Аппроксимация нормальных решений задачи минимизации в KB-линеале управлений Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

УДК 519.6

АППРОКСИМАЦИЯ НОРМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ МИНИМИЗАЦИИ

В ГО-ЛИНЕАЛЕ УПРАВЛЕНИЙ

© 2007 г. А.Л. Калашников

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

а11к123 @уа^ех. ги

Поступила в редакцию 08.11.2007

Рассматривается задача оптимального управления в КВ-линеале. К исходной задаче имеется последовательность к-задач минимизации. Приводятся условия сходимости последовательности, полученной на основе к-задач, к множеству ш -нормальных решений.

Введение

В работе рассматривается задача минимизации функционала при операторном ограничении в виде равенства и функциональных неравенств на состояние х и управление и. Пространство управлений и полагается здесь КВ-линеалом с единицей е. Функционал ш(и) минимизируется на множестве оптимальных управлений исходной задачи, что приводит к ш-нормальному решению оптимизации. К исходной задаче имеется последовательность к-задач минимизации. Подобная постановка возникает, например, в приближенных задачах оптимального управления, математического программирования при введении дополнительного критерия качества, а также в методах регуляризации. Приводятся достаточные условия, когда множество е-ограниченных ш-нормаль-ных решений непусто, а оптимальные управле-0 1

ния ик в к-задачах е-ограничены и сходятся к

нему в метрике КВ-линеала е-ограниченных элементов. Это приводит к усиленной регулярности последовательности < и наличию у нее порядковых свойств. Отметим, что такой результат получен здесь без применения стабилизатора, определение которого дано в [1].

Последовательность задач минимизации

Пусть X - банахово пространство состояний, и - пространство управлений, являющееся КВ-линеалом с единицей е, а ие - КВ-линеал

е-ограниченных элементов в U с нормой ||-||е. Рассмотрим задачу последовательной минимизации: g0(x,u) ^ inf,

F0(x,u) = 0, G0(x,u) < 0, x e X, u e U, ra(u) ^ inf u e U0,

где ra(u) - функционал, определенный на U, а

U0

- множество оптимальных управлений в задаче минимизации функционала g0, которую назовем 0-задачей. Предположим теперь, что к исходной 0-задаче имеется последовательность k-задач: gkx,u) ^ inf,

Fk(x,u) = 0, Gk(x,u) < 0, x e X, u e U.

Здесь для k > 0 функционалы gk(x,u), вектор-функции

Gk(x,u) = (gl,k(x,u), g2,k(x,u),..., gn,k(x,u))T, операции Fk: X x U ^ Z, где Z - банахово пространство класса С1. Такая последовательность k-задач возникает, например, при возмущении исходной 0-задачи.

Пусть множество точек минимума (г°, м° ^ в любой k-задаче при k > 0 непусто и для всех u e U уравнение Fk(x,u) = 0 имеет единственное решение xk = xk(u) класса С1. Очевидно,

x0 = Xk (м°). Обозначим через U° множество е-ограниченных оптимальных управлений в 0-задаче, а ре (u, Q) = inf 11 u - v II - расстояние

veQ "e

между u e Ue и множеством Q с Ue.

Лемма. Пусть последовательность {sk }с с Ue и компактна в Ue, а любая её предельная

точка japrn^M^m мтжхству Q с Ue. Тогда x0(u) получаем lim x0 (u0n) = x0 (v0)

или

kn

limpe (sk, Q ) = 0.

lim || x0(u°n) - x0(v0) || = 0 . Для сходящейся в Ue

kn

подпоследовательности {u°„} будет || u° ||e < const. В этом случае по условию 3 будет существовать

Доказательство. Введём Ък = ре(5к,0. Очевидно, числа Ък > 0 и поэтому 0 < ііш Ък . Пусть

Нш ре (5к, Q) = Нш ре (5^, О) , для некоторой ^ш II хкп (икп ) х0(икп ) II 0. Имеем очевидное

к кп кп

подпоследовательности {5кп}. В силу компакт- неравенство:

НОЛИ М Считаем ДЛя уд>бС1М обозначения || Хкп (и»п) - Г0(П|)||<||х„п (икп) - Х0(и,“п )||+ „ч

{5кп} сходящейся к некоторому элементу (1)

50 = Ит$кп в пространстве ие . По условию + || х0(икп) - x0(v0)||.

Поэтому, с учетом полученных пределов, из (1)

кп

леммы все предельные точки последовательно- 0

сти {5к} принадлежат О. Тогда 50 е О. Верно предел ИшУ хкп (икп) - x0(v0)|| = °.Тем самым

неравенство

kn

Ъы = pe (Skn, Q) = inf || Skn - V ||e < \\Skn - So ||e . 1im xkn (u0n ) = xo(Vo). Поскольку x0n = Xkn (u°kn )

Но lim || skn - s0||e =0. Следовательно, limЪы =0 и подпоследовательность {xknUn)} сходится, то

kn

< const и, совместно с

kn

< const, по-

e

, .... ^0 lie"

kn kn

и отсюда lim bk =lim bkn =0. Поскольку

k kn

0 < limbk < limbk = 0, то limbk = limbk = 0. По- лучаем

k k k k 0 0 этому по теории пределов будет существовать функци°гала g0(x,и) следует lim| g0(xkn,ukn)

0 0

4n + Uon

< const. Из непрерывности

kn

Нш Ьк = 0. Таким образом, Нт ре (5к, О) = 0. ✓ ✓ ч ч. л

к к к - go(Хo(Vo),У0)|=0. Из условия 4 имеем

Лемма доказана. . / 0 о ч „ / 0 „,0 м_п п „

1iш | gkn ( хкп > икп ) - .?0( хкп > икп ) |= 0. Очевидно

kn

неравенство:

0U0) = d_ д dr. — inf в 0-Иaдaчe■ | gkn (xkn, ukn ) - g0(x0(v0), V0) |<

Теорема 1. Пустъ 1) noс7eдoвame7ЪNoсmъ k-иадач мuNUмuиupуem 0-иадачу по фуNKцuoNa7у

lim gk (x°,u0) = do, гдe d0 — inf в 0-иaдaчe;

2) для k > І пoс7eдoвame7ЪNoсmъ {u°} с Ue o o

< | gkn ( xkn, ukn ) - go (xkn, ukn ) | + (2)

и кoмпaкmNa в Ue , а любая ee пpeдe7ЪNaя точ- + | go(Xkn, Ukn) go(Xo(Vo), Vo) |.

ка — дoпусmuмoe упpaв7eNue в 0-иaдaчe; Тогда, с учетом полученных пределов для

3) xk (u) ^ xo(u) paвNoмepNo сходится по

| u We <const; kn

функционалов gkn и g0, из неравенства (2) имеем lim | gkn(x°n, u°n) - go(xo (Vo), Vo) |= 0. Отсюда

Согласно условию і, k-задачи минимизируют О-задачу по функционалу. Поэтому

0 _.0

4) gk(x,u) ^ g0(x,u) равномерно сводится g0(X0(v0),V0) = limgkn(x°kn,4n).

по || X || + || u ||e< const. kn

Тогда а) любая предельная точка последовательности {u°} является е-ограниченным 0 0

оптимальным управлением в 0-иадаче; б) мно- g°(Х(°^0)V0) gkn (Xkn,Ukn) ^ (3)

жество Ue Ф0 и limpe(uk,Ue) = 0. По условию 2 предельная точка v0 будет допус-

k тимым управлением в 0-задаче. Тогда, с учетом

Доказательство. Пусть v0 - любая e-пре- того, что элемент v0 e Ue и по равенству (3),

0 получаем e-ограниченность и оптимальность

дельная точка для {uk} . Тогда существует схо- управления v0 в 0-задаче. Таким образом, за-

дящаяся подпоследовательность {u°n}, для ко- ключение а) доказано.

0 Установим справедливость заключения б).

торой Hm ukn = v0 в Ue и v0 e Ue . Поскольку из Действительно, из доказанного в а) следует, что

сходимости в Ue следует [2] сходимость в U, то множество U0 ^ 0 и любая предельная точка

lim ukn = v0 в U. Из непрерывности операции v0 компактной в Ue последовательности {u°}

kn

принадлежит U°. Тогда, применяя лемму при сходится и < const, а совместно с

^ 0 ^ Л п неравенством \\vkn\\e < const имеем |Xkn(vtn)|| +

Sk Uk и Q e, получаем imPe(щ, e) . + l\vnie < const. Используя условие 4 теоремы 1,

Теорема 1 доказана. получаем существование lim \gkn(xkn(vkn),vkn) -

kn

Отметим, что случаи выполнения условий для теоремы 1 представлены в [3].

- g0(xkn(vkn),vkn)\ = 0. По непрерывности функционала g0(x,u) и сходимостей {Xkn(ykn)}, {vkn}

Теорема 2. Пусть выполнены условия тео- имеем Ik: \g°(Xkn(vkn),vkn) g0(x0(v*),v*)| 0.

peмы 1 и сущeсmвуem e-пpuблuжeNue Vk є U та-

k

Очевидно неравенство:

коє, что (и° - Vk) єUe и lim u° - Vk =0. |gkn(xkn(Vfa),Vkn) - go(xo(V*),V*)| <

e

n kn kn 0 0

, , <\ gkn(xkn(vkn),vkn) - g0(xkn(vkn),vkn) \+

То.гда vrkre Ue L !vk.}. ™м: +l g 0(Xkn(ykn),vkn) - g0(X0(v*),v*)|. (5)

Тогда на основе полученных пределов из (5)

пактна в Ue , а любая eё пpeдeлъNaя точка ^и-

Ш^^ГП U°o и lap^^bl lim pe (Vk ,Ue0) = 0, получаем lim |gkn(Xkn(Vkn),Vkn) - go(Xo(V*),V*)| = 0.

'еУк’^е/ пилучжм. ШИ \&кп\Лкп\Укп)^кп) - 8^0^

к кп

1iш gk (хк (ук), Ук ) = <0. Но В0(х0(у*),у*) = <4 Отсюда предел

к Нш gkn(x(уkn),уkn) = <0. Поскольку V* - любая

кп

Доказательство. По теореме 1 (условие 2) предельная точка, то у последовательности

последовательность {и^0} с ие. Следовательно, {ёк(хк(ук),ук)} все тастичтге ^едеты с°впадают

0 и равны < 0.

из (ик - ук) еие имеем Ук е ие. Поскольку Таким образом, существует 1iшgk(xk(Уk),Уk) =

Нш || ик -ук ||е =0 и последовательность {и0} , т „ к

к к к е к = <0. Теорема 2 доказана.

компактна в ие , то { ук}, как нетрудно установить, тоже компактна в ие , а ее предельные Нормальное решение задачи минимизации

точки совпадают с предельными точками для

{и0} и, тем самым, опираясь на заключение а) Рассмотрим теперь минимизацию функцио-

теоремы 1, принадлежат множеству Ue0. Ис- на^а “(u) ^Ри наличии k-задач. Введём число

„ ТТ0 ю* = inf ra(u) по u eU0. Например, для

пользуя лемму для sk = vk и Q = Ue , получаем

0 ra(u) > 0 всегда существует ю* > 0. Определим

limpe(vk,Ue) = 0. Пусть теперь v* - любая ю-нормальное решение u0* e U как ra(u0*) =

пр>едельная в Ue точка для {vk}. Тогда существу- = ю*. Если же u0* e Ue = U ^Ue >0 то назовем

ет подпоследовательность {vkn}, для которой его решением, а Ue * - множе-

lim vkn = v * в Ue , а на основе [2] существует и ством реш™.

kn

* тт „ * тт0 „ Теорема 3. Пусть выполнены условия тео-

lim vkn = v в U. По доказанному v* e Ue . Сле- : 1

kn ремы 2, функционал ra(u) непрерывен на U и

довательно, g0(x0(v*),v*) = d0. Для сходящейся lim<a(u0) <ю *. Тогда множество Ue0* * 0 и

{vkn} в Ue будет \\vkn||e < const и по непрерывно- k

сти операции X(u) в U получаем, что любая предельная в Ue точка последовательно-

limx0(vkn) = x0(v*) или lim||x0(vkn) - x0(v*)|| = стей {u^, {vk} принадлежит Ue0’*, а

kn kn

= 0. Очевидно неравенство: pe (uk,Ue*) = lim pe (vk ,Ue’*) = 0.

+

Xkn (Vkn ) - X0(V ) <1 Xkn (Vkn ) - X0(Vkn Ц +

* (4)

X0(Vkn ) - X0(V ) . следовательности {Uk }, {Vk} компактны в Ue , a

Доказательство. Согласно теоремам і и 2 по-

Поскольку \\vkn||e< const, то по условию 3 теоре- любая их предельная точка принадлежит Ц1.

мы 1 ^ Xn(vkn) - X0(vkn)l1 = 0. Тогда из Пусть u0 - любая предельная точка для {u^ . То-

полученных пределов по (4) получаем гда существует сходящаяся в Ue подпоследова-

lim ||xkn(vkn) -X0(v*)\\ = 0 или limXkn(vkn)= X0(v*). тельность {u} такая, что предел limu^ = u0 в

kn kn kn

Тем самым подпоследовательность {xkn(vkn)} Ue. Поскольку по [2] из сходимости в Ue следу-

ет сходимость в и , то имеем Нш и0п = и0 В и .

кп

Из непрерывности функционала га (и) в и получаем Нш га(и0п ) = ю(и0). По свойству верхнего

кп

предела и условия теоремы 3 имеем Ншю(и°п) < Нш ю(и°) <га *. Отсюда га(и0) < га*.

кп к

На основе теоремы 1 предельная точка и0 е е ие0 с и0 . Тогда га(и0) = га* и, тем самым, управление и0 есть е-ограниченное га-нормальное решение. Поэтому множество ие0’* ф 0. Следовательно, всякая предельная в ие точка

компактной последовательности {и^ принадлежит ие0’ *. Применяя лемму для Sk = ик и Q = и0’*, получаем существование предела

Ншре(и°,ик’*) = 0. По условию теоремы 2

к

Нш || ик - Ук ||е = 0, а по её заключению после-

к

довательность {Ук } с ие и компактна в ие . Отсюда нетрудно показать, что {ук} имеет такие же предельные точки, как и {ик} . Следовательно, все предельные точки для { Ук} принадлежат множеству ие0, *. Полагая в лемме sk = Ук и

Q = ие0’*, получаем Ншреу ,ик’*) = 0. Теоре-

к

ма 3 доказана.

Замечание 1. Отметим, что неравенство

Нш ю(и°) <га * условия теоремы 3 будет, на-

к

пример, выполнено в методах регуляризации задачи оптимизации [1].

Замечание 2. Поскольку метрика в ие сильнее, чем в и, то по теоремам 1-3 получаем усиленную регулярность последовательностей

{и°}, {Ук}, которые имеют и порядковые

свойства: е-ограниченность и компактность в ие. Этот результат получен здесь без стабилизатора. Отметим также, что в теореме 3 приведены условия не только существования и аппроксимации га-нормальных решений, но и наличие у них порядковых свойств.

Вышеприведённая теория применима к последовательной минимизации задачи оптимального управления, где состояние х е Сф^],^),

а управление и е С^о, ^]. Для этого рассмотрим задачу

t1

g0(x,u) = J(a0(u,t) + b0(x,t))dt ^ inf,

10

X = Aq(x,t) + Bo(t)u, x(to) = Xo, t e [to,ti], (6)

t1 _____________________________________

gj,o( x,u) = J (aJfi(u,t)+bjo( x,t))dt < 0, j = 1, N,

t0

которую назовем 0-задачей, а также задачу минимизации

ti

ra(u) = J p(u, t) ^ inf, u eU0,

to

где U0 - множество оптимальных управлений в 0-задаче. Пусть к 0-задаче имеется последовательность k-задач:

t1

gk (x,u) = J (ak (u, t) + bk (x, t))dt ^ inf,

to

x = Ak(x,t) + Bk(t)u, x(to) = xo, t e [to, ti], (7)

t1 _____________________________________

gj,k (x,u) = J (ajJc (u,t) + bjk (x,t))dt < 0, j = 1, N.

to

Здесь для k > 0 вектор-функции Ak(x, t), функции ak(u, t), bk(x, t), aj,k(u, t), bjk(x, t), p(u, t)

C1 nm nft

для всех x e л , u e л , матрицы

Bk(t) непрерывны на t e [to,ti], а функционал

ra(u) непрерывен по u e ^-2[to,ti]. Известным

образом преобразуя дифференциальную задачу к интегральному уравнению, получаем k-задачу с интегральными ограничениями. В работе [3] приводятся достаточные условия существования точек минимума и выполнения требований теорем 1 и 2 для k-задач (6), (7). Отметим также, что здесь единица e будет вектор-функцией e(t) =

= (1,1,...,1)г, а пространство Ue = [t0, t1].

Список литературы

1. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. 400 с.

2. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядо-ченных пространств. М.: Физматгиз, 1961. 407 с.

3. Калашников А.Л. Достаточные условия усиленной сходимости оптимального множества для приближенных задач оптимального управления с операторными и функциональными ограничениями // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Вып. 1 (18). Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 1998. С.134-139.

APPROXIMATION OF THE NORMAL SOLUTIONS FOR THE PROBLEM OF THE MINIMIZATION IN THE KB-LINEAL OF THE CONTROLS

A.L. Kalashnikov

We consider a problem of optimal control in the KB-lineal. There is the sequence of the ^-problems the minimization for the initial problem. The article presents the conditions the convergence the sequence of the controls to the set of the ro-normal solutions. This sequence is constructed using the ^-problems.