CC BY
7УДК 681.325
Ускоренное преобразование ортогональных составляющих сигнала в амплитуду
Сарибжанов И.Р., Чекушкин В.В.
Проведен сравнительный анализ и улучшение быстродействующих методов определения функции Z=VА2 + В2 с исключением операции вычисления квадратного корня.
Ключевые слова: Ортогональные составляющие, амплитуда сигнала, квадратный корень, погрешность вычисления.
Введение
В радиотехнических системах при проведении в реальном масштабе времени различных вычислений актуальным является рациональное проектирование структур вычислительных устройств с устранением избыточной точности результатов, поскольку диапазон представления погрешностей при измерениях может изменяться от 50% до 0,001% и менее, что соответствует интервалу от 1 до 24 двоичных разрядов результата в формате с фиксированной запятой перед старшим разрядом.
В этих условиях в быстродействующих специализированных вычислителях при различных значениях погрешностей вычислений следует использовать наиболее рациональные методы и вычислительные алгоритмы с целью сокращения программно-аппаратных затрат и времени вычислений. Актуальной является необходимость обнаружения сигналов со случайной начальной фазой в реальном масштабе времени, т.е. вычисление
функциональной зависимости Z=л/А2 + В2 . В этом случае можно использовать обычный способ вычислений с непосредственным применением трудоемкой операции извлечения квадратного корня. Частично сравнительный анализ и улучшение методов вычисления квадратного корня проведен при формировании от трех до двадцати значащих двоичных разрядов функции [1-3].
Такой способ имеет недостатки, заключающиеся в том, что при реализации алгоритма следует учитывать возможности как переполнения разрядной сетки, так и потерю порядка чисел А и В. Кроме того, при обнаружении сигналов не требуется обеспечение точност-
ных характеристик, а наиболее критичным параметром является время вычислений.
Постановка задачи
Целью данной работы является улучшение быстродействующих методов и алгоритмов
вычисления функции Z= л/А" + В2 , а также сравнительный анализ ее реализации без непосредственного вычисления функции
/(х) = л[х . При исключении невостребованной избыточной точности результата с формированием от 1 до 24-х значащих двоичных разрядов результата в формате с фиксированной запятой перед старшим разрядом, целесообразно исследовать методы обеспечения максимального приращения числа значащих цифр представления результата (М) при соответствующем ему минимальном увеличении числа вычислительных операций и обращений к памяти.
Моделирование вычислительного процесса
Для обеспечения наиболее высокой эффективности, достоверности представления результатов при реализации методов проведем предварительное моделирование вычислительного процесса.
Для быстрого нахождения значений
функции Z= ТА2" + В2 известен алгоритм [4]:
= 1,04л/А2 + В2 » А + 0,4143В при А > В;
I—----(1)
= 1,04л/А2 + В2 » В + 0,4143А при В>А. Этот алгоритм дает максимальную относительную погрешность 4,079% при вычислительных затратах, соответствующих четырем операциям: сравнение, умножение, сло-
^N2221-2574
Цифровая обработка сигналов в радиосистемах
жение и извлечение константы. Уточнение коэффициента при втором члене на значение 0,412 уменьшает относительную
погрешность до 3,997%.
Для ряда практических применений необходимо иметь меньшее значение погрешности. Рассмотрим методы ее уменьшения путем анализа графика поведения относительной погрешности на интервале Ле [0; 100], В е [0; 100] (рис. 1). Изменение погрешности сегментировано, т.е. для отдельных секторов существуют свои законы изменения с выраженными максимальными значениями. Поэтому необходимо выделить критические секторы и уменьшать относительную погрешность уже на каждом выделенном секторе. Поскольку график погрешности симметричен относительно координатных осей А и В, то достаточно получить законы воспроизведения погрешности только для одной
половины координатной плоскости.
В результате дальнейшего анализа были
выделены такие секторы: 0,15Л > В; 0,65Л > В > 0,15Л; 0,85Л > В > 0,65Л;
Л > В >0,85Л и для каждого сектора были оптимизированы аналитические выражения, соответственно:
г2 = 1,05А , г2 = А + 0,34В , (2) г2 = А + 0,4В, г2 = В + 0,491 А .
На рис.2 изображен график относительной погрешности более точного алгоритма
вычисления функции 2= 7л2+В2.
На рис. 3 представлена графическая реализация алгоритма в виде блок-схемы.
Вычислительные затраты на самой длинной ветке алгоритма будут равны 13 операциям: 4 сравнения операндов; 4 операции умножения; операция сложения и 4 операции извлечения константы. Общее число кон-
(^^началО^)
1,05А
А + 0,34В
да г
1
А + 0,4В
В + 0,491А
А + 0,491В
В + 0,4А
(^^выход^^)
Рис.3. Улучшенный алгоритм вычисления значения в соответствии с выражением (2)
стант для хранения в памяти равно 7.
Результатом данного моделирования является уменьшение относительной погрешности до значения 1,755%, что в 2 раза лучше (1). В тоже время полученный алгоритм имеет большее число вычислительных операций, что для ряда практических применений оправдано, поскольку критично время обнаружения сигнала с неизвестной начальной фазой.
Проведем сравнение алгоритма (2) вычисления функции Z=л/А2 + В2 по отношению к полиномиальным методам, когда требуется получение значения обычной функции /(х) = л/х . Как видно из таблицы 1, прямое применение полиномиального метода для всего интервала х е [0;1] эффективно только для значений погрешности метода Д=0,033..0,125,
Таблица 1. Полиномы для аппроксимации ]
так как дальнейшее увеличении степени полинома выше четвертой незначительно снижает погрешность при значительном увеличении вычислительных затрат [2].
Поскольку алгоритм (2) при перенормировании в интервал х е [0;1] обеспечивает максимальное значение погрешности метода ^тах=0,0175, его применение рационально для
получения значения Z=^[A2+B.
Следующий метод получения значения /(х) = у[х - комбинированный полиномиальный метод [3]. Совершенствование этого вычислительного алгоритма при ограничении интервала интерполяции хтп1 = 4д2 при последовательном уменьшении значения погрешности состоит как в увеличении степени аппроксимирующих полиномов, так и в уменьшении
= 4х на интервале х е [0;1]
п Полином Максимальная погрешность Число арифметических операций
1 0,125 + х 0,125 1
2 0,073 + х(1,942 - 1,088х) 0,07328 4
3 0,05 + х(2,799 - х(4,129 - 2,333х)) 0,05458 6
4 0,034 + х(3,886 - х(10,811 - х(14,483 - х6,630))) 0,0383 8
5 0,028 + х(4,948 - х(22,425 - х(52,979 - х(55,668 - х21,171)))) 0,03314 10
Таблица 2. Комбинированные полиномиальные методы аппроксимации /(х) = у[х на интервале х е [0;1]
Схема аппроксимации Подинтервал аппроксимации Полином наилучшего приближения Ь„(х) Число операций
<> + X К
[0;0,0239] 10(х)= 0,077 0,077 1 1 1 3
(0,0239;1] Ь1(х)= 0,201 + 0,866х
112 [0;0,007482] 10(х)= 0,0431 0,0431 1 2 2 4
(0,007428;1] 12(х)= 0,177 + 1,656х - 0,816х2
1Ь3 [0;0,00352] 10(х)= 0,0296 0,0296 1 3 3 5
(0,00352;1] 13(х)= 0,08 + 2,452х - 3,182х2 + 1,679х3
2Ь1 [0;0,00405] 10(х)= 0,0318 0,0317 2 1 1 4
(0,00405;0,165] Ь1(х)= 0,085 + 2,134х
(0,0165;1] Ьг(х)= 0,32 + 0,71х
212 [0;0,00069] 10(х)= 0,013 0,013 2 2 2 5
(0,00069;0,0904] 12(х)= 0,035 + 5,488х - 29,801х2
(0,0904;1] 12(х)= 0,205 + 1,244х - 0,462х2
213 [0;0,000204] 10(х)= 0,00714 0,0071 2 3 3 6
[0,000204;0.058] 13(х)= 0,019 + 10,18х - 227,8х2 + 2072,3х3
[0,058;1] 13(х)= 0,152 + 1,747х - 1,605х2 + 0,713х3
ISSN2221-2574
Цифровая обработка сигналов в радиосистемах
интервала интерполяции х е [хшп; 1] путем разделения его на два или три подинтервала и использованием на каждом из них соответствующего полинома. В таблице 2 приведены результаты моделирования и поиска полиномов наилучшего приближения, соответствующие им значения погрешности метода в диапазоне 6, е [0,0071; 0,077], а также вычислительные затраты на реализацию комбинированных алгоритмов [3].
Анализируя затраты на вычисления и получаемые погрешности, делаем вывод, что при вычислении только значений функции
/(х) = л/х по схеме аппроксимации 1Ь3, значение погрешности 2,96% достигается при вычислительных затратах в 12 операций: одно условие, 3 сложения, 2 умножения и 5 операции извлечения константы. Соответственно, разработанный алгоритм (2) вычисления
функции 2= + В2 дает меньшее значение погрешности при разнице в одну вычислительную операцию.
Схема аппроксимации 2Ь\ полиномов нулевого и первого порядков обеспечивает погрешность 3,17%, что почти в 2 раза больше в сравнении с погрешностью ускоренного
алгоритма вычисления функции 2= по выражению (2), хотя при этом количество операций меньше на 5. Если только для вычисления /(х) = у[х применяются полиномы второго порядка по схеме 2Z2, то погрешность снижается до значения 1,3% при 11 вычислительных операциях.
Поступила 11 января 2012 г.
Заключение
При значениях относительной погрешности 5е [0,05;0,03] алгоритм (1) превосходит по эффективности алгоритм вычисления модуля
2=^1 Л2 + В2 с непосредственным определением квадратного корня с помощью полиномов. При значениях погрешности 8е [0,04;0,02] можно использовать алгоритм (2) ускоренного определения модуля
2= 4 Л2 + В2
При меньших значениях погрешности применение таких алгоритмов менее целесообразно из-за необходимости ввода большего числа подинтервалов для весового сравнения ортогональных составляющих А и В.
Литература
1. Чекушкин, В.В. Реализация преобразования представлений ортогональных составляющих сигналов в амплитуду и фазу // Измерительная техника. - №4. - 2001. -С. 18-21.
2. Аверьянов, А.М. Улучшение методов преобразования ортогональных составляющих сигнала в амплитуду / А.М. Аверьянов, В.В. Чекушкин // Приборы и системы: управление, контроль, диагностика: - М.: ООО издательство «Научтехлит-издат», №9, 2009. -С. 46-51.
3. Чекушкин, В.В., Аверьянов, А.М., Бобров, М. С. Устройства вычисления квадратного корня -положительное решение по заявке на получение патента №2008147967/20 (062807) от 26.11.2008.
4. Чекушкин, В.В. Вычислительные процессы в информационно-измерительных системах: Уч. Пособие / В.В. Чекушкин, В.В. Булкин. - Муром: Изд.- полиграфический центр МИ ВлГУ, 2009. -120 с.
Comparative analysis and improve the performance methods of the function Z =V A2 + B2 without the exception of square root operations.
Key words: orthogonal components, signal's amplitude, square root, inaccuracy calculation.
Чекушкин Всеволод Викторович - д.т.н., доцент кафедры систем автоматизированного проектирования электронных средств Муромского института (филиала) ФГБОУ ВПО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых».
Сарибжанов Ильдар Рушанович - студент Муромского института (филиала) ФГБОУ ВПО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых». E-mail: [email protected].
