CC BY
24
UDC 519.6
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2042-2046
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФОРМЫ СМИТА ДЛЯ ТОЧНОГО МАТРИЧНОГО ОБРАЩЕНИЯ
© Г. И. Малашонок
Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 E-mail: [email protected]
Обсуждается проблема построения эффективного алгоритма обращения целочисленной матрицы. Один из способов вычисления обратной матрицы опирается на предварительное вычисление матрицы Смита. Известен вероятностный алгоритм вычисления матрицы Смита с кубической зависимостью числа бит-операций от размеров матрицы. Предлагается некоторое детерминистское продолжением этого подхода для вычисления обратной матрицы.
Ключевые слова: форма Смита; символьные вычисления; обращение матриц
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Malaschonok G.I. Effective matrix methods in commutative domains. In: D. Krob, A.A. Mikhalev, A.V. Mikhalev (eds.) Formal Power Series and Algebraic Combinatorics // Springer, Berlin, 2000. P. 506-517.
2. Akritas A.G., Malaschonok G.I. Computations in Modules over Commutative Domain // Computer Algebra in Scientific Computing. Springer, Berlin, 2007. P. 11-23.
3. Malaschonok G.I. On computation of kernel of operator acting in a module // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2008. Т. 13. Вып. 1. С. 129-131.
4. Malaschonok G.I. Generalized Bruhat decomposition in commutative domains // International Workshop on Computer Algebra in Scientific Computing, LNCS 8136. Springer, Berlin, Heidelberg, 2013. P. 231-242.
5. Malaschonok G., Scherbinin A. Triangular Decomposition of Matrices in a Domain // Computer Algebra in Scientific Computing. LNCS 9301, Springer, Switzerland, 2015. P. 290-304.
6. Storjohann Arne. On the Complexity of Inverting Integer and Polynomial Matrices // Computational Complexity. 2015. V. 24. P. 777-821. DOI 10.1007/s00037-015-0106-7
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 16-07-00420)
Поступила в редакцию 19 октября 2016 г.
Малашонок Геннадий Иванович, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры функционального анализа, е-mail: [email protected]
Информация для цитирования:
Malaschonok G.I. Using the Smith form for the exact matrix inversion. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2016, vol. 21, no. 6, pp. 2042-2046. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2042-2046
2046
УДК 517.98
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2047-2053
СПЛЕТАЮЩИЕ ОПЕРАТОРЫ ДЛЯ ТЕНЗОРНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
© В. Ф. Молчанов
Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 E-mail: [email protected]
Мы описываем сплетающие операторы для тензорного произведения бесконечномерного и конечномерного представлений группы БЬ(2, К).
Ключевые слова: группы и алгебры Ли; представления групп Ли; тензорные произведения; сплетающие операторы
Мы продолжаем изучение тензорных произведений представлений группы С = ЯЬ(2, К) . Ранее мы рассмотрели произведение двух бесконечномерных представлений, см. [1], затем мы изучили произведение двух конечномерных представлений, см. [2]. Некоторые задачи для произведения бесконечномерного представления Та,е и конечномерного представления пт были рассмотрены в [3]. В настоящей статье мы предъявляем сплетающие операторы для семейства представлений Та,е х пт и изучаем их действия на базисах. Здесь а € С , е = 0,1, 2т € N . Представление Та,е - бесконечномерное, для определенности мы будем считать, что а - общего проложения, то есть 2а € N , представление пт - конечномерное, его размерность равна 2т + 1,
Напомним описание неприводимых представлений группы С = ЯЬ(2, К) . Эта группа состоит из вещественных матриц второго порядка с определителем единица:
д = ( " ^ - в! = 1-
Пусть а € С , е = 0,1. Рассмотрим серию представлений Та,е группы С , индуцированных характерами р ^ с2а'е верхней треугольной подгруппы. Мы считаем, что группа С действует на плоскости К2 справа, соответственно этому векторы х = (х\,х2) из К2 мы записываем в виде строки. Обозначим через Т>ае(Щ.2) пространство функций / из 2 \ {0}) , удовле-
творяющих условию однородности
/(\х) = \2а'е/(х), А € К*• Представление Та,е действует правыми сдвигами в пространстве 2) :
(Та,е (д)/)(х) = / (хд)
Рассмотрим представления Та,е в компактной картине. Пусть \х\ - евклидова длина вектора х = (х1,х2) на плоскости К2 : \х\ = д/х2 + х2 . Обозначим через 5 окружность \х\ = 1.
Ограничим функции / из 2) на Б. Мы получим пространство Vе(Б) функций ф
из ) четности е:
ф(-8) = (-1)еф(в).
2047
Представление Та ,е действует в De(S) так:
(Tafi(g)v)(s) = ||j) \sa\2a■
Пусть а - координата на S: точка s из S есть s = (sin a, cos а) . Иногда вместо ^>(s) мы будем писать ф(а) .
Введем оператор Ла,e , действующий в функциях из De(S) :
i г
(Ла,еФ)(а) = 2 у0 [sin(a - в)]-2- e ф(в) dp.
Он сплетает Та,£ с Т-а-\,£ , т. е.
Т-—,£(д)Аа,£ = АаеТае(д), д € С.
Множитель перед интегралом поставлен для удобства формул в дальнейшем. Интеграл абсолютно сходится при И,е а< -1/2 и распространяется по аналитичности в плоскость а до мероморфной функции.
Возьмем в ) базис
фк(а) = ¿ка, к € 2.
Базис в £>£(£) состоит из функций фк , для которых к = е . Здесь и дальше знак сравнения означает сравнение по модулю 2. Оператор Аа,£ переводит функцию фк в себя с множителем:
Аа>£фк = а(а,е; к) фк,
где
а(а,е; к) = %-к п 2
- 02а+2 Г(-2а - 1)
Г (-а - к/2) Г (-а + к/2) = i-k п- 22a+1 [(-1)£ - cos 2ап] Г(-2а - 1) х х Г (а - к/2 + 1) Г (а + к/2 + 1) . (1)
Отсюда следует, что композиция Ла,£ и Л-а-\,£ есть скалярный оператор:
A-a-i,£ Ла,£ = шо(а, е) • E,
где
. , 2п 1 - (-1)£ cos 2ап
ш0(а, е) =-•-.
0 ' J 2а + 1 sin 2ап
Представление Ta,£ неприводимо, за исключением случая, когда 2а € Z и 2а = е . Пусть 2а € N , е = 2а , тогда представление Ta,£ имеет инвариантное неприводимое конечномерное подпространство
= {фк : -2а ^ к ^ 2а, к = е} ,
так что dim Va = 2а + 1. В этом случае обозначим через па ограничения на Va представления Ta>£ . Число а называется старшим весом представления па . Представления па , 2а € N , исчерпывают неприводимые конечномерные представления группы G. Оператор Ла,£ обращается в нуль на пространстве Va .
2048
Нам потребуются некоторые результаты из [3]. В этой работе [3] мы разлагаем тензорное произведение Ta,£ 0 nm на неприводимые составляющие, см. теорему 1, и находим в явном виде операторы, сплетающие эти неприводимые составляющие и наше тензорное произведение (преобразования Пуассона), см. теорему 2. Для определенности мы будем считать , что а -общего положения, то есть 2а € N , представление nm - конечномерное, его размерность равна 2m + 1.
Тензорное произведение Ta>£ 0 nm действует в пространстве V£(S) 0 Vm функций f (s,t) четности
v = е + 2m
на прямом произведении S х S двух окружностей:
f (-s, -t) = (-1)£+2mf (s,t).
Для точек s первой окружности из прямого произведения S х S берем параметр а , так что s = (sin а, cos а), а для точек t второй окружности берем параметр в , так что t = (sin в, cos в). Обозначим
v = а — в-
Мы будем использовать следующие обозначения для "обобщенных степеней" : a[m] = a(a + 1)... (a + m — 1), a(m) = a(a — 1)... (a — m + 1), где a - число или оператор.
Теорема 1. [3] Тензорное произведение Ta>£ 0 nm распадается в прямую однократную сумму неприводимых представлений
0 Пт — Ta—m,v + Ta —m+1, v +... + Ta+m, v .
Соответственно, пространство D£(S) 0 Vm распадается в прямую однократную сумму неприводимых подпространств Wk , к = 0,1, 2,..., 2m . Подпространство Wk есть образ преобразования Пуассона , отображающего пpостpанство D£(S) в пpостpанство
D£(S) 0 Vm и сплетающего представление Ta—m+k,v с тензорным произведением Ta,£ 0 nm . Явный вид преобразований Пуассона дается в Теореме 2 ниже.
Обозначим
т = а — m + к.
Следовательно, ограничение представления Ta>£ 0 nm на Wk эквивалентно представлению TT,v , а само представление Ta>£ 0 nm есть прямая однократная сумма:
Ta, £ 0 nm ^ ^ tt , v,
суммирование происходит по т € {а — m,a — m + 1,... ,а + m} .
2049
Теорема 2. [3] Преобразование Пуассона М((7) , к = 0,1, 2,..., 2т , есть дифференциальный оператор, он дается одним из следующих двух явных выражений:
И^ =
(sin v)2m-k ¿ (-1)fc-r (k) (2т - k + 1)
r=0
( д \ r
(i sin v)r ei(k-r)v í 2т - i^j ,
[k-r]
Mka) =(sin v)
2m-k
д
(sin v) —--(2т — k + 1) cos v
да
д
(sin v) —--(2т — k + 2) cos v
да
д
(sin v) —--2т cos v
да
x
x
x
x
x
В частности, оператор И^ экспоненте ф2р($) из (S) сопоставляет некоторый вектор ukP из D£(S) 0 Vm . Он принадлежит подпространству Hp в V£(S) 0 Vm с базисом , r + h = 2p, так что 2p = е + 2m . Все пространство V£(S) 0 Vm распадается в прямую однократную сумму подпространств Hp , 2p e Z , 2p = е + 2m . Размерность Hp равна 2m + 1.
Вот явное выражение (напомним, что v = а — в ):
иЦ(а,в) = e2pia (sinv)2m-k (-1)k ^ (2т - r)(k-r) x
r=0
X ei(k-r)v (-2i sin v)r • (т + p)(r), (2)
Теорема 3. Всякий оператор, сплетающий два представления из совокупности Та,£ 0 пт, есть либо скалярный оператор (сплетающий представление с самим собой), либо с точностью до множителя оператор Аа,£ 0 1, сплетающий представление Та,£ 0 пт с представлением Т-а-\,£ 0 пт , то есть
0 пт)(д)(Аа>£ 0 1) = (Аа>£ 0 1)Т,£ 0 пт)(д), д € С.
Теорема сразу следует из аналогичного утверждения для совокупности Та>£ и оператора Аа,£ .
Заменим в разложении из Теоремы 1 представления на эквивалентные: в левой части заменяем а на —а — 1, а в правой части заменяем а — т + к на -(а — т + к) — 1 = (-а — 1 — — т) + (2т — к) , получаем:
2т
Т-а-1,£ 0 пт = ^^ Т(—а— 1-т)+(2т-к), £+2т ■ к=0
Следовательно, оператор Аа,£ 0 1 переводит образ преобразования Пуассона М^ в образ
преобразования Пуассона М^—к^ и потому переводит вектор и^) в вектор и2т—.кр с множителем. Приведем точные формулы.
2050
