Порядковые свойства нормальных решений в задаче оптимального управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобаче вского, 2012, № 1 (1), с. 156-159

УДК 519.6

ПОРЯДКОВЫЕ СВОЙСТВА НОРМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

© 2012 г. А.Л. Калашников

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

а11к123 @уа^ех. ги

Поступила ередаацию 29.09.2011

Рассматривается задача оптимального управления в КВ-линеале. К исходной задаче имеется последовательность к-задач минимизации. Приводятся условия сходимости последовательности, полученной на основе к-задач, к множеству ш -нормальных решений.

Ключееые слоеа: оптимальное управление, линеал, порядковая ограниченность, сходимость, ш-нормальное решение.

Введение

В работе рассматривается задача минимизации функционала при операторном ограничении в виде равенства и функциональных неравенств на состояние х и управление и. Пространство управлений и здесь КВ-линеал с единицей е. Функционал ш(и) минимизируется на множестве оптимальных управлений, что приводит к ш-нормальному решению оптимизации. К исходной задаче имеется последовательность к-задач минимизации. Подобная постановка возникает, например, в приближённых задачах оптимального управления, математического программирования при введении дополнительного критерия качества и в методах регуляризации. Приводятся условия е-ограничен-ности ш-нормальных решений и оптимальных

Здесь функционал ю(м) определен на пространстве U, а U0 - множество оптимальных управлений в 0-задаче. Предположим, что имеется последовательность k-задач: gk(x, u) ^ inf

Fk (x, u) = 0, Gk (x, u) < 0, x e X , u eU .

Здесь для k > 0 функционалы gk(x, u), вектор-функции

Gk ^ u) =(gi,k(x u) g 2,k ^ u),...., g»,k(x, u))T

и операции Fk класса С1 . При этом Fk отображают X х U ^ Z, где Z - банахово пространство. Такую последовательность k-задач получаем, например, при возмущении 0-задачи.

Пусть множество точек минимума (x°, u°) в

любой k-задаче при k > 0 непусто и для всех u eU уравнение Fk(x, u) = 0 имеет единственное решение xk = xk(u) класса С1. Очевидно,

управлении uk

в k-задачах и сходимости u¡ к xk = X (uk)- Обозначим через Ue множество е

множеству ш-нормальных решений в метрике КВ-линеала е-ограниченных элементов. Это приводит к усиленной сходимости последова-

тельности

к}

и наличию у нее порядковых свойств. Отметим, что такой результат получен здесь без применения стабилизатора, определение которого дано в [1].

Последовательная минимизация

Пусть X - банахово пространство состояний, U - пространство управлений, являющееся KB-линеалом с единицей е, а Ue - KB-линеал е-ограниченных элементов в U с нормой ||u||e. Рассмотрим 0-задачу: g0(x, u) ^ inf

F0 (x, u) = 0 , G0 (x, u) < 0, x e X , u eU и к ней последовательную минимизацию: ra(u) ^ inf , u e U0.

ограниченных оптимальных управлении в 0-задаче, а р е (u, Q) = inf II u - vil - расстояние

veQ lle

между u eUe и множеством Q с Ue.

Теорема 1. Пусть последовательность {sk} с Ue и компактна в Ue, а любая её предельная точка принадлежит множеству Q с Ue. Тогда limp е (sk, Q)= 0. k

Доказательство. Введём числа bk = ре (sk ,Q).

Очевидно, bk > 0 и поэтому 0 < lim bk. Пусть

k

limp е (sk, Q) = limp e (skn, Q) для некоторой под-

k kn

последовательности {skn}. В силу компактности {sk} считаем для удобства обозначения {skn} сходящейся к некоторому элементу s0 = lim skn

kn

в пространстве Ue. По условию теоремы 1 все

предельные точки последовательности {¿к} принадлежат Q. Тогда ¿о £ Q. Нетрудно установить неравенство:

Ькп = Ре (¿Ь , 0=™£ II ¿кп - V Не ^ II - ¿0 Не .

уеО

подпоследовательность {xn (ukn)} сходится, то

xk < const и, совместно с u ?

< const, име-

ем |х^| + || мЩ < const. По непрерывности Но lim|lskn-^оИ= 0 Следовательно, = 0 и функционала go(x,u) получаем lim | g0(X<L,uln)-

равенство:

-k _,k

поэтому limbk = limbb =0. Поскольку О < limb,. <

k kn k

< limbk = 0, то limbk =limbk = 0. Отсюда по

k k k

теории пределов будет существовать lim bk = 0.

k

Таким образом, lim ре (sk,Q) = 0. Теорема 1 до-

k

казана.

Теорема 2. Пусть 1) последовательность k-задач минимизирует 0-задачу по функционалу:

limgk(xk0,uk0) = d0, где d0 есть inf в 0-задаче;

k

2) для k > 1 последовательность {uk0} с Ue и компактна в Ue, а любая ее предельная точка -допустимое управление в 0-задаче;

3) xk (u) ^ x0(u) равномерно сходится по

|| u lie < const;

4) gk (x, u) ^ g0(x, u) равномерно сходится по || x ll + ll u lle < const.

Тогда I) любая предельная точка последовательности {u°} является е-ограниченным оптимальным управлением в 0-задаче; II) множество

U0 *0 и limре(u0,U0) = 0.

k

Доказательство. Пусть v0 - любая е-предельная точка для {u^0}. Тогда существует сходящаяся подпоследовательность {u ° }, для которой lim u^ = v0 в Ue. Отсюда v0 eUe. По- при s'k =u и

- g 0( x0(v0), v0)|=0. На основе условия 4)

lim1 gkn(xl>ul)-g0(xkn>ul)|=0. Очевидно не-

1 gkn (xkn , ukn ) - g k( xk(Vkl vk)|<| gkn (xkn , ukn ) -

- g k(xkn, ukn)| +1 g k( xkn, ul) - g k( xk(vk), vk)|.

(2)

Тогда, с учетом найденных пределов для функционалов gkn и g0, из неравенства (2) следует Нт| gkn (хкп ,икп)- gо(хо(уоХуо)1=0. Таким

кп

обPазом, gо (х0 (у0 ),у0 ) = 11Ш gkn (хкп , икп ) .

кп

Согласно условию 1) к-задачи минимизируют 0-задачу по функционалу. Поэтому

gо (х0 (у0 ), у0) = 1im gkn (хкп, икп) = 4 о. (3)

кп

По условию 2) предельная точка у0 будет допустимым управлением в 0-задаче. Тогда, с учетом того, что у0 £ ие, получаем е-ограничен-ность и по равенству (3) оптимальность управления у0 в 0-задаче. Тем самым заключение I) доказано.

Установим справедливость заключения II). Действительно, из доказанного в I) следует, что множество и° ^ 0 и любая предельная точка у0 компактной в ие последовательности {м°} принадлежит и°. Тогда, применяя теорему 1 О = Ц°, получаем Ншре (ик,и°е) = 0.

скольку из сходимости в Ue следует по [2] сходимость в U, то lim ul = v0 в U. По непрерыв-

kn

ности операции x0(u) получаем limx0(u°n )= x0(v0)

kn

или lim|| x0(u°)-x0(v0)|| = 0. Для сходящейся в

kn

Ue подпоследовательности (u°} будет

|| u0n lle< const. В этом случае по условию 3) будет существовать lim \\xkn (ukn) - x0(ukn)|1=0.

Имеем очевидное неравенство:

\\xkn (ui ) - x0(v0)||<

<||xkn (ul) - x0(ul )||+ ||xo(uln ) - x0(V0)

(1)

Теорема 2 доказана.

Отметим, что случаи выполнения условий для теоремы 2 представлены в [3].

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2 и существует е-приближение vk е U,

такое, что (и0 - vk) eUe и ||u0 - vk|| <s k, где

числа ek ^ +0.

Тогда vk е Ue, последовательность {vk} компактна в Ue , а любая её предельная точка принадлежит Ue и пределы lim p(vk ,Ue°) = 0,

k

lim gk(xk (vk), vk) = d o.

Доказательство. I. По условию 2) теоремы 2 Поэтому, с учетом полученных пределов, из последовательность {u^0} с Ue. Следовательно,

(1) предел lim || xb(ukn) - x0 (V0) || = 0. Тем самым

из (uk0 - vk) eUe получаем vk eUe. Так как

limxkn(ul) = xk(vk). Так как = xkn(и°ы) и lim || u]! -vk \\e =ки последовательность {u^*}

компактна в Ue, то {vk}, как нетрудно установить, тоже компактна в Ue, а ее предельные точки v совпадают с предельными точками для

{м0} . Тогда, на основе заключения I) теоремы 2, v* eU0. Используя теорему 1 для sk = vk и Q = U0,

получаем lim р e (vk, U°e ) = 0.

k

*

II. Пусть теперь v - любая предельная в Ue точка для {vk}. Тогда существует {vkn}, для которой lim vn = v* в Ue, а на основе [2] сущест-

kn

вует и lim vn = v в U. По доказанному в пункте I

kn

теоремы 3 v* eU° . Следовательно, g0(x0(y*),v*) = = d0. Для сходящейся подпоследовательности {vkn} в Ue будет || vkn ||e< const и по непрерывности операции x0(u) в U получаем, что limxo(vkn) =

kn

= x0(v*) или lim x0(vkn)-x0(v*) = 0. Очевидно

kn II II

неравенство:

|Xn (vkn ) - x0(v* )\\ <

,, y -il (4)

<1 xkn (vkn ) - x0(vkn ^ + || x0 (vkn ) - x0(v )|

Поскольку || vn ||e< const, то на основе условия 3) теоремы 2 limll xkn (vkn ) - x0(vkn)|| = 0. На

kn

основе полученных пределов из (4)

liml хы (vkn) - x0(v>)| = 0 или lim хы (vkn) = x0(v*).

kn kn

Тем самым подпоследовательность xkn(vkn) сходится и, следовательно, ||xkn(vkn)|| < const. Но ||(vkn)||e < const. Следовательно, ||xk„(vk„)|| + +||(vkn)||e < const. Используя условие 4) теоремы 2,

п°лучаем существование lim| gkn(xkn (vknX vkn) -

kn

-g0 (xkn (vkn X vkn )| = °. Из непрерывности g0(x,u) и сходимостей {xkn(vkn)}, {vkn} имеем

lim 1 g0 (xkn (vkn X vkn ) - g0 (x0(v* X v*) |= 0.

kn

Нетрудно проверить неравенство:

1 gkn (xkn (vkn X vkn ) - g0 (x0 (v* ), v* )| <

<| gkn (xkn (vkn X vkn ) - g0 (xkn (vkn ), vkn )| + (5)

+ 1 g0 (xkn (vkn ), vkn ) - g0(x0(v* ), v‘)|.

Тогда на основе полученных пределов из (5)

И™I gkn(xkn(vknXvkn) -g0(x0(v*),v*)|=0. Но g0(x0(v*),

kn

v*) =d0. Отсюда lim gkn(xkn (vknX vkn )= d0. По-

kn

скольку v - любая предельная точка, то у последовательности {gk(xk(vk),vk)} все частичные пределы совпадают и равны d0. Таким образом,

существует lim gk (xk (vk ), vk ) = d0. Теорема 3

k

доказана.

Нормальное решение задачи минимизации

Рассмотрим минимизацию функционала ю(м) при наличии ¿-задач. Введём число ю = inf ю(ы) для всех и є U0. Например, если ю(и) > 0, то

* /ч

всегда существует ю >0. Определим ю* 7-7-0 / * \ *

нормальное решение Uo єU как ю(^) = ю . Если же и * єи0 = U0 nU0, то назовем его ює-

0 e e * е

т т0,*

нормальным решением, а Ue - множеством этих решений.

Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 3, функционал ю(и) непрерывен на U и

Нтю(и°) < ю*. Тогда множество Ue0’* Ф0 и

к

любая предельная в Ue точка последовательностей {u°},{ v°} принадлежит U°*, а

lim Pe (u0,Ue°’* )=iim Pe (Vk ,Ueo,*)=0. к к

Доказательство. Согласно теоремам 2, 3, {u°}, {vk} компактної в Ue, а любая их предельная точка принадлежит Ue°. Пусть u0 - любая предельная точка для {u°}. Тогда существует {u°}, такая, что lim u\n = u0 в Ue. Поскольку по

kn

[2] из сходимости в Ue следует сходимость в U, то существует lim u° = u0 в U. По непрерывно-

kn

сти функционала oi(u) в U получаем limra(u°! ) =

kn

= oi(u0). Поскольку Нтю^^П) < Итю^) и по

kn k

условию limra(u°) < ю*, то ra(u0) < ю*. На осно-

k

ве теоремы 3 элемент u0 є и с U0. Тогда o>(u0)=

*

= ю и, следовательно, u0 есть e-ограниченное ю-нормальное решение. Поэтому множество U0’* Ф 0. Таким образом, для всякой предельной в Ue точки u0 компактной последовательности {u°} будет u0 єU°*. Применяя теорему 1

0 т Т 0,*

для sk = uk и Q = Ue , получаем существование предела lim pe (u^U“’* ) = 0. По условию k

теоремы 3 норма -vk| <sk, где числа sk ^+0.

Тогда lim || u° - vk ||e = 0, а по её заключению

k

последовательность {vk} с Ue и компактна в Ue. Отсюда нетрудно показать, что {vk} имеет такие же предельные точки, как и {uk0} . Следовательно, все предельные точки для {^принадлежат множеству U°*. Полагая в теореме 1 sk = vk и

Q = U°*, получаем lim pe (vk,U0/) = 0. Теорема k

4 доказана.

Замечание. Неравенство Нтш(ик) < ш* в

к

условии теоремы 3 будет, например, выполнено в методах регуляризации задачи оптимизации [1]. Поскольку метрика в пространстве ие сильнее, чем в и, то по теоремам 2, 3, 4 получаем усиленную сходимость последовательностей {ик}, {ук}, имеющих и порядковые свойства: е-ограниченность и компактность в ие. При этом здесь нет предположения, что ш(и) стабилизатор. В теореме 4 приведены также условия порядковой аппроксимации ш-нормальных решений в ие и наличия у них порядковых свойств.

Вышеприведённая теория статьи применима к задаче оптимального управления с состоянием х£ С([?„,?1],Rm)и управлением и £ Ьп2[?0,tl]. Для этого рассмотрим 0-задачу:

ё оСХ и) = \(а 0 (и, t) + Ьо (х, t))4 ^ inf,

tо

х = А0(х,t) + Б0(1:)и, x(t0) = х0, t £ [^t1], (6)

?1

gj,0 Сх и) = |К-,0(u, t) + Ь;,о (x, tМ < 0] = 1, n,

?о

а также задачу последовательной минимизации: ш(и) = ^р(и, ?)4 ^ inf,и £ и0,

?о

где и0 - множество оптимальных управлений в 0-задаче. Пусть имеются к-задачи:

ёк(x, и) = | (ак(u, t) + ък(x, 1: М ^inf, (7)

?0

х = Ак (х, t) + Вк (t)и, х(?0 ) = х0, t £ [?0, t1],

?l

ё^,к (x, и) = |(аМ (u, t) + Ъ^,к (x, 1:М < 0, ] =1,п.

?0

Здесь для к > 0 вектор-функции Ак(х, t) функции ак(х, t), Ьк(х, t), а],к(и, t), Ь;,к(х, t), р(и, 0 класса С1 для всех х £ Ят, и £ Яп, матрицы Д^) непрерывны на ^ tl] а функционал ш(и) непрерывен на ¿П[?о, t1]. Отметим, что здесь единица

е =е(^ = (1,1, ,1)Г, а КВ-линеалом с единицей

будет пространство ие = [?0, ?1] В работе [3]

приводятся достаточные условия выполнения требований теорем 2, 3 для к-задач и применения их к задачам (6), (7).

Списоа литературы

1. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 824 с.

2. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядо-ченных пространств. М.: Физматгиз, 1961. 407 с.

3. Калашников А.Л. Достаточные условия усиленной сходимости оптимального множества для приближенных задач оптимального управления с операторными и функциональными ограничениями // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Вып.1(18). Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 1998. С.134-139.

ORDER PROPERTIES OF NORMAL SOLUTIONS IN AN OPTIMAL CONTROL PROBLEM

A.L. Kalashnikov

An optimal control problem in the KB-lineal is considered. There is a sequence of k-minimization problems for the initial problem. Conditions of convergence are given for the sequence obtained on the basis of ¿-problems to the set of (»-normal solutions.

Keywords: optimal control, lineal, order boundedness, convergence, ю-normal solution.