Порядковые свойства регуляризирующей конечномерной последовательности для задачи минимизации Текст научной статьи по специальности «Математика»

Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 167-168

УДК 519.6

ПОРЯДКОВЫЕ СВОЙСТВА РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩЕЙ КОНЕЧНОМЕРНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ДЛЯ ЗАДАЧИ МИНИМИЗАЦИИ

© 2011 г. А.Л. Калашников

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

а11к123 @уапс1ех.ги

Поступила в редакцию 16.05.2011

Рассматривается задача минимизации функционала при ограничениях на состояние x и управление u в виде операторного равенства и функциональных неравенств. Пространство управлений здесь - КВ-лине-ал с единицей. Для метода А.Н. Тихонова приводятся условия порядковой сходимости конечномерной ре-гуляризирующей последовательности к оптимальному множеству управлений в КВ-линеале ограниченных элементов.

Ключевые слова: управление, линеал, порядковая сходимость, оптимальное множество, ограниченность, регуляризация.

Минимизация функционала в КВ-линеале

Рассматривается 0-задача: g0(x,u) ^ inf

F(x,u)=0, gj(x,u)<0, xeX, ue U, j = 1,n.

Здесь операция F: XxU ^ Z, где X, Z — банаховы пространства, а U является КВ-линеалом с единицей e. Тогда по [1] существует подлине-ал Ue, являющийся КВ-линеалом е-ограничен-ных элементов. Далее функционалы g0 , g. и операция F класса С на XxU и будем называть U пространством управлений u, а X— пространством состояний x. Пусть для всех u е U уравнение F(x, u) = 0 имеет единственное решение x = x(u) класса С1. Предположим, также, что D0 Ф 0, где D0 — допустимое множество управлений в 0-задаче, и существует некоторое множество S с U, для которого D0 с S.

Обозначим U0 — множество оптимальных управлений u0 в 0-задаче и допустим, что U Ф Ф 0. Исходная 0-задача может быть некорректной [2]. Для некорректных задач оптимизации разработаны методы регуляризации. Используем здесь метод А.Н. Тихонова [2]. Определим функцию Тихонова:

T (x(u),u) = g0( x(u), u) + a k ra(u), u e U, k = 1,2,...,

где функционал w(u) > 0 на U класса С1, а числовая последовательность ak ^ +0. Пусть в пространстве U существует линейно-независимая система из элементов И, е U при i = 1, да, а множества Uk — линейная оболочка для элементов И1 , И2 , ..., Ик. Очевидно Uk с той же метри-

кой являются банаховыми пространствами. Введем k-задачи: Tk (x(u),u) ^ inf

g. (x(u), u) < 0, j = 1,n, u e Uk.

Тогда в k-задаче допустимое множество управлений Dk = D01 Uk. Предположим, что D1 Ф 0; из Uk с Uk+1 получаем Dk с Dk+1 и Dk Ф 0. Допустим также, что сопряженное пространство U* является КВ-линеалом с единицей a. Введем Ue — КВ-линеал е-ограниченных элементов в U, а Uа — КВ-линеал a-ограниченных элементов в U*. Обозначим ||-||е — норму в Ue. По [1] получаем, что из сходимости последовательности в Ue следует и сходимость в U к тому же пределу, что означает более сильную метрику в Ue, чем в U. Далее |-| — модуль элемента.

Усиленная сходимость регуляризирующей последовательности

Предположим, что Tk(x(u), u) = a0k(u) + + b0k(x(u), u), где функционалы a^(u) = a0(u) бу -дут при b0 k(x(u), u) = b0(x(u), u) + akro(u) или a0k(u) = a0(u) + akro(u) будут при b0k(x(u), u) = = b0(x(u), u). Здесь все функционалы класса С'на XxU. Отметим, что такое представление зависит от свойств ro(u).

Теорема 1. Пусть в любой k-задаче существует оптимальное управление u° и 1) для всех u е S функционалы bj и (x(u),u), aju (0) e Ua

при j = 1,n и b0,k,u(x(u),u), a0,k,u (0) e U*; 2) существует такой линейный оператор B > 0: U* ^ U с Ba е Ue, что при всех u,v е S и числах X, > 0 с ^”_0 X j = 1 будет

| u — v|< B |©u (u, X) — 0'u (v, X)|, где X e Rn+1, а

__ n

0(u, X) = \0a0,k (u) + YX ja}- (u).

j=0

Тогда u0, u°k, являются е-ограниченными, а при существовании чисел а, в, у > 0, для которых 0 < Ba < ве и при всех u е S выполнены неравенства

|a0,k,u (0)|, | j (0)| <aar

Kk,u(x(u),u)|, |bj,u(x(u),u)|< ya,

будут верны оценки: |u0|, |u°|< (y + a)Pe.

Введем для u е Ue и множества Q с Ue расстояние pe(u,Q)=inf||u -V|e по всем v е Q. Обозначим U° = Ue 1U0 — множество е-ограни-ченных оптимальных управлений в 0-задаче.

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и 1) для всякой {vk с S}, последовательности b0,k,u(x(vk )*vk), bj,u(x(vk), vkX где j = 1, n, компактны в Ua; 2) замыкание

да

U Uk = U;

k=1

3) множество D0 ограничено по норме в U.

Тогда I) в любой k-задаче существует оптимальное управление u°k eUe; II) последовательность {u°k} компактна в пространстве Ue и минимизирующая в 0-задаче, а любая ее предельная точка будет е-ограниченным оптимальным управлением в 0-задаче; III) существует lim g 0( x(u°), u°) = d 0, где числос!0 есть

k0 inf в 0-задаче; IV) множество Ue Ф 0 и выполнено lim p^,^) = 0.

Замечание. Здесь оптимальное управление uk0 можно получить каким-либо численным методом оптимизации в конечномерном пространстве. На основе теоремы 2 получаем регулярность в метрике U минимизирующей последовательности, построенной по методу регуляризации А.Н.

Тихонова. Тогда по терминологии [2], регулярность в U<! можно назвать е-регулярностью. Это приводит к усиленной порядковой регуляризации по отношению к метрике пространства управлений U.

Изложенные результаты применимы к задаче оптимального управления:

t1

|(a(u, t) + c(x,t))dt ^ inf, (1)

х(V) = х0 + |(А(х,т) + В(т)и)йт, t е ^0, tl],

г0

^ ____________________________________

|(а{0(и,V) + с 0(х, V))й < 0, / = 1,N,

к

где состояние х е С([^,t1],Ят), управление и е е^22[t0,tl], функции а(и, V), с(х, V), а{0(и, V), 0(х, V) и вектор-функция А(х, V) определены для всех х е Ят, и е Я", V е [0, t1] и гладкие, а матричная функция В(0 непрерывна на t1]. Как известно, такие задачи могут быть некорректными. Тогда, применяя метод регуляризации А.Н. Тихонова и теорему 2, получаем сходимость регулярной последовательности управлений в ^] ко множеству ограниченных оп-

тимальных управлений. Это приводит к усиленной регуляризации в задаче (1) по отношению к метрике и = 1"2^0,tl]. В качестве системы функций для конечномерных подпространств ик можно взять, например, вектор-функции полиномы. Тогда

да

1= ик = ^, ^].

к=1

Здесь за единицу е принимается вектор-функция е(V) = (1,1,..,,1)г, а функционал ю(и) = ||и||2.

Список литературы

1. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядочен-ных пространств. М.: Физматгиз, 1961.

2. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

THE ORDINAL PROPERTIES OF THE FINITE-DIMENSIONAL REGULARIZATING SEQUENCE

FOR A MINIMISATION PROBLEM

A.L. Kalashnikov

We consider the problem of minimization of the functional with restrictions on a condition x and control u in the form of operational equality and functional inequalities. The space of the control is the KV- lineal with the unit. The article presents the conditions of the ordinal convergence the finite-dimensional regularizating sequence to the set of the optimal controls in the KV-lineal of the limitating elements. This sequence is constructed using the A.N. Tikhonov's method of the regularization.

Keywords: control, lineal, ordinal convergence, optimal set, limitation, regularization.