CC BY
18
Теорема 4. Имеет место 'равенство
{Аа,£ ® 1) ukP = \(а, е; к, p) и-^ , (3)
где
Л(а, е; к, p) = (2i)2m-2k (-1)k i-2p+2mс(а, е) x
x Г(а - m + к + p + 1)Г(а - m + к -p + 1). (4)
Для доказательства нам остается вычислить этот множитель Л. В выражении (2) только одно слагаемое содержит экспоненту exp(-2mia), а именно, слагаемое с номером r = к , оно есть (напомним, что v = а - в )
(2i)2m-k(-1)k(а - m + к + p)(k) • e2ipae-2imv . (5)
Поэтому нам достаточно проследить за слагаемыми с номером r = к. Это слагаемое для вектора u^J—kp получается из (5) заменой а ^ -а - 1 и к ^ 2m - к , после преобразований получаем, что оно есть
(2i)k(а + m - p)(2m-k) • e2ipae-2imv . (6)
В силу (1) такое же слагаемое для (Аае ® 1) и^Р есть
(2i)2m-k(-1)k(а - m + к + p)k i-2p+2mc(a, е) x
x Г(а + p - m + 1)Г(а - p + m + 1) • e2ipae-2imv , (7)
где обозначено (ср. (1))
с(а, е) = n-1 22a+1 [(-1)е - cos 2ап] Г(-2а - 1).
В выражении (7) мы сделаем следующие преобразования:
(а - m + к + p)(k) Г(а + p - m + 1) =Г(а - m + к + p + 1), Г(а -p + m + 1) = (а -p + m)(2m-k) Г(а - m + к -p + 1).
Мы получим это выражение в виде
(2i)2m-k(-1)k(а - p + m)(2m-k) Г^+^с^, е) x x Г(а - m + к + p + 1)Г(а - m + к - p + 1) • e2ipae-2imv ,
Сравнивая это с (3), (5), (6), убеждаемся в справедливости формулы (4). □
Оказывается, см. (9) ниже, этот коэффициент Л только множителем отличается от коэффициента а из (1) - с другими параметрами, а именно, от коэффициента а(а - m + к,е + + 2m; 2p) . Мы используем связь:
^=(-i)2m^-2к - в • ^ - -+^+м.
и получаем, что
Л(а,е; к,p) = Ь(а, к) • а(а - m + к,е + 2m; 2p), (9)
где
Ь(а,к) = 2 4m-4k Г(-2а - 1)
Г(-2а + 2m - 2к - 1) '
2051
Теорема 5. Оператор Аа,£ 0 1 действует на векторы п^Р аналогично тому, как оператор Аа-т+к,е+2т действует на функции - формулы отличаются общим мно-
жителем, а именно,
(А^ 0 1) пЦ = Ъ(а, к) ■ а(а - т + к,е + 2т; 2р) ■ п^—1) •
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Молчанов В.Ф. Тензорные произведения унитарных представлений трехмерной группы Лоренца // Известия АН СССР. Сер. матем. 1979. Т. 43. № 4. C. 860-891.
2. Молчанов В.Ф. Преобразования Пуассона и Фурье для тензорных произведений // Функциональный анализ и его приложения. 2015. Т. 49. Вып. 4. С. 50-60.
3. Molchanov V.F. Poisson transforms for tensor products in compact picture // Geometrie Methods in Physics. XXXV Workshop 2016. Trends in Mathematics, Springer International Publishing, 2017 (in print).
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке государственной программы Министерства образования и науки РФ № 2014/285 (проект № 2476).
Поступила в редакцию 20 октября 2016 г.
Молчанов Владимир Федорович, Тамбовский государственный университет им. Г. Р. Державина, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры функционального анализа, е-mail: [email protected]
UDC 517.98
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2047-2053
INTERTWINING OPERATORS FOR TENSOR PRODUCTS
© V. F. Molchanov
Tambov State University named after G.R. Derzhavin 33 Internatsionalnaya St., Tambov, Russian Federation, 392000 E-mail: [email protected]
We give a description of intertwining operators for the tensor product of an infinite-dimensional and a finite-dimensional representation of the group SL(2, R). Key words: Lie groups and Lie algebras; representations of Lie groups; tensor products; intertwining operators
REFERENCES
1. Molchanov V.F. Tensor products of unitary representations of the three-dimensional Lorentz group // Izv. AN USSR. Ser. matem., 1979. V. 43. № 4. P. 860-891.
2. Molchanov V.F. Poisson and Fourier transforms for tensor products // Funkts. Analiz Prilozh., 2015. V. 49. Iss. 4. P. 50-60.
2052
3. Molchanov V.F. Poisson transforms for tensor products in compact picture // Geometric Methods in Physics. XXXV Workshop 2016. Trends in Mathematics, Springer International Publishing, 2017 (in print).
ACKNOWLEDGEMENTS: The work is partially supported by the state program of the Ministry of Education and Science of the Russian Federation № 2014/285 (project № 2476).
Received 20 October 2016
Molchanov Vladimir Fedorovich, Tambov State University named after G. R. Derzhavin, the Russian Federation, doctor of physics-mathematics, Professor, Professor of the Functional Analysis Department,, е-mail: [email protected]
Информация для цитирования:
Молчанов В.Ф. Сплетающие операторы для тензорных произведений // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 6. С. 2047-2053. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2047-2053 Molchanov V.F. Spletayuschie operatory dlya tenzornyh proizvedenij [Intertwining operators for tensor products]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2016, vol. 21, no. 6, pp. 2047-2053. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2047-2053 (In Russian)
2053
УДК 519.72; 519.65
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2054-2061
КОМПЬЮТЕРНЫЙ АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РАЗЛОЖЕНИЯ ЦИФРОВЫХ СИГНАЛОВ ПО ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМ
СДВИГАМ ФУНКЦИИ ГАУССА
© А. С. Тимашов
Воронежский институт МВД России 394065, Российская Федерация, г. Воронеж, Проспект Патриотов, 53 E-mail: [email protected]
В работе приводятся результаты численных расчётов, подтверждающих вычислительную эффективность метода аппроксимации цифровых сигналов при помощи разложения по целочисленным сдвигам функции Гаусса. Метод основан на использовании узловых функций и приближения бесконечномерной системы линейных уравнений конечномерными. Продемонстрировано, что с использованием выбранного метода происходит эффективное приближение цифровых сигналов с различными свойствами: нормальных распределений с различными соотношениями параметров, распределений Коши, треугольных и трапециевидных сигналов, меандров сложной формы. Следует особо отметить, что рассматриваемый метод даёт хорошие результаты для исследования смеси различных сигналов, их идентификации и разложения, в том числе сигналов с "тяжёлыми хвостами" таких, как распределение Коши. В конце статьи перечислены основные результаты автора, полученные для данного класса задач, указаны возможные дальнейшие приложения и обобщения.
Ключевые слова: цифровые сигналы; аппроксимации; функции Гаусса; нормальное распределение; распределение Коши
1. Введение
Рассмотрим задачу о разложении достаточно произвольного цифрового сигнала по системе целочисленных сдвигов функции Гаусса (квадратичной экспоненты с параметрами). Для численного анализа и приложений основную роль играют приближения данного типа конечными суммами, которые возникают при усечении соответствующих рядов. Историю вопроса, основные результаты и многочисленные приложения см. в работах [1]—[10].
В работе приводятся результаты численных расчётов, подтверждающих вычислительную эффективность метода аппроксимации цифровых сигналов при помощи разложения по целочисленным сдвигам функции Гаусса. Метод основан на использовании узловых функций и приближения бесконечномерной системы линейных уравнений конечномерными. Продемонстрировано, что с использованием выбранного метода происходит эффективное приближение цифровых сигналов с различными свойствами: нормальных распределений с различными соотношениями параметров, распределений Коши, треугольных и трапециевидных сигналов, меандров сложной формы. Следует особо отметить, что рассматриваемый метод даёт хорошие результаты для исследования смеси различных сигналов, их идентификации и разложения, в т. ч. сигналов с "тяжёлыми хвостами" таких, как распределение Коши. В конце статьи перечислены основные результаты автора, полученные для данного класса задач, указаны возможные дальнейшие приложения и обобщения.
2054
2. Интерполяционная задача для разложения цифровых сигналов по целочисленным сдвигам функции Гаусса
Интерполяционная задача: рассмотрим произвольную функцию f (x) , заданную на всей оси x € R , и некоторый параметр а > 0 , который в вероятностных приложениях играет роль среднеквадратичного отклонения. Будем искать интерполирующую функцию f (x) , также определённую на всей оси x € R , которая представляется в виде ряда по целочисленным сдвигам функции Гаусса
оо 2
- (x-k)2
f (x) fke(1)
к=—<х
и совпадает с исходной функцией во всех целых точках
f (m) = f (m), m € Z. (2)
Известны несколько подходов к решению поставленной задачи. При первом подходе решение ищется с помощью специальных функций, а именно, тета—функций Якоби [1]—[3]. Однако, как показано в [4], несмотря на теоретическую ценность этого подхода, он не имеет вычислительных перспектив, т. к. связан с делением на чрезвычайно малые знаменатели. Другой подход разрабатывался в [2]—[3], он основан на применении дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Такой подход имеет определённую вычислительную ценность, но она достигается ценой усложнения алгоритма, при этом вычисления эффективны в достаточно узких диапазонах параметров и с небольшим числом разрядов в результатах. Чтобы преодолеть указанные трудности, в работах [8]—[10] был предложен прямой метод решения поставленной задачи интерполяции, основанный на сведении её к решению конечных систем линейных уравнений.
Существенным препятствием для развития этого метода являлось отсутствие результатов по доказательству однозначной разрешимости соответствующих систем линейных уравнений. Поэтому в работе [5] были получены результаты, устанавливающие требуемую однозначную разрешимость линейных систем. Эти результаты являются теоретическим обоснованием для разработки практических численных алгоритмов, избавленных от необходимости работы со специальными функциями или ДПФ.
Для дальнейшего изложения введём удобное обозначение для квадратичной экспоненты
(-x-k)2
e (а, x,k) = e 2«2 (3)
Решение поставленной задачи сводится к нахождению последовательности неизвестных коэффициентов fk из (1). Для этого, следуя стандартной схеме решения задач интерполяции, необходимо построить узловые функции для каждого узла интерполяции x = m, m € Z .В нашем случае достаточно построить одну базисную узловую функцию для узла при x = 0, которую мы будем искать в виде
те
G (a,x)= 9k e(a,x,k). (4)
k=—<x
Вывод определяющих соотношений и бесконечной системы линейных уравнений для нахождения коэффициентов базисной узловой функции известен, см. [4]—[5].
Из (2) следует, что эта базисная узловая функция должна удовлетворять основному условию при всех m € Z :
те
G (a,m)= gk e(a,m,k) = ато, (5)
к=—<х
2055
где am0 есть символ Кронекера
1, m = 0 0,m = 0.
I 1,
&m0 = I о
Предположим, что такая функция G (a, x) , удовлетворяющая условию (5), уже найдена. Тогда нетрудно выписать формальное решение поставленной задачи. Действительно, функция
Gi (a, x) = G (a,x — l)
является узловой функцией для узла при x = l, так как при всех значениях m
Gi (a, m) = G (a,m — l) = ami.
Тогда одним из решений поставленной интерполяционной задачи будет, очевидно, функция
те
f(x)=Y. f (l) Gi (a,x), (6)
1=—те
т. к. при x = m от суммы (6) остаётся только одно слагаемое:
f (m) Gm (a, m) = f (m) ■ 1 = f (m).
Чтобы перейти от представления решения в виде (6) к искомому представлению в виде (1), выполним необходимую подстановку. В результате получим с учётом (4):
те
f(x)= Е fj e (a,x,j), (7)
3=-те
где искомые коэффициенты разложения представляются в виде (после замены индексов j ^ k , чтобы согласовать результат с (1)),
Е f (к - j) 9j,
з=-ж
где f (m) — значения заданной функции в целых точках, а gj — коэффициенты разложения базисной узловой функции (4).
Преобразуем систему уравнений:
те
Е gke (a,m,k) = ато, m €Z.
к=-те
__i
Для этого введём новую переменную q = e 2Í2 . Получим
те
Е gkq(m-k)2 = amo, m &Z. (9)
к=—те
Для численного решения необходимо рассмотреть конечномерные усечения полученной бесконечной системы уравнений (9).
2056
3. Компьютерный анализ математической модели
Как было показано выше, при решении задач интерполяции ключевым моментом является построение узловой функции. Перейдём теперь к рассмотрению конечномерных приближений первоначальной интерполяционной задачи, которые получаются в результате перехода от бесконечномерной системы к её конечномерным "усечениям". Этот естественный подход, основанный на приближении решений изучаемой интерполяционной задачи решениями конечномерных систем, рассматривался в работах [8]—[10]. Разумеется, такой подход имеет свои ограничения, но вместе с тем он позволяет обойти некоторые сложности, возникающие при перечисленных выше других подходах, и расширяет возможности эффективного численного решения интерполяционной задачи.
Проведено компьютерное исследование решений полученных конечномерных систем линейных уравнений численными методами при помощи математического пакета МЛТНЕМЛТ1СЛ при широком наборе управляющих параметров и. Приведем некоторые результаты компьютерных расчетов.
Приведём графики построенной при решении линейных систем базисной узловой функции при значениях аргумента вблизи начала координат
Из графиков видно хорошее совпадение полученных значений с ожидаемыми. В частности, построенные аппроксимации чётко проходят в целочисленных узлах через нулевые значения.
Рис. 1. Базисная узловая функция вблизи начала координат
и тот же график при больших значениях аргумента.
Рис. 2. Базисная узловая функция при больших аргументах
2057
