Усиленный закон больших чисел для попарно отрицательно зависимых случайных величин Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.214.5

М.Ю. Герасимов1

УСИЛЕННЫЙ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ДЛЯ ПОПАРНО ОТРИЦАТЕЛЬНО ЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

В статье указаны необходимые и достаточные условия для справедливости усиленного закона больших чисел для попарно отрицательно зависимых случайных величин с бесконечными математическими ожиданиями.

Ключевые слова: отрицательно зависимые случайные величины, усиленный закон больших чисел.

Введение. Понятие отрицательно зависимых, или, что то же самое, отрицательно ассоциированных, случайных величин впервые было введено в статьях [1] и [2]. В последующих исследованиях, предпринятых большим числом специалистов, было выяснено, что многие свойства независимых случайных величин могут быть перенесены на отрицательно ассоциированные случайные величины. В предлагаемой заметке доказано, что известное утверждение Феллера [3] о росте сумм независимых одинаково распределенных случайных величин с бесконечными средними остается справедливым при замене условия независимости на условие попарной отрицательной зависимости. При доказательстве нашего утверждения мы пользуемся некоторыми приемами из статьи [4], в которой упомянутое утверждение Феллера доказано для попарно независимых случайных величин. Следует отметить, что попарно отрицательно зависимые случайные величины могут не быть попарно независимыми. По этой причине приходится искать различные доказательства для одинаковых утверждений для каждого из этих двух классов случайных величин.

Постановка задачи. Напомним, что случайные величины А'„. п € N, называются попарно отрицательно зависимыми, если для любых неубывающих вещественных функций /(ж), д(х), ж € Ж = (—оо, оо), выполняется неравенство Е(f(Xi)g(Xj)) ^ Ef(Xi)Eg(Xj).

Далее всюду будем предполагать, что отрицательно зависимые одинаково распределенные случайные величины Хп, п € N = {1,2,...}, определены на вероятностном пространстве (О, J7, Р). Обозначим через Х+ = Хп V 0 и Х~ = — (Хп А 0) соответственно положительную и отрицательную части случайной величины Хп = Л',,' — Х~, S„ X \ + ... + А'„. Тп = |Xi| + ... + \Хп\.

Известно (см. [5]), что случайные величины Хп, п € N, попарно отрицательно зависимы тогда и только тогда, когда Р{Xi > ж, Xj > у} ^ Р{Xi > x}P{Xj > у} для любых i,j G N, i ф j, и для любых вещественных чисел ж, у. Там же доказано, что последнее неравенство эквивалентно неравенству Р{Xj < ж, Xj < у} ^ Р{Xj < x}P{Xj < у} для любых i,j G N и для любых ж, у € Ж. Из этого критерия, который мы будем называть критерием Лемана, непосредственно следует, что каждая из последовательностей {X+}nj>i и {Х~}п^1 состоит из отрицательно зависимых случайных величин, если случайные величины последовательности {Xn}n^i отрицательно зависимы.

Докажем сначала это утверждение для последовательности {X+}n^i. Достаточно проверить критерий Лемана. Если ж < 0 и у G Ж, то Р{Х+ > ж, Х+ > у} = Р{Х+ > у} = Р{Х+ > ж}Р{Х+ > у}, так как Р{Хг+ > ж) = 1 в силу того, что Xf — неотрицательная случайная величина. Аналогично если ж G Ж и у < 0, то Р{Х+ > ж, Х+ > у} = Р{Х+ > у} = Р{Х+ > ж}Р{Х+ > у}. Если ж ^ 0, у ^ О, то Р{Х+ > ж, Х+ > у} <: Р{Xi > x}P{Xj >у} = Р{Х+ > ж}Р{Х+ > у}.

Докажем теперь утверждение для последовательности {X~}n^i. Для любых i,j € N и для любых ж, у € Ж справедливы следующие соотношения: P{^Xj > ж, —Xj > у} = P{Xj < —ж, Xj < —у} ^ ^ P{Xj < —x}P{Xj < —у} = P{^Xj > x}P{—Xj > у} и, следовательно, последовательность {^Xn}nj>i состоит из отрицательно зависимых случайных величин. По доказанному выше последовательность Х~ = (^Xn)+, п G N, состоит из отрицательно зависимых случайных величин.

хФакультет ВМиК МГУ, асп., e-mail: gerasimov.mikeQgmail.com.

Основные результаты. Здесь мы докажем две теоремы, первая из которых понадобится для доказательства основного результата статьи — теоремы 2. Кроме того, теорема 1 представляет самостоятельный интерес. Следует отметить, что ее доказательство мало отличается от доказательства аналогичной теоремы для попарно независимых случайных величин из статьи [6].

Теорема 1. Пусть дана последовательность попарно отрицательно зависимых не обязательно одинаково распределенных случайных величин {Хп}п^1, такая, что

ЕЪХп

-7Г < 00

п2

п=1

и

^ п

8пр-У2Е\Хк-ЕХк\<оо. (1)

п> 1 П ^

к=1

Тогда

J п

lim ~У(Хк-ЕХк) = 0 п.в.

I,—vnn п

п—>-оо п

к=1

Доказательство. Без ограничения общности рассуждений можно считать, что ЕХп = 0 для всех п € N. Обозначим = X+ + ... + Х+ и Б~ = + ... + Х~. По условию (1) существует постоянная А > 0, такая, что 0 ^ ЕБ+/п ^ А для всех п € N. Для любых а > 1 и е > 0 обозначим Ь = [А/е] целую часть числа А/е. Для любых целых т, в ^ 0, в = 0,..., Ь, мы определим следующие числа:

к~(т) = Ы{к : ат ат+\ б [зе, (в + 1)е]},

к+(т) = яир{к : ат < к < ат+\ 1/А£5+ б [ве, (в + 1)е]},

если в правых частях этих равенств множества не пусты, и к£(т) = к~(т) = [ат] в противном случае.

Заметим, что ЪХп = Е {{А'- ЕЛ',; ) + (Х~ - ЕХ~))2 = О Л',; + ОХ~ + 2 ЕЛ',; ЕЛ(, > О Л',; + ОХ~ для любого п. В силу попарной отрицательной зависимости случайных величин ЛГ+, п € Н, выполняется неравенство Е(Х^Х^) ^ ЕЛ;.' ЕЛ',;,. и, следовательно, Е(Х^ — ЕХ^){Х+ — ЕЛГ+) = = ЕЛ;.' Л'„', — ЕЛ;.' ЕЛ„', ^ 0 для любых различных к ж т. Отсюда в свою очередь следует, что + Х+) ^ + ОЛГ+. По индукции можно доказать неравенство 05+ ^ ОЛГ^ + ... + ОЛГ+

для любого п € N. С учетом сделанных замечаний мы получим

ос ^ ос ^ к^(т) ос ^ kf(m)

Е (л±(т))2Е(5й(»*)" Е5&(™))2 ^ Е (*±(т))2 Е < Е (А.±(т))2 Е =

т=0 4 4 '' т=0 4 4 '' з = 1 гп=0 4 4 '' ^ = 1

ос ос 2c,0П/'^^

V л (к±(т))2 ^ 3 ^ (а™)2 а2 - 1 ^ I2

3 = 1 {ш: К 8 К И 5 = 1 {т: а™^'} V ! ¿=1 ''

для любого 5 = 0,...,!/. Операции суммирования и интегрирования положительных случайных величин можно поменять местами, и, следовательно,

ОО 1 ОО 1

^Q(kf(m))2" kt(m) kf{m)> ^ (kf(m))2 V kt(m) kt(my

Отсюда следует, что ряд под знаком математического ожидания сходится и общий член этого ряда стремится к нулю,

1

lim ^г-(S++, . — Е5++/ .) = 0 п.в. (2)

kf{m) kf(m)> v '

для любого s = 0,..., L.

Для любого п G N существуют т = т(п) и s = s(n), lim т(п) = оо, 0 ^ s(n) ^ L, такие, что

п—^ ОО

ат ^ п < am+l и ES+/п G [se, (s + 1)е). Из определения kf(m) следует справедливость следующих

неравенств:

к~(т) ^ п ^ kf(m) С учетом этих неравенств мы получим, что 1\ . 1 1

1 1

£ е.

1 — — I А

а) ' a ks(m)

£ -е-

1

1

1 1

1

1 1

1 " ä) kfim)ESi(rn) + äkf{m){Si(m) ~ Е5*г(т)> ^ Ä(m) " nE5« ^ " } ^

1

1

< _д+__

п fci(m) kf(m)

а

ES,;.,.j + (n- ол + г.

kf(m) K^kf(m) ^kf(m) Отсюда и из (2) следует, что

/ 1 \ 1 1 - 1--А < liminf-(5+ - ES+) < lim sup — (Sj" - ES+) < (а - 1 )А + е п.в.

\ а/ п^ос П п^оо п

Полагая здесь а 4- 1 и е 4- 0, мы получим

Аналогично можно доказать, что

lim — + — E5j~) = 0 п.в.

п—>со п

1

lim — (Sn — ЕSn ) = 0 п.в.

П^гОО п

Из двух последних соотношений следует утверждение теоремы:

1

1

1

lim — Sn = lim —S'j" — lim —S = 0 п.в.

n—>oo fl n—>-oо fl n—>-oо fl

Теорема 2. Пусть дана последовательность отрицательно зависимых одинаково распределенных случайных величин {Xn}n>i и последовательность положительных чисел {an}n>i. Если EXf < оо, ЕХ^" = для всех п G N, то

Р{5„ > ап б.ч.} = 1 <==> Р{Хп > ап} = оо,

Р { lim ^ = = 1 n-foo а„

п= 1

ос

2 Р{ХП > ап] < оо.

(3)

(4)

п=1

Доказательство. Предположим, что ряд (3) расходится. Возможны два случая, в которых

ос

величина с = sup ап/п конечна или бесконечна. Пусть с < оо. В этом случае ^ Р{Х+ > Ъап} = оо для

п=1

любого Ь > 0. Если бы последний ряд сходился для некоторого Ъ > 0, то по неравенству Колмогорова для неотрицательных одинаково распределенных случайных величин получаем

оо оо

оо = Е(Х+/2Ьс) < 1 + ^ Р{Х+ ^ 2Ьсп] < 1 + ^ Р{Х+ > Ьап} < оо,

п= 1

п= 1

что противоречит предположению о сходимости ряда.

Пусть Ь > тах{1,ЕХ^/с}. Выше было отмечено, что случайные величины Х+, п € М, попарно отрицательно зависимы. Поэтому события Ап = {Х+ > 2Ьап}, п € М, удовлетворяют условию Р{Аг П А,-} ^ Р{А.1}Р{А,-} для любых г,^ € {!,••• ,п}, г ф у. Отсюда следует, что

lim sup

п—>оо

£

.%— 1

^ lim sup

£

.%—1

= l.

£ РМгПА,-}

к—>со

,г= 1

£ Р{Л}

г=1

Известно (см. [7, с. 214, 215]), что последнее соотношение вместе с условием ^ > 2Ьап} = оо

п=1

( ос ос Л

достаточны для того, чтобы выполнялось равенство Ps П U Ai f = 1 или. что то же самое,

[k=ln=k J

Р{Ап б.ч.} = Р{Х+ > 2Ьап б.ч.} = 1. Отсюда и из неравенства S+ = X+ + ... + Х+ ^ Х+ следует, что Р{5+ > 2Ьап б.ч.} = 1. Заметим, что Sn — S+ — Sn , где Sn — Х^ + ... + Хп . Подводя итог, мы получим, что

$ 1 ^ 1 ^ limsup — = limsup — ^— lim — ^X> 2Ь ^ Ь = Ь > 1 п.в.

n—>OQ 0,n n^-oo 0,n _^ n—>00 an _^

и, следовательно, P{5n > an б.ч.} = 1.

(ОС \ ОС

ХГ ) /ап = 0 п.в. Так как ^ P{Xn > an} =

k=1 / n=1

ОС

= оо и P{Xn > an} ^ > «я}, то P{Xn > an} = оо и, следовательно, + ...

n=1

... +X+ > an б.ч.} = 1. Подводя итог, мы видим, что Нт8ир5п/ап = limsup(X+ + .. ,+Х^)/ап > 1 п.в.

п—^оо п—>оо

и, следовательно, Р{5П > ап б.ч.} = 1.

Предположим теперь, что Р{5П > а б.ч.} = 1. Требуется доказать, что ряд (3) расходится. Пред-

ос

положим противное, что ^ Р{Хп > ап} < оо. Это условие, как будет доказано ниже, достаточно,

п=1

чтобы lim Тп/ап = 0 п.в. и, следовательно, lim Sn/an = 0 п.в. Отсюда в свою очередь следует

п—^ оо п—^ оо

P{<Sn > о,п б.ч.} = 0, что противоречит предположению, и, следовательно, ряд (3) расходится. Предположим, что ряд (4) сходится. Для любого Ь > 1 мы имеем

оо ОС оо

Р{Х+ > Ъап} < P{Xi > ап} + Р{*Г > ап} < оо. (5)

п= 1 п= 1 п=1

ОС

Убедимся, что с = sup ^ = оо. Предположим противное, что с < оо. Из условий ^ Р{Хп > ап} <

п=1

< оо и E.Y,,' = оо следует, что

оо ОС

00 == Е ^2bcn} < Е ><

п=1 п=1

п

Мы пришли к противоречию, и, следовательно, с = оо и lim ( У] ХГ ] /ап = 0 п.в. Заметим, что

11—^ оо 1 '

fc=l

Тп = Х+ + ...+Х+ + Х 1 + ... + Хп . Таким образом, достаточно доказать, что

п

lim — V A', 0 п.п. (6)

п-юс ап

п к=1

Определим функции /п, п G N, следующим образом:

О, если х < О, fn{x) = {х, если 2 ап,

2ап, если ж > 2ап.

Функции /„, n € N, не убывают. Поэтому случайные величины Yn = па^1 fn(X+), n G N, являются попарно отрицательно зависимыми. Докажем, что выполнены следующие два соотношения:

^ Е(Г„ - EYn)2

Е 2 < 7

п=1

п

зир-У^ЕЩ - ЕУк\ < ос. (8)

Докажем сначала справедливость соотношения (7). Заметим, что

Е(ГП - ЕУП)2 < ЕГ(; = п2а~2 (Е ((Х+)21 [Х+ < 2ап}) + 4а2пР{Х+ > 2ап}) . Отсюда следует, что

^ Е(Гга - ЕУ,,)'-' ^ ^ ЕГ(; ^ Е (/га(Х+))2 ^ Е {(Х+)21 [Х+ < 2ап)) + 4а2пР{Х+ > 2ап} ^

' /у\ 2 ' /у/ 2 ' Г ! 2 ' Г ! 2

г , п , ап

п=1 п=1 П=1 П=1

П=1 П П=1

Последний ряд сходится в силу (5). Поэтому для сходимости ряда (7) достаточно доказать сходимость предпоследнего ряда. С этой целью заметим, что

Е Е((х-+)2/[У ^2ага]) = Е 4 Е е (да)2* к-1 < < ак])

п= 1 а'п п= 1 а'п к = 1

оо оо ^ ОС ~ ,

ЕЕ^гЕ (№+)2/ К-1 < х1+/2 < < Е ^1Е (№+)2/ К-1 < х1+/2 < •

к=1п=к п к=1 ^

Последнее неравенство выполняется в силу следующих оценок:

ОО ОО о ОО

/ ^ / ^ / /VI2 ^ п2 ¿ч п2

и/1. и/„ и/1. и/1. А; и/„

п=/г " К п=к ' К п=к К '

Здесь мы воспользовались условием а,к/к ^ ап/п для к ^ п. Из приведенных оценок следует, что ~ Е((Х+)21\Х+ <: 2ап]) ~2к „ ,ч9 Г , ,

Е 1 " < Е 72 1Е №) 7 К-1 < /2 < «*]) <

(л,. Си 1„

к= 1 п /г=1 «

оо оо

< 4Е №Н-1 < Х+/2 < а*} = 4Е Р№ > 2ол} < оо.

к= 1 /г=1

Докажем справедливость соотношения (8). Заметим, что п п , п и

Е = Е = Е - (Е № < + 2акР{Х+ > 2ак}) =

11 11 ик , 1 ик

к= 1 /г=1 /г=1

„ к

= Е -Е № К" < 2^]) + 2^кР{Х+ > 2ак}.

к= 1 /г /г=1

Так как

п оо

- > 2а*} < Е Р^ > 2о*} <

п

к=1 п=1

то для доказательства (8) достаточно убедиться, что

1 ^ к

8иР - Е -Е (Хк! К < 2ак]) < (9)

/г=1 к

Заметим, что

п , к п п ,

Е — Е Е [°т-1 < ^1+/2 < а™]) = Е Е —1Е [°т-1 < ^1+/2 <0т])<

•г—' а!. •г—' •г—' •г—' ак

к= 1 К т=1 т=1к=т

< ¿(п-т + 1) —IЕ(Х+7[от_1 <Х+/2<от]).

то= 1 а™

Последнее неравенство выполняется в силу условия ап/п ^ ап+\/{п + 1) для любого п € N. Отсюда следует (9), так как

1 А к

У^—Е(Х+1[Х+ <: 2ак]) < - + — \Е(Х+1[ат.1 < Х+/2 ^ ат]) <

" п т = 1 ат

п оо оо

^ 2 Е тР{вт_[ < Х^/2 ^ ато} ^ 2 ^ тР{а то — 1 < Х+/2 < ато} = 2 Е > 2а™} < оо-

то= 1 то=1 то=О

По теореме 1 условия (7) и (8) достаточны для выполнения усиленного закона больших чисел

п

Ит - УЧУ* - Е¥к) = 0 п.в.

I,—ЮГ) п ( *

п—> ос п

(10)

к= 1

Обозначим = О, = ^ (Ук — ЕУк), п € N. Заметим, что

к= 1

- Е (хи К < М -Е № К <

к= 1

-У" — %к-1) — — — У"

а„ к п

п—1

&п и к п к= 1

к=1

ак+1 ак\ к 1

— I ——¿к-

к + 1 к ) ап к

Так как последовательность ак/к возрастает, мы имеем

п—1

к= 1

о-к+1 ак\ к п /а.

0,1^ < 1,

и из (10) по лемме Теплица [8, с. 250] следует, что

^ Т" Е (Хи К < 2ал] - Е (Х+1 [Х+ < 2а,])) = 0 п.в.

п-юо а.

/г=1

Докажем, что

1

ц ^ оо а

(Н)

к=1

Так как случайные величины одинаково распределены для любого пбМ, то

Е (Х+1 [Х+ < 2ак}) = Е (Х+1 [Х+ < 2ак}) для всех к € N и, следовательно,

п п

-ЕЕ(х^К < М) = — ЕЕ(Х1+/< Ы) •

п 1 1 п 1 1

к=1 к=1

В силу (5) для любого е > 0 найдется г € Н, такое, что выполняется неравенство

£

2

Е тР \ °то-1 < < ат ^ < е.

то=г+1

Для п > г мы имеем

п /г=1 п /г=1то=1

в"П1— 1 2 ^ ®то

Е

т=1

(п^т + 1)Е (^Xfl

X?

O-rn — 1 2 ^ ®TO

a 'a m=1

Ото-1 <

2n d I

— > amP < arn-1 <

то=г+1

^ a..

€

X:

¿J ar

^ +2 E mp|aTO_i < ^

' то=г+1

a..

Последнее неравенство выполняется, так как ат/т ^ а,п/п для т < п.

Соотношение (11) следует из вышеуказанных неравенств, так как lim п/ап = 0 и

£ тР <| am-i <

то=г+1

х:

^ ftri

< £ тР^-К

то=г+1

^ ftri

< е.

Из (10) и (11) следует, что

Km -¿*fc+/[*fc+<2afc]=0n.B.

n-foo a,

fc=i

Это и доказывает (6), так как, по (5) и по лемме Бореля-Кантелли [8, с. 240], для почти всех шёО существует по(ш), такое, что Х+{ш) = Х+(ш)1[Х+ ^ 2ап) (ш) для всех п ^ по(ш). Тем самым доказано, что lim ^ = 0 п.в., если ряд в (4) сходится.

п—>со а'п

Предположим теперь, что Р < lim ^ = 0 I = 1. Так как \Хп\ /ап ^ Тп/ап, то Р < lim -1^-1 = О I =

L fl—^ ОО "п ) L fl—^ ОО а'п )

= 1. Отсюда в свою очередь следует, что Р{|АГП| > ап б.ч.} = 0. Действительно, если предположить

оо

противное, что п > о-п} = о©; то это означает, что Р{|АГП| > ап б.ч.} = 1. Полученное проти-

п= 1

воречие доказывает справедливость утверждения (4). Теорема доказана.

Автор благодарен рецензенту за замечания, которые помогли улучшить доказательства приведенных утверждений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Esary J., Prosehan F., Walkup D. Association of random variables with applications // Ann. Math. Stat. 1967. 11. P. 1466-1474.

2. Joag-Dev K., Prosehan F. Negative association of random variables with applications // Ann. Math. Stat. 1983. 11. N 1. P. 286-295.

3. Feller W. A limit theorem for random variables with infinite moments // Amer. J. Math. 1946. 66. N 2. P. 257-262.

4. Kruglov V. M. A strong law of large numbers for pairwise independent identically distributed random variables with infinite means // Stat. Probab. Lett. 2008. 72. P. 890-895.

5. Lehmann E. L. Some concepts of dependence // Ann. Math. Stat. 1966. 37. P. 1137-1153.

6. С sorgo S., Tandori K., Totik V. On the strong law of large numbers for pairwise independent random variables // Acta Math. Hungar. 1983. 42. N 3-4. P. 319-330.

7. Петров В. В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М.: Наука, 1987.

8. Loeve М. Probability Theory. Vol. 1. N.Y.: Springer-Verlag, 1977.

Поступила в редакцию 05.05.08