Слабое интегральное представление мажорируемых ортогонально аддитивных операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Октьябрь-декабрь, 1999, Том 1, Выпуск 4

УДК 517.98

СЛАБОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МАЖОРИРУЕМЫХ ОРТОГОНАЛЬНО АДДИТИВНЫХ ОПЕРАТОРОВ

А. Г. Кусраев, М. А. Плиев

Настоящая заметка является продолжением работы [4], Здесь изучаются ортогонально аддитивные операторы в пространствах измеримых вектор-функций и на основе использования техники мажорируемых операторов строится слабое интегральное представление мажорируемого ортогонально аддитивного оператора. Частным случаем полученного результата является теорема Сегуры де Леона об интегральном представлении абстрактного оператора Урысона, полученная в работе [6], Все необходимые сведения об интегральных операторах и векторных решетках собраны в монографиях [1] и [2], Решеточно нормируемым пространствам посвящен обзор [3], Ортогонально аддитивные операторы, действующие в порядковых идеалах пространства измеримых, почти всюду конечных функций изучались в работе [5],

§0. Введение

0.1. Введем необходимые обозначения: 1-] и /•' — порядковые идеалы в К-пространствах Ь0(и) и Ь0(р) соответственно. Через А обозначается произведение мер V ® [л. X — сепарабельное банахово пространство; 21 — счетное всюду плотное множество в X такое, что ||ж|| € V® € 21, У — банахово пространство такое, что существует сепарабельное нормирующее подпространство Z в У* и У С Z*\ Е(Х) и Р3(У, Z) — пространства сильно и слабо измеримых вектор-функций, нормированных посредством Е и Р. Через 1 ¡. обозначим характеристические функции измеримых множеств. Оператор Т, действующий в порядковых идеалах Е и Р называется абстрактным оператором Урысона, если он ортогонально аддитивен и порядково ограничен. Множество всех абстрактных операторов Урысона из Е в Р обозначается и(Е,Е). Оператор Т £ и(Е,Е) называется положительным, если Те > 0, Уе € Е. Конус положительных операторов задает частичный порядок на и(Е, Р). Если Е векторная решетка, а Р пространство Канторовича, то и(Е, Р) будет порядково полной векторной решеткой. При этом супремум, инфимум, модуль операторов вычисляется по формулам:

(5 А Т)(е) = т£{5в1 + Те2 : ел + = е; ех-Ьег};

(5 V Т)(е) = вир{5е1 + Те2\ е± + е2 = е; ех-Ьег};

|Т|(е) = вир{Те1 — Т< 2 + с2 = е; С1±е2}.

Введем нужное для дальнейшего изложения множество ив1т(Е,Р). Будем говорить, что Т б и | (/'А /•') принадлежит (/<:„„( /•'). если Т возрастает на Е+ и '/"(— г ) = Те,

© 1999 Кусраев А, Г., Плиев М, А,

Операторы, принадлежащие называются симметричными. Оператор (7, действующий из РНП (V, Е) в РНП (И7, Р) называется мажорируемым оператором Урысо-на, если Сг ортогонально аддитивен и существует Т £ 11В1т(Е,Р) такой, что выполняется каноническое неравенство:

\Gv\H\TWv\.

0.2. Рассмотрим один класс необходимых в дальнейшем вектор-функций. Пусть (^4, £1,1/) и (В,Т,2, ¿и) — пространства с ст-конечными мерами, а В • .1 • Л" —У. Будем говорить, что функция и принадлежит классу Я, если и удовлетворяет следующим условиям:

1) [7(5,^,0) = 0 А-п.в, для (5,^) € В X А;

2) и(-, -,х) будет ^-слабо измеримой для всех х € X;

3) [/(в, •) А-п.в, ^-слабо равномерно непрерывна на каждом замкнутом ограниченном шаре X.

С каждой такой вектор-функцией свяжем ее решеточную норму по правилу:

\и\ (5,£,г) := вир{|{.г, £7(5,ж)}| : ||ж|| ^ г; х € 21; ||г|| ^ 1; г е

Возьмем теперь сильно измеримую вектор-функцию и: А —X, и предположим что для всех почти всех 5 £ В существует интеграл

(¿(я, г) = J(г, и(,э, I, й(1)))

А

и линейный функционал 2 —э) непрерывен при почти всех 5 £ 1?, Тогда определена слабо измеримая вектор-функция 5 —г). Для класса эквивалентности вектор-функции й обозначим через Тй класс эквивалентности вектор-функции 5 —•). Если Тй существует и \Тй\ £ -Р, то определен ортогонально аддитивный оператор Т: Е(Х) —^(У, При этом говорят, что определен слабый интегральный оператор Т с ядром и и, допуская некоторую вольность, пишут

(г,Ти)(в) = !

А

§1. Условия мажорируемости слабого интегрального оператора

1.1. В этом параграфе мы получим критерий мажорируемости слабого интегрального оператора. Для решения поставленной задачи нам потребуются некоторые вспомогательные конструкции. Пусть Р — векторная решетка, а Е — векторная подрешетка в Р. Оператор Т: I •!„()'. '/) —называется оператором коммутирующим с проекторами, если Т о ж = ж о Т для любого порядкового проектора

РЛУ.Х).

такого что п(Е3(У, Е)) С Широкий класс операторов коммутирующих с

проекторами, которые действуют в пространствах вектор-функций, доставляет следующий пример. Рассмотрим вектор-функцию N1А х X —У, удовлетворяющую следующим условиям:

1) N(t, 0) = 0 для почти всех t G A-,

2) N(-,f(-)) — слабо измерима для любой слабо измеримой вектор-функции / G Fs(X)).

Тогда оператор Т: Е(Х) —¿о(г/,X), определяемый формулой T(f)(t) = N(t,f(t)), будет коммутировать с проекторами. Действительно, каждый проектор в пространстве Lo(i>, X) имеет вид -тт/ = /Id, где 1 в — характеристическая функция некоторого измеримого множества. Поэтому можно написать

(То^С/)^) =^(/1^)^) =iV(S,/(i)lz?(i)) =T(/)(i)l1,(i) = (тго T)(f)(i).

В [4] установлено, что оператор, коммутирующий с проекторами в РНП, ортогонально аддитивен и латерально непрерывен,

1.2. Лемма. Пусть Т : Е(Х) —L0(v) ортогонально аддитивный оператор. Тогда выполняются следующие условия.

1) Для любых конечных последовательностей (/¿)f=1; i ^Е(Х) найдутся такие элементы и, Е(Х), что выполняются соотношения |г? — ^ sup l/J — gA и \Tû —

Tv\= sup \Tfi-Tgi\.

2) Для любых конечных последовательностей (f{)f=1, £ Е(Х) и элемента û G Е(Х), |Й| = sup |/i| найдется элемент v G Е(Х), |и| ^ sup \gi\, —^

i

SUP Ifi ~ 9i\i такой, что выполняются соотношения

sup (Tfi - Tgi) inf (Tf, - Тдг).

< 1): Пусть Dl = {t ■. Tfi(t) - Tgi (t) = sup (Tf, - Тдг)} (i = 1,..., n) и A1 =

i

n n

/>'\ (U l~=\Dk) для г = 2,..., п. Тогда Û= Е /ДАЬ a v = Е

i=1 i=1

2): Пусть С1 = {t : \gi\ = sup|^|} (i = 1 ,,,,,n). Определим множества В1

i

следующим образом: В1 = С1, Вг = Сг \ (U^,~11Cfc), где i = 2,,,,, п. Ясно, что й =

п п

Е /Двг Элемент v определим равенством v = Е зДв*- Доказательство завершено. >

г=1 г=1

1.3. Через Е*(Х) обозначим множество вектор-функций h(s,t) таких, что

|ft(e,i)| G E®L00{p,).

Лемма. Пусть Т:Е(Х) —Fa(Y,Z) мажорируемый слабый интегральный оператор. Тогда для любых h G Е*(Х), z G ¿Г. ||z|| ^ 1 и почти всех s G В конечна функция

s i—У J" \(z,U(s,t,h(s,t)))\dv(t).

A

<1 Достаточно показать, что интеграл существует для всех вектор-функций h(s,t) таких, что |Я| (s,t) ^ (t)lB(s), где д € Е(Х)). Так как оператор Т — мажорируемый, то ¿ц-почти всюду выполняется каноническое неравенство

(z, U(s, t, g(t)))dv(t) = {z,Tg)(s) < \Tg\ (s) < \T\\g\ (s).

A

В силу монотонности оператора |Т| это неравенство будет выполняться и для всех / G Е(Х), |/1 ^ |<у|■ Для каждого г é Z, ||z|| ^ 1 введем вспомогательную функцию Vz: В х А х R —ï R такую, что

Vz(s,t,r) := U(s, t, rg(t)))\.

Тогда можно написать

sup J/ I(z,U(s,t,f(t))}\dv(t) : |/| ^\g\;z€Z; ||z|| ^ 1

= sup IJ vz(s,t,(p(t))du(t) : <p(t) ^ 1 A(t); Z G Z; ||z|| ^ 1 Значит будет справедлива формула

sup{ f\(z,U(s,t,h(s,t)))\dv(t):\h\(s,t) ^ \g\(t)lB(sy, z € Z; ||z|| ^ 1

= sup { J Vz(s,t,^(s,t))du(t): ip(s,t) ^ 1 bxa(-M); гёИ; ||z|| ^ 1 Покажем, что

sup { y Vz(s,t^(s,t)) : ф(з,г) ^lBxA(s,t); zeZ; ||z|K 1 } ^ \T\ \g\ ■ Пусть

Г n l(i)

^(•M) = ^2aklBxA(s,t) = X^X/^i'biV/U-4-')-

k=1 ¿=1j=1

Здесь Aij,Bi измеримые попарно дизъюнктные подмножества А и В соответственно, a CKjj € Д, ||o!jj|| ^ 1. Теперь имеем

/ г(г) \ Г / 1^ \

A -i^1 A i = 1

Пусть ф такая функция, что ф = о 1 — где а; ^ 0, г = 1,2 и для каждой ст^ найдется последовательность простых функций (р2)^>=1, что 0 ^ р™ \ 0{. Далее рп = р™ Л1вхА — Р2 Л 1 в х А ■ Тогда будет справедлива формула

I ^ ни.

А

Возьмем произвольное измеримое множество Б С В и применяя теоремы Фубини и Фату, получаем:

I Уг(8,1,ф(8,1))с1\^ПтЫ I УЛ8,1,рп(8,т\ = ! \Т\\д\йщ

АхП Ах В О

I I \TWg\dfM.

Ах О О

Так как множество Б С В произвольно, то получаем:

А

Пусть ф(8,1) произвольная функция, такая что ^ 1 вха($^). Возь-

мем ее отрицательную и положительную части. Тогда найдутся последовательности (<7^)5^!, г = 1,2 простых функций, таких что о\ \ ф+, о^ \ ф-. Тогда ап = ^П Л 1-ВхА - о\ Л 1 вхА■ Отсюда следует, что \ап\ ^ 1Вха и Итпап(8,1) = ф(8,1). Используя аргументы, изложенные выше, получаем:

а

Доказательство закончено, >

1.4. В этом пункте докажем одно важное утверждение, С каждой вектор-функцией д £ Е(Х) свяжем некоторую функцию двух переменных:

м$(8,г) = 5чр{\^и(8,г,Н8,г))}\ ■. |Я|(м) ^ \д\№в{*У * ^ ц*|| ^ 1}.

Лемма. Определенная выше функция М$(8, совпадает с \и\ («, \д\ (£)) А почти всюду.

<1 Доказательство разобьем на несколько этапов, 1) Пусть д(8= х1 в^), где Д С А. Далее можем написать

вир {|{.г, Я(М))}| : |Я|(в,*) ^ ||®||1лхл(«,<); Н€Е*(ХУ,

||г|| ^ 1} ^ |£7| (8,1, ||ж||).

Указанное неравенство выполняется А-почти всюду на множестве D х В. С другой стороны,

sup{|(z,l7(e,i,fc(e,i)))| : \h\(s,t) ^ |H|1dxb; h G E*(X); z G Z; ||z|| ^ l} > > sup||(z,i7(s,i,a;/l£)XB(s,i)))| : ||ж'|| ^ ||ж||, x' G XгеИ; ||z|| ^ l|.

Следовательно, можно написать MxiD = \U\ (s,t, ||ж||),

n

Пусть теперь g(t) = где (Dj)"=1 — попарно дизъюнктные измеримые

i=i

I-»I -» n -» I -»I

^ l^l Iß? T0 h = hi, где mJ ^

¿=1

11 Xi 111 Di x в ■ Отсюда следует

Mj(e,i) = sup{|(z,l7(e,i,fc(e,i))| : \h(s,t)\ ^ ^(i)lB(e); Я G z G Z; ||z|| ^ l} =

n

= supj|(z,f7(s,i,^)| : \hi\ sg ||жг||1г>4хв; 2 G Z; ||z|| o} =

¿=1

n

= Y, IU\ (s,t, ||^||lDi(i)) = \U\ (s,t, (i)).

¿=1

Пусть, наконец, функция g(t) G E(X) произвольна. Тогда найдется последовательность простых функций (gn)%Li С Е(Х) таких, что \gvI t 1/71■ Ясно, что M§n(s,t) ^ M$(s,t) А-почти всюду и М§п f. Докажем, что M§(s,t) = supпМ§п. Действительно,

пусть H(s,t) ^ M§n(s,t). Предположим, что |Я| ^ |<у| 1 в и введем вектор-функцию hn такую, что |ЯП| = \дп\ 1В A |/i|. Тогда

Так как |/in| f |Я|, то \(z,U(s,t,h(s,t))\ ^ H(s,t). Переходя к супремуму по всем

вектор-функциям h, |Я| ^ |<у| 1 в, получаем требуемое, >

1.5. Теорема. Пусть Т : Е(Х) —/•',.()'. Z) — слабый интегральный оператор. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) Т —мажорируемый оператор;

2) из Е в F определен интегральный оператор Урысона S с ядром \U\. При этом S будет точной мажорантой оператора Т.

<1 1) =4» 2): Зафиксируем вектор-функцию g G Е(Х). Покажем, что для некоторой вектор-функции ho(s,t) такой, что G Е*(Х) и ho(s,t) ^ д(1)1в(я), выполняется равенство

Ms(s,t) = sup {\(z,U(s,t,h0(s,t)))\-, z € Z; ||z|| о}-Введем подходящие обозначения

V(s,t,h(s,t)) := sup{\(z,U(s,t,h(s,t))}\] z G Z; ||z|| ^ 1}.

Существует такое счетное множество \iTn \ ^ |у| 1 ¡¡. что

Ms(s,t) = sup {V(s,t,un(s,t))}.

n

Тогда оператор G : Е*(Х) —Lq(X) такой, что (Gh)(s,t) := t, h(s, t)) будет коммутировать с проектором. Рассмотрим две конечные последовательности {О,,.. ,0} и воспользуемся леммой 1.2. Тогда существуют hn G Е*(Х) такие, что |/in| ^ sup{|ui|; i = 1 ,...,п}. Кроме того, Ghn = sup{Giij; i = 1 ,,,,,n}. Последовательность (Gun)^=1 будет монотонно возрастающей, с супремумом M§(s,t). Пусть if>(s,t) := limsup|Kn| (s,t) и h0(s,t) такая вектор-функция, что |Яо| (s,t) = ip(s,t). Рассмотрим последовательности (|/ifc|)j*Ln для любого n G N. В силу регулярности пространства Ьо(/л) существует такой номер j(n) ^ п, что ш0 (s,t) = lim |/Х„| (s,t), где рп

I I п

такая вектор-функция, что справедливо равенство \рп\ = |ЯП| V- • • Опять при-

меняем лемму 1.2 к конечным последовательностям {hn,..., hj(n)}, {0,,,, , 0}, Тогда можно написать

Ghj(n) = Ghn V • • • V Ghj(n) Gpn Ghn A • • • A Ghj(ny

Так как /¡о (s,t) = limpn(s,t), то мы имеем I I n

Gha(s,t) = lim Gpn(s,t) ^ lim Ghn(s, t).

n n

Следовательно,

Gh0(s,t)=Ms(s,t) = \U\(s,t, \g\ (t)). Докажем импликацию 2) 1).

(z,Tf)(s) = J (z,U(s,t, f(t)))d/j,(t) ^ J \U\(s,t,\f](t)W(t).

A A

Переходя к супремуму по всем z € Z, ||z|| ^ 1 получим

Tf\(s)< [ \U\(s,t,\f](t))dfj,(t).

Это означает, что оператор Т — мажорируем и |Т| ^ Итц, где И V — интегральный оператор Урысона с ядром \и\. Но

|tf|M,|/](<))d/*(<)=supj J \(z,U(s,t,ho(s,t)))\dn(t) : z G Z;

^ A

Отсюда получаем, что |Т| = \\) . >

Ниже мы получим критерий слабого интегрального представления мажорируемого оператора, определенного на пространстве ступенчатых вектор-функций,

1.6. Через Е1(Х) обозначим множество измеримых вектор-функций вида р =

п

Е Xi^-Ai(t), где Ai П Aj = 0, Ai G Si, ||®¿|| G 21, Ai с suppl?, РНП El(X) нормировано

i=i

n

векторной решеткой El, где El = (E К G Q}. Используя теперь результаты,

i=1

полученные в [5], выводим следующую теорему.

Теорема. Пусть Т : El (X) —Fs (У, Z) — мажорируемый ортогонально аддитивный оператор. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) Т — слабый интегральный оператор;

2) для любой ограниченной последовательности (un)^=l С Е1(Х) такой, что |«п| У 0 следует |Тйп| ^ 0.

<1 Напомним, что в порядковых идеалах пространства измеримых почти всюду конечных функций (*)-сходимость совпадает со сходимостью по мере, а (о)-сходимость со сходимостью почти всюду. Пусть Т — слабый интегральный оператор. Тогда |Т| будет интегральным оператором Урысона из Е1 в F. В [5] доказано, что для вышеуказанных пространств интегральные операторы Урысона переводят последовательности сходящиеся по мере в последовательности, сходящиеся почти всюду. Воспользуемся каноническим неравенством

\Tun\^ |Т||«П|; (|Т||«П|) У 0.

Таким образом переход 1) =>• 2) установлен. Докажем импликацию 2) =>• 1), Пусть оператор Т удовлетворяет условию 2) теоремы. Воспользуемся частичной разложмостью мажорантной нормы. Заметим, что в [5] установлено, что для симметричного оператора его проекция на интегральную компоненту также будет симметричным оператором. Теперь можем написать

|Т| = S1+S2]T = T1+ Т2; |T| I = .V,: |Т2| = S2; Si G (Ef ® /•') 1 S2 G (Ef ® F)x.

Здесь (E¡''®F)±± — компонента интегральных операторов, действующих между пространствами Е1 и F. Ясно, что оператор T¿ Т — Ч\ обладает свойством 2), Покажем, что Т2 равен нулю. Возьмем произвольный элемент и G Е1(Х) и положим |й| = е. Пусть

*.:=!,(.)/|*)|,и,), ее*.

А

Возьмем для простоты е = ql^it).

(|Т2| A R)e = inf{|T2| (е — е\) + Re± : ei_L(e — ei)} = 0, Введем множества Dm С Lq(jj,) такие, что

1

Dm := {|Т2| (е - ei) + Re i : Re i ^ —},

Тогда справедливы включения Dra+i С Dm и inf(Dra) = О, В силу регулярности if-пространства Lq(jj,) найдутся такие конечные множества D'm, что D'm С Dm и (о) — liminf(D^) = 0, Построим последовательность (е'п), перенумеровав элементы (еп), попадающие в D'n. Ясно, что последовательность (е'п) сходится к нулю по мере, Построим теперь последовательность (йп) С Е1(Х) такую, что \йп\ = еп. Такая последовательность строится следующим образом: йп = lSUppe„w- Так как последовательность (|«„|) сходится к нулю по мере, то последовательность (|Т2й^|) сходится к нулю почти всюду. Пусть теперь if-пространство Lq(jj,) реализовано в виде C00(Q). Тогда F будет фундаментом в C00(Q). Возьмем открытое всюду плотное множество Qo С Q такое, что

lim |Т2<| (t) = 0; inf{|T2| (е - e'J + Re'J = 0.

n—¥oo

Переходя если надо к подпоследовательности (е'п(к\), можем написать:

Дт |Т2| (е - е'п(к)т = ^Цт Де^*); |Т2«| (*) ^ |Т2(и-ип(Л))| (*) + |Т2«П(Л)| ^ |Т2| (е - е'п(к)№ + \Т2йп(к)\.

Теперь имеем, |Т2й| (1) = 0 для всех £ € <Эо- В силу произвольности и £ Е1(Х) получаем Т2 = 0, Итак мы получили, что у оператора Т, удовлетворяющего условию 2) теоремы, точная мажоранта является интегральным оператором. Так как произволь-

п

ный элемент и £ Е1Х имеет вид й = ^ жДо^ а оператор Т ортогонально аддитивен,

г=1

то имеем следующее:

(г,Т(®Ь(<))>(в) ^ ||г|| |Т| (||®||Ь(*))(в); ц-п.в.

Так как |Т| — интегральный оператор, а интегральные операторы образуют компоненту в Е1(Х), то справедлива формула

(z,T(xlD(t)))(s) = J wz(s,t,x)du(t).

D

Определим теперь вектор-функцию 11:ВхАхШ.^У следующим образом:

(.z,U(s,t,x)) := wz(s,t,x).

Равенство предполагается для всех ж € 21, г € Ц^Ц ^ 1 и почти всех (I, £ В х А. Ясно, что функция и удовлетворяет всем условиям, налагаемым на ядро. Слабое интегральное представление построено, >

§2. Критерий слабого интегрального представления

В настоящей главе получим условия слабого интегрального представления для операторов, определенных на всем пространстве Е(Х). В качестве предварительного результата докажем следующую теорему.

2.1. Теорема Пусть Т : Е(Х) —/•',.(>'/) — мажорируемый оператор Урысона и Т\е1(х) слабый интегральный оператор. Кроме того, для любых последовательностей (/п), Шп) С Е(Х) таких, что

\и\, \9п\ ^9, пеМ, 9 еЕ+, справедлива импликация \/п — дп\ М 0 =>• IТ/п — ТдЛ М 0. Тогда функция •)

Z-слабо равномерно непрерывна на множестве$1П В (с), Х-п.в. для(1,з) € ВхА. Здесь

1?(с) = {х € X : ||ж|| ^ с, се <Э}.

<1 Для каждого с € <3 определим множество Ес С В х А такое, что если (£,«) б 1)с, то и(.з,1,-) ^-слабо равномерно непрерывная функция на 21 П 1?(с), Достаточно показать, что А(1)с) = 0, Будем считать, что 1а(£) £ Е1, а так как Т\ЕцХ) — слабый интегральный оператор, то и |Т| будет интегральным оператором Урысона из Е1 в Е. Тогда, функция \11\ будет ядром оператора |Т| и для любого р € Е1(Х), |/7| ^ с1а(£) выполняются соотношения:

1) зирЦС^М,^)))!; |И| О К \Щ (в, I, с1л(*));

2) Функция \и\ (з,1, с1а(^)) ^-интегрируема для почти всех 5 £ !?;

3) Функция На = $ \и\ (з, лежит в .Р;

А

4) Существует и конечен интеграл / к(з)4ц(з), Уп £ Д;. />' £ и^^!^,

в„

Все наше построение разделим на несколько этапов,

п

Этап 1, Определим на Е1(Х) норму для р £ Е1(Х) р = Е аД^)5 |||р||| =

г=1

тах ||жг||. Рассмотрим отображение Р : Е1(Х) —Д, где

1<г<п

Фр:=эир^ J (г, «)

¡хА

Супремум берется по всем г £ ||.г|| 1 и |/7| <С с1а(£)- Интеграл существует в силу указанного выше условия мажорируемости. Покажем, что отображение Ф равномерно непрерывно. Это будет означать, что для любых (рп),(дп) таких, что \рп\-,\9п\ ^ с1а(£), из условия |||рп — дп||| —0 следует, что |Фрп — Фдп\ 0, Действительно, так

как |||р„ -<7„||| 0, то |рп — дп \ М 0, Следовательно,

IТрп - Тдп\Ч 0; [ |Трп - Тдп\й^з) ^ 2к(з).

в

Используя, теорему Б, Леви, получаем |Фрп — Фдп| ^ 0, Этап 2, Рассмотрим пространство

Ё1(Х) := \р* : ¿Г(в,*) = ¿яДоДв,*); £ (¿: О, £ И • ,1

г=1

Определим на этом пространстве норму: |||р||| = тах Цж^Ц, и по свойству операторов Урысона, действующих из Е1 в Р, получаем: если ^ с1вха(^«), то

эир{(г, г £ г; ||.г|| О} ^ |£7| («, г, с1вха(э, £)).

Отображение Ф расширим до Ф* : Е1 (X) —/? так, что

Ф*р* = sup { J (z,U(s,t,p(s,t)))dX(t,s); z е Z; \\z\\ ^ 1

IxA

Здесь |p(s,t)| ^ с1вха{^-, s). Покажем, что это отображение равномерно непрерывно. Рассмотрим € Е1(Х) такие, что |р*| ^ cIbxa(^s), ^ cIbxA- Требует-

ся показать, что Ve > 0,35 > 0, |||р* — < 5, тогда |Ф*р* — Ф*д*| < е. Пусть

п п

р* = Y1 Di(t,s)] = Y1 X'i^-Di(t,s) где А измеримые множества (Dj) попарно дизъ-

г=1 г=1

юнктны. Каждое множество есть конечное объединение обобщенных прямоугольников, тогда

га 1{г) га 1{г)

Р* = ^2^2xn1BrxArl(t,s)-, g = ^2^2x'rllBrxArl] ||®н||^с; ||4ilKc-

r=1 1=1 г=1 1=1

Множества {Вг)™=1 попарно дизъюнктны, и для каждого г = 1,...,ш множества (^ri)i=i попарно дизъюнктны. Тогда можно написать

i(r) i(r)

1=1 1=1

<5; г = 1, • • • , тп.

Будет справедлива формула

SU

1(г) 1(г)

■р{ / (z,U(s,t,^2xrllArl) - U(s,t,^2x'rllArl))dX(t,s)-, z € Z; ||z|| ^ 1}

BxA

1=1

1 = 1

l(r) i(r)

i=I i=i

< e.

Тогда

f f - m

Л^* л^* -** 1 Ф p — Ф g \ == sup < / E

I BxA Lr=1 J

i(r)

1=1

z, '^2x'rllArl^jyyjdX(t, s); z € Z; ||z|| ^ 1

< e.

Теперь будем считать, что множества (-£?г)"=1 произвольны. Так как функция \и\ (э, с1а(£)) А-интегрируема, то для каждого г/ > 0 существует к > 0 такое, что если П есть А-измеримое множество и А(П) < к, то справедлива формула

Зафиксируем к > 0 и определим конечное объединение попарно дизъюнктных множеств (Пг)^" таких, что Ог есть конечное объединение обобщенных прямоугольников и А (Пг А Б г) < к. Тогда справедлива формула

2 п

tti&Di

Покажем, что

< е.

Действительно,

п п п

|Ф*р* - Ф*д*\ ^ |Ф*£>1П,) - +

i=1 i=1 i=1 п п п

+ Ф'!^.^!/),) - <r(J2-'JiU-h) < е + к.

г=1 г=1 г=1

Так как к произвольно, то |Ф*р* — Ф*д* | ^ е.

Этап 3, Для каждого А-измеримого множества D С В х А, и для каждого 8 > О определим

co(D, 8, с) := sup | J |((z, U(s, t,x)} — (z, U(s, t,x')))\dX(t, s)

D

Здесь ||ж||, ||ж'|| € Q, ||ж — x'\\ < 8, ||ж||, ||ж'|| < с; г е Z; ||z|| ^ 1, Теперь для каждого 8 > 0 определим

Г п

и>(6,с) := sup^ =

^ г=1

Если 5 < 5', тогда co(D,8,c) < co(D,8',c) для любого множества Dj, Следовательно

со (8, с) <со(8',с). Последовательность со(8п, с) убывает, когда 8п —0, Тогда существует

предел lim с). Покажем, что этот предел равен 0, Предположим противное, ¿—»-0+0

тогда существует е > 0 такое, что со(8, с) ^ е; У8 > 0, Из доказанного выше следует, что для любого е > 0 найдется 8 > 0 такое, что если р*,д* € El(X); |р*|, | ^ с1вха, 111^*^3*111 < т0 ^ С другой стороны, если си(8, с) ^ е мы можем найти

такие А-измеримые попарно дизъюнктные множества (1?г)"=1 что ^

Тогда существуют следующие элементы

|| < с; í = 1, ■ ■ ■ ,П.

Теперь можем написать

п ,,

Рассмотрим множества

:= £ А : (г,и{8,1,хг)) - (г,и{8,1,х'1)) < 0}; = А - .

Положим

р — ^ ^ х-, 1 /> - + ^ ^ -';/ l/i : 9 — ^ ^ 1 /) ^ ^ 1

Тогда

¿•lD7

г=1 г=1 г=1 г=1

P*,g*£ Е (X)] 1П,1ГКс1ВхА.

Следовательно,

Е

г=1

Di

НГ -rill <5;

({z0,U(8,t,Xi)} - (z, f7(s,i,®-)})(iA(s,i)

((z0,f7(s,i,a;i)) - (г,и(8,г,х'{)})ё\(8,г) ^

BxA

Получили противоречие.

Этап 4, Для каждого 5 > 0 и для каждого е > 0 определим множество

D(ö,e,c) := {(s,t) £ В X А: sup | (z,U(s,t,x)) — (z,U(s,t,x'))\ > б}; ||®||, ||®'|| £ Q; ||®-® || < S; ||®||,||® || < с; г € И; ||z|| iC 1,

Множество D(S,e, с) А-измеримо, Покажем, что lim А D(8,e,c) =0 для любого е > 0,

¿—»-0+0

Пусть х, х' таковы, что ||®||, ||®'|| £ Q; || X X 11 Ö1 || X || X 11 с. Определим множество

D(x,x',e) ={(t,8) £ В X А: sup{|(z,U(s,t,x)) — (z,U(s,t,x')\; z £ Z; ||z|| 5$; 1} > e.

Тогда множество {(®,®') G 21 x 21 : ||® — ®'|| ^ 8; ||®||, ||®'|| ^ с} счетно. Рассмотрим последовательность (xi,x'i)^L1, и определим дизъюнктную последовательность измеримых множеств

Di(e) := D(®l5®i,e); Dn+1(e) := D(xn+1, x'n+1, e) \ U"=1D(®i5 xe).

Тогда

оо

AD(5,e,c) =Х>А(е);

г=1

XDi(e) ^ - J sup{\{z,U(s,t,Xi)) - (z,U(s,t, x'j}) |; zeZ; ||z|| ^ l}(iA(t,s) s^ Di

OO OO

VAA(e) ^ - У>(А(е),5,с) ^ -w(Ä,c);

б б

г=1 г=1

1

AD(5,б,с) ^ -¡¿>(5, с), б

Так как lim ш(8.с) = 0, то lim XD(8, б, с) = 0 для любого б > О, ¿—»-0+0 ¿-»0+0

ЭТАП 5, Рассмотрим убывающую последовательность действительных чисел сходящуюся к нулю. Для любого б > 0 определим множество D(e,c) := ПГ=11}(5ье,с). Тогда А1)(б,с) ^ AD(4,e,c); Vfc € iV. Получаем, что XD(e,c) = 0; V6 > 0, Рассмотрим другую убывающую последовательность положительных действительных чисел:

(fm)m=i lim ет = 0; Dc = U~=1D(6ra, с); АDc = 0.

га—»oo

Пусть (s,t) ^ Dc. Тогда можем написать

V6 > 0 Зт € N-, 0 < бга < б; (e,i) £ £>(em,c) = n£°=1D(5fc, ет, с).

Тогда существует к € iV, (s,t) ^ D(Sk,€m,c). Это означает, что если ж, ж' € 21, ||ж—ж'|| < 8; ||ж||, ||ж'|| < с. Тогда

sup{|{z, U(s, t, х')} — (z,U(s,t,x))I; ||z|| ^ 1} < em < e.

Значит функция U(s,t, •) Z- равномерно непрерывна на 21 П В (с) когда (s,t) ^ Dc. >

2.2. В этом пункте приведем критерий слабой интегральной представимости мажорируемого оператора Урысона,

Теорема. Пусть Т мажорируемый оператор Урысона. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) Т — слабый интегральный оператор;

2) Для любых последовательностей (/„), (gn) € Е(Х), | f„ |, \gn | ^ g, д £ Е+, справедлива импликация:

<\ 1) =>• 2): Пусть Т — слабый интегральный оператор с ядром U. Рассмотрим ограниченные последовательности

(/«),Ш е Е(Х); Щ,\9п\^д,д е Е+] \fn-gn\(4 0.

Оператор Т мажорируемый, поэтому, в силу 1.5. мажоранта |Т| будет интегральным оператором Урысона из Е в F. Для любой вектор-функции р такой, что |р| ^ д, справедливо неравенство

\(z,U(s,t,p(t)))\ < \U\(s,t,g(t)) Х-п.в.

Введем следующие множества меры нуль

D := {s £ В : функция \U\ (s,t,g(t)) не будет ^-интегрируемой}; D' := {s £ В : множество [t £ А : функция sup{|{z, U(s,t, •)}; z £ Z; ||z|| ^ 1}| не будет равномерно непрерывной на отрезке [0,д(£)]] имеет ненулевую меру i/}; Dn := {s £ В : множество [t £ А : sup{|{z, U(s, t, fn(t))}\] z £ Z; ||z|| ^ 1} > > \U\(s,t,g(t)), или sup{|(z,l7(e,i,£n(i)))|; z £ Z; ||z|| O} > ^ \U\ (s,t,g(t))] имеет ненулевую меру v}.

Необходимо показать, что если s ^ D U D' U (U^LiK т0 справедлива формула lim [ sup\(z,U(s,tJn(t))) - (z,U(s,t,gn(t)))\dv(t) = 0.

n—foo j А

Зафиксируем s^DUD'U (iXLi Dn) и покажем, что

sup{(z,U(s,-,fn(•))} - (z,U(s,-,gn(-))); z £ Z; ||z|| ^ 1} ->• 0(i/). Пусть e > 0. Определим множество

Gfn := {t £ A : sup\(z,U(s,t, fn(t))} ^ (z,U(s,t,gn(t))}\ > e; z £ Z; ||z|| ^ 1}. Надо показать, что lim = 0. Определим множество

n—foo

1

Ak := {t £ А : ||ж||, ||ж'|| ^ g(t), \\x — x'\\ < — sup|(z,U(s,t,fn(t))} - (z, U(s,t,gn(t)))\ < б}.

Легко видеть, что таким образом определена последовательность неубывающих множеств Ак и А = U^=1Ak. Пусть

Gi := {t £ А : функция U(s, t, ■) не будет Z-слабо равномерно непрерывной на 5(г); г £ Q}.

Так как s £ D', то G, — множество меры нуль. Тогда G := U^jGi, где i пробегает множество рациональных чисел, также множество меры нуль. Для любого е > 0 возьмем 8 > 0, такое, что если ||ж||, ||ж'|| ^ g(t) и ||ж—ж'|| < 8, sup |(z, U(s, t, x))^(z, U(s, t, x')\ < e. Возьмем к £ N, такое что ^ < е. Тогда t £ Ак. В силу непрерывности меры v для любого г] > 0 найдется ко £ N, v(Ako) > v(A) — Пусть теперь для п £ N

Wn:={teA: I fn(t) - gn(t) I > M. Так как I fn - gn\ ty 0, то lim v(Wn) = 0. Тогда

I I r'l! II n—»00

найдется no € N, такой что v{Wn) < Vn > no- Если t € G^ П Ako тогда t € Wn. Далее имеем

v{Gfn) ^ v{A \Ako) + v{Wn) <r},Vn> n0-Теперь получаем lim v{G^l) = 0 и

n—foo

sup K*, tf (s, •, /;(•))} - (z, U(s, ;gn(-m OH. С другой стороны , l^nl ^ 3 и если s ^ Dn, тогда

sup |<z,l7(e, *,/»(<))> - (z,U(s,t,gn(t)))\ <2\U\(s,t,g(t)).

Применяя теперь теорему Б. Леви можем написать

lim / sup\(z,U(s,t,fn(t))) - (z, U(s,t,gn(t))}\dv(t) = 0.

n—foo j А

Докажем теперь импликацию 2) 1). Рассмотрим сужение Т на Е1(Х) тогда Т\ЕцХ) слабый интегральный оператор и существует функция U : В х А х 21 —У, такая, что выполняются следующие условия:

1) f7(s, t, •) = 0 А почти всюду для (s, t) € В х А-,

2) U(-, -,ж) А — п.в. Z-слабо измерима для всех х € 21;

3) и если р £ Е1 (X), то функция s н- f(z,U(s,t,p(t)))du(t) ¿u-почти всюду конечна

А

и справедливо равенство

<z,Tp)(5) = J(z, U(s,t,p(t)))dis(t).

А

Функция U(s, t, •) Z-слабо равномерно непрерывна на множестве 21ГШ(с). Необходимо расширить U(s, t, •) до функции U'(s, t, •), такой что U' : В х А х X ^ R и которая бы совпадала с U на множестве В х А х 21. Кроме условий 1 — 3 функция U'(s, t, •) должна быть Z-слабо равномерно непрерывной на любом замкнутом ограниченном шаре в X для почти всех (t,s) G В х А. Рассмотрим последовательность, (жп) G 21 сходящуюся по норме к ж, тогда значение функции U' в точке х определяется следующим образом: U'(s,t,x) := lim U(s,t,xn). Выполнение условия 1) для функции U' очевидно. Так

п—¥оо

как U(-,-,xn) А-слабо измерима Vn G N, то и f7'(-, •, ж) А-слабо измерима. Пусть жо G X. Покажем равномерную непрерывность. Возьмем е > 0, так как U' равномерно непрерывна на 21, то существует S > 0 и для любых

q,q' G 21; z G Z\ ||z|| ^ 1; ||g-g'|| < 8 \ (z,U'(s,t,q)} - (z,U'(s,t,q')\ < 6.

Пусть теперь ж, у G X и (жп) и (уп) последовательности элементов из 21, сходящиеся к ж и у соответственно. Тогда можем написать:

\\%П -Уп\\ ^ \\%П - х\\ + ||ж - уII + ||уп - у||; |(z,U'(s,t,x)) - (z,U'(s,t,y))\ ^ |(z,U'(s,t,xn)) - (z,U'(s,t,x))\ + \(z,U'(s,t,xn)} - (z,U'(s,t,yn))| + К*,г7'(М,У«)> - U'(s, t, y))|.

Для любых х, у £ X, таких что ||ж —< f получаем: \(z, U(s, t,x)) — (z, U(s, t,y))\ < e. Пусть / £ E(X). Тогда найдется последовательность ступенчатых функций рп таких,

TJXO

(рп)™=1 С Е1(Х) nBE{x)(\f\); \f-Pn\ ^ 0.

Тогда |7'/*— '/ //„ | М 0, Здесь Де(х)(|/|) это решеточный шар в Е(Х), то есть множество {р : |р| ^ Л}- Ясно, что (z,U'(s,t, f(t))) = lim (z,Uf(s,t,pn(t))) для любых

I I n—foo

z G Z ||z|| ^ 1 и почти всех s G В. Для любого рп интеграл f(z,U'(s,t,pn(t)))dv(t)

А

существует в силу канонического неравенства:

J(z, U'(s, t,pn(t)))dis(t) ^ |T||/j.

А

Теперь можем написать (z,Tf)(s)= lim (z,Tpn)(s)= lim [(z,U'(s,t,pn(t)))dv(t) = f (z,U'(s,t, f(i)))dv(i).

n—foo n—foo j j

A A

Получаем, что T это слабый интегральный оператор. Доказательство окончено, >

Литература

1. Вулих Б. 3. Введение в теорию полуупорядоченных пространств.—М.: Физматгиз, 1961.

2. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.—М.: Наука, 1984.

3. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы // Линейные операторы согласованные с порядком.— Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1995.

4. Кусраев А. Г., Плиев М. А. Ортогонально аддитивные операторы в решеточно нормированных пространствах // Владикавк. мат. журн.—1999.—Т. 1, № 3.

5. Mazon J. М., Segura de Leon S. Order bounded ortogonally additive operators // Rev. Roumaine Math. Pures Apll.—1990.—V. 35(4).—P. 329-353.

6. Segura de Leon S. Bukhvalov type characterizations of Uryson operators // Studia Math.—1991.— V. 99.—P. 199-220.