Усиленная сходимость оптимальных множеств аппроксимирующих задач оптимального управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2012, № 5 (2), с. 102-106

УДК 519.6

УСИЛЕННАЯ СХОДИМОСТЬ ОПТИМАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВ АППРОКСИМИРУЮЩИХ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

© 2012 г. А.Л. Калашников

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

а11к123 @у а^ех. ги

Поступила в редакцию 10.09.2012

Рассматривается задача оптимального управления в КВ-линеале. Для исходной задачи имеется аппроксимирующая последовательность задач оптимизации. Представлены условия сходимости в более сильном смысле (относительно нормы) минимизирующей последовательности управлений, полученной на основе аппроксимирующих задач.

Ключевые слова: оптимальное управление, аппроксимация, КВ-линеал, сходимость, минимизирующая последовательность.

Введение

Многие задачи оптимального управления представляются как задача минимизации функционала при ограничениях на состояние х е X и управление и е II в виде операторного равенства и функциональных неравенств. При этом X является банаховым пространством, а пространство управлений и является КВ-линеалом с единицей е. Тогда в и имеются кроме метрических свойств и порядковые. Например, если и = Ь\[?0, ^ ], а е есть вектор-функция е(() =

= (1, 1, ..., 1)т. Известно [1], что в КВ-линеале с единицей можно ввести подлинеал ие, состоящий из е-ограниченных элементов, который также является КВ-линеалом. При этом сходимость в ие влечет сходимость в и к тому же пределу, но не наоборот. Тем самым в ие более сильная норма, чем в и. Так для и = П2 [?0, ^ ] подлинеал ие = /," |/(|| и сходимость в IIс будет почти всюду равномерная. Часто параметры исходной оптимизационной задачи определены с погрешностью. Поэтому реально имеем некоторую задачу, являющуюся приближением исходной. Возникает вопрос о близости оптимального множества приближенной и исходной задач. В работе приводятся условия, когда множество оптимальных управлений последовательности приближенных задач сходится ко множеству оптимальных управлений исходной задачи в метрике ие. Тогда в терминах [2] имеем усиленную регулярность для минимизирующей последовательности управлений. Отметим, что такие ее свойства получены здесь без применения стабилизатора.

Последовательность задач

Рассматривается 0-задача минимизации:

g0,o(x,w)->inf

F0(pc,u) = 0, gJ 0(x,u)< 0,

xgX,ugU,J = \,п и при k > 1 последовательность ¿-задач:

gok(x,ll)^> inf

Fk(x,u) = 0, gJk(x,u)< 0, хеХ,и eU, j = \,n.

Здесь операции Fk: XxU —» Z, где X,Z- банахо-вые пространства, a U есть КВ-линеал с единицей е. При этом все функционалы gk и операции Fk класса C на Xх U. Далее, назовем U пространством управлений, символом {wk} будем обозначать последовательность и {wkj}, {wk, } ее подпоследовательности, а d0 = inf в

Jm

0-задаче и dk = inf в k-задаче.

Пусть в любой k-задаче существует (х0, и0)

- точка минимума и для всех и е U уравнение F (x, и) = 0 имеет единственное решение хк = = xk(и) класса C1. Тогда x0 = хк(и0). Предположим, что при k > 1 допустимые управления ¿-задач принадлежат некоторому множеству S с U. Например, S может быть шаром. Введем при k > 1 функции Лагранжа

_ П

Ьк(х,и,Хк) = Y^j,kSj,k(x,u)

3=о

с множителями Хк = (kj к) е Rn+l. Согласно [3] существуют 0 < с

I»0,.. -1

j=0

и производная L'kи(xk(и°).и".») = 0. Допустим. что при j = 0.n . k > 1 функционалы gjk (x. и) = = aj. (и)+bjk (x. и). где aj. (и). bjk (x. и) - некоторые функционалы класса С1 на Xх U. Для k> 1 введем

_ n

Чк(и. ») = I» jaj.k(и)

j=0

и

n

Рк (x.и.») = I» jbj k(x.и)

j=0

при и ё7 и » = (»j) еЛп+'. Предположим. что

сопряженное U является КВ-линеалом с единицей a. Введем КВ-линеал Ue. состоящий из в-ограниченных элементов в U. и КВ-линеал U*a из a-ограниченных элементов в U . Далее.

||-||е - дарт в ие. а || -||a - норма в U*.

Теорема 1. Пусть j = 0.n . k > 1 и 1) для любой {vk} с S имеем b'jku (xk (vk).vk) е U* и {b'Jku (xk (vk).vk)} компактна в U*; 2) существует и* е Ue. для которого a’jkti(и*) eU*; 3) существует линейный оператор

B >0: U ^ U с Ba е Ue. что при всех

и .vе S. » > 0 с ограничением

n

I j ='

j=0

будет | и - v | < B | qkи(и.» - qkи(v. »)|; 4) для любой {и.} с ик ^ и в Ue существует

lim xk (и. ) = x0(u) в X ; 5) при j = 1. п равно-

k

мерно bj k (x. и) ^ bj 0(x. и) и aj k (и) ^ aj 0 (и) для всех ||x|| + ||и||, < const.

Тогда а) при k > 1 оптимальные управления и° eUe; б) {и°} компактна в Ue. а ее предельные точки являются в-ограниченными допустимыми управлениями в 0-задаче. Доказательство. Из равенства

Lk и ( x. (и0). и0. »0 ) = 0

при k>1 получаем

qk и (и0. »0)+р. , ( x. и0). и0. »k) = 0

или

qk и (и0. »0) = -р. .и (x. (и0). и0.»0). (1)

По предположению {и.} с S. Нетрудно по-

казать, что 0 < А° < 1. Тогда на основе условия !) - Рк и (хк (ul), “к0, А°) є и* и из равенств С1) як и С“0, Ак) єи*. По условию 2) а',к и (и) є ив\ где и є ив. Так как 0 < А° < 1, то яки(и*,)є є и*. Используя условие 3), получаем

I и01< Б\як и (и0, АО) - як и (и*, А )|. Поскольку

яки (иО, АО), яки (и*, А) є и*,

то

I як и (иО, АО) - як и (и *, АО )|<м*

для некоторого числа ц > О. Но Ва є ие. Тогда О < Ва < цв для некоторого числа п > О. Отсюда | и° |< Вца < цпв и, тем самым, и° є ив. Утверждение а) доказано.

На основе {и°} с 5 и условия 1) получаем компактность {¿*ки(хк(и°),и°)} в и*. Так как

О < А < 1, то нетрудно установить компактность {-р'к и (хк (uk0), uk0, Ак)} в и*. Отсюда из равенства (1) следует компактность {яки (и°, А)} в

и*. Обозначим ^ = як и (uk0, А°к). Тогда Н}с

с и * и компактна в и а. На основе неравенства условия 3) и - и°| < В |^к - |. Для компакт-

ности {и°} в ив достаточно показать, что у всякой ее {и° } существует сходящаяся в ие подпоследовательность. По компактности {^к} для {м>к.}существует {м>к }, сходящаяся в и*,

1 1т

которая, очевидно, будет фундаментальной в иа. Тогда для всякого числа е > О существует номер N, что при всех {к і к і } > N получаем

№к- - мк. | <еа. Следовательно, |и°, -и0°, |<

jm\ Іт2 .ті Іт2

< В |^к. - м!к. | < еВа <епв для некоторого чис-

jm\ Іт2

ла п > О. Но это доказывает фундаментальность {и° } в ие и, тем самым, ее сходимость. Таким

]т

образом, {ик0} компактна в ив. Пусть V є ив -любая предельная точка для {ик*}. Тогда существует и } с ііш и°. = V в ив. На основе условия 4) получаем Іішхк (ик ) = хО^) в X .

кт т т

Из сходимостей {и°т} и {хкт (и°°т)} следует ||хкт (икт )У + ||и°т ||в < соп^. Используя при к >1

j = 1, n непрерывность функционалов aj k (u), bjk(x,u) и условие 5), нетрудно установить сходимости

bj,km (Xkm (Ul X UL ) ^ j (X0 (vX V)

и

aj,km (Ul ) ^ aj,0(V)-Поскольку gjk (x, u) = ajk (u) + bjk (x, u), то

gj,km (Xkm (ul ^ uL ) ^ gj,0(XM V)- Но так как gjJm (Xkm (ul X uL ) - 0, то в пределе gj 0(x0(v), v) - 0 для j = 1,n . Поэтому предельная точка v является e-ограниченным допустимым управлением в 0-задаче. Теорема 1 доказана.

Назовем k-задачи минимизирующими 0-

задачу, если lim g0k (xk (u°), u°) = d0. Обозначим

k

через Ue множество e-ограниченных оптимальных управлений в 0-задаче.

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и 1) k-задачи минимизируют 0-задачу;

2) a0k(u) ^ a0,0(u) и b0,k(xu) ^ b0,0(x,u) равномерно при ||x|| + ||u||e - const. Тогда {u0} с Ue и компактна в Ue, а все ее предельные точки будут е-ограниченными оптимальными управлениями в 0-задаче и множество U° ^ 0 .

Доказательство. По теореме 1 u0 е Ue и {uk0} компактна в U е, а все ее предельные точки

- допустимые и e-ограниченные управления в 0-задаче. Пусть v - такая точка. Тогда существует {u° } и lim(u° ) = v в Ue. На основе усло-

m km m

вия 4) теоремы 1 lim xk (u0k ) = x0 (v). Из сходи-

km m m

мостей {xkm (ulm )}, {uL } получаем ||xkm (“L )W + + ||u0m ||e - const. Используя условие 2) теоремы 2 и непрерывность a00(u) и b00(x,u), имеем, как нетрудно установить,

a0,km (u0m ) ^ a0,0(v),

b0,km (xkm (ulm X u0m ) ^ Ь0,0 (x0(v), v) .

Так как g0k (x, u) = a0k (u) + b0k (x, u), то

g0,km (xkm (u0m ), ^m ) ^ §0,0 (x0 (v), v) . По условию

1) теоремы 2 k-задачи минимизируют 0-задачу.

Поэтому lim g0,km (xkm (u0m ), u0m ) = d0. Но также

km

lim g0,km (xkm (u0m ), ^m ) = g0,0 (x0 (v), v) . Таким об-

km

разом, g00(x0(v), v) = d0 и тогда управление v -оптимально в 0-задаче. Отсюда множество Ul ^ 0. Теорема 2 доказана.

Приведем случаи минимизируемости 0-задачи k-задачами.

Утверждение. Пусть выполнены условия теоремы 1, условие 2) теоремы 2 и 1) существу -

0 а

ет оптимальное и0 в 0-задаче, для которой dk < g0k (х0 (u00 ), u0) при k > 1. Тогда k-задачи минимизируют 0-задачу.

Доказательство. По теореме 1 {и°} компактна в Ue , а ее предельные точки - допустимые управления в 0-задаче. Пусть u° ^ v -некоторой предельной точке в U е. Тогда на основе условия 4) теоремы 1 lim xk, (uk. ) = x0(v).

kj j j

Из сходимостей {xk, (u0 )}, u} получаем jj ||xkj Ц )|| + \\u0kj ||e <const. Из условия 2) теоремы 2 и непрерывности a00(u) и b00(x,u) нетрудно установить

a0kj (ukj ) ^ a0,0(v)

и

b0,kj (xkj Ц X u°j ) ^ b0,0 (x0(v), v) .

По предположению g0k (x, u) = a0k (u) + b0k (x, u). Поэтому lim g0,k. (xki (u° ), ult ) = g 0,0(x0(vX v). По

k

k

условию 2) теоремы 2 и из вида g0,k (x, u) получаем lim g0 kj (x0 (u00) u00) = g0 0 (x0 (u00), u00). То-kj j

гда существуют числовые последовательности

Œkj., ßkj. ^ +0 , для которых

| g0,kj. (xkj Ц X ulj ) - g0,0(x0 (v), v) |< akj ,

| g0,kj (x0 (u00 ), u00 ) - g0,0 (x0 , (u00 ), u00 ) |< ßkj . (2) Поскольку управление v - допустимое в 0-задаче, то из (2) и условия 1) утверждения, получаем

g0,kj (xkj ЦX ulj ) = dkj < g0,kj (x0 (u00 ), u00 ),

а также для досточно больших kj

d0 < g0,0 (x0 (v), v) < g0,kj (xkj (ulj X ulj ) + akj <

< g0,kj (x0 (u00 ), u00 ) + akj < g0,0 (x0 (u00 ), u00 ) +

+akj + ßkj < d0 + akj + ßkj . (3) Здесь g 0,0 ( x0(u00), u00) = d 0.

Так как g0,kj (xkj (u0 ), ulj ) = dkj , то из

неравенств (3) следуют оценки: do <dkj + аk. < g00(x0(u),u), получаем goo(xo(vo),vo) =

<do +ak. +ßk.. Тогда limdk , = do при аk., = limgok (xk, (uk°iXK,) = limgo,k,. (xk,. (vk,.Xvkt) и

J J k J 1 k. k.

ßkj —— +o. Используя любую сходящуюся Ц} do= go(x(vo),vo). Таким образом, {gok(x(vk),vk)}

для {uk0} компактной в Ue, нетрудно устано- компактна и, как нетрудно установить, do - ее

(1 ^ единственный частичный предел. Следователь-

вить компактность {dk} и, что все сходящиеся ^

но существует lim gok (x(vkXvk ) = do. Теорема 3

{dkm} сходятся к do. Поэтому существует k

доказана.

lim dk = do и k-задачи минимизируют o-задачу.

k

Утверждение доказано. Сходимость оптимальных множеств

Замечание 1. Условие 1) утверждения, в ча- k-задач

стности, будет выполнено, если операции

Fk(x,u) = Fo(x,u) и gJk(x,u) < gjo(x,u) при x e Введем p (u,g) = inf|| u -v|| - расстояние в

veg11 lle

e X, u e U,J = 1,n, k > 1. Тогда для решений ц, между u eUe и g с Ue.

xk(u), xo(u) уравнений Fo(x, u) = o и Fk(x,u) = o Теорема 4. В условиях теорем 2, 3 U, ^0 и

имеем xk(u) = xo(u) для всех u eU . При u = uoo limpe(vk,U°) = limpe(u0k,U0e) = o.

получаем xk (uoo) = xo(uoo) и gjk(xk KX uoo) = TT tt - TTo ^0 rr

1 Доказательство. По теореме 2 Ue ^ 0. По

= g J,k (xo (uoo), uoo) < g J,o(xo (uoo), uoo) < o. След°ва-

тельно, пара (x0(uj°),u°) допустимая в k-задаче

теореме 3 vk є Ue и поэтому существует

k e

0(u0),u0) допустимая в k-задаче , 7-7-0 wn тт < 1

^ ak = pe(vk,Ue) > 0. Докажем, что {ak} компакт-

на. Из теоремы 3 {vk} компактна в Ue, а ее пре-

и dк < Я),к (Х0 (и0 X мо) пРи к > !•

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2 и при к > 1 существует Ук - допустимое управление в к-задаче с (ук - и°) еЦ и

II V - и° II.< ек, где ек ^ +0 • Тогда К} с ие,

дельные точки принадлежат Ue . Пусть {akj} -

'j

любая подпоследовательность для {ak}. По компактности {vk} существует в Ue некоторая

{vk } для которой vk — vo. Используя теоре-

компактна в Ue, а ее предельные точки при- ,m Jm

,

надлежат Ueo и limgok(xk(vk),vk) = do. му 3, получаем vo eU,. НетРудно пртв^ип,

k ’

неравенство

Доказательство. По теореме 2 u° e Ue и {uk*} компактна в Ue. По условию теоремы 3 (vk -uk)eUe и lim ||vk -uk0||e =o. Тогда {vk} с Ue Но ||vk. -vo||e — o. Поэтому ak, — o. Следова-

^ гг тт о akm = P(vk,. ,Ue°)=inf0ll vkm - v Ile^11 vkm -vo Ile .

• —-----------_ її і i-.. —------2 jm jm о Jm Jm

veUe

Ak )*=■ ^ e *L AAAAA І Г k uk Ile lw^a \yU ^ ^ e AAW ІГЬ 0 I le

m

и, как нетрудно установить, {ук} будет тоже тельно, (ак} компактна, а любая ее сходящаяся компактна в и.. При этом ее предельные точки подпоследовательность имеет нулевой частич-

ный предел. Очевидно, верны неравенства o < lim ak < lim ak = o. Тогда существует

совпадают с предельными для {uko} и, тем самым, принадлежат U,. Покажем, что _~ k k k

k ?o,k(xk (vk), vk ) = do. пусть vo - любая пре- ^ ^yeK.k,~e,

дельная точка для {vk} в Ue и vk_ — vo в Ue. лагая vk = u°, получаем limpe(uio,U(o) = o. Тео-

limgok(xk(vk),vk) = do. Пусть vo - любая пре- limak =o и, тем самым, limpe(vk,Ue0) = o. По-

Так как ||Ук, -||.^ 0, то м°. ^у0 в и.. На рема 4 доказана.

Замечание 2. Из теоремы 4 следует, что

основе условия 4) теоремы 1 получаем xkt (vk,.) — xo(vo) и xkt (u1i) — xo(vo). Тогда

{ик} и ее аппроксимация {ук} сходятся к ие

в пространстве и. с более сильной нормой, чем

||Хк](и0 )|| + ||и0 ||,^СОП81 и ||хк (ук )|| + ||ук ||,<СОП81 в и.

Но limgok .(xk.(uk0.),ul.) = do и, используя усло- Приведённая выше тгория статьи применима

kj , 1 1 1 1 к задаче оптимального управления. Для этого

вие 2) теоремы 2, непрерывность функционала рассмотрим o-задачу:

Я0,0 (Х, и) = | (^0,0 (и, 1) + ¿0,0 (х, t)) dt ^ М,

г0

t

^0(х, и) = х - х0 -1 (50 (х, т) + С0 (т)u)dт = 0, (4)

г0

t1 ______________________________________________

Я^_0(х,и) = | (а]0,(и,t) + Й^_0(хt))^ <0 ] = 1, ^ .

г0

Пусть имеется последовательность к-задач:

г1

Я0,к (х, и) = | (а0,к (u, t) + Ъ0,к (х, t)) ^ inf,

г0

г

^ (х, и) = х - х0 -1 (5*к (х, т) + Ск (т)u)dт = 0, (5)

г0

г1 ______________________________________________

Я],к(х, и) = |(а],к(и, 1) + Ь],к(х, t)) Ж < 0, ] = 1, ^•

t0

Здесь состояние х е С([10, t1], Я™), а управление и е L"2[t0,^ ]. Для к = 0,1,2,.... вектор-функции Бк (х, 1) = (5,.,к (х, 1)) , магрицы Ск (t) = (с,кр (t)) размера их«. При этом функции 51к, Ъ]к, а] к класса С1 для всех х е Я™, и е Яп и t е[10,t1], а скр (t) непрерывных на [10, t1]. Пусть при ] = 0,N

J*1l

а]к (и, t )Ж1 вы-

1л

пуклые и класса С1 на Щ1„,11]. В работе [4] приводятся условия выполнения требований теорем 2, 3 для к-задач и применения их к задачам (4), (5). Здесь КВ-линеал и. = Е1 [10,11] и единица е = е(г) = (1,1,...,1)г. Сходимость в ие будет почти всюду равномерная и из неё следует среднеквадратичная сходимость в £^[10,11].

Замечание 3. Нетрудно показать, что задачи (4), (5) получаются известным образом из задачи оптимального управления динамической системы и переходом от дифференциального уравнения к интегральному.

Список литературы

1. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядо-ченных пространств. М.: Физматгиз, 1961. 407 с.

2. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. 400 с.

3. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988. 280 с.

4. Калашников А.Л. Достаточные условия усиленной сходимости оптимального множества для приближенных задач оптимального управления с операторными и функциональными ограничениями // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Вып.1(18). Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 1998. С. 134-139.

STRONG CONVERGENCE OF THE OPTIMAL SETS OF APPROXIMATING OPTIMAL CONTROL PROBLEMS

A.L. Kalashnikov

An optimal control problem in the KB-lineal is considered. There is an approximating sequence of the optimization problems for the initial problem. Convergence conditions are given in the strong sense (relative to the norm) for the minimizing control sequence obtained on the basis of the approximating problems.

Keywords: optimal control, approximation, KB-lineal, convergence, minimizing sequence.