Усиленный закон больших чисел для случайных процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

7. Kendall М., Stuart A. The Advanced Theory of Statistics. Vol. 1: Distribution Theory. Charles Griffin & Company Limited, 1961.

8. Bickel P. Some contributions to the theory of order statistics // Proc. 5th Berkeley Symp. on Math. Statist, and Prob. Vol. 1. Univ. of Calif. Press, 1967. P. 575-591.

Поступила в редакцию 11.06.09

УДК 519.21

А.А. Наумов1

УСИЛЕННЫЙ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Для мартингалов с непрерывным параметром доказаны аналоги усиленных законов больших чисел Колмогорова, Зигмунда-Марцинкевича и Брунка-Прохорова. Для мартингалов с дискретным временем дано новое обобщение усиленного закона больших чисел Брунка-Прохорова. Помимо сходимости почти всюду мы доказываем также сходимость в среднем.

Ключевые слова: усиленный закон больших чисел, мартингал, сходимость почти всюду, сходимость в среднем.

Введение. Классические законы больших чисел нашли применение в рамках метода Монте-Карло, например для вычислений интегралов большой размерности. Предложенные аналоги усиленных законов больших чисел могут оказаться полезными для тех же целей, а также для приближенного вычисления континуальных интегралов.

Точные формулировки классических утверждений можно найти в учебниках [1, с. 125, 345; 2, с. 278].

Далее предполагается, что все рассматриваемые случайные величины определены на вероятностном пространстве (fi, Т, Р). Ради краткости речи во всех утверждениях, о которых говорится, что они выполнены Р-почти всюду (п.в.), символ Р будет опускаться.

1. Теорема 1. Пусть даны измеримый сепарабельный мартингал {Yt, £ € К_|_} относительно некоторой фильтрации £ € К+} и неограниченно возрастающая положительная функция /(£), £ > 0. Если

сю

dE\Yt\a

fa(t) 1

для некоторого а ^ 1, то

< ос (1)

sup Yf

s

lim = 0 п.в. (2)

Доказательство. Можно считать, что функция f(t), t ^ 1, непрерывна справа. В противном случае ее можно заменить функцией f(t + 0) = lim f(s), t ^ 1, которая, как нетрудно убе-

s4.t

диться, непрерывна справа и почти всюду по мере Лебега совпадает с /. Заметим, что функция g(t) = inf{s : f(s) > t}, t ^ 1, непрерывна справа, неограниченно возрастает и удовлетворяет неравенствам 2n+1 ^ f(g(2n)) ^ 2" для всех п € N = {1, 2,...} начиная с некоторого номера tiq. Далее мы будем считать, что щ = 1. По неравенству Дуба [3, с. 285] для моментов мы получим, что

_ £° Sр LÄ- ш> ■е) * S (з)

Факультет ВМК МГУ, студ., e-mail: naumovneQgmail.com

Ряд справа сходится. Это вытекает из (1) и следующих соотношений:

ОС Е ^у (2п+1)\а 4 I / " \

п= 1 п=1 4=1 '

д(2к+1) д(2к + 1) д(2к + 1)

ОО л оо 1 ос 1 г ОС 4 „ ' , ,а

= С+Е / = / «идачс+^Е у

«с

ос

а

^ п п i dE\Yt\

1

где С, Ci — некоторые положительные константы.

В силу сходимости ряда слева в (3) по лемме Бореля-Кантелли последовательность

{ sup \Yt\/f(t)}n^!

сходится почти всюду к нулю и, следовательно,

lim -р- = 0 п.в. (4)

t-юо f(t) 1 1

Обозначим П' множество элементарных событий, для которых выполняется (4). Для любых шёО'и е > 0 найдется s(u,e) > 0, такое, что |Y"S| /f(s) < е для всех s ^ s(u,e) и, следовательно, для любого t > s((jü, е) мы имеем sup |Ув(о;)| //(t) ^ sup |Fs(a;)|//(i) + е. Отсюда следует (2), так как число

е > 0 можно выбрать произвольно малым и P(fi') = 1. Теорема доказана.

В статьях [4] и [5] приведены обобщения теоремы Брунка-Прохорова. Следующая теорема представляет собой новое обобщение теоремы Брунка-Прохорова. В качестве нормирующих постоянных можно взять произвольные положительные числа при условии, что они образуют неограниченно возрастающую последовательность. Общность нормирующих постоянных достигается ценой дополнительного условия на случайные величины. Это условие в ряде случаев автоматически выполняется. В частности, оно выполняется в условиях оригинальной теоремы Брунка-Прохорова.

Теорема 2. Пусть даны мартингал {Yn, п G N = {1,2,...}} относительно некоторой фильтрации \J~n 1 п G N} и неограниченно возрастающая последовательность положительных чисел Ьп, п G N. Положим Yq = 0. Если

00 V \2а

En & п — 1 ^ /сч

-Ш- < °°> (5)

п=1 п

п „

оо па~2 £ Е\¥к^¥к_г\2а

Ек= 1_

1,2 а

п=1 п

< ОС (6)

для некоторого а ^ 1, то

у

lim — =0 п.в. и lim Е

n—too Ъп n—too

V 2a

max У/,

1 £.k£.n

= 0. (7)

Доказательство. Если а = 1, то условие (6) вытекает из условия (5). Из условия (5) и леммы Кронекера [2, с. 252] следует, что lim E\Yn/bn\2 = 0. Отсюда и из неравенства Дуба для моментов

п—>оо

Е( max |Yfc|)2 ^ AE\Yn\2 получаем второе утверждение в (7). В учебнике [2, с. 407] содержится до-

1 SCfcSjn

казательство того, что условие (5) влечет первое утверждение (7). Далее предполагается, что а > 1.

Привлекая обобщение неравенства Дуба [6, с. 687], мы получим для любого е > О

2« pi ink \ г 2 ар( Шк \ ^ Е\Yn\2a t ^ Е\Yk\2a ^ Е\Ук_,\2а £aP<sup]—L>£}= lim ezaP{ sup V-1■ > £ } < —^--b > —!—!-pj—1-!—. (8)

Wn bk J rn^oc bk J ^ hi* b2a

Докажем второе утверждение в (7). В силу неравенства Дуба для моментов достаточно доказать, что lim Е \Yn/bn\2a = 0. По неравенству Буркхольдера [1, с. 396] существует постоянная Са,

п—о

(п \а

X) |Yk — Ffc_i|2 I . Отсюда и из неравенства Гельдера вытекает, что fc=i /

E\Yn\2а ^ Сana~l Е \ Yk — Yk-i\2a . Достаточно доказать, что

fc=i

а-1 п

= (9)

п—>оо о z—J п к= 1

По лемме Кронекера из условия (5) следует, что

п

lim j^y,ka~lE\Y^Y^\2a = 0- (10)

1—юо hza i—/

n-foo //;,

n k= 1

Обозначим Ап сумму в (10) и с0 = 0, ск = Е^-Yor + ... + ElYk-Yk _ 11 .С помощью преобразования Абеля сумму можно переписать в следующем виде:

п п — 1

= Е k-a~lE - = n°~lcn + - (к + fc=i fc=i

В силу неравенства (к + 1)а~1 — ка~1 ^ 2ака~2 справедлива следующая оценка: Ап ^ па~1сп —

п-1

— 2а ка~2ск. Обозначим последнюю сумму буквой Вп. По лемме Кронекера из условия (6) следует, fc=i

что lim Bn/b2a = 0. Отсюда и из (10) имеем, что

п—>со

0 = lim An/b2na 2 limsupn"~1 cn/b^a - lim 2аВп/Ъ2° = limsupva~lcnjbla.

n—>OQ n—»-оО n—>-00

Требуемое утверждение (9) доказано. Докажем, что

п-юо Ъ1а

к=п+1 К

Ряд можно оценить следующим образом: V* Д|П|2а-Д|П-1|2а. . Е\Уп|2" ^ (1___

/ 1.2а 1.2а + 2—/ I /,2а /,2а ) ^

к=п+1 * п+1 *=п+Л°* °к+1/

к=п+1\°к °к+1/ ¿=1 °П+1 к=1

ка~гЕ \Yk — Ffc-i\za ^ (k^-jk-l)"-1)^

k=n+2 k k=n+2 k j=1

2a

Напомним, что ka~1 — (k—l)a~l ^ 2aka~2. В силу приведенных оценок и условий (5), (6) и утверждения (9) выполняется (11).

Из второго утверждения в (7), (8) и (11) следует, что последовательность sup /Ьп сходится по

к^п

вероятности к нулю при п ^ оо. Она монотонно убывает и, таким образом, сходится почти всюду к нулю. Теорема доказана.

Замечание 1. В статье [5] доказано, что условие (6) следует из условия (5), если для некоторого 6 > (а — 1)/(2а) отношение Ъп/п6 возрастает с ростом п € N. В частности, условие (6) следует из условия (5) при Ьп = п для всех п € N. При таком выборе нормирующих постоянных теорема была доказана Чоу [1, с. 397].

Следующая теорема представляет собой аналог теорем Колмогорова и Брунка-Прохорова-Чоу для мартингалов.

Теорема 3. Пусть дан измеримый сепарабельный мартингал {Yt, £ € К_|_} относительно некоторой фильтрации £ € К+}. Если

ОО 0

2 а

dE\Yt\

—< 00 (12)

1

для некоторого а ^ 1, то

sup Ys sup I Ys I 2a lim Ogagt ={)пв_ u - ) =0. (13)

t—>oo t t—>oo \ t J

Доказательство. Первое утверждение в (13) следует из теоремы 1. Из неравенств

п+1

^.E\Yn+1\2a^E\Yn\2a с Г dE\Yt\2a ^ E\Yn+l\2a ^ E\Yn\2a

^ (п + 1)2а J t2a ^ п2а

п=1 п=1

получаем, что условие (12) эквивалентно следующему условию:

™ Е\Yn+1\2a ^ Е\Yn\2a / п2а

п= 1

Отсюда, по лемме Кронекера,

lim Е

п—>-оо

2 а п

п—>оо п z—J k=1

П

Для любого t ^ 1 найдется nt G N, такое, что nt ^ t < щ + 1. Из неравенств

2 а

Е[ sup \Ys\/t) ^ (2а/(2а — 1))2аЕ \Yt\2a /t2a ^ (2а/(2а — 1))2аЕ |Fnt+i|2a! /п2а

вытекает второе утверждение в (13). Теорема доказана.

Замечание 2. Теоремы 1 и 3 справедливы для разности Yt = Xt — EXt, где {Xt, i G К+ } — измеримый сепарабельный случайный процесс с независимыми приращениями. Достаточно заметить, что в условиях этих теорем разность Xt — EXt, t G K+, является мартингалом относительно естественной фильтрации.

2. Естественно предположить, что известные усиленные законы больших чисел для сумм независимых случайных величин имеют свои аналоги для однородных случайных процессов с независимыми приращениями.

Теорема 4. (г). Пусть дан сепарабельный однородный процесс с независимыми приралцениями t G М+}. Предполагается, что EXi = 0, если E\Xi\a < оо для а ^ 1. Если Е\Хi\a < оо для некоторого a G (0,2), то

sup Xt / sup |XS|\ a

lim -= 0 п.в. и lim E ( - ] = 0. (14)

t-i-OO i1/" t-S-OC I i1/" J 4 '

(ii). Если для некоторых постоянных a G (0, 2) и с G К = (—оо, оо)

Xt - et lim —- = и п.в.,

t-юо tl!a

то Е \Xi\a < оо и с = EXi для а ^ 1.

Доказательство, (г). Можно считать, что Ха = 0. В противном случае вместо можно

п

взять Случайная величина Хп является суммой Хп = ^ [Хк ^Хк_\) независимых одинаково

к= 1

распределенных случайных величин. По теореме Чаттерджи [7] мы имеем

Хп .. ( Хп 4 а

lim —f- = 0 п.в. и lim El -rf- = 0. (15)

п—>оо п 1/а п—>оо \П >а/

С помощью рассуждений из доказательства теоремы 1 можно убедиться, что из первого утверждения (15) следует первое утверждение (14). Для доказательства второго утверждения в (14) нам понадобится неравенство Дуба [3, с. 303], согласно которому

(к \ а

Ла<х2п Yl(Xj2-nt-Xu_1)2-nt)\] ^8E\Xt\a j=1 '

для любых п € N, t > 0, а ^ 1, где Sn — {^2 nt : к — 0,..., 2" — 1}. Отсюда в силу сепарабельности

случайного процесса {Xt, t ^ 0} следует, что Е( sup |XS|) ^ 8E\Xt\a. Из этого неравенства и из

O^s^t

второго утверждения (15) получим второе утверждение (14) для а € [1,2).

Нам осталось доказать второе утверждение в (14) для а € (0,1). В силу сепарабельности

и однородности случайного процесса с независимыми приращениями t ^ 0} функции Yn =

= sup \Xt — Хп\, п € N, являются независимыми одинаково распределенными случайными ве-nsCtsCn+l

личинами. Обозначим [s] целую часть числа s > 0. Для любых t > 1 и s G (0, t] мы имеем

И И

\XS\ «$ [А*!..;! + Y[s] Е \хк — Xk_i \ + Y[s] 2У^Yk к=1 fc=l

и, следовательно,

И

Е( sup \xs\)a sC 2" У; НУ/; = 2a[t]EY1a.

о sgssgt fc=1

Отсюда вытекает второе утверждение в (14) для аб (0,1), если EY" < оо.

Докажем, что EY-" < оо. Вначале убедимся, что все медианы ms случайной величины Xs ограничены. Предположим противное, что, например, lim ms = оо для некоторой последовательно-

п—>оо

сти sn € [0,1], п € N. Можно считать, что последовательность {sn}n^i сходится к некоторому числу s G [0,1]. Будучи однородным, случайный процесс t ^ 0} стохастически непрерывен.

Поэтому функции распределения случайных величин XSn, п G N, слабо сходятся к функции распределения случайной величины Xs. По теореме 1.1.1 из монографии [8] выполняются неравенства ls ^ liminf/S)n ^ limsuprS)il ^ rs, где ls, ls,n, rs-, rs,n — наименьшие и наибольшие медианы слу-

п—>оо n—too

чайных величин Xs и XSn. Мы пришли к противоречию, так как обе величины ls и rs конечны и, следовательно, d = sup |ms| < оо. По неравенству симметризации [2, с. 261] мы имеем

Р( sup \XS - msI ^ у) < 4P(|Xi| ^ y).

O^s^l

С помощью интегрирования по частям получаем неравенство Е[ sup — ms\)a ^ 4E\Xi\a. Так

O^s^l

как Fi = sup \X8\ < sup \X8 - ms \ + d, то EYf < 4E |Xi|a + da < oc.

O^s^l O^s^l

(и). Мы по-прежнему считаем, что Xq = 0. Случайная величина Хп является суммой Хп =

п

= ^ (Хк — Xk_i) независимых одинаково распределенных случайных величин. По предположению fc=i

lim (Хп - сп)/п^а = 0

п.в. Отсюда в силу теоремы Колмогорова для а = 1 и теоремы Зигмунда-

п—>оо

Марцинкевича для а € (0, 2), а ф 1, вытекает, что Е \ Х2 — Xi\a < оо и с = Е(Х2 — Xi) для а€ [1,2).

Осталось заметить, что случайные величины Х\ и Х2 — Х\ одинаково распределены и, следовательно, Е \Xi\a = Е \Х2 — Xi\a и с = EX 1. Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Chow Y.S., Teieher Н. Probability Theory. Independence, Interehangeability, Martingales. Spinger-Verlag, 1988.

2. Лоэв M. Теория вероятностей. M.: ИЛ, 1962.

3. Дуб Дж. Вероятностные процессы. М.: ИЛ, 1956.

4. Круглое В.М. Обобщение усиленного закона больших чисел Брунка-Прохорова // Теория вероятн. и ее примен. 2002. 47. № 2. С. 347-349.

5. Fazekas I., Klesov О. A general approach to the strong law of large numbers // Теория вероятн. и ее примен. 2000. 45. № 3. С. 568-583.

6. Ширяев А. Н. Вероятность-2. М.: МЦНМО, 2004.

7. Chatterji S.D. An ¿^-convergence theorem // Ann. Math. Statistics. 1960. 40. N 3. P. 1068-1070.

8. Круглов B.M., Королёв В.Ю. Предельные теоремы для случайных сумм. М.: Изд-во МГУ, 1990.

Поступила в редакцию 18.02.09

УДК 519.8+519.1

А.М. МагомедоВ, А.А. Сапоженко2

УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ РАСПИСАНИЙ ДЛИТЕЛЬНОСТИ 5*

Каждый прибор должен выполнить по одной операции с каждым из двух предписанных ему требований. Предписания таковы, что максимальное количество операций для одного требования равно 5, ограничения на частичное предшествование отсутствуют, одновременное обслуживание двух и более требований одним прибором или одного требования двумя или более приборами запрещено, длительность каждой операции равна единице. Получены необходимые и достаточные условия существования расписания длительности 5, соответствующего заданным предписаниям и такого, что каждый прибор выполняет операции в два последовательных промежутка времени единичной длительности. Отсюда вытекает полиномиальная разрешимость обсуждаемой задачи.

Ключевые слова: псевдограф, расписание, 2-факторизация.

1. Введение. В статье используются определения и обозначения книги [1]. Рассматривается задача о существовании непрерывного расписания следующего вида. Пусть т — длительность расписания обслуживания заданных требований приборами из множества L = {1,...,!}. Требования обозначаются элементами (буквами) конечного алфавита А; 0 ^ А — специальный (небуквенный)

символ. Каждому i £ L сопоставлено слово Шг в алфавите А. Положим fi =f {wj}. Обозначим через герш. а количество вхождений буквы а в слово щ (аналогично repfi Wj — количество вхождений слова u)i в семейство fi). Пусть далее

ina^5>pW4a, A(ü) =f {a| t^a ^ 1}.

i£L

По условию каждый прибор г должен выполнить герш. а операций единичной длительности над каждым требованием а.

1 Математический факультет ДГУ, доц., к.ф.-м.н., e-mail: magomedtagirlQyandex.ru

2Факультет ВМК МГУ, проф., д.ф.-м.н., e-mail: sapozhenkoQmail.ru

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 07-01-00444, и гранта 09-01-96504-р_юг_а.