не вполне адекватна обрабатываемым данным при наличии измерительного шума и из-за ряда других причин. Поэтому, для получения устойчивого решения, позволяющего определить искомые параметры модели (2), необходимо использовать метод поиска квазирешения [5], основанный на подгонке выбранной модели (2) под измеренные данные методом наименьших квадратов. Суть метода квазирешения состоит в нахождении минимума целевой функции

р( r, t) = \\x - 2 = IX - E r||2 =

N

N

I

n = 1

M

Xn - I rmeXp-J^ntm)

НГ = G,

где н = ене - матрица Грамма для экспонент, а вектор G _ Енх _ {G(г 1),..., G(¿м)} состоит из значений временного сигнала, соответствующего значениям {¿1, ¿2,., ¿М} • Элементы матрицы н определяются следующими выражениями (к,м = 1,2,...,М):

N

Hkm = N I eXPUan(tk - tm)] =

1

= sinN

Дю, ч

N' -у (tk - tm )

где Wmid = ®1 + (N - 1 )Аю/ 2 - средняя частота диапазона, на котором задан анализируемый сигнал, а

функция sinN(N, x) = sin(N x) является дискретным N • sin (x)

аналогом функции sinc(x). Элементы вектора G определяются в соответствии с выражением:

1

Gk = G(tk) = N I Xnexp(jю^к), k = 1 M. (7)

n = 1

Подставляя значение оптимальных амплитуд

гопт = Н 1G

(8)

в целевую функцию (4), получаем новую целевую функцию меньшей размерности, которая зависит только от вектора времен:

P(t) =

Ii2 - GH н-1 G.

(9)

Учитывая вид вектора временного сигнала G = EHX,

(4)

целевая функция (9) может быть переписана в виде:

p(t) = и2 - XH p X,

(10)

путем перебора по возможным значениям векторов > >

параметров модели r и t .

Вектор амплитуд Г входит в модель (2) линейно и может быть исключен из рассмотрения за счет решения линейной задачи по поиску оптимальных амплитуд

гопт = arg mini x — Erl2 и подстановки получаемого Г € RM

решения в исходную целевую функцию. Указанная линейная задача для данного случая имеет вид

E^E Г = E^x и может быть записана в новых обозначениях как

(5)

exP[j^mid(tk- tm)], (6)

где матрица Р _ Е (ЕЯЕ )-1 Ен является проектором на пространство сигнала, образованного базисом из столбцов матрицы е, каждый из которых представляет собой отдельную экспоненту, заданную в дискретных точках Юп для фиксированного времени гм.

Глобальная минимизация целевой функции (9) с целью поиска квазирешения требует значительных вычислительных ресурсов и времени обработки, что делает затруднительным практическое применение данного подхода. Для преодоления указанной проблемы в [6] было предложено использовать алгоритм последовательного наращивания порядка модели, что позволяет перейти к использованию методов локальной оптимизации и значительно ускорить процесс поиска квазирешения. В [6] был использован метод поиска локального минимума нулевого порядка, а именно, симплексный метод деформируемого многогранника Нелдера-Мида. Еще более ускорить поиск квазирешения можно, если перейти к использованию методов локальной оптимизации первого и второго порядка, которые предполагают использование при поиске, кроме значений целевой функции, еще и значения первой и второй производных целевой функции. При этом желательно, чтобы эти значения определялись не численно, а при помощи аналитических выражений. Поэтому, для ускорения поиск квазирешения, были получены аналитические выражения для компонент вектора-градиента и матрицы Гессе, определяемых для целевой функции (9).

N

2

1

m

n

2 ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Поскольку при заданном сигнале его норма является константой, минимизация целевой функции (10) полностью эквивалентна максимизации целевой функции вида:

5(г) = ХнРХ = ХНЕ(ЕНЕ)-1ЕнХ = внН-1в . (11)

Производная этой целевой функции по местоположению гт определяется как

1тт Н> = -1^

Э2 5 = 2ЛдГНЭG + дГНЭНг%

гт 1 Э 1к Эгт Эгкдгт Эгк дт

- ГН г = 2^е{дГН-- дНГ, + ГН

= 2 4 Г н-1 д^ % + %н % = Эг„ 1 Э 1т I Э 1т

= 2Яе\ %НН-1 д%'-%НН-1 дНН-1%. (12)

Эгт I т

ЭгкЭгт 1 Эгк )Эт Эгт * ЭгкЭ^

- )Н _Э-;Н_ Г

Э гкЭ гт '

(16)

В это выражение входит производная от вектора оптимальных амплитуд по к которая в свою очередь определяется следующим образом

ЭН =э (%Нн-1) = -%- Н-Н Н-1. (17)

Эгк Эгк

Эи Э г,

Учитывая тот факт, что при вычислении целевой функции

5 = % Н = % г подразумевается принятие вектором

" > > ц-1

амплитуд значений г = гопт = Н 1 % , производную

целевой функции (12) можно переписать в виде:

Э- = 2Яе\ ГН $ ' + ГН ^ Г =

Э т 1 т I Э гт

Таким образом, подставляя (17) в (16), окончательно получаем вторую производную целевой функции в виде:

Э2 5

ЭгкЭт

= 2Ле\ | Э.рН-ГНН-1 + -ЦНГ| + Э и Эк ) Э? Э *

ГН1-ГН^ >

ЭгкЭгт % ЭгкЭгт

г.

(18)

Матрица вторых производных (матрица Гессе) целевой функции (11) может быть записана в виде:

= 2Яе

м

г * О '-г *

т т т

Э^( г т - к

к Э?

к = 1

(13)

= Нкт =

п

ДЮ/ 2

ч - т)

еХР[/Юш1а(гк - гт)].

Производная функции определяется как

Э-§) = *оЦм + Д^^ г) -е*(Д?г)

Ъ = 2Яе{УНН-1 V + и} ,

(19)

где использованы следующие обозначения:

Э О( гт) / *

От = -Гт = N £ ХпЮпеХР(Юп^т) , ^гк- гт) =

т „ = 1

где и - матрица размера МX М, (кт)-ый элемент которой определяется как

^ = - 1 гн^Н г =

.(14)

В соответствии с (13) градиент целевой функции (11) может быть определен как

У5(г2,., гм) = Э| = 2Яе\гнЭО' - г, (15) 12 м Эг " Эг I Эг

где оператор взятия производной по вектору г = {г 1, ^2» ¿м} , обозначаемый , подразумевает

Э г

производную по каждой компоненте.

Выполняя дифференцирование (13) по к вторую производную от целевой функции можно определить в виде

.Э 2 ^ (т - ч)

к т ЭгкЭ т

,Э 2 % (гт)

, к Ф т,

м

,Э 2 ^ (т - и)

Э г 2

г = 1

т г' , гггт --, к = т'

Э2% (гт) 1 N 2 (. )

т £ ХпЮ1еХР(3юпгт)

п=1

Э N

У = [$2,..., *м] - матрица размера мXм,

образованная вектором-столбцом , который

определяется как

v = Эе - эн г = Н эТ = Э ( % - %м) =

Ут Э<т ЭгтГ Эгт Э<т

+ д 5 ( ¿1 - гм) ,

Г -

м ^м

д 5 ( ¿2 - ) Г -

м дг

м

м

д G ( ¿м) м д5( ¿м - ¿к)

I г

дг„

к _ 1 к ^ м

д г 2

, м _ 1, 2, ..., М;

G

д 5 ( ¿М - ¿м ) г -

м дг'

м

Gм _ {Gм(¿1), Gм(¿2), Gм(¿м)}т; м

м(¿м) _ I ^ - ¿м) , м _ 1> 2>.> м .

к _ 1

д2_ С(л . + Аю - ¿хо <|7^ + —

Nctg+NА2^- ctg + Аю $

- + Аю)2

N2

1

З1п2 )Аю ?!

>.

д2^) _ д г 2

д 5 (г)12 5 ( О

Аю

2§Ч Т^

1 - I 5 ( г ) | 2 5 (-)

дб „ I>н

-— _ Яе$ гн д

2 дб - дНГ

дм д ^

} _ Яе\Гн ~дG+> ' ))- + Ут

% 1

Уб(¿2,

¿м) _ Ле$ Гн

+ V

. Л .

(22)

Используя (14), вторую производную функции можно записать в виде

Если предположить, что при вычислениях второй производной функции будет известна ее первая

производная, то для ускорения вычислений предпочтительней будет использовать следующее выражение для второй производной

(20)

Используя вспомогательные величины, введенные при определении матрицы Гессе, для упрощения и для ускорения вычислений преобразуем форму записи первой производной целевой функции:

3 СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ УСКОРЕННОГО АЛГОРИТМА ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ АДДИТИВНОЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ

В работе было проведено сравнение различных реализаций ускоренного алгоритма оценивания параметров аддитивной экспоненциальной модели, использующих дополнительно информацию о значениях первой и второй производных целевой функции, с алгоритмом, использующим метод минимизации нулевого порядка, который не нуждается в информации относительно производных.

Все варианты алгоритмов строились на последовательном наращивании порядка модели [6], что позволяет использовать для поиска квазирешения стандартные методы локальной оптимизации. Алгоритмы отличались выбранным методом минимизации целевой функции и, соответственно, объемом использованной информации. В алгоритме, использующем только значения целевой функции (алгоритм 0), применялся симплексный метод деформируемого многогранника Нелдера-Мида (метод нулевого порядка). В алгоритме, использующем дополнительную информацию относительно значений первой производной целевой функции (алгоритм 1), применялся метод сопряженных градиентов. В алгоритме, использующем дополнительную информацию относительно значений первых и вторых производных целевой функции (алгоритм 2), применялся модифицированный метод Ньютона.

Сравнительный анализ алгоритмов проводился по их точностным характеристикам. Точностные характеристики анализируемых алгоритмов определялись по результатам оценивания параметров аддитивной экспоненциальной модели для 2500 испытаний тестового примера, в котором обрабатываемые данные вычислялись по формуле

хп _ ехр (-/2 п • п • г 1) + ехр(-/2 п • п • ¿2) + £п ,

п _ -50, -49,., 49, 50, (23)

где использовались параметры модели ¿1 = 0.3, ¿2 = 0.8, а

£п - это независимые случайные гауссовские величины с

2

дисперсией вещественной и мнимой частей а и нулевым средним. По результатам оценивания для 2500 различных шумовых реализаций вычислялись средние значения

{ ¿1, ¿2 } и дисперсии {а^ , а^ } оценок временных место-

.(21) положений г _ {¿1, ¿2} . Для сравнительного анализа

Отсюда получаем выражение для градиента целевой функции в виде вектора-строки

алгоритмов вычислялся средний квадрат ошибки оценок временных местоположений

е? _ 1 I (а2„ + Ум -Ц2) ■

м_1

2

100

80

60

40

20

III! [ 1

е,2, дБ

.. «И ---+----

4 ( 1 '' 1 .'I / / / ; / .. / . ..

Л А 3

да Л?-''*, 1 1 1

-10

-5

10

20 25

30

35 с/ш, дБ

Рисунок 1 - Зависимость среднего квадрата ошибки оценок временных местоположений от отношения сигнал/шум для различных реализаций алгоритма (1 - алгоритм 0; 2 - алгоритм 1; 3 - алгоритм 2; 4 - границы

дисперсии Крамера-Рао)

Полученные значения среднего квадрата ошибки оценок временных местоположений в зависимости от отношения сигнал/шум для различных реализаций алгоритма представлены на рисунке 1 (приведены зависимости значений 101оЯ(1/е2) от отношения сигнал/

шум). Для сопоставления полученных результатов с потенциальными возможностями оценивания параметров экспоненциальной модели для рассматриваемых уровней шума на рисунке 1 дополнительно приведены минимальные границы дисперсии Крамера-Рао О^д (приведен

график зависимости значения 101о§( 1/е^д) от отношения сигнал/шум), которые вычислялись для полного набора сигнальных параметров, используемых в целевой функции (9), по формулам, приведенным в [7]. Видно, что качество работы алгоритмов характеризуется

величиной отношения сигнал/шум 2пор, при котором происходит резкое отклонение кривой от границы Крамера-Рао. Алгоритмы, использующие методы минимизации нулевого и первого порядка, позволяют достичь примерно равных величин QПOр = -3 дБ, в то время, как алгоритм, использующий метод второго порядка, позволяет достичь QПOр = 3 дБ.

Степень получаемого ускорения процесса получения оценок параметров модели (2) можно оценить по временному интервалу, затраченному на получения оценок параметров модельного сигнала (23) для всех используемых реализаций сигнала. Зависимость указанных значений для различных реализаций алгоритма от размерности анализируемого сигнала N представлена на рисунке 2. Как видно, использование алгоритмов 1 и 2 позволяет добиться ускорение более, чем в 3 раза.

Рисунок 2 - Затраченное время на получение оценок параметров модели для всех используемых реализаций сигнала (2500) для различных реализаций алгоритма (1 - алгоритм 0; 2 - алгоритм 1; 3 - алгоритм 2) в

зависимости от размерности анализируемого сигнала

Рисунок 3 - Зависимость среднего квадрата ошибки оценок временных местоположений от отношения сигнал/ шум для различных алгоритмов (1 - алгоритм 0; 2 - алгоритм 1; 3 - алгоритм 2; 4 - метод пучка матриц; 5 -

метод Прони; 6 - границы дисперсии Крамера-Рао)

Рисунок 4 - Зависимость среднего квадрата ошибки оценок временных местоположений от отношения сигнал/ шум для тестового примера из [8] (1 - алгоритм 0; 2 - алгоритм 1; 3 - алгоритм 2; 4 - метод пучка матриц; 5 -

метод Прони; 6 - границы дисперсии Крамера-Рао)

Для данных, вычисляемых по формуле (23), разделение спектральных компонент можно выполнять и при помощи преобразования Фурье, поскольку 11?2 - > 1/N. Поэтому аналогичный сравнительный анализ алгоритмов был проведен и для случая

г 2 г1

: (1 /N . При этом обрабатываемые данные

вычислялись по той же формуле (23), но с другим значением параметра равным 0.31. Дополнительно по этим данным было проведено сравнение рассмотренных алгоритмов с известными методами (с методом пучка матриц и методом Прони). Результаты сравнения представлены на рисунке 3, которые демонстрируют преимущество рассмотренных алгоритмов над известными.

Чтобы обеспечить возможность проведения сравнений с

точностными характеристиками других методов, описанных в [1,8-10] и в некоторых других источниках, были определены точностные характеристики рассмотренных алгоритмов для классического тестового примера из [8]:

хп=ехр(-]2п • п ■ 0,5) + ехр(-/2п ■ п ■ 0,52 + 7^/4) + , п = 1, 2,..., 25 .

Полученные результаты представлены на рисунке 4.

Таким образом, проведенный анализ показал, что рассмотренные ускоренные алгоритмы оценивания параметров аддитивной экспоненциальной модели имеют не худшие точностные характеристики, чем другие методы, но при этом имеют в несколько раз более высокую скорость работы.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Vanhamme H. High resolution frequency-domain reflectome-try// IEEE Trans. Instrument. Measurem. - 1990. - Vol. IM-39. - No. 2. - pp. 369-375.

2. Maricevic Z. A., Sarkar T. K., Hua Y., Djordjevic A. R. Timedomain measurements with Hewlett-Packard network analyzer HP8510 using the matrix pencil method//IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1991, Vol. MTT-39. - No. 3. - pp. 538547.

3. Апресян Л. А., Караваев В. В., Молодцов В. С. Сравнение алгоритмов параметрического спектрального анализа применительно к пеленгации источников антенной решеткой// Радиотехника и электроника, 1997. - ^м 42. - № 1. - С. 82-85.

4. Hua Y., Sarkar T. K. Generalized pencil-of-function method for extracting poles of an EM system from its transient response// IEEE Trans. Antennas and Propagation. - 1989. -Vol. AP-37. - No. 2. - pp. 229-234.

5. Андреев М.В., Борулько В.Ф., Дробахин 0.0. Применение концепции квазирешения для оценки параметров многослойных диэлектрических структур по характеристике

отражения, измеренной на сетке дискретных частот// Дефектоскопия. - 1996. - № 9. - С. 47-60.

6. Андреев М.В., Борулько В.Ф., Дробахин 0.0. 0 реализации метода квазирешений при определении параметров слоев диэлектрических слоистых структур//Дефектоскопия. -1996, № 9. - С. 61-72.

7. Андреев М.В. Предельная разрешающая способность многочастотного радиоволнового метода определения параметров слоистых диэлектрических структур//Вюник Днтропетровського ушверситету. Ф1зика. Радюелектрош-ка. - Вип. 6. - 2000. - С. 121-128.

8. Тафтс Д. V., Кумаресан Р. 0ценивание частот суммы нескольких синусоид: Модификация метода линейного предсказания, сравнимая по эффективности с методом максимального правдоподобия//ТИИЭР. - 1982. - T. 70. - № 9. - С. 77-94.

9. Скляр В. М. 0ценивание частот суммы синусоид// Радиотехника и электроника. - 1991. - № 4. - С. 746-755.

10. Bresler Y., Macovski A. Exact maximum likelihood parameter estimation of superimposed exponential signals in noise. -IEEE Trans. Acoust., Speech and Signal Proc. - 1986. - Vol. ASSP-34. - No. 5. - pp. 1081-1089.

УДК 538.3

МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ГЕЛЬФАНДА-ЛЕВИТАНА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА ПУЧКА МАТРИЦ

М.В.Андреев, О.О.Дробахин, А.Г.Новомлинов, В.Г.Короткая, А.В.Сазонов

Для решения одномерной обратной задачи в радиофизике используется метод Гельфанда-Левитана, основным преимуществом которого является то, что он работает в случае многих переотражений. Недостаток этого метода заключается в том, что когда пики отражения не имеют форму d-импульсов, то использование этого метода не дает хороших результатов. Существует возможность улучшения этого метода за счет использования для перехода из частотной области во временную методов спектрального параметрического анализа.

Для рШення одновим1рноЧ оберненог задач1 у радюф1зищ використовуеться метод Гельфанда-Лев1тана, основною перевагою якого е те, що вт працюе у випадку багатьох в1дбитт1в. Недолтом цього методу е те, що коли тки в1дбиття не мають форму d-iмпульсiв, то використання цього методу не дае гарних результатiв. 1снуе можливiсть покращити цей метод за рахунок використання методiв спектрального параметричного аналiзу замiсть перетворення Фур'е для переходу iз частотног областi у часову.

The Gelfand-Levitan method is used for solving 1-d inverse problem in radiophysics. Its basic advantage consists of that it works in case of multiple reflections. Its lack is that the using of this method gives bad results when picks of reflection are not d-pulses. There is an opportunity of improving this method by using of the spectral parametric analysis methods instead of Fourier transform.

ВВЕДЕНИЕ

Одномерная обратная задача для слоистой диэлектрической структуры при наличии информации об отраженной волне является одной из основных задач радиофизики. Ее решение позволяет восстановить профиль диэлектрической проницаемости слоистой

структуры. Для случая, когда переотражениями в структуре можно пренебречь, положительный результат может быть достигнут на основе проведения цифрового спектрального анализа данных измерений характеристики отражения в полосе частот [1,2]. Одним из наиболее мощных средств решения этой задачи является метод Гельфанда-Левитана [3]. Входными данными для метода являются отсчеты временной рефлектограммы, полученной в результате зондирования структуры коротким импульсом. Метод позволяет восстанавливать как непрерывный, так и ступенчатый профиль диэлектрической проницаемости. Таким образом, метод применим для дискретных слоистых структур, т.е. многослойных диэлектрических структур, состоящих из n слоев (рис. 1), имеющих значения относительной диэлектрической проницаемости сред Ei, £2, ..., En и толщины di, d^, dn соответственно; Eq - диэлектрическая проницаемость воздуха.

В отличие от метода [2], метод Гельфанда-Левитана сохраняет свою работоспособность для случая больших значений диэлектрической проницаемости, когда невозможно пренебречь наличием переотражений между границами слоев. Особо следует отметить возможность восстановления профиля для случая равных электрических толщин слоев, когда пики временного сигнала, соответствующие переотражениям в верхнем слое, налагаются на пики, соответствующие отражениям в нижнем слое. С точки зрения технической реализации метода в СВЧ диапазоне целесообразно проводить измерения в частотной области с последующим синтезированием временного отклика.