CC BY
11
динамические усилия, возникающие в процессе движения на реальном автомобиле, позволяя проводить обучение не только в стандартных условиях езды, но и в аварийных, сложных дорожных условиях, при отказах техники.
Имитатор антиблокировочной системы 12 представляет собой управляемый от ЭВМ 6 электропривод, выполненный на электродвигателе с эксцентриком на валу. Электропривод педали тормоза включается только тогда, когда требуется имитация работы антиблокировочной системы. Такая конструкция позволяет проводить обучение вождению автомобилей, оснащенных или неоснащенных антиблокировочной системой, и имитировать динамическое воздействие на педаль тормоза, возникающее при работе антиблокировочной системы на автомобиле.
Предложенная конструкция системы имитации акселерационных эффектов позволяет обучаемому понять все особенности вождения автомобиля, оснащенного современными системами (курсовой устойчивости, противо-буксовочной, антиблокировочной и др.).
Важным элементом конструкции, влияющим на выработку правильных навыков управления автомобилем, является также коробка передач. Последовательность включения той или иной передачи, возможность перехода на пониженную передачу в зависимости от числа оборотов двигателя вырабатывают у обучаемого необходимые навыки по управлению автомобилем. Для этого тренажер снабжен устройством 9 управления переключением скоростей коробки передач. Таким устройством является управляемая от ЭВМ электромагнитная муфта. Получая записанные в программе соответствующие сигналы, она блокирует неправильные действия водителя, т.е. не позволяет, например, переключаться на несмежные передачи (с первой на третью и последующие), производить переключение скоростей без сброса числа оборотов двигателя.
Все это приближает условия обучения на тренажере к условиям движения на реальном автомобиле.
Список литературы
1. Жималинов, С. В. Пилотажно-навигационные и комплексные тренажеры / С. В. Жималинов, С. П. Терещук ; под ред. С. В. Жималинова. - Иркутск : ИВВАИУ, 1990. - 488 с.
2. Савельев, А. М. Комплексный автомобильный тренажер / А. М. Савельев, К. А. Сухов // Проблемы электротехники, электроэнергетики и электротехнологии : тр. II Всерос. науч.-техн. конф. с междунар. участием. - Тольятти : ТГУ, 2007. - Ч. 2. - С. 108-112.
3. Патент на полезную модель № 114387 РФ, в09Б9/04. Тренажер для обучения вождению автомобиля. - Опубл. 20.03.2012.
УДК 517.518.8
АНАЛИЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СПОСОБОВ АППРОКСИМАЦИИ ИРРАЦИОНАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
И. Р. Сарибжанов, М. Е. Теняева
Рассматриваются полиномы, рассчитанные из функциональных рядов Тейлора, Чебышева, Лежанра, и многочлены, полученные методом наименьших квадратов, аппроксимирующие иррациональную функцию, а также проводится анализ погреш-
ностей полиномов на заданной области и определяется наиболее эффективное степенное разложение иррациональной функции.
Are examined the polynomials obtained from the Taylor, Chebyshev, Legendre series, and polynomials, obtained by the method of least squares to approximate an irrational function, are conducted analysis of the errors ofpolynomials on a given area.
Задача аппроксимации требует, во-первых, выбора подходящей аппроксимирующей функции и, во-вторых, вычисления ее коэффициентов наилучшим образом.
Будем рассматривать функцию y = \11 - x2 , определенную на промежутке [-1; 1] и максимумом со значением, равным единице в точке x = 0.
Процесс вычисления иррациональной функции трудоемкий, именно поэтому необходимо найти простой и быстрый способ для оптимального нахождения квадратного корня [1, с. 54].
Аппроксимируем данную функцию на промежутке [-0,8; 0,8] с помощью полиномов, полученных из рядов Тейлора, Чебышева и Лежандра.
Рассмотрим многочлен Тейлора 4-го порядка (1):
y1 = 1 -0,5x2 - 0,125x4. (1)
Применение полинома степени выше четвертой увеличит длительность и сложность расчета, а уменьшение погрешности вычисления отразится только на концах интервала.
На рис. 1 представлен график аппроксимации полиномом Тейлора
функции y = V 1 - x2 (рис. 1).
П Тй ........
у по ч
У 0,9 V о с \
/ 0,85 \
г 0,8 / п 74 \
/ 0,7 5 к
Г-0т7— Аппроксимируемая функция \
/ 0,65 \
▼ и,и ▼ -0,84 -0,63 -0,42 -0,21 0 0,21 0,42 0,63 0,84
Рис. 1. Полином Тейлора 4-го порядка относительно значений функции у = \] 1 - х2
Исходя из анализа графика следует, что полином Тейлора аппроксимирует функцию с высокой точностью до 5 знаков после запятой в окрестности начала координат, однако на концах интервала достигается наибольшая абсолютная по-
грешность 0,028, поэтому рационально использовать многочлен Тейлора только на промежутке [-0,6; 0,6], где ошибка не будет превышать 0,01.
Рассмотрим аппроксимацию функции у =V1 - х2 полиномом Чебыше-ва [2, с. 143]. Для этого воспользуемся многочленами низших порядков Т0 (х)-Т6 (х) и получим функциональный ряд (2):
л/ГХ2 =—Т0 (х)-—Т(х)-—ТА (х)- — Тб (х)-... (2) 256 п ' 512 '2 256 п 7 512 64 7
Поскольку значения полиномов Чебышева на исследуемом отрезке ограничены единицей, для оценки ошибки замены бесконечного числового ряда суммой его первых членов был подобран мажорирующий ряд, составленный из членов убывающей геометрической прогрессии со знаменателем, равным 0,1. Подсчет его суммы показал, что ошибка отбрасывания членов, начиная с Т6 (х), не будет превышать 0,0049. Тогда получим степенной полином (3):
у2 = — -—х2- —х4 = 0,998 -0,4648х2 -0,2188х4. (3)
2 512 256 32
Совершив по нему расчет, представим полученные результаты на графике (рис. 2).
Рис. 2. Полином Чебышева 4-го порядка относительно значений функции у = V 1 - х2
Анализируя график, можно сделать вывод, что полином Чебышева дает равномерно малую ошибку на всем промежутке [-0,8; 0,8], при этом максимальная абсолютная погрешность показана на концах интервала и составляет 0,0109, а минимальная не в начале координат, как у полинома Тейлора (1), а в точках -0,3 и 0,3 и равна 0,0007. Из этого следует, что полиномом Чебышева также не рационально аппроксимировать функцию у = у1 1 - х2 из-за высокой величины погрешности расчета в крайних точках -0,8 и 0,8.
Рассмотрим ортогональные на отрезке [-0,8; 0,8] полиномы Лежандра первого рода [2, с. 158]. Для нахождения приближенного значения функции
у = V1 - х2 воспользуемся многочленами низших порядков Р0 (х)- Р6 (х) (4):
^ - (х >" ЦР (х »2 - Ю Р4 (х Ш Р« (х )".■■ (4)
Так же как в полиноме Чебышева, отбрасывание членов, начиная с (х) Р6 (х), даст ошибку на отрезке [-0,8; 0,8], не больше чем 0,0044. После преобразований получим многочлен 4-го порядка (5):
= 3691 х2 -_259_х4 - 0,9987 -0,4716х2 -0,2102х4. (5)
3696 1232 1232
Полином Лежандра подобен многочлену Чебышева и отличается от него четвертой цифрой после запятой (рис. 3). При этом максимальная погрешность относительно исследуемой функции уменьшится по сравнению с ошибкой Че-бышева на 0,0002 и составит 0,0107. Наиболее точно многочлен (5) аппроксимирует на промежутке [-0,7; 0,7].
Рис. 3. Полином Лежандра 4-го порядка относительно значений функции y = v 1 - х2
Для того чтобы получить более высокую точность вычисления функции y = \11 - х2 на всем заданном промежутке, воспользуемся методом наименьших квадратов [3, с.151]. Путем расчета с использованием программы Microsoft Excel получен многочлен 4-го порядка (6):
y4 = 0,99883849 - 3 -10-12х - 0,46785854х2 + 10-12х3 - 0,23972849х4. (6)
Функция (6) дает равномерную ошибку на исследуемой области меньше 0,001, а на концах интервала достигается ее максимальное значение, равное 0,002. Однако полученная функция (6) имеет большое количество значащих цифр, перегружая процесс вычисления значений.
Расчеты показывают, что коэффициенты полинома (6) можно оптимизировать с целью уменьшения среднеквадратического отклонения и упрощения поиска решения. В результате получен многочлен (7):
у5 = 0,999 - 0,468х2 - 0,24х4. (7)
На рис. 4 представлен график полученного полинома относительно у = >/1 - х2 (рис. 4).
• П Р
/ п 75
-/-07— 0 65 —♦— /аппроксимируемая функция
-1-1-1-0г6— —■— полученный полином (7)
-0,84 -0,63 -0,42 -0,21 0 0,21 0,42 0,63 0,84
Рис. 4. Сравнительный график многочлена (7) и функции у = V1 - х2
Анализируя график, можно увидеть, что ошибка в точности приближения минимальна на всем интервале, отличается от многочлена (6) приблизительно на 0,000005, максимальная абсолютная погрешность при подсчете на интервале [-0,8; 0,8] составляет 0,002.
Сравним погрешности рассмотренных функций на графике (рис. 5).
0,018
0,016 0,014 0,012
-£ЫЭ4-
0,008
0,006--
0,004
Погрешность
полинома
Тейлора
Погрешность
полинома
Чебышева
Погрешность
полинома
Лежандра
Погрешность полинома (7)
-0,664 -0,498 -0,332 -0,166 --0,002
0,166 0,332 0,498 0,664
83
0
0
Рис. 5. График кривых погрешностей исследуемых функций на интервале [-0,8; 0,8]
134
Из приведенных графиков следует, что абсолютная погрешность полинома Тейлора очень невелика относительно рассматриваемых функций, но только в начале координат, т.е. ее эффективно использовать на промежутке [-0,6; 0,6], ошибка многочлена Чебышева более равномерна на заданной области, но менее точна в нуле, где составляет 0,00195. Погрешность полинома Лежандра в этой точке также относительно велика, но меньше многочлена (3) и равна 0,001353. По графикам видно, что из всех полиномов, полученных через приведенные многочлены, лучше всех иррациональную функцию аппроксимирует полином Лежандра, однако предложенный многочлен (7) дает самую малую погрешность на всем интервале.
Таким образом, из сравнения приближений четырех представленных
многочленов к функции y = V 1 - x2 следует, что более точным является полином y5 = 0,999 - 0,468x2 - 0,24x4 , дающий максимальную абсолютную погрешность меньше 0,0021, тогда как другие многочлены больше 0,02. Из этого следует, что многочлен (7) является самым эффективным степенным разложением функции y = V 1 - x2 .
Список литературы
1. Ильин, В. А. Основы математического анализа / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. - М. : Наука, 1973. - Ч. II. - 448 с.
2. Янке, Е. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. - М. : Наука, 1977. - 344 с.
3. Красс, М. С. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании : учеб. / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов. - М. : Дело, 2002. - 688 с.
УДК 662.5
ИННОВАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ПРОЕКТИРОВАНИИ БЫТОВОЙ ТЕХНИКИ
Г. И. Свечникова, А. И. Семкина
В данной статье говорится о преимуществах применения автоматизированного проектирования при разработке бытовой техники. Перечисляются преимущества, которые дает конструктору SolidWorks. Рассматривается порядок проектирования шнека кухонной машины МЭБ-01 в программе Solid Works.
In this article is told about advantages of application of the automated design when developing household appliances. Advantages which gives to the designer of SolidWorks are listed. The design order of screw the kitchen MEB-01 car in the Solid Works program is considered.
В связи с бурным развитием техники сложность бытовых приборов и машин также повышается. Поэтому встают проблемы обеспечения надежности, безопасности и упрощения ее обслуживания. Для их решения проектировщику необходимо предусматривать максимальную автоматизацию управления бытовыми приборами с использованием микропроцессорной тех-
