Модификация метода Гельфанда-Левитана для решения одномерной обратной задачи с помощью метода пучка матриц Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Vanhamme H. High resolution frequency-domain reflectome-try// IEEE Trans. Instrument. Measurem. - 1990. - Vol. IM-39. - No. 2. - pp. 369-375.

2. Maricevic Z. A., Sarkar T. K., Hua Y., Djordjevic A. R. Timedomain measurements with Hewlett-Packard network analyzer HP8510 using the matrix pencil method//IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1991, Vol. MTT-39. - No. 3. - pp. 538547.

3. Апресян Л. А., Караваев В. В., Молодцов В. С. Сравнение алгоритмов параметрического спектрального анализа применительно к пеленгации источников антенной решеткой// Радиотехника и электроника, 1997. - ^эм 42. - № 1. - С. 82-85.

4. Hua Y., Sarkar T. K. Generalized pencil-of-function method for extracting poles of an EM system from its transient response// IEEE Trans. Antennas and Propagation. - 1989. -Vol. AP-37. - No. 2. - pp. 229-234.

5. Андреев М.В., Борулько В.Ф., Дробахин 0.0. Применение концепции квазирешения для оценки параметров многослойных диэлектрических структур по характеристике

отражения, измеренной на сетке дискретных частот// Дефектоскопия. - 1996. - № 9. - С. 47-60.

6. Андреев М.В., Борулько В.Ф., Дробахин 0.0. 0 реализации метода квазирешений при определении параметров слоев диэлектрических слоистых структур//Дефектоскопия. -1996, № 9. - С. 61-72.

7. Андреев М.В. Предельная разрешающая способность многочастотного радиоволнового метода определения параметров слоистых диэлектрических структур//Вюник Днтропетровського ушверситету. Ф1зика. Радюелектрош-ка. - Вип. 6. - 2000. - С. 121-128.

8. Тафтс Д. V., Кумаресан Р. 0ценивание частот суммы нескольких синусоид: Модификация метода линейного предсказания, сравнимая по эффективности с методом максимального правдоподобия//ТИИЭР. - 1982. - T. 70. - № 9. - С. 77-94.

9. Скляр В. М. 0ценивание частот суммы синусоид// Радиотехника и электроника. - 1991. - № 4. - С. 746-755.

10. Bresler Y., Macovski A. Exact maximum likelihood parameter estimation of superimposed exponential signals in noise. -IEEE Trans. Acoust., Speech and Signal Proc. - 1986. - Vol. ASSP-34. - No. 5. - pp. 1081-1089.

УДК 538.3

МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ГЕЛЬФАНДА-ЛЕВИТАНА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА ПУЧКА МАТРИЦ

М.В.Андреев, О.О.Дробахин, А.Г.Новомлинов, В.Г.Короткая, А.В.Сазонов

Для решения одномерной обратной задачи в радиофизике используется метод Гельфанда-Левитана, основным преимуществом которого является то, что он работает в случае многих переотражений. Недостаток этого метода заключается в том, что когда пики отражения не имеют форму d-импульсов, то использование этого метода не дает хороших результатов. Существует возможность улучшения этого метода за счет использования для перехода из частотной области во временную методов спектрального параметрического анализа.

Для рШення одновим1рноЧ оберненог задач1 у радюф1зищ використовуеться метод Гельфанда-Лев1тана, основною перевагою якого е те, що вт працюе у випадку багатьох в1дбитт1в. Недолтом цього методу е те, що коли тки в1дбиття не мають форму d-iмпульсiв, то використання цього методу не дае гарних результатiв. 1снуе можливiсть покращити цей метод за рахунок використання методiв спектрального параметричного аналiзу замiсть перетворення Фур'е для переходу iз частотног областi у часову.

The Gelfand-Levitan method is used for solving 1-d inverse problem in radiophysics. Its basic advantage consists of that it works in case of multiple reflections. Its lack is that the using of this method gives bad results when picks of reflection are not d-pulses. There is an opportunity of improving this method by using of the spectral parametric analysis methods instead of Fourier transform.

ВВЕДЕНИЕ

Одномерная обратная задача для слоистой диэлектрической структуры при наличии информации об отраженной волне является одной из основных задач радиофизики. Ее решение позволяет восстановить профиль диэлектрической проницаемости слоистой

структуры. Для случая, когда переотражениями в структуре можно пренебречь, положительный результат может быть достигнут на основе проведения цифрового спектрального анализа данных измерений характеристики отражения в полосе частот [1,2]. Одним из наиболее мощных средств решения этой задачи является метод Гельфанда-Левитана [3]. Входными данными для метода являются отсчеты временной рефлектограммы, полученной в результате зондирования структуры коротким импульсом. Метод позволяет восстанавливать как непрерывный, так и ступенчатый профиль диэлектрической проницаемости. Таким образом, метод применим для дискретных слоистых структур, т.е. многослойных диэлектрических структур, состоящих из п слоев (рис. 1), имеющих значения относительной диэлектрической проницаемости сред Е^Е2, ...,Еп и толщины ..., йп соответственно; Ед - диэлектрическая проницаемость воздуха.

В отличие от метода [2], метод Гельфанда-Левитана сохраняет свою работоспособность для случая больших значений диэлектрической проницаемости, когда невозможно пренебречь наличием переотражений между границами слоев. Особо следует отметить возможность восстановления профиля для случая равных электрических толщин слоев, когда пики временного сигнала, соответствующие переотражениям в верхнем слое, налагаются на пики, соответствующие отражениям в нижнем слое. С точки зрения технической реализации метода в СВЧ диапазоне целесообразно проводить измерения в частотной области с последующим синтезированием временного отклика.

РАДЮЕЛЕКТРОН1КА

МЕТОД ГЕЛЬФАНДА-ЛЕВИТАНА

Суть метода Гельфанда-Левитана заключается в последовательном исключении вклада в общий отраженный сигнал отражений и переотражений в слоях, верхних по отношению к направлению падающей волны. Для этой цели необходимо для структуры, состоящей из к верхних слоев, решить относительно неизвестной функции К(к, 2/-к) систему линейных алгебраических уравнений с коэффициентами, использующими значения отсчетов отраженного временного сигнала Я^ [1]

1 0 . . 0 0 0 . • Я0 К (к, 2 - к) -Я0

0 1 . 0 + 0 Я0 • . Я1 ■ X К (к, 4 - к) = -Я1 (1)

[0 0 . . 1_ Я0 Я1. • Як-1 _ К( к, к) _ -Як -1

= _1_

Гк - 1 к~2

П (1 - г2)( 1 + К(к, к))

-1

(2)

£ = £

+^ 1) 1 + г

I - 1

(3)

Я (ю) =

+ ^ехр^-/2 Юю^л/ё

+ ^ехр (-/2 ют)

1 + г1 г2ехр )-/2 Ю 1 + Г1 Г2ехр (-/2 Ют)

,(4)

где т - значение времени появления отражения, с -скорость света в вакууме.

Было рассмотрено два случая, отличающиеся шириной полосы частот исследования: с шагом дискретизации по частоте был выбран А/1 = 0.499 ГГц и А/2 = 0.15 ГГц, соответственно. Число отсчетов в частотной области в обоих случаях составило N = 50. Ширина полосы частот, соответственно, для первого случая составляла 24.45 ГГц и для второго - 7.25 ГГц.

На рис. 2 приведены временные сигналы, полученные с помощью преобразования Фурье. На рис. 2а пики, соответствующие отражениям от границ раздела слоев и переотражениям, имеют вид, близкий к форме 5 -импульсов. Во втором случае ширина полосы частот недостаточна для формирования импульсов указанной формы.

Рисунок 1 - Геометрическая модель слоистой структуры

Значение коэффициента отражения Френеля Гк_1 на верхней границе (к-1) слоя получают в результате подстановки найденного из (1) значения К( к, к) в формулу

а)

и.Р)

Восстановление диэлектрической проницаемости осуществляется по формуле

Проиллюстрируем работу алгоритма для двухслойной структуры с параметрами слоев: диэлектрическая проницаемость сред £1 = 9 и £2 = 5 , значения толщины = 1 и d2 = 2 см, соответственно. Временной отклик слоистой структуры был рассчитан путем применения алгоритма быстрого дискретного преобразования Фурье к данным расчета частотной зависимости коэффициента отражения, расчет последней был произведен в плосковолновом приближении в соответствии с известным выражением [4]

б)

Рисунок 2 - График временной зависимости сигнала, отраженного от двухслойной структуры, имеющей

параметры: d1 = 1, d2 = 2 см, £1 = 9, £2 = 5, полученного с помощью дискретного преобразования Фурье при N = 50 и а - /1 = 0.499 ГГц, б - /2 = 0.15 ГГц

1\

\ с!. с м

О 2 4 6 8 10 12

а)

О -I-,-,-,-,-,-

О 2 4 6 0 10 12

%), для второго - 1,739 (34,78 %), соответственно. Хотя уже и для первых данных наблюдались незначительные осцилляции в восстановленных значениях диэлектрической проницаемости, для вторых данных это явление приобретает катастрофический характер. Причиной появления осцилляций являются боковые лепестки

функции . Перемена знака в боковых лепестках

функции интерпретируется программой как попеременное возрастание и убывание значения диэлектрической проницаемости. Традиционный путь устранения осцил-ляций во временном сигнале, состоящий в применении весовых функций в частотной области, в данном случае приводит к еще более катастрофическим результатам. Весовая обработка влечет расширение основного пика, и отсчеты временного сигнала, соседние с максимальным значением, интерпретируются как дальнейшее наращивание значения диэлектрической проницаемости вместо поддержания значения постоянным.

Параметрические методы спектрального анализа обеспечивают получение ^-подобных пиков временного сигнала при спектральном анализе частотной зависимости, заданной в полосе частот конечной ширины. Таким образом, применение для перехода из частотной во временную область вместо дискретного преобразования Фурье методов параметрического спектрального анализа позволяет избежать недостатков традиционной реализации метода Гельфанда-Левитана.

б)

Рисунок 3 - Профиль диэлектрической проницаемости,

восстановленный с помощью метода Гельфанда-Левитана из временного сигнала, синтезированного с помощью преобразования Фурье

Результаты восстановления профиля диэлектрической проницаемости методом Гельфанда-Левитана приведены на рис.3. Шаг дискретизации по оси абсцисс связан с шагом дискретизации по времени и частоте следующим соотношением

Ах = -С- М = -С- = -С-, (5)

2л/Е 2ТЁ- А^ 27Е(А/• И)

что позволяет получить профиль диэлектрической проницаемости как функцию от геометрической толщины.

Благодаря тому, что форма пиков отражения почти 5 -образная, профиль диэлектрической проницаемости, восстановленный методом Гельфанда-Левитана, имеет хорошую точность (рис.3,а). Погрешность восстановления значения диэлектрической проницаемости для материала первого слоя не превосходила 0,239 (2,65 %), для второго слоя - 0,117 (2,34 %). На рис. 3б показан тот же профиль, но восстановленный по временному сигналу, приведенному на рис.2,б. В последнем случае максимальная погрешность восстановления значения диэлектрической проницаемости составила для первого слоя - 1,002 (11,13

МЕТОД ПУЧКА МАТРИЦ

Одним из наиболее перспективных методов параметрического спектрального анализа является метод пучка матриц [5]. Этот метод менее требователен к выбору шага дискретизации во временной области Аt и более устойчив к наличию шума, чем метод Прони, который является более традиционным методом параметрического спектрального анализа. Применимость методов параметрического спектрального анализа базируется на возможности представления частотной зависимости коэффициента отражения (4) в виде взвешенной суммы экспоненциальных компонент

м

Я(ю) = £ акехр(-шк), (6)

к = 1

где ак и tk амплитуды и местоположения пиков временного сигнала.

При изложении алгоритма метода пучка матриц будем следовать работе [5]. Выберем "информационные" векторы Уo, У1 Уь где

уг = [Я, Я + !.....Я, + и - Ь - 1]. (7)

Индекс Т означает транспонирование матрицы. Основываясь на этих векторах, определим матрицы У1 1 У2 следующим образом:

РАД1ОЕЛЕКТРОН1КА

У1 = [У0> У1> -•> Уь - 1], У2 = [У1' У2'.' Уь] .

(8) (9)

У+ ¥1Рг = Р,

У+ У2Рг = Р,

У1 =

I

= 1, М

О, и^Н = иОГн,

У+ = ¥П-1ин,

где к = 1, ..., М и

(2 - ¥) ^к = 0, 7 = Б-1 инУ2 Ух , а ^ = УнРк.

(0,9 %) - для первого слоя и 0,024 (0,48 %) - для второго. Я (<П

Если М < Ь < N - М, то показатели экспонент {1к: к = 1, ..., М} - являются собственными значениями пучка матрицы У 2 - 141. Существуют векторы {р,: г = 1, ..., М} , такие, что

(10) (11)

ю

9 В 7 6 5 4 3 2 1 0

1 с!, с м 1 Л У

10

12

а)

р, называются собственными векторами У1 - ^2. Для вычисления псевдоинверсии У+, можно использовать разложение по сингулярным значениям У1:

6(<1)

(12)

(13)

где и = [И1, .,им]; V = [уь ..., ум] 1 Б = ^[л^, ..., лм]. Индекс Н означает эрмитово сопряжение, и и V -матрицы левых и правых сингулярных векторов, соответственно. Окончательно можно получить

о, ем

ю

1 2

(14)

(15)

(16)

Необходимо отметить, что 2 является матрицей размера М X М, а tk и г к являются соответственно собственными значениями и собственными векторами матрицы 2.

Если ь=М, разложение по сингулярным значениям для У1 не нужно, и {ti: г = 1, ..., М} являются собственными значениями матрицы (У^У )-1 УН^ размера МX М,

которая получена подстановкой У+ = (УНУ[) 1 УН в (11) для Ь = М.

Амплитуды ак при известных значениях tk рассчитываются традиционным методом наименьших квадратов.

На рис. 4 показан восстановленный профиль диэлектрической проницаемости, полученный с использованием обобщенного метода пучка матриц для перехода из частотной области во временную. Для случая большой ширины полосы частот (рис.4а) точность результатов, полученных с применением этого подхода, практически совпадает с точностью результатов, полученных методом Гельфанда-Левитана при анализе временного сигнала, рассчитанного с помощью дискретного преобразования Фурье. Погрешность восстановления не превосходила 0,081

б)

Рисунок 4 - Профиль диэлектрической проницаемости,

восстановленный с помощью метода Гельфанда-Левитана из временного сигнала, синтезированного с помощью метода пучка матриц

Для узкополосных данных преимущества преобразования из частотной во временную область с помощью обобщенного метода пучка матриц с последующим применением метода Гельфанда-Левитана очевидны (рис. 4,б). В этом случае погрешность восстановления значения диэлектрической проницаемости не превосходила 0,291 (3,23 %) - для первого слоя и 0,76 (15,2 %) - для второго.

ВЫВОДЫ

Результаты численного моделирования позволяют сделать вывод, что метод Гельфанда-Левитана наиболее прост в реализации, если временная характеристика получена с помощью преобразования Фурье экспериментальных или численных данных, полученных в частотной области. Этот способ является более экономичным в отношении вычислительных затрат, но он работает адекватно, если полоса частот выбрана таким образом, чтобы пики отражения имели 5 -образный вид и не перекрывались. На практике эти условия трудно удовлетворить, если слои имеют разную толщину. Методы

и

Т.И.Бугрова, В.М.Морозов, В.С.Кабак, Е.И.Бугров: МЕТОД РАСЧЕТА ИМПЕДАНСА ИНТЕГРАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ ИЗ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПОЛОСОК ДЛЯ ВОЛН ВЫСШИХ ТИПОВ

спектрального параметрического анализа позволяют решить эту проблему.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. H.Vanhamme,"High resolution frequency-domain reflectome-try", IEEE Trans. Instrumentation and Measurement, Vol.39, No. 2, pp.369-375, Apr.1990.

2. M.V.Andreev, V.F.Borulko, O.O.Drobakhin, "One-dimensional

Inverse Problem Solution for Multilayered Dielectric Structures Using Least-Square Spectral Estimation Method", Proc. of the 1995 URSI Int. Symp. on Electromagnetic Theory, St.Petersburg, Russia, May 23-26, 1995, pp. 148-151.

3. K. Aki, P. G. Richards, "Quantitative seismology. Theory and methods", W. H. Freeman and Company, 1980.

4. Бреховских A.M. Волны в слоистых средах. - М.: Наука, 1973. - 343 с.

5. Y.Hua, T.K.Sarkar, "Generalized Pencil-of-Function Method for Extracting Poles of an EM System from Its Transient Response", IEEE Trans. Antennas and Propag, Vol. AP-37, No. 2, pp. 229-233., Feb. 1989.

УДК 537.86

МЕТОД РАСЧЕТА ИМПЕДАНСА ИНТЕГРАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ ИЗ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПОЛОСОК ДЛЯ ВОЛН ВЫСШИХ ТИПОВ

Т.И.Бугрова, В.М.Морозов, В.С.Кабак, Е.И.Бугров

Рассматривается электродинамическая модель системы металлических лент, симметрично нанесенных на обе стороны экранированной тонкой диэлектрической пластины. Граничные условия устанавливаются с помощью классической матрицы сопротивлений. Исследуется зависимость реактивной составляющей полного импеданса полосок и коэффициента преобразования волн пластины в волны структуры от геометрических и электрофизических параметров. Выполнена аппроксимация импеданса мероморфной и трансцендентной функциями.

Розглядаеться електродинам1чна 1мпедансна модель системи метал1чних смужок, що нанесет симетрично на обидва боки тонкоi д1електричноЧ пластини. Граничт умови встановлет за допомогою класичноi матриц опор1в. Досл1джуеться залежтсть реактивного 1мпедансу смужок та коеф1щента перетворення хвиль в1д геометричних та електроф1зичних параметр1в структури. Знайдено параметри наближення при апроксимацп 1мпедансу смужок мероморфною та трансцендентною функщями.

The electrodynamic impedance model for the set of infinite conductive metallic strips placed symmetrically on the both sides of the dielectric slab is considered. Boundary conditions have been formulated by classic resistace matrix. The behaviour of image part of the strips whole impedance and converting factor variance via dimensions and dielectric permittivity are investigated. The approximation of impedance by analytical and transcendent functions were proposed.

ВВЕДЕНИЕ

В СВЧ интегральной технике часто используются структуры, в состав которых входят металлические полоски, нанесенные по обеим сторонам экранированной диэлектрической пластины (рис.1).

Такие структуры могут входить в состав направленных ответвителей, систем распределения (суммирования) мощности в приемо-излучающих антенных решетках или использоваться как элементы антенн вытекающих волн или интегральных линзовых антенн. В связи с этим определенный интерес вызывает их моделирование путем решения краевой задачи для дальних полей (H и E волн). Кроме Hi и E2 волн, в структуре на рис. 1 в окрестности

полосок возбуждаются реактивные волны, а также Т-волны между полосками и экранами. Все они (кроме Т-волн) эспоненциально затухают при удалении от полосок и формируют ближнее поле. Пренебрежение им может привести к существенным ошибкам при определении суммарной мощности, переносимой вдоль полосок, а значит, и при определении волнового сопротивления основных волн, направленности многоплечих устройств, потерь в них и т.п. Один из способов анализа структур с подобной геометрией - метод эффективной диэлектрической проницаемости, широко используемый для объемных диэлектрических структур [1]. В настоящем случае он не позволяет учесть продольные компоненты поля. Этого недостатка лишен метод бианизотропной среды [2]. Но анализ структуры из узких металлических полосок и полубесконечных металлизаций этим методом является непростой задачей. Наиболее подходящим для решения рассматриваемой задачи представляется метод, в котором связь продольных компонент поля осуществляется через граничные условия, когда сечение, в котором они формулируются, совпадает с реальной границей, разделяющей разные по свойствам интегральные структуры.

Рисунок 1 - Геометрия задачи

1 ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ И ЕЕ РЕШЕНИЕ

Запишем нелокальное граничное условие для векторов